09 Transformações Lineares

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
Faculdade de Matemática – Departamento de Matemática 
Álgebra Matricial – Professora Karina Benato 
 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES E REPRESENTAÇÃO MATRICIAL 
 
 As transformações lineares são funções onde o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais, isto é, 
tanto a variável independente quanto a variável dependente são vetores. Este tipo de função tem uma propriedade 
importante: preserva a soma e a multiplicação por escalar. As transformações lineares possuem aplicações na 
Física, Engenharia, Computação, Matemática, etc. 
 
Exemplos 
 
A. ( ) ( )

−=
→
yxyxT
RRT
,,
: 22
 
 
Essa transformação T reflete cada vetor do 2R em torno do eixo x . 
 
 
B. ( ) ( )

−=
→
yxyxT
RRT
,,
: 22
 
 
Essa transformação T reflete cada vetor do 2R em torno do eixo y . 
2 
 
Definição de transformação linear 
Sejam V e W espaços vetoriais; WVT →: é uma transformação linear ( )TL se T satisfaz as seguintes 
propriedades: 
 
i) ( ) ( ) ( )vTuTvuT +=+ , para quaisquer Vvu ∈, . 
ii) ( ) ( )uaTauT = , para qualquer Ra ∈ e Vu ∈ . 
No caso de WV = a TL é chamada de operador linear de V . 
 
Exemplos 
 
1) Uma transformação linear 
RRT →: 
( ) xxT 2= 
Neste exemplo, estamos considerando o conjunto dos números reais como um espaço vetorial. A 
transformação é definida por ( ) xxT 2= . Vejamos a validade das propriedades de uma TL : 
i) ( ) ( ) yxyxyxT 222 +=+=+ e 
( ) ( ) yxyTxT 22 +=+ 
ii) ( ) ( ) axaxaxT 22 == e ( ) ( ) axxaxaT 22 == 
Logo, T é uma transformação linear. 
 
2) Uma transformação não-linear 
RRT →: 
( ) 32 += xxT 
Para mostrar que esta transformação não é linear, basta mostrar um par de vetores para os quais 
( ) ( ) ( )yTxTyxT +≠+ . Por exemplo, 2=x e 4=y : 
( ) ( ) 15362642 =+⋅==+ TT e 
( ) ( ) ( ) ( ) 1811734232242 =+=+⋅++⋅=+ TT . 
Assim, ( ) ( ) ( )4242 TTT +≠+ . Logo, esta transformação não é linear. 
 
Propriedades de uma transformação linear 
Se WVT →: é uma transformação linear do espaço vetorial V no espaço vetorial W , então: 
a) ( ) 00 =T 
b) ( ) ( )uTuT −=− , para qualquer Vu ∈ 
c) ( ) ( ) ( )vTuTvuT −=− , para quaisquer Vvu ∈, . 
 
Assim, no exemplo 2, como ( ) 30 =T , T não é uma transformação linear, de acordo com a propriedade (a) 
acima. 
3 
 
 
Representação matricial de uma transformação linear 
Uma transformação linear mn RRT →: pode ser representada na base canônica por uma matriz nmA × . 
Neste texto, sempre serão consideradas as bases canônicas do nR . 
Notação: A ou [ ]T . 
 
Exemplos 
1) 32: RRT → definida por ( ) ( )xyxyxyxT 2,,, −+= ; calculando a imagem dos vetores da base 
canônica, obtemos ( ) ( )2,1,10,1 =T e ( ) ( )0,1,11,0 −=T , logo a matriz de T é a matriz 
2302
11
11
x
A










−= . 
Nesta notação, a transformação é interpretada como a multiplicação de A por v : 
















−=










−
+
y
x
02
11
11
2x
yx
yx
 
Assim, a matriz que representa esta transformação é
2302
11
11
x
A










−= ou [ ]
2302
11
11
x
T










−= . 
 
