RELATORIO FINAL[4048]PASSEI

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIAS – INSTITUTO DE FÍSICA
Física experimental 1
Prof.Dr. Ernanni Damião Vieira
AVALIAÇÃO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE PELO MÉTODO DO PÊNDULO SIMPLES
	
1.INTRODUÇÃO
A aceleração gravitacional faz referência a aceleração na qual um corpo de massa m1 é submetido a outro corpo de massa m2, desenvolvendo assim uma força de interação entre ambos. Esta atração entre os corpos, que está intimamente conectada com a dinâmica da Terra, é conhecida e estudada pela ciência há muito tempo. Visto que o valor da aceleração gravitacional (g) próximo a superfície terrestre independe da massa dos objetos/corpos, desenvolveu-se o seguinte relatório. 
1.2. Objetivo
O objetivo do presente trabalho se baseia na aplicação, compreensão e obtenção dos resultados e das grandezas envolvidas na aceleração da gravidade, bem como na forma que se calcula a mesma e suas respectivas incertezas a partir de um experimento de medições laboratoriais a fim de submeter os resultados ao teste de compatibilidade e, posteriormente, compara os dados obtidos com o valor da aceleração da gravidade no município de Goiânia-GO.
2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
Um pêndulo simples, como o usado no experimento é aquele composto de um fio inextensível de comprimento (l) e com uma partícula de massa (m) presa a uma de suas extremidades livre para se movimentar oscilando de um ponto a outro em uma reta fixa passando pelo ponto fixo do fio.
	As forças atuantes no sistema são a força de tração (T) exercida pelo fio sobre a partícula (no sentido oposto da gravidade) e a força gravitacional (F) exercida pela gravidade sobre a partícula de massa (m) gerando o P (m.g), a qual demonstra que quando decomposta em uma componente radial, forma uma tangente a trajetória do peso com e . Esta componente tangencial sempre age no sentido oposto ao deslocamento do peso gerando uma força restauradora que sempre tende a levar a partícula de vota ao ponto central, o qual é chamado de posição de equilíbrio (teta=0).
A componente peso, sendo perpendicular ao deslocamento é equilibrada pela tração T do fio, onde o sinal negativo demonstra que a força age na direção oposta da posição de equilíbrio, tendendo sempre a movimentar a massa nesse sentido. Suas resultantes podem ser definidas por:
 (Equação 1)
Onde F é a força, m a massa do objeto, g a gravidade considerada, e o ângulo formado entre a linha e sua origem.
Assim temos que a equação de movimento pode ser determinada como:
E que para pequenas oscilações podemos aproximar , tendo assim:
 (Equação 2)
Nas condições do pendulo simples como realizado no experimento, pelas oscilações terem uma amplitude pequena, ignora-se o atrito com o ar, e o período T pode ser demonstrado como:
Onde, a partir desse cálculo podemos tirar a força gravitacional e determina-la em função do período T e do comprimento da linha como:
 (Equação 3)
3.METODOLOGIA EXPERIMENTAL
Figura 1 - Ilustração do movimento do pêndulo simples, setas indicam movimento para frente e para trás não alterando a altura do cordão h.
3.1. Materiais utilizados
Para o experimento foram utilizados os seguintes objetos:
1. Um peso com um gancho
2. Fio de massa desprezível;
3. Haste de metal presa a um suporte ligado a bancada;
4. Fita de 1,5 m com resolução de 0,1 cm;
5. Cronômetro com resolução de 0,01 s.
3.2. Método
O modelo de medição consiste em medir o período de oscilação de um pêndulo com 6 comprimentos de fio diferentes. O experimento iniciou com o fio no comprimento mínimo e foi aumento progressivamente a cada realização, mediu-se a distância aproximada do centro de massa da extremidade inferior até a haste onde o fio estava fixado. 
Após esse procedimento moveu-se a massa da extremidade inferior da sua posição de equilíbrio com um ângulo θ, inferior a 10º em relação a posição inicial, tal ângulo foi adotado como um padrão para todos os valores de altura. Então solta-se o pêndulo e através de um cronômetro mede-se o período de 10 oscilações, repetidas 10 vezes para 6 valores de alturas distintos. Dividindo esse período por 10 obteve-se a medição de uma oscilação afim de diminuir o erro, e obter-se o tempo médio de uma oscilação. Esse procedimento foi repedido 10 vezes, para cada comprimento de fio.
Todo procedimento foi realizado afim de obter-se o valor de gravidade para cada oscilação associada à sua altura como também os valores de incerteza associado, após isso utilizou-se média ponderada para determinação de um único valor que posteriormente fosse comparado com um valor teórico para aceleração da gravidade local.
3.2.1. Incerteza associadas
Durante o experimento, foram obtidos diversos valores a partir de medições sistemática. Para uma maior aproximação do valor real dessas medições, a aplicação das incertezas se mostrou necessária, como:
Incerteza do tipo A, aplicada na medição dos vários tempos obtidos para cada etapa do processo:
 (Equação 4)
Incerteza tipo B, aplicada a medições de um único valor:
 (Equação 5)
Incerteza tipo C, aplicada quando tempos valores que dependem de duas variáveis, ou seja, incerteza combinada:
(Equação 6)
3.2.2. Teste de compatibilidade
Após obtidos os valores anteriores, é necessário fazer um teste de compatibilidade entre eles, para verificar se estes são compatíveis ou discrepantes. O teste de compatibilidade demonstra que K ≤ 2,5 é considera compatível, e pode ser calculado da seguinte forma:
 (Equação 7)
Onde, A e B são os valores (que nesse experimento são os valores obtidos da gravidade), e são as incertezas de suas medições.
3.2.3. Média ponderada
Como no caso deste experimento onde foram realizadas diferentes marcações de oscilação do pêndulo, é necessário que se faça uma média ponderada da aceleração da gravidade, para se chegar ao resultado final. Por fim, calcular um valor médio para 𝑔́e sua incerteza relativa através das seguintes equações, onde por meios das seguintes formulas:
 	(Equação 8)
Tendo (Equação 8.1)
E a incerteza dessa média como:
	 (Equação 9).
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO
Inicialmente calculou-se os valores de incertezas do tipo A, associada a oscilação do pêndulo para cada altura, tais valores podem ser observados nas ultimas colunas das tabelas com as respectivas alturas.
Tabela 1 – Valores de oscilações com média para uma oscilação e incerteza do tipo A associada.
	h= 32,5cm
	h =41,1cm
	10 oscilações (s)
	1 oscilação (s)
	10 oscilações (s)
	1 oscilação (s)
	11,31
	1,131
	12,81
	1,281
	11,13
	1,113
	12,85
	1,285
	11,28
	1,128
	12,72
	1,272
	11,44
	1,144
	12,69
	1,269
	11,34
	1,134
	12,72
	1,272
	11,25
	1,125
	12,85
	1,285
	11,32
	1,132
	12,65
	1,265
	11,31
	1,131
	12,72
	1,272
	11,44
	1,144
	12,50
	1,250
	11,25
	1,125
	12,91
	1,291
	
