TCC FINAL

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TASSIA MELO

08/12/2017

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Cálculo Estrutural

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UNIVERSIDADE DE ITAÚNA
FACULDADE DE ENGENHARIA

Allan Kaio Mendonça
Bianca Stéfanie Pinto
Cristiano Avelino Lima
Gislânia Maria Machado
Jhonatam Iury Parreiras Maciel
Laíza Maira da Silva
Rafaella Thalita de Castro Dirino
Tássia Melo Tavares
Thais Aparecida Chaves Otoni

COMPARATIVO DE MODELOS DE CÁLCULO PARA
DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES PARA LAJES:
Modelos elástico, plástico-rígido e via elementos finitos

Itaúna
2016

COMPARATIVO DE MODELOS DE CÁLCULO PARA
DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES PARA LAJES:
Modelos elástico, plástico-rígido e via elementos finitos

Trabalho de conclusão de curso apresentado
ao Curso de Engenharia Civil da Universidade
de Itaúna, como requisito parcial para
obtenção do título de bacharel em
Engenharia Civil.
Orientador: Elves Lincoln Faria

Itaúna
2016

COMPARATIVO DE MODELOS DE CÁLCULO PARA
DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES PARA LAJES:
Modelos elástico, plástico-rígido e via elementos finitos

_______________________________________________________________
Prof. Elves Lincoln Faria – Universidade de Itaúna

_______________________________________________________________
Prof. Daniel Rodrigues Rezende Neves – Universidade de Itaúna

_______________________________________________________________
Prof. Pedro Antônio Abrantes Cardoso – Universidade de Itaúna

_______________________________________________________________
Prof. Tiago de Morais Faria Novais – Universidade de Itaúna

Itaúna – MG, 9 de novembro de 2016.

Dedicamos este trabalho às nossas
famílias, aos amigos que compartilharam
esta experiência e a todos que
contribuíram de alguma forma para que
este trabalho fosse realizado.

AGRADECIMENTOS

Agradecemos a Deus, pelo dom da vida e por ter nos dado saúde e proteção durante
o desenvolvimento deste trabalho, guiando-nos e fazendo com que as dificuldades
enfrentadas fossem conduzidas com muita paciência.

À Universidade de Itaúna pela oportunidade de pesquisa.

Ao prof. Ms. Elves Lincoln Faria, pelos valiosos ensinamentos que foram fundamentais
para a elaboração deste trabalho e pela nossa formação acadêmica.

Ao prof. Ms. Daniel Rodrigues Rezende Neves pelo apoio e orientação na elaboração
deste trabalho.

Aos nossos familiares por nos mostrarem o melhor caminho com muito amor e
compreensão, e que por muitas vezes entenderam nossa ausência.

A todos os nossos amigos que de alguma forma contribuíram para a realização deste
trabalho.

“A mente que se abre a uma nova ideia
jamais voltará ao seu tamanho original."
Albert Einstein (1879-1955)

RESUMO

Este trabalho tem por finalidade apresentar um comparativo de modelos de cálculo
para a determinação dos esforços solicitantes em lajes maciças. São utilizados três
métodos e teorias de cálculo: o método elástico através de funções aproximadas e
tabelas de Bares; O método plástico-rígido através da teoria das charneiras plásticas
e tabelas de Tepedino, e por fim via elementos finitos, com a utilização do software
SAP2000. Utilizando em todas as metodologias a norma NBR 6118:2014 – Projeto de
estruturas de concreto: Procedimento. A partir dos resultados obtidos realiza-se o
comparativo entre os modelos de cálculo. As teorias aplicáveis, bem como o histórico
dos métodos e os cálculos estão abordados neste trabalho. Ao concluir o comparativo
e autenticar os processos de cálculo, admite-se que o software atenda sua proposição
e seja viável e que os métodos simplificados apesar de serem trabalhosos atendam
as condições de dimensionamento previstas em norma.

Palavras-chave: Comparativo. Método elástico. Método Plástico-rígido. Método via
elementos finitos.

ABSTRACT

The objective of this study is to present a comparative of calculation models for the
determination of bending moments and vertical displacements in solid flat slabs. Three
methods and theories of calculation are used: The Elastic Analysis method through
approximate functions and Bares tables; The Plastic-Rigid method through the plastic
hinges theory and Tepedino tables, and finally via Finite Elements, using the SAP2000
software. The Brazilian standard “NBR 6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto:
Procedimento” is used as base for the three methods. From the obtained results it is
made the comparative between the three models of calculation. The applicable
theories, as well as the history of the methods and the calculations are addressed in
this study. After completing the comparative and authenticated the calculation
processes, it is accepted that the software meets its proposition, and that the simplified
methods, despite being laborious, meet the standard stipulation conditions.

Keywords: Comparison. Elastic Analisys. Plastic-Rigid Theory. Finite Element
Method.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 - Diagrama Tensão-Deformação mostrando a deformação elástica linear para
ciclos de carga e descarga. ....................................................................................... 25
Figura 2 - Diagrama Tensão-Deformação mostrando a deformação elástica não linear
para módulos secante e tangente. ............................................................................ 26
Figura 3 - Fatores que interferem no módulo de elasticidade do concreto. ............... 27
Figura 4 - Representação do modelo estrutural com carregamento (g). ................... 29
Figura 5 - Definições das rotações. ........................................................................... 30
Figura 6 - Representação dos eixos de referência. ................................................... 33
Figura 7 - Campo de deslocamento segundo a Teoria Reissner-Mindlin. ................. 33
Figura 8 - Discretização das lajes. ............................................................................ 37
Figura 9 - Situação de vinculação de lajes ................................................................ 39
Figura 10 - Descrição dos Momentos ........................................................................ 49
Figura 11 - Reações de apoio para lajes retangularesarmadas em cruz. ................ 56
Figura 12 - Representação em planta das reações e momentos finais das lajes -
Regime Elástico. ....................................................................................................... 64
Figura 13 - Problema de Galillei e sua consideração de tração uniformemente
distribuída na seção. ................................................................................................. 65
Figura 14 - Comportamento dos materiais elasto-plásticos (a) e plástico-rígido (b). . 70
Figura 15 - Exemplos de configurações possíveis em lajes. ..................................... 72
Figura 16 - Configurações de ruína de lajes com contorno poligonal e curvíneo. ..... 73
Figura 17 - Sistema de faixas. ................................................................................... 77
Figura 18 - Valor máximo na faixa central e valores decrescentes em direção ao apoio
de maneira não-linear. .............................................................................................. 78
Figura 19 - Representação em planta dos momentos finais da laje. ......................... 83
Figura 20 - Tipos de Elementos Finitos. .................................................................... 89
Figura 21 - Malha estrutural de lajes. ........................................................................ 90
Figura 22 - Refinamentos do tipo “h” e “p” ................................................................ 91
Figura 23 - Elemento finito unidimensional de dois nós. ........................................... 92
Figura 24 - Gráfico das funções N1(x) e N2(x). ......................................................... 93
Figura 25 - Elemento finito unidimensional sujeito a uma ação axial uniformemente
distribuída. ................................................................................................................. 95
Figura 26 - Desenho da laje em planta ..................................................................... 96

