Aula4 OndasII

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Aula-4 
 Ondas II 
Física III, 1º semestre, 2016 
Baseado em: www.ifi.unicamp.br 
 INFRASOM: f < 20 Hz 
 SOM: audição humana : 20 Hz < f < 20.000 Hz 
 ULTRASOM: f > 20,000 Hz 
 No ar: vsom ~ 340 m/s → λ : 1,7 cm a 17 m ; v = λ f 
: Tubo aberto 
 (CNTP) 
Bulk Modulus 
(B) [Pa] 
Density (ρ) 
[kg/m3] 
Water 2.2×109 1000 
Methanol 8.23×108 424 
Air (Adiabatic) 1.42×105 ~ 1,21 
Air (Constant Temp.) 1.01×105 ~ 1,21 
No ar (adiabático): 
Na água: 
Em sólidos a velocidade atinge valores da ordem de 3000 m/s ! 
€ 
u x, t( ) = um cos kx −ωt( )Deslocamento: 
€ 
um << λ
Variação de 
pressão : 
(Demonstrar!) 
€ 
p(x, t) = pm sin(kx −ωt)
€ 
1
v 2
∂2u
∂t 2 −
∂2u
∂x 2 = 0
Equação de Onda: 
€ 
u
€ 
u
€ 
um
€ 
um
Se: φ = n (2π) → Amplitude = 2A → Interferência construtiva 
Daí: 
Se: φ = (2n + 1)π → Amplitude = 0 → Interferência destrutiva 
Como: 
(Para som é o mesmo que ondas em cordas !) 
€ 
I = PA =
1
2ωum pm
Força sobre um elemento do fluido: 
€ 
P(x, t) = F ∂u(x, t)
∂t =ωAum pm sin
2 kx −ωt( )Potência: 
Intensidade: 
€ 
I = 12 ρvω
2um2
€ 
F = p(x, t)A = pmAsin(kx −ωt)
€ 
; pm = (vρω)um
€ 
um << λ
€ 
u x, t( ) = um cos kx −ωt( )
€ 
P (x, t) =ωAum pm sin2 kx −ωt( )
€ 
P (x, t) = 12ωAum pm
€ 
u
€ 
um
€ 
um
Energia transportada pelas ondas 
  Intensidade (I ) de 
uma onda: É a 
potência transportada 
por unidade de área 
perpendicular ao 
fluxo de energia. 
€ 
I = P A =
1
2 ρvω
2um2
  No caso de ondas esféricas a energia flui para todas 
as direções. A intensidade fica: 
Audição humana 
•  O ouvido humano pode detectar sons com amplitude de 
deslocamento tão baixa quanto 10-11 m (limiar de audibilidade) 
e tão alta quanto 10-5 m (limiar da dor). 
•  Para sons com f ~ 1,1 kHz (ω ~ 6,91×103 rad/s) e considerando as 
propriedades típicas do ar (CNTP) : ρ ~ 1,3 kg/m3 e v ~ 340 m/s, a 
intensidade será: 
€ 
I = P A =
1
2 ρvω
2um2
•  Ou seja, o ouvido humano pode detectar uma enorme variação 
de intensidade sonora: 
Audição humana 
•  É conveniente definirmos a medida do nível sonoro, β , como: 
Onde dB é a abreviação para decibel. 
1 dB = 0,1 B ; sendo B (bel) a unidade de nível sonoro. 
Assim: 
O decibel 
160 - 
150 - 
140 - 
130 - 
120 - 
110 - 
100 - 
90 - 
80 - 
70 - 
60 - 
50 - 
40 - 
30 - 
20 - 
10 - 
0 - 
Limiar da dor 
Máximo de um piano 
94 dB SPL, teste de sensibilidade de microfones 
Violão dedilhado (a 30 cm) 
74 dB SPL, teste de sensibilidade de microfones 
Bate papo normal 
Cochicho 
Nível de ruído em um estúdio de gravação 
Limiar da audição para jovens (I ~ 10-12 watt/m2) 
dB 
Turbina de avião; Caixa de bateria a 10 cm 
Som de uma banda de rock 
Sons musicais 
•  Os instrumentos de corda produzem ondas estacionárias para 
certos valores de comprimentos de onda. Nesta situação de 
ressonância a corda oscila com grande amplitude, produzindo 
assim um som audível. 
•  Nos instrumentos de sopro as ondas se propagam no interior 
de um tubo, que pode ser aberto nas duas extremidades ou 
somente em uma. Cada caso permitirá a ocorrência de ondas 
estacionárias que produzem sons ressonantes, com oscilações 
do ar em grandes amplitudes. 
Ondas estacionárias: tubos 
: Closed 
: Open 
Ondas estacionárias: tubos abertos 
←●→ ● ←●→ 
(Descrição feita em termos 
dos deslocamentos de ar. A 
variação de pressão tem um 
comportamento oposto) 
D
is
pl
ac
em
en
t 
 Displacement 
 Displacement 
Ondas estacionárias em tubos com 
uma extremidade fechada 
● ←●→ ←●→ 
(Descrição feita em termos 
dos deslocamentos de ar. A 
variação de pressão tem um 
comportamento oposto) 
Não tem harmônicos pares! 