	
Tabela 2 – Valores de oscilações com média para uma 
oscilação e incerteza do tipo A associada.
	h=45,4 cm
	h=49,7 cm
	10 oscilações (s)
	1 oscilação (s)
	10 oscilações (s)
	1 oscilação (s)
	13,41
	1,341
	13,87
	1,387
	13,32
	1,332
	13,87
	1,387
	13,31
	1,331
	13,81
	1,381
	13,34
	1,334
	13,97
	1,397
	13,34
	1,334
	14,00
	1,400
	13,37
	1,337
	13,82
	1,382
	13,31
	1,331
	13,94
	1,394
	13,37
	1,337
	13,81
	1,381
	13,41
	1,341
	13,94
	1,394
	13,53
	1,353
	13,82
	1,382
	
	
Tabela 3 – Valores de oscilações com média para uma oscilação e incerteza do tipo A associada.
	h=57,9 cm
	h=70,5 cm
	10 oscilações (s)
	1 oscilação (s)
	10 oscilações (s)
	1 oscilação (s)
	15,03
	1,503
	16,69
	1,669
	15,06
	1,506
	16,65
	1,665
	15,00
	1,500
	16,53
	1,653
	15,06
	1,506
	15,65
	1,565
	15,03
	1,503
	16,63
	1,663
	15,03
	1,503
	16,53
	1,653
	15,06
	1,506
	16,81
	1,681
	15,09
	1,509
	16,32
	1,632
	15,19
	1,519
	16,53
	1,653
	15,10
	1,510
	16,69
	1,669
	