Figura 27 - Inserção das propriedades do Concreto Armado C25 ............................ 97
Figura 28 - Definição da altura e comportamento da laje .......................................... 98
Figura 29 - Viga de seção 20x100 cm ....................................................................... 99
Figura 30 - Viga de seção 20x50 cm ....................................................................... 100
Figura 31 - Viga de seção 20x20 cm ....................................................................... 100
Figura 32 - Definição das cargas utilizadas ............................................................. 101
Figura 33 - Definição dos casos de cargas ............................................................. 101
Figura 34 - COMB1 Combinação de pior situação .................................................. 102
Figura 35 - COMB2 Situação considerando apenas o peso próprio da estrutura ... 102
Figura 36 - COMB3 Situação de serviço ................................................................. 103
Figura 37 - Carregamentos atuantes na área da laje .............................................. 104
Figura 38 - Momentos Máximos na direção Y (caso 20x100 cm) ............................ 105
Figura 39 - Momentos Máximos em torno do eixo X (caso 20x100 cm) .................. 106
Figura 40 - Momentos Máximos na direção Y (caso 20x50 cm) .............................. 107
Figura 41 - Momentos Máximos na direção X (caso 20x50 cm) .............................. 108
Figura 42 - Momentos Máximos na direção Y (caso 20x20 cm) .............................. 109
Figura 43 - Momentos Máximos na direção X (caso 20x20 cm) .............................. 110
Figura 44 - Deslocamentos verticais (caso 20x100 cm) .......................................... 111
Figura 45 - Deslocamentos verticais (caso 20x50 cm) ............................................ 112
Figura 46 - Deslocamentos verticais (caso 20x20 cm) ............................................ 113

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Condições de fronteira para as lajes de Reissner-Mindlin. ...................... 35
Tabela 2 - Cobrimento Nominal ................................................................................. 40
Tabela 3 - Classe de Agressividade Ambiental ......................................................... 41
Tabela 4 - Pré-dimensionamento da Laje ................................................................. 42
Tabela 5 - Valores mínimos para cargas verticais ..................................................... 45
Tabela 6 - Cálculo das Cargas Atuantes ................................................................... 46
Tabela 7 - Cálculo dos Momentos ............................................................................. 47
Tabela 8 - Valores de μ para cálculo dos momentos fletores. ................................... 48
Tabela 9 - Compatibilização dos Momentos Negativos ............................................. 50
Tabela 10 - Compatibilização dos Momentos Positivos ............................................ 50
Tabela 11 - Deslocamentos-Limites .......................................................................... 51
Tabela 12 - Valores de αi. ......................................................................................... 52
Tabela 13 - Valores de α. .......................................................................................... 53
Tabela 14 - Valores do coeficiente 𝝃em função do tempo ......................................... 54
Tabela 15 - Cálculo e Verificação das Flechas ......................................................... 55
Tabela 16 - Reações de apoio das lajes. .................................................................. 57
Tabela 17 - Reações de apoio em lajes com cargas uniformes. ............................... 58
Tabela 18- Coeficientes adimensionais para dimensionamento à flexão. ................. 61
Tabela 19 - Área da seção de barras As (cm²). ......................................................... 62
Tabela 20 - Área da seção de barras por metro de largura as. ................................. 63
Tabela 21 - Valores de ρmin ..................................................................................... 63
Tabela 22 - Cálculo das armaduras longitudinais (negativo) ..................................... 63
Tabela 23 - Cálculo das Armaduras Longitudinais Em X (Positivo) .......................... 64
Tabela 24 - Cálculo das Armaduras Longitudinais Em Y (Positivo) .......................... 64
Tabela 25 - Momentos fletores, regime plástico-rígido, carga uniforme. ................... 80
Tabela 26 - Dimensionamento à flexão método plástico-rígido. ................................ 82
Tabela 27 - Valores finais de cálculo para os concretos e aços usuais. ................... 83

LISTA DE ABREVIATURAS

ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas
ASTM – American Society for Testing and Materials
CAA – Classe de agressividade ambiental
COPPE – Centro de Pesquisa em Engenharia
EMBRAER – Empresa Brasileira de Aeronáutica
EUA – Estados Unidos da América
ITA – Instituto Tecnológico Aeronáutico
MEF – Método de Elementos Finitos
MPa – Mega Pascal
NBR – Norma Brasileira Regulamentadora
PNI – Política Nacional de Informática
PUC-Rio – Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
SAP2000 – Structural Analysis Program
SEI – Secretaria Especial de Informática
UFRJ – Universidade Federal do Rio de Janeiro
USP – Universidade de São Paulo

LISTA DE SÍMBOLOS

Letras minúsculas

a – Distância ou dimensão – Deslocamento máximo (flecha)
ai – Flecha imediata
at – FlechaTotal
a1– Flecha Limite
b – Dimensão ou distância - Largura
bw – Largura da alma de uma viga
c – Cobrimento da armadura em relação à face do elemento
𝑑 – Dimensão ou distância - Altura útil
e- Excentricidade de cálculo oriundo de esforços solicitantes MSd e NSd
f – Resistência
𝑓𝑐 – Resistência à compressão simples do concreto
𝑓𝑐𝑘 – Resistência à compressão característica do concreto
𝑓𝑐𝑡 – Resistência à tração
h – Dimensão ou distância - Altura
ℓ𝑥 – Menor vão da laje
ℓ𝑦 – Maior vão da laje
ℓ∗– Maior vão entre ℓ𝑥 (menor vão) e 0,7∙ℓ𝑦
k – Coeficiente
s – Espaçamento das barras da armadura