2) 22: RRT → definida por ( ) ( )yxyxyxT 24,3, ++= ; calculando a imagem dos vetores da base 
canônica, obtemos ( ) ( )4,10,1 =T e ( ) ( )2,31,0 =T , logo a matriz de T é 
2224
31
x
A 





= . Nesta notação, 
a transformação é interpretada como a multiplicação de A por v : 
 












=





+
+
y
x
24
31
2y4x
3yx
 
 
Por exemplo, ( ) ( ) ( )6,41214,1311,1 =⋅+⋅⋅+=T ou 





=





+
+
=











6
4
24
31
1
1
24
31
. 
3) 33: RRT → definida por ( ) ( )yxzyxzyxzyxT −++++= ,2,,, . Na base canônica do 3R , a matriz 
de T é 










−
=
011
211
111
A . 
4 
 
4) A transformação linear 33: RRT → tem representação matricial igual a 










−−
420
321
401
. Calcule 
( )7,4,1T . 
Solução: ( )7,4,1Tw = ; 










−=




















−−=
36
14
29
7
4
1
420
321
401
w . Logo, ( ) ( )36,14,297,4,1 −=T ou, como vetor-
coluna, 










−=
36
14
29
w . 
 
5) Seja 22: RRT → uma transformação linear tal que ( ) ( )5,20,1 =T e ( ) ( )1,41,0 −=T . Calcule ( )yxT , . 
Solução: na base canônica, ( ) ( ) ( )1,00,1, yxyx += . 
 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,45,21,00,11,00,1, −+=+=+= yxyTxTyxTyxT 
 ( ) ( )yxyxyxT +−= 5,42, 
A matriz de T é a matriz 




 −
=
15
42
A . Observe que as colunas da matriz A são as imagens dos vetores 
da base canônica. Esta propriedade vale em geral. 
 
Exercícios 
 
1) Seja 22: RRT → dada por ( ) ( )yyxyxT ,2, += . Calcule ( )0,0T , ( )0,1T , ( )1,1T e ( )1,0T . 
 
2) Seja 22: RRT → a transformação linear ( ) ( )yxyxyxT 5,22, +−+= . Calcule o(s) vetor(es) ( )yxv ,= 
tais que ( ) ( )0,0, =yxT . 
 
3) Seja 22: RRT → a transformação linear ( ) ( )yxyxyxT 5,22, +−+= . Calcule: ( )0,0T , ( )1,1T e 
( )( )4,2TT . Pense em uma maneira prática para calcular ( )( )4,2TT . 
 
4) Considere as transformações 221 : RRT → , ( ) ( )yxyxyxT 5,22,1 +−+= e 222 : RRT → , 
( ) ( )yxyxyxT 2,,2 −+= . Calcule: ( )( )4,321 TT ; ( )( )4,322 TT ; ( )( )( )( )4,32222 TTTT . Pense em uma 
maneira prática para efetuar este cálculo. 
 
5) Considere a transformação linear 33: RRT → tal que ( ) ( )0,1,30,0,1 −=T , ( ) ( )1,2,20,1,0 −=T e 
( ) ( )1,0,11,0,0 −=T 
a) Determine ( )zyxT ,, . 
b) Calcule ( ).0,1,13T 
5 
 
Respostas: 
 
1) ( ) ( )0,00,0 =T ; ( ) ( )0,10,1 =T ; ( ) ( )1,31,1 =T e ( ) ( )1,21,0 =T . 
2) O único vetor cuja imagem é o vetor nulo é o vetor nulo. 
3) ( ) ( )0,00,0 =T ; ( ) ( )4,41,1 =T ; ( )( ) ( )78,604,2 =TT . Se A é a matriz de T , basta fazer 2A multiplicado 
por ( )4,2=u . 
4) ( )( ) ( )32,44,321 −=TT ; ( )( ) ( )17,24,322 =TT ; ( ) ( )83,134,342 −=T . Se A é a matriz de T , basta fazer 
4A multiplicado por ( )4,2=u . 
5) 
a) ( ) ( )zyyxzyxzyxT −−+−++= ,2,23,, 
b) ( ) ( )3,22,420,1,13 −=T