	
Obtendo-se cada valor de incerteza do tipo A, localizados ao fim das tabelas(1,2,3) encontra-se dados importantes para o uso no cálculo da gravidade através da equação (3).
Assim substituindo os dados encontra-se os valores de g, disponíveis na tabela 4.
Tabela 4 – Valores de gravidade medidos pelo experimento utilizando alturas distintas.
	Nº
	g (m/s²)
	comprimento (cm)
	1
	10,035
	32,5
	2
	9,993
	41,1
	3
	10,025
	45,4
	4
	10,177
	49,7
	5
	10,078
	57,9
	6
	10,090
	70,5
Para o cálculo da incerteza combinada (tipo c) utiliza-se ainda o conhecimento das variáveis dependentes (L e T), com incertezas associadas do tipo B, e A respectivamente.
Assim calcula-se a incerteza sobre a fita métrica utilizada na medição dos comprimentos através da equação (5).
Para o cálculo da incerteza combinada utiliza-se a equação (6), onde:
Obtém-se então 6 valores de incertezas associadas a gravidade, tais incertezas são do tipo C, e estão representadas na tabela 5.
Tabela 5 – Valores de g, para cada altura experimentada, com as respectivas incertezas;
	Nº
	comprimento (cm)
	g (m/s²)
	
	1
	32,5
	10,035
	0,054
	2
	41,1
	9,993
	0,062
	3
	45,4
	10,025
	0,036
	4
	49,7
	10,177
	0,038
	5
	57,9
	10,078
	0,029
	6
	70,5
	10,090
	0,054
	 m/s²
	m/s²
	) m/s²
	m/s²
	) m/s²
	m/s²
Em relação aos valores obtidos para gravidade, podem ser considerados elevados devido a ângulo de oscilação estar superior a 10º, valor máximo permitido para o regime de pequenas oscilações.
Executando os testes de compatibilidade entre os valores de g obtidos através da equação (7).
Alcançou-se os seguintes resultados (Tabela 5), para os valores obtidos a partir do teste de compatibilidade.
Tabela 6 - Valores referentes ao teste de compatibilidade, onde Kg2,g4 com valor destacado significando ser um valor maior que o K tolerável, sendo desconsiderado dar equações seguintes.
	Kg1,g2
	0,434
	Kg2,g5
	1,242
	Kg1,g3
	0,015
	Kg2,g6
	1,180
	Kg1,g4
	0,215
	Kg3,g4
	0,010
	Kg1,g5
	0,702
	Kg3,g5
	0,115
	Kg1,g6
	0,720
	Kg3,g6
	1,016
	Kg2,g3
	0,446
	Kg4,g5
	2,060
	Kg2,g4
	2,530
	Kg4,g6
	1,310
	
	
	Kg5,g6
	0,173
Após todo o processo de tratamento de dados, por fim calculou-se a média ponderada dos valores obtidos, afim de alcançar um único valor de gravidade que se mostrasse confiável. Para tal procedimento faz-se uso das equações 8, 8.1 e 9.
Através do teste de compatibilidade obteve-se um único resultado incompatível entre G2-G4 (o qual se encontra destacado na tabela), assim desconsidera-se esse valor para o cálculo da média ponderada e da incerteza associada a ela;
Tabela 7 – Valores de w, obtidos através da equação 8.1, necessário para o cálculo da média ponderada.
	
	342,935
	
	260,145
	
	771,604
	
	692,520
	
	1189,060
	
	342,935
Assim obtém o valor médio de g pela equação 10.
Por fim através da equação 9, obtém o valor da incerteza do tipo C, associada ao valor de gravidade obtido anteriormente.
	 (9).
Substituindo os valores obtém-se:
Logo o valor de gravidade obtido pela média ponderada e sua incerteza associada é de:
	
Por fim, a partir do cálculo de compatibilidade entre a média oficial determinada pelo IBGE para a cidade de Goiânia-GO e a obtida no presente experimento:
Kglab,gofic = 17,588,
Onde obteve-se um K muito acima do valor aceitável como compatível, o que indica que a aquisição de dados no momento do experimento quando se liberava o pendulo ao movimento livre foi acima de 10º como discutido anteriormente, acarretando posteriormente em gravidades um pouco acima da média.
5. CONCLUSÃO
A partir de todas as medições e resultados obtidos no experimento e pelos testes de compatibilidade, foi encontrado que o valor de g2 se demonstrou incompatível a partir do teste de compatibilidade entre Kg2g4, e os demais compatíveis entre si, e que além disso, as medidas em geral foram executadas com o período de oscilação um pouco maior que 10º, saindo do domínio do regime de pequenas oscilações, o que não é ideal para a metodologia aplicada e repassada em sala de aula, acarretando assim no final dos cálculos como incompatível com o valor real da gravidade no município de Goiânia-GO. 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] Apostila do curso de Física Experimental, Instituto de Física, Universidade Federal de Goiás,2017.
[2] HALLIDAY, RESNICK, WALKER. Fundamentos de Física. Vol. 1, 8ª ed. Editora LTC, 2009.
[3] Nussenzveig, Herch Moyzés – Curso de física básica 2: 4a ed. – São Paulo: Edgard Bluncher, 2002