Letras maiúsculas

A – Área da seção cheia
Ac – Área da seção transversal do concreto
As – Área da seção transversal da armadura longitudinal
A’s – Área da seção da armadura longitudinal de compressão
D – Diâmetro dos pinos de dobramento das barras de aço
E – Modulo de elasticidade
EI – Rigidez
ELS – Estado de limite de serviço

ELU – Estado de limite último
F – Força – Ações – Flechas
Gc – Módulo de elasticidade transversal do concreto
H – Altura
K – Coeficiente
M – Momento
MDF – Método das diferenças finitas
MEC – Método dos elementos de contorno
MEF – Método dos elementos finitos
MRd – Momento fletor resistente de cálculo
MSd – Momento fletor solicitante de cálculo
Nd – Força normal de cálculo
NRd – Força normal resistente de cálculo
NSd – Força normal solicitante de cálculo
R – Reações de apoio

Letras Gregas

α – Parâmetro de instabilidade – Coeficiente – Fator que de define as condições de
vínculos de apoio
𝜀 – Deformação específica
𝜀𝑐 – Deformação específica do concreto
𝜀𝑝 – Deformação específica da armadura ativa
𝜀𝑠 – Deformação específica do aço da armadura passiva
𝜆 – Índice de esbeltez
𝜌 – Taxa geométrica da armadura longitudinal de tração
𝜌𝑐 – Massa específica do concreto
𝜌𝑚í𝑛 – Taxa geométrica mínima de armadura longitudinal de vigas e pilares
𝜌𝑠 – Taxa geométrica de armadura aderente passiva
𝜎𝑐 – Taxa de compressão do concreto
𝜎𝑐𝑡 – Tensão de tração do concreto
𝜎𝑅𝑑 – Tensões normais resistentes de calculo
𝜎𝑠 – Tensão normal de aço da armadura passiva

𝜎𝑆𝑑 – Tensão normais solicitantes de cálculo
φ – Diâmetro das barras da armadura
Ф – Coeficiente de fluência
𝝃 – Coeficiente em função do tempo
∆𝑐 – Variação na espessura do cobrimento

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1 - Aproximação por funções contínuas por partes ...................................... 94
Gráfico 2 - Comparativo dos momentos fletores positivos (x) ................................ 115
Gráfico 3 - Comparativo dos momentos fletores positivos (y) ................................ 116
Gráfico 4 - Comparativo dos momentos fletores negativos (x) ............................... 117
Gráfico 5 - Comparativo dos momentos fletores negativos (y) ............................... 118
Gráfico 6 - Comparativo dos deslocamentos........................................................... 119

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................... 19
1.1 Considerações Iniciais ................................................................................. 19
1.2 Objetivos ...................................................................................................... 21
1.2.1 Objetivo geral......................................................................................... 21
1.2.2 Objetivos específicos ............................................................................. 21
2 METODOLOGIA ................................................................................................ 22
3 MÉTODO ELÁSTICO ......................................................................................... 23
3.1 Conceitos Relacionados à Elasticidade ....................................................... 23
3.2 Breve Histórico ............................................................................................. 23
3.3 Deformação Elástica .................................................................................... 24
3.3.1 Lei de Hooke.......................................................................................... 24
3.3.2 Coeficiente de Poisson e Módulo de Elasticidade Transversal ............. 26
3.3.3 Módulo de Elasticidade do Concreto ..................................................... 27
3.4 Solicitações .................................................................................................. 28
3.4.1 Solicitações nas lajes conforme o método elástico................................ 28
3.4.2 Teoria das Placas .................................................................................. 28
3.4.3 Relação de espessuras ......................................................................... 29
3.4.4 Hipótese Simplificada de Kirchhoff ........................................................ 30
3.4.4.1 Equação de Lagrange ..................................................................... 31
3.4.5 Teoria de Reissner-Mindlin .................................................................... 32
3.4.5.1 Deformação das placas .................................................................. 33
3.5 Profundidade da linha neutra regime elástico .............................................. 36
3.6 Dimensionamento – Método Elástico ........................................................... 37
3.6.1 Cálculo Simplificado .............................................................................. 37
3.6.2 Classificação quanto à direção .............................................................. 37
3.6.3 Discretização das lajes .......................................................................... 38
3.6.4 Situação de vinculação das lajes ........................................................... 39
3.6.5 Espessuras e cobrimentos mínimos ...................................................... 39
3.6.5.1 Espessuras mínimas ....................................................................... 39
3.6.5.2 Cobrimentos mínimos ..................................................................... 40
3.6.6 Classe de agressividade ambiental ....................................................... 41
3.6.7 Pré-dimensionamento ............................................................................ 41

3.6.8 Altura útil ................................................................................................ 42
3.6.9 Altura total ............................................................................................. 42
3.6.10 Esforços ............................................................................................. 43
3.6.10.1 Carga permanente.......................................................................... 43
3.6.10.2 Carga acidental .............................................................................. 44
3.6.11 Momentos Fletores ............................................................................. 47
3.6.11.1 Determinação dos momentos fletores ............................................ 47
3.6.11.2 Compatibilização dos momentos obtidos ....................................... 49
3.6.12 Verificação das flechas ....................................................................... 51
3.6.12.1 Cálculo da Flecha Imediata ............................................................ 51
3.6.12.2 Cálculo da Flecha Diferida ............................................................. 54
3.6.12.3 Cálculo da flecha total ....................................................................55
3.6.13 Reações de apoio .............................................................................. 55
3.6.14 Dimensionamento das armaduras ...................................................... 58
4 MÉTODO PLÁSTICO-RÍGIDO ........................................................................... 65
4.1 Breve Histórico ............................................................................................. 65
4.2 Análise Plástica de Lajes de Edifícios .......................................................... 66
4.2.1 Conceitos Relacionados à Plasticidade ................................................. 66
4.2.2 Exposição Sumária Sobre o Cálculo Plástico ........................................ 67
4.2.3 Teorema do Limite Superior .................................................................. 68
4.2.4 Teorema do Limite Inferior ..................................................................... 68
4.2.5 Noções Sobre a Teoria das Charneiras Plásticas ................................. 69
4.2.6 Materiais Elasto-Plásticos e Materiais Plástico-Rígidos ........................ 69
4.2.6.1 Hipóteses de Cálculo ...................................................................... 70
4.2.6.2 Configurações das Charneiras ........................................................ 71
4.2.6.3 Tipos de Cálculo – Charneiras Plásticas ......................................... 73
4.2.7 Teoria e Método das Faixas de Hilleborg .............................................. 74
4.3 Profundidade da linha neutra regime plástico .............................................. 78
4.4 Dimensionamento – Método Plástico-Rígido ............................................... 79
4.4.1 Cálculo dos momentos fletores.............................................................. 79
4.4.2 Dimensionamento da armadura............................................................. 82
5 METÓDO DOS ELEMENTOS FINITOS............................................................. 84
5.1 Breve Histórico ............................................................................................. 84
5.2 Análise Via Elementos Finitos ...................................................................... 88
5.2.1 Malha de nós ......................................................................................... 90