D
is
pl
ac
em
en
t 
 Displacement 
 Displacement 
Ondas estacionárias: órgãos 
•  Tubos de órgão : Qual é a freqüência fundamental e os três 
primeiros harmônicos de um tubo de órgão de 26 cm de 
comprimento a 20ºC, se ele for (a) aberto ou (b) fechado? 
(a)  Harmônico fundamental: 
Três primeiros harmônicos: 1320 Hz, 1980 Hz, 2640 Hz. 
(b) Harmônico fundamental: 
Três primeiros harmônicos (apenas ímpares: 990 Hz, 1650 Hz, 
2310 Hz. 
Altura 
  Quanto maior a frequência, mais agudo é o som; sons 
mais graves correspondem a frequências mais baixas 
Timbres 
Nota emitida por 
diferentes instrumentos 
  Quando um instrumento 
emite uma nota musical, 
várias ondas harmônicas são 
superpostas, produzindo 
uma onda resultante 
diferente de uma senóide. 
  Esta característica de cada 
instrumento é chamada de 
timbre, permitindo sua fácil 
identificação pelo ouvido 
humano. 
Séries de Fourier 
Ondas Compostas 
Análise Harmônica 
•  Gráfico do resultado de uma análise harmônica 
 “Espectro”:mostrada 
–  Freqüência do Harmônico: eixo horizontal 
–  Amplitude do Harmônico: eixo vertical 
–  Fase do Harmônico: não 
3 
5 7 
1 
Ondas Compostas 
Ouvido humano 
Ouvido externo 
Ondas estacionárias e ressonância 
“atuador" 
Análise de Fourier 
Cóclea 
•  A cóclea funciona 
como um analisador 
de freqüências! 
Batimento 
•  Batimentos – variação periódica da Intensidade de duas 
ondas que se interferem 
•  A frequência de batimento é igual à diferença na frequência 
das duas ondas. 
Batimento 
+ 
•  Se: y1 = 330 Hz 
 330 Hz + 331 Hz (resulta em uma freqüencia de batimento de 2 Hz.) 
 330 Hz + 340 Hz (resulta em uma freqüencia de batimento de 20 Hz.) 
•  Batimentos são usados para afinar instrumentos. A freqüência desejada 
é comparada com a freqüência do instrumento. Se um batimento é 
ouvido, significa que o instrumento está desafinado. Quanto maior a 
freqüência de batimento, mais desafinado estará o instrumento. 
•  É a mudança na frequência da onda devida ao movimento 
relativo entre a fonte e observador. 
•  A variação na frequência da onda é notada, pois a altura 
do som muda. 
Efeito Doppler do Som 
•  Fonte parada, Detector com 
velocidade u 
u F 
λ0 
v0 
A frequência aumenta! 
+ aproximação 
- afastamento 
Efeito Doppler do Som 
•  Fonte se aproximando com velocidade 
V e Detector parado: 
Em termos de frequências: 
Efeito Doppler do Som 
•  Fonte se aproximando ou afastando com velocidade V 
com Detector parado: 
- aproximação 
+ afastamento 
Caso geral: 
Efeito Doppler do Som 
Questão 
Um apito de trem em repouso tem uma 
frequência de 3000 Hertz. Se você está 
parado e percebe uma frequência de 
3010 Hertz, então você conclui que... 
–  a) O trem está se distanciando de você. 
–  b) O trem está se aproximando de você. 
–  c) O som do apito ecoou. 
–  d) Não é dada informação suficiente. 
* 
 
•  Subsônico: Mais lento que a 
velocidade do som 
•  Supersônico: Mais rápido que a 
velocidade do Som 
•  Número Mach = 
Velocidade do Som 
Velocidade do objeto 
Velocidade do som 
Ondas de choque - Número de Mach 
Mach 0 
Mach 0,7 
Mach 1 
Mach > 1 
Ondas de choque - cone de Mach 
Onda de Choque 
(A redução brusca da pressão do ar fez com que moléculas de 
vapor d´água se condensassem, formando uma nuvem) 
Moysés: 2, 5, 9 , 12, 13 e 14 
Halliday: 23, 46,48, 53, 66 e 69 
Lista de Exercícios 
Exercícios 
Moysés 
Exercícios 
Moysés 
Exercícios 
Halliday 
49. Uma das frequências harmônicas do tubo A, que possui as duas 
extremidades abertas, é 325 Hz. A frequênciasharmônica seguinte é 390 
Hz. (a) Qual é a frequência harmônica fundamental? (b) Qual a frequência 
harmônica que se segue à frequência harmônica de 195 Hz? (c) Qual é o 
número desse harmônico? 
Uma das frequências harmônicas do tubo B, com apenas uma das 
extremidades aberta, é 1080 Hz. A frequência harmônica seguinte é 1320 
Hz. (d) Qual é a frequência harmônica fundamental? (e) Qual a frequência 
harmônica que se segue à frequência harmônica de 600 Hz? (f) Qual o 
número deste harmônico?