Unidade 2 EAD

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Unidade 2 EAD
1-Verificar se os pontos P1( 5,-5,6 ) e P2( 4,-1,12 ) pertencem a reta r: x-3/-1=y+1/2=z-2/-2?
P1 = (5, - 5, 6) e P2 = (4, - 1, 12) 
r: (x - 3)/-1 = (y + 1)/2 = (z - 2)/-2 
substituo P1 em r 
(5 - 3)/-1 = - 2; (- 5 + 1)/2 = - 2; (6 - 2)/-2 = - 2 portanto P1 pertence à r 
substituo P2 em r 
(4 - 3)/-1 = -1; (-1 + 1)/2 = 0 portanto P2 não pertence à r 
ou também por meio das equações paramétricas da reta 
x = 3 - k 
y = - 1 + 2k 
z = 2 - 2k 
verificando P1 nas equações 
5 = 3 - k → k = - 2 
- 5 = - 1 + 2k → 2k = - 4 → k = - 2 
6 = 2 - 2k → 2k = - 4 → k = - 2 portanto P1 pertence à reta (k = - 2, nas tres equações) 
verificando P2 nas equações 
4 = 3 - k → k = - 1 
- 1 = - 1 + 2k → 2k = 0 → k = 0 portanto P2 não pertence à r (k diferentes nas equações)
2- Seja o plano π :2x-y+3z+1=0 calcular: o ponto de π que tem abscissa 4 e ordenada 3?
abscissa ( eixo x) 
ordenada (eixo y) 
2(4) - 3+ 3z +1 = 0 
8-3+1 -3z=0 
6-3z=0 
2-z=0 
z=2 
então o ponto é ( 4,3,2)
3- Estabelecer equaçoes parametricas do plano determinado pelos pontos A(1,1,0) B(2,1,3) e C(-1,-2,4)?
AX = OA + s•AB + t•AC 
AX = (1, 1, 0) + s(2-1, 1-1, 3-0) + t(-1-1, -2-1, 4-0) 
(x, y, z) = (1, 1, 0) + ( s, 0, 3s) + (-2t, -3t, 4t) 
x = 1 + s – 2t 
y = 1 -3t 
z = 3s + 4t
	 π1: x + 2y + z – 10 = 0
	 e π2: 2x + y - z + 1 = 0
4-Determinar o ângulo entre os planos 
θ = 60°
5- Determine o valor de z para que os pontos A(z,-1,5), B (7,2,1), C (-1,-3,-1) e D(1,0,3) sejam coplanares.?
Nesse problema, iremos utilizar o conhecimento de vetores aplicando o produto misto. Em vetores, calcular o produto misto (sempre de 3 vetores no R³) é equivalente a achar o volume de um sólido. A exigência do exercício é que os pontos devem ser coplanares, por consequência seus vetores também serão assim concluímos que se seus vetores estão no mesmo plano, eles nunca formarão um sólido, portanto o volume será igual à zero. 
A fórmula do produto misto entre 3 vetores (no R³, ou seja, que possuem 3 coordenadas) "p", "q" e "r" é dada por: 
p = (x1, y1, z1) 
q = (x2, y2, z2) 
r = (x3, y3, z3) 
[ p,q,r ] = | x1..y1..z1 | -----> isso é o mesmo que a determinante de uma matriz 3x3 
..............| x2..y2..z2 | 
..............| x3..y3..z3 | 
Basta igualar o produto misto à zero. 
Primeiro devemos achar os vetores, por comodidade, farei vetores partindo de D, assim teremos 3 vetores: DA, DB e DC. 
DA = A - D = (z, - 1, 5) - (1, 0, 3) = (z - 1, - 1, 2) 
DB = B - D = (7, 2, 1) - (1, 0, 3) = (6, 2, - 2) 
DC = C - D = (- 1, - 3, - 1) - (1, 0, 3) = (- 2, - 3, - 4) 
Como os vetores são coplanares, então temos que: 
================ 
[ DA, DB, DC ] = 0 
================ 
[ DA, DB, DC ] = | (z - 1)..(- 1)..(2) | = 0 
.........................| (6).......(2)...(- 2) | 
.........................| (- 2)..(- 3)...(- 4) | 
Fazendo a determinante, temos que: 
- 8z + 8 - 4 - 36 + 8 - 6z + 6 - 24 = 0 
- 14z - 42 = 0 
14z = - 42 
====== 
z = - 3 
====== 
Resposta: 
====== 
z = - 3 
======
6- O ponto P(2, y, z) pertence à reta determinada por A(3, -1, 4) e B(4, -3, -1). Calcular P.
 AB=(1, -2, -5) --> Reta AB: (x-3)/1 = (y+1)/(-2)= (z-4)/(-5) --> 
P€ Reta AB: (2-3)/1 = (y+1)/-2 = (z-4)/-5 ==> 
(y+1)/-2 = -1 -->y=1 
(z-4)/-5 = -1 --> z=9 
==> P(2, 1, 9) 
7- Determinar o ponto da reta que tem abscissa 4. R: x= 2-t ; y= 3+t ; z = 1-2t.
 x = 4 
4 = 2 - t 
t = - 2 
com isso, y = 3 - 2 = 1 e z = 1 + 4 = 5 
Logo, o ponto é (4 , 1 , 5)
8- Determinar a equação geral do plano que é paralelo ao plano π : 2x - 3y - z + 5 = 0 e que contem o ponto A( 4 , - 1 , 2 ).
Como o plano a ser determinado é paralelo ao plano π : 2.x - 3.y - 1.z + 5 = 0, então o seu vetor normal será igual ao vetor normal de π que é n = ( 2 , - 3 , - 1 ) , logo a equação do plano a ser determinada será da forma: 
2.x - 3.y - 1.z + d = 0 
Como contém o ponto A( 4 , - 1 , 2 ), vem; 
2.4 - 3.( - 1 ) - 1.2 + d = 0 
8 + 3 - 2 + d = 0 
9 + d = 0 ⇒ d = - 9 
Portanto, a equação geral do plano procurado é: 
R ──────────► π₁ : 2x - 3y - z - 9 = 0 
9- Determinar as equações reduzidas, tendo z como variável independente, da reta que passa pelos pontos P1 (-1,0,3) e P2 (1,2,7).
 Vector director = 
= P2 - P1 = 
= (1,2,7) - (-1,0,3) = 
= (2,2,4) 
Para calcular as equações reduzidas de uma recta é necessário um ponto e o seu vector director. 
P2(1,2,7) v(2,2,4) 
Equações reduzidas da recta: 
(x-1)/2 = (y-2)/2 = (z-7)/4 
Como z é a variável independente: 
(x-1)/2 = (z-7)/4 
(y-2)/2 = (z-7)/4 
4x - 4 = 2z - 14 
4y - 8 = 2z - 14 
4x = 2z - 10 
4y = 2z - 6 
2x = z - 5 
2y = z - 3 
x = (z-5)/2 
y = (z-3)/2 
Assim, as equações reduzidas da recta tendo z como variável independente, são: 
x = (z-5)/2 
y = (z-3)/2 
10- Determinar a equação da reta que passa por A(1,-2,4) e é paralela ao eixo x.
Se é paralela ao eixo x então o coeficiente angular é zero. 
y - yo = m(x-xo) 
y +2,4 = 0(x-1) 
y + 2,4 = 0 
y = -2,4