5.2.2 Sensibilidade da malha .......................................................................... 91
5.2.3 Funções de forma .................................................................................. 92
5.2.4 Princípio do trabalho virtual ................................................................... 94
5.3 Dimensionamento – Método dos Elementos Finitos .................................... 95
5.3.1 Desenho da laje ..................................................................................... 95
5.3.2 Materiais ................................................................................................ 96
5.3.3 Altura da laje .......................................................................................... 97
5.3.4 Vigas ...................................................................................................... 98
5.3.5 Carregamentos .................................................................................... 101
5.3.6 Momentos ............................................................................................ 104
5.3.6.1 Laje apoiada em vigas 20x100 cm ................................................ 104
5.3.6.2 Laje apoiada em vigas 20x50 cm .................................................. 106
5.3.6.3 Laje apoiada em vigas 20x20 cm .................................................. 108
5.3.7 Deslocamentos Verticais ..................................................................... 110
5.3.7.1 Laje apoiada em vigas 20x100 cm ................................................ 111
5.3.7.2 Laje apoiada em vigas 20x50 cm .................................................. 111
5.3.7.3 Laje apoiada em vigas 20x20 cm .................................................. 112
6 COMPARATIVO ............................................................................................... 114
6.1 Comparativo dos momentos fletores máximos positivos ............................ 114
6.2 Comparativo dos momentos fletores negativos ......................................... 116
6.3 Comparativo dos deslocamentos verticais ................................................. 118
7 CONCLUSÕES ................................................................................................ 120
REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 122

1 INTRODUÇÃO

1.1 Considerações Iniciais

O concreto armado tem sido amplamente utilizado como solução estrutural para vários
tipos de estruturas. Quando comparado aos outros métodos têm um excelente custo-
benefício, facilidade de produção, trabalhabilidade e versatilidade. Em edifícios
executados em concreto armado, as lajes assumem grande importância como
elemento estrutural, pois tem a finalidade de receber as cargas dos pavimentos e
distribuí-las nas vigas e pilares.

É fundamental o conhecimento do comportamento das lajes em uma estrutura. O
cálculo estrutural de lajes apresenta várias teorias que foram desenvolvidas desde o
século XIX. As mais importantes são: A Teoria Clássica de Kirchhoff (1850), que
representa o comportamento de placas delgadas, sob a ação de carregamentos
transversais e a Teoria de Reissner-Mindlin, também conhecida como Teoria das lajes
espessas. Reissner (1945) e Mindlin (1951) que desenvolveram teorias semelhantes,
que levam em consideração a deformação por cisalhamento transversal, permitindo a
análise de placas delgadas e moderadamente espessas. Com o passar do tempo
surgiram os chamados Métodos Numéricos, que com a vinda dos computadores se
difundiram de maneira clara e objetiva. Os métodos que se destacam são: o Método
das Diferenças Finitas (MDF), o Método dos Elementos Finitos (MEF) e o Método dos
Elementos de Contorno (MEC). O desenvolvimento do Método dos Elementos Finitos
se tornou o mais utilizado em diversas áreas da engenharia. Atualmente é consolidado
em sistemas computacionais para análise de estruturas.

Iniciamos o estudo no capítulo 3, apresentando aspectos sobre o método elástico de
cálculo, conceitos e o histórico sobre a descoberta da elasticidade e a teoria das
estruturas de placas de modo que se compreenda a teoria elástica utilizada, suas
hipóteses, equações e teorias adotadas para utilização do método, contendo suas
suposições e análises descritas. Ainda neste capítulo realiza-se o dimensionamento
de lajes fictícias com a utilização do método. Ao fim do dimensionamento serão
retirados os valores das solicitações a serem comparados com os outros métodos no
capítulo 6.
20

No capítulo 4 apresentamos aspectos sobre o método plástico-rígido: histórico,
conceitos relacionados à plasticidade e uma exposição sumária sobre o cálculo
plástico. Em seguida, faz-se o dimensionamento das mesmas lajes calculadas no
capítulo 3, calculada com a utilização de tabelas e conceitos das normas relacionadas
ao plástico-rígido.

No capítulo 5 apresentamos o método via elementos finitos (MEF), sua funcionalidade,
histórico e a análise através de modelagem computacional utilizando o software
SAP2000, seguindo a norma NBR 6118:2014. Os resultados dos momentos e
deformações encontrados serão comparados com os métodos anteriores.

No capítulo 6, realiza-se o comparativo dos resultados dos momentos fletores e
deformações de cada métodoabortado, fazendo assim a análise de quais métodos
seriam viáveis para o cálculo de lajes em termos de precisão de cálculo e em termos
econômicos e comenta-se os fatores que causam as suas principais diferenças.

Ao final, apresentaremos as conclusões sobre este comparativo e sugestões para
futuras pesquisas relacionadas ao cálculo estrutural.

1.2 Objetivos

1.2.1 Objetivo geral

O objetivo deste trabalho é apresentar o comparativo de modelos de cálculo estrutural
para lajes maciças, afim de que no âmbito profissional, os mesmos tenham as
orientações necessárias para o tipo de metodologia utilizar e também para o meio
acadêmico, mostrando as formas de cálculo e o diferencial de cada.

1.2.2 Objetivos específicos

Os objetivos específicos deste estudo são:

 Apresentar a metodologia de cálculo relacionado a lajes maciças em concreto
armado, contemplando desde método simples e didático ao método
computacional.

 Descrever cada método e cálculo utilizados de forma a orientar o profissional
e também os acadêmicos.

 Demonstrar o comparativo entre os métodos para análise de resultados de
momentos e deformações dentre outros parâmetros necessários para o
cálculo de lajes maciças em concreto armado.

 Identificar a problemática e as limitações de cada método e quando sua
utilização é recomendada.

 Demonstrar os procedimentos, fórmulas e normas técnicas vigentes que foram
realizados no cálculo de cada metodologia.

 Apresentar o comparativo entre os métodos, suas conclusões e sugestões
para futuras pesquisas relacionadas ao cálculo estrutural.

2 METODOLOGIA

As fontes de consulta que foram utilizadas na elaboração deste trabalho são:
bibliografias, documentos e modelagem computacional.
A pesquisa possui a análise de um pavimento fictício com lajes de dimensões
predefinidas, elaborado pelos autores. Neste estudo, faz-se o comparativo entre os
resultados obtidos de modelos de cálculos para lajes, pretendendo-se identificar as
variáveis que compõem cada método e sua relação de dependência e identificando
suas eficácias na prática. Inicialmente, através de revisão bibliográfica fornecida por
livros, apostilas e artigos técnicos. Assuntos relacionados ao concreto armado,
elementos estruturais, lajes em concreto armado, métodos de dimensionamento:
elástico, plástico-rígido e via elementos finitos.
Definidas as dimensões das lajes fictícias, fez-se o cálculo dos esforços solicitantes
através dos métodos abordados. O dimensionamento pelo método elástico está
relacionado à teoria da elasticidade, onde o material apresenta comportamento
elástico-linear1 e relaciona a deformação elástica da placa de laje com a carga unitária.
Já o método plástico-rígido está relacionado ao diagrama tensão-deformação do
material constituinte da laje, sendo perfeito e com trecho sem deformações (rígido).
Por fim realizaremos o cálculo através dos elementos finitos com o auxílio do software
SAP2000 (versão estudantil), que se baseia em modelagem numérica.
A partir da posse dos valores dos esforços obtidos pelos métodos em questão, serão
realizadas as análises comparativas.

1Comportamento elástico-linear: O comportamento de um sólido tende a manter uma
proporcionalidade entre tensão e deformação, caracterizando no gráfico uma reta.
23

3 MÉTODO ELÁSTICO

3.1 Conceitos Relacionados à Elasticidade

Para todos os materiais são necessários o conhecimento de suas principais
características, dentre estas o módulo de elasticidade. A propriedade que relaciona a
deformação elástica é o modulo elástico obtido através de experimentos laboratoriais
que são minuciosamente delineados de acordo com as normas vigentes.

Na engenharia todos os materiais possuem propriedades elásticas. Para a
classificação destas propriedades é necessário que as forças externas atuantes no
material produzam deformações sem exceder ao limite elástico e ao cessar a atuação
dessas forças a deformação desaparece e o material volta a sua forma inicial,
admitindo-se que o material seja homogêneo e isotrópico e que as propriedades
elásticas são as mesmas em todas as direções.

3.2 Breve Histórico

Robert Hooke (1635–1703) foi o pioneiro em pesquisas relacionadas à elasticidade.
Em 1676 criara a lei fundamental da elasticidade que evidencia a relação entre a
tensão e deformação resultante em um corpo elástico, ao observar o comportamento
de uma mola. Nasceu assim a Lei de Hooke. Não existia, em sua época, o conceito
de tensão, que surgiu 150 anos depois com Cauchy. Ele resumiu os resultados de
suas experiências na forma desta lei. “Ut tensio sic vis”, a qual significa “Como há
deformação, assim há força” evidenciando a proporcionalidade dos termos.

Muitos anos depois, Thomas Young (1733–1829) formulou com base na lei de Hooke
uma formulação mais precisa, ao introduzir conceitos físicos definidos a serem
associados com “uma mudança de forma” e “força deformadora”. Chegando a noção
de módulo de elasticidade.

3.3 Deformação Elástica

Quando uma carga é aplicada em um material hipotético, este tende a mudar suas
dimensões e forma, tendo assim a deformação do mesmo. Entretanto, a deformação
elástica é aquela na qual quando a carga é retirada o material volta a seu estado inicial
(sem deformações residuais).

3.3.1 Lei de Hooke

O cientista pioneiro nos estudos de deformações elásticas e forças aplicadas fora
Robert Hooke (1635-1703) que desenvolveu a equação a seguir que ainda é utilizada
nos dias atuais:

𝜎 = Ε ∙ 𝜀 (equação 1)

Esta equação descreve a relação linear entre a tensão e deformação na região
estudada. A maioria dos materiais, relacionados à engenharia, apresentam
deformação elástica. A tensão sendo proporcional à deformação dentro da região
elástica, o material é chamado de elástico-linear. Essa característica é dada pela Lei
de Hooke (equação 1). A figura 1 mostra o diagrama tensão-deformação na região
elástica, onde a inclinação desse segmento linear é chamada de módulo de
elasticidade ou módulo de Young. O diagrama tensão-deformação pode ser curvo ou
retilíneo.

Figura 1 - Diagrama Tensão-Deformação mostrando a deformação elástica linear para ciclos de carga
e descarga.

Fonte: Ciência e Engenharia de Materiais: uma Introdução, 2002.

Alguns materiais possuem característica não linear, como o concreto. Para a
deformação elástica linear é possível determinar o módulo de elasticidade pela
inclinação da reta, já para a deformação não linear normalmente é usado o módulo
tangente ou módulo secante à curva.

O módulo secante reflete a inclinação de uma reta traçada desde a origem até um
ponto qualquer da curva tensão-deformação. Já o módulo tangencial é dado apenas
pela inclinação da curva tensão-deformação em um nível de tensão característico,
FIGURA 2.
26

Figura 2 - Diagrama Tensão-Deformação mostrando a deformação elástica não linear para módulos
secante e tangente.

Fonte: Ciência e Engenharia de Materiais: Uma Introdução, 2002.

3.3.2 Coeficiente de Poisson e Módulo de Elasticidade Transversal

O item 8.2.9 da ABNT NBR 6118:2014 cita:

Para tensões de compressão menores que 0,5 fc e tensões de tração
menores que fct, o coeficiente de Poisson ν pode ser tomado como igual a
0,2 e o módulo de elasticidade transversal Gc igual a 0,4 Ecs.

Coeficiente de Poisson está relacionado aos módulos elásticos e é definido pela
relaçãoentre deformação elástica transversal (εz e εy) e deformação axial
(longitudinal) (εx). Como segue:
ν = −
εz
εx
= −
εy
εx

(equação 2)

3.3.3 Módulo de Elasticidade do Concreto

O comportamento do concreto é classificado como não linear quando submetido a
tensões de compressão ou de tração, pelo fato de sua natureza ser considerada visco
elástica de pseudosólido. Diferente de outros materiais homogêneos, o
comportamento do concreto mostrado no diagrama tensão-deformação mostra que
esse material não segue a lei de Hooke e quase não apresenta proporcionalidade
entre tensão aplicada e a deformação específica resultante.

Segundo Mehta & Monteiro (2014), os fatores que afetam essa propriedade do
concreto estão apresentados abaixo. (FIGURA 3)

Figura 3 - Fatores que interferem no módulo de elasticidade do concreto.

Fonte: MEHTA & MONTEIRO, 2014.

Contudo, a determinação do valor do modulo de elasticidade, através de métodos de
ensaio de forma estática e dinâmica precisam das seguintes normatizações:

 A forma estática estando de acordo com a normatização brasileira ABNT NBR
8522:2008.
 A forma dinâmica estando de acordo com normas e métodos internacionais, a
partir do ensaio por impulso. Sendo a ASTM E1876-09 a norma necessária
para a sua realização.
28

3.4 Solicitações

3.4.1 Solicitações nas lajes conforme o método elástico

Para casos de carregamentos de pouca intensidade em que as lajes estão
submetidas, o conhecimento do comportamento da mesma se baseia na Teoria das
Placas em Regime Elástico.

Segundo LORIGGIO (2013), o aumento dos carregamentos na laje faz com que esta
apresente fissuras nas regiões dos maiores esforços solicitantes e diminuindo sua
rigidez. Essa fase de fissuração poderia ser estudada pela Teoria das Placas em
Regime Elástico, levando-se em conta a diminuição da rigidez da peça na zona
fissurada. Porém, avaliar corretamente tal redução é muito difícil. Essa fase de
comportamento, geralmente associada à condição de serviço da laje, é normalmente
estudada pela Teoria das Placas em Regime Elástico. Devido à diminuição da rigidez
das seções mais solicitadas, gera-se a redistribuição de esforços, este procedimento
fornecerá esforços nas seções fissuradas um pouco maiores que os reais.

O cálculo em regime elástico é adequado para a análise da estrutura em serviço,
porém o mesmo não fornece indicação precisa de segurança, já que na ocasião da
ruína o material apresenta comportamento plástico, contrariando as hipóteses da
teoria da elasticidade. (CARRARO, 2011)

3.4.2 Teoria das Placas

As placas são elementos estruturais em que uma das dimensões (espessura) é muito
menor que as outras, submetidas a esforços de flexão, com finalidade de transferência
de cargas aplicadas normalmente a este plano. São chamadas de placas finas ou
delgadas quando a dimensão da espessura é muito menor que as dimensões das
superfícies planas. As lajes maciças são exemplos de placas delgadas de concreto, e
são as principais estruturas as quais se aplicam estes conceitos.
A teoria em questão fora desenvolvida com base na teoria da elasticidade, onde o
material apresenta deslocamentos e deformações lineares, é homogêneo e isotrópico.
29

As placas podem ter diferentes formas, podem ser submetidas a diferentes tipos de
carregamentos e estarem: engastadas, livres ou apoiadas (FIGURA 9).

No método elástico os cálculos são feitos pelos chamados “métodos clássicos” que
condiz com resultados muito próximos aos esforços na situação real da estrutura
(situação de serviço).

A análise linear dos elementos de placa é feita com base na teoria de Kirchhoff.

Figura 4 - Representação do modelo estrutural com carregamento (g).

Fonte: CHAVES, Eduardo.1997.

3.4.3 Relação de espessuras

Define-se como espessura “h” da placa a menor das três dimensões e, a superfície
média, como sendo aquela que passa pelos pontos médios do segmento que
determina a altura em cada ponto da placa (TIMOSHENKO, 1959). A classificação
das placas pode ser fina, em geral para ℎ <
ℓ
10
, ou espessas, em geral para ℎ >
ℓ
10
, em
que “ℎ” é a espessura e “ℓ” a menor dimensão da placa.

Os carregamentos que serão suportados por uma subdivisão bidirecional de esforços,
que são eles: forças cortantes, momentos fletores e torsores. Em viga ocorrem
esforços parecidos aos da laje maciça (comportamento unidirecional), porém mais
complexos.

3.4.4 Hipótese Simplificada de Kirchhoff

A hipótese de Kirchhoff, que também é conhecida como teoria das lajes finas,
representa o comportamento de placas delgadas sob a ação de carregamentos para
fins de determinar as tensões e deformações nestas placas. Com isso, a hipótese de
Kirchhoff estabelece que “os pontos situados sobre retas originalmente normais à
superfície média sem deformações, permanecem sobre retas normais à superfície
média deformada”. Admite-se, pois, que os pontos do plano médio da placa sofrem
apenas deslocamentos verticais, pequenos em relação à espessura da mesma,
desprezando-se os deslocamentos horizontais. (DUARTE, 1998).

Abaixo segue a relação entre o campo de rotação ϴₓ e o deslocamento transversal.

Figura 5 - Definições das rotações.

Fonte: CASTRO, 2001.

Tensões normais na direção z são nulas, porque os valores são insignificantes,
quando comparados aos demais. Não consideramos qualquer carregamento no plano
(x, y) e os planos que estão no plano médio da laje representam deslocamentos
transversais.

Segundo CHAVES (1999, p.23) para determinação das relações e equações, são
necessárias as seguintes hipóteses:

A – Comportamento elástico-linear, homogêneo e isotrópico, obedecendo à Lei de
Hooke;
B – Os deslocamentos transversais são pequenos, quando comparados com a
espessura h da placa;
C – A superfície média da placa é plana, indeformável e neutra, uma vez que não há
deformação, após a flexão;
E – As deformações nos planos paralelos variam linearmente ao longo da espessura
da placa;
F – Despreza-se os esforços cisalhantes.

3.4.4.1 Equação de Lagrange

A chamada “Equação Fundamental das Placas Delgadas” foi desenvolvida por Joseph
Louis Lagrange (1811). É usada para calcular a deflexão das placas, (pequenas
deformações sofridas verticalmente), pois vários elementos estruturais possuem este
formato, como as lajes maciças em estudo. Esta deflexão pode ser calculada pela
seguinte equação, denominada Equação de Lagrange:

(equação 3)

3.4.5 Teoria de Reissner-Mindlin

Também conhecida como teoria das lajes espessas, a teoria de Reissner-Mindlin se
baseia nas condições de deformação e deslocamento das placas quando submetidas
a carregamentos de flexão.

A partir da deformação das placas, utilizamos equações da elasticidade para
encontrarmos tensões e relacionarmos ao deslocamento das forças externas. Sempre
que a espessura da laje for moderadamente espessa ou superior aos limites que a
classificam como laje delgada (fina), é recomendável a utilização da Teoria Reissner-
Mindllin. Quanto mais fina a placa mais preciso os resultados, pois as deformações
serão menores.

A teoria de flexão das placas Reissner-Mindlin, de acordo com SALIBA (2007), se
fundamenta nas seguintes hipóteses:

 A placa é constituída de material homogêneo (concreto armado), isotrópico (em
cada ponto as propriedades mecânicas do material não mudam, independente
da direção) ede comportamento mecânico elástico-linear;
 Menor espessura quando comparada as outras dimensões da placa;
 A tensão normal na direção z (σz) é desprezível;
 Os pontos contidos no plano possuem deslocamento vertical, sendo os
horizontais (μ, v) nulos;
 As Leis de Hooke são válidas, devido às placas serem consideradas elásticas;

O sistema de eixos coordenados a ser considerado é o sistema Ox1, x2, x3,
representado na FIGURA 6, o qual é definido de tal modo que o plano seja Ox1, x2, x3,
coincidente com o plano médio da placa antes da deformação e o eixo Ox3 seja normal
ao plano médio da placa. A origem O do sistema de eixos existe sobre o plano médio
da placa. (MINDLIN, 1951)
33

Figura 6 - Representação dos eixos de referência.

FONTE: R.D. Mindlin, 1951.

De acordo com SALIBA (2007), com as hipóteses da Teoria Reissner-Mindllin, as retas
normais ao plano médio da placa não deformada permanecem retas, mas não normais
ao plano médio, após a deformação da placa (FIGURA 7).

Figura 7 - Campo de deslocamento segundo a Teoria Reissner-Mindlin.

FONTE: CASTRO, 2007.

3.4.5.1 Deformação das placas

Para a definição da deformação na placa e do comportamento das placas delgadas,
é necessário a obtenção do valor das deformações de corte.

Através das igualdades abaixo, obtemos as condições de compatibilidade que
permitem a relação das componentes do tensor da curvatura e o campo de
deslocamento na laje.

ℯ = 𝐴 ∙ 𝓊 (equação 4)

FONTE:CASTRO, 2007.

(equação 4.1)

As relações de elasticidade podem ser escritas na forma seguinte:

FONTE: CASTRO, 2007.

(equação 4.2)

Onde, 𝜙 tem por objetivo corrigir a distribuição não uniforme das tensões tangenciais
ao longo da espessura da laje. Admite-se 𝜙 =
5
6
.

A equação que estabelece a relação entre o carregamento aplicado à laje e os
esforços atuantes nela, pode ser escrita na forma:

𝐴∗𝑠 + 𝑓 = 0, onde: (equação 5)

Fonte: CASTRO, 2001.

(equação 5.1)

Na definição vetor, q (x,y), a distribuição de cargas aplicadas perpendicular ao plano
médio da laje. As grandezas mx (x, y) e my (x, y), representam os momentos
distribuídos nos planos (x, z) e (y, z).

Na teoria de Reissner-Mindlin torna-se necessárias três condições de fronteira, para
especificação dos bordos da laje. As condições para cada caso dos bordos
engastados, apoiados e livres, estão na tabela abaixo. (TABELA 1)

Tabela 1- Condições de fronteira para as lajes de Reissner-Mindlin.

Fonte: CASTRO, 2001.

3.5 Profundidade da linha neutra regime elástico

A linha neutra é a região traçada por uma reta do plano da seção transversal em que
a tensão normal é nula. No caso de lajes (flexão normal simples), o dimensionamento
ocorre no limite dos domínios 2 e 3.

Portanto, como parte integrante desta análise, é importante atentar à NBR 6118:2014
(item 14.6.4.3) que apresentalimites para a profundidade da linha neutra e condições
de ductilidade, como mostra:

“A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da
linha neutra no ELU. Quanto menor for x/d, tanto maior será essa capacidade.
Para proporcionar o adequado comportamento dútil em vigas e lajes, a
posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites:

a) x/d ≤ 0,45, para concretos com fck ≤ 50 MPa;
b) x/d ≤ 0,35, para concretos com 50 MPa < fck ≤ 90 MPa.

Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de
armaduras, como, por exemplo, os que produzem confinamento nessas
regiões.”

(x = posição da linha neutra, d = altura útil)

Entretanto, esta limitação da linha neutra atua na seção fissurada. No
dimensionamento despreza-se a região do concreto submetida a solicitações de
tração.

3.6 Dimensionamento – Método Elástico

3.6.1 Cálculo Simplificado

Neste item será abordado de forma simplificada o método de cálculo de lajes maciças
em concreto armado, com itens para o roteiro de cálculo, utilizando a ABNT NBR
6118:2014.

Figura 8 - Discretização das lajes.

Fonte: Os autores (2016).

3.6.2 Classificação quanto à direção

No método utilizado, o cálculo do λ é a relação entre o maior lado e o menor lado da
laje, dado pela seguinte fórmula:

𝜆 =
ℓ𝑦
ℓ𝑥
(equação 6)

ℓ𝑥 = 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑗𝑒
ℓ𝑦 = 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑗𝑒

A direção da armadura das lajes é dada pelo seguinte critério:

𝜆 ≤ 2 → armada em duas direções
𝜆> 2 → armada apenas em uma direção

Segundo PINHEIRO et al (2010) nas lajes armadas em duas direções, as armaduras
obtidas no cálculo resistem ao momento fletor nessas direções.

As lajes armadas em uma só direção também possuem armadura nas duas direções.
A armadura principal, direção do menor vão, é calculada para resistir o momento fletor
nessa direção obtido ignorando-se a existência da outra direção. A armadura
secundária ou de distribuição, direção do maior vão, tem a função de distribuir as
tensões vindas de cargas pontuais ou concentradas e também para o controle de
fissuração. A seção mínima da armadura de distribuição é dada pela ABNT NBR
6118:2014.

Portanto, a laje é calculada como se fosse um conjunto de vigas-faixa na direção do
menor vão. Como a armadura principal é calculada para resistir à totalidade dos
esforços, a armadura de distribuição tem o objetivo de solidarizar as faixas de laje da
direção principal, prevendo-se, por exemplo, uma eventual concentração de esforços.

3.6.3 Discretização das lajes

 Laje armada em duas direções
 Engastada em dois lados (Tipo C, ver figura 9)
 Aço CA-50
 Laje engastada: laje vizinha com rigidez suficiente para impedir a rotação na
borda comum.
 Laje apoiada: não faz fronteira com outra laje
 Laje para fins residenciais

3.6.4 Situação de vinculação das lajes

A FIGURA 9 representa algumas situações de vinculação das lajes, apoiadas ou
engastadas, baseando na tabela proposta por PINHEIRO 2010, p. 11.4.

Figura 9 – Situação de vinculação de lajes

Fonte: SILVA (2015).

3.6.5 Espessuras e cobrimentos mínimos

A NBR 6118:2014 prescreve as espessuras e cobrimentos mínimos de armadura para
lajes em diversas situações, como dado:

3.6.5.1 Espessuras mínimas

 7 cm para cobertura não em balanço;
 8 cm para lajes de piso não em balanço;
 10 cm para lajes em balanço;
 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN;
 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN;
40

 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, com o mínimo de
ℓ
42
para lajes de piso
biapoiadas e
ℓ
50
para lajes de piso contínuas;
 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo, fora do capitel.

3.6.5.2 Cobrimentos mínimos

São dados também os cobrimentos mínimos necessários de acordo com a classe de
agressividade ambiental (CAA) em que a estrutura se encontra. (TABELA 2)

Tabela 2 - Cobrimento Nominal.
Fonte: ABNT NBR 6118:2014.

3.6.6 Classe de agressividade ambiental

A Classe de Agressividade Ambiental (CAA) representa um fator de durabilidade para
a estrutura a fim de combater asações químicas ou físicas em que a estrutura será
submetida. Como mostra a Tabela 3, retirada ABNT NBR 6118:2014.

Tabela 3 - Classe de Agressividade Ambiental
Fonte: ABNT NBR 6118:2014.

3.6.7 Pré-dimensionamento

As lajes são estruturas tridimensionais planas de concreto armado, apoiada em vigas
e pilares exposta a ações normais a seu plano. Sua classificação depende de sua
geometria plana, sua vinculação (FIGURA 9) e seus carregamentos (uniforme,
pontuais, etc.).
A diferença entre os tipos de lajes baseia-se no processo construtivo empregado, nos
materiais, tipo de vinculação etc.

3.6.8 Altura útil

Segundo PINHEIRO et al. (2010) a altura útil pode ser estimada pela equação:

𝑑 = (2,5 – 0,1 𝑛)
ℓ∗
100
(equação 7)

Onde:
d = altura útil
n = número de engastes na laje
ℓ* = menor dimensão entre ℓ𝑥 e 0,7 ℓ𝑦

3.6.9 Altura total

A altura total é dada pela seguinte fórmula:

ℎ = (𝑑 + 𝑐 +
𝜙ℓ
2
) (equação 8)
Onde:
c = cobrimento adotado
d = altura útil
𝜙ℓ = diâmetro inicial da armadura longitudinal

Tabela 4 - Pré-dimensionamento da Laje
Laje Tipo Ly (cm) Lx (cm) 𝝀 d (cm) d (adotado) h (cm)
L1 C 500 400 1,25 8,05 7 10
L2 C 400 400 1,00 6,44 7 10
L3 C 500 400 1,25 8,05 7 10
L4 C 400 400 1,00 6,44 7 10
Fonte: Os autores (2016).

Considerações:
O valor da altura útil “d (adotado)” foi obtido tirando-se a média dos valores calculados
na coluna anterior.
43

3.6.10 Esforços

Considerando as normas ABNT NBR 6120:1980 – Cargas para cálculo de estruturas
de edificações e ABNT NBR 6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto:
Procedimento, neste trabalho apresenta-se as cargas que serão solicitadas durante o
uso da laje maciça em concreto armado.

As normas visam à consolidação dos valores das cargas atuantes, para que os
cálculos sejam coerentes com a utilização da edificação, a ABNT NBR 6120:1980 teve
uma única errata em 2000 e serve para os diversos tipos de carregamentos nas lajes
a serem dimensionadas.

É importante também, visar alguns aspectos a respeito da ação do vento nas
estruturas. A ABNT NBR 6123 – Forças devidas ao vento em edificações visa
considerar valores que se fazem necessários, já que em estruturas esbeltas passam
a ser uma das ações preponderantes no projeto estrutural.

3.6.10.1 Carga permanente

As cargas permanentes consideradas em projetos são de amplitude constante e
posição fixa. Apresentam pequena variabilidade durante toda vida útil da estrutura.
São elas:

 Peso próprio da estrutura: O peso próprio seria a multiplicação do peso
especifico do concreto pela altura total encontrada no cálculo. Encontra-se o
valor por metro quadrado de laje.
 Revestimento: Além de servir como proteção, os revestimentos servem para
decorar ambientes internos e externos. São eles: pisos, revestimentos etc. No
cálculo da laje maciça iremos adotar o valor 1,0 KN/m².
 Alvenaria: No cálculo de lajes a parede em alvenaria que esteja sobre a laje
deve ser considerada, porém neste trabalho não iremos abordar tal situação.

3.6.10.2 Carga acidental

Opostas à carga permanente, as cargas acidentais sofrem variação ao longo da vida
útil da estrutura. É dada pela ABNT NBR 6120:1980, de acordo com a utilização da
laje maciça. No cálculo abordado utilizaremos o valor de 1,5 KN/m² que corresponde
à utilização para edifícios residenciais (TABELA 5).
45

Tabela 5 - Valores mínimos para cargas verticais
Fonte: ABNT NBR 6120:1980.
46

A distribuição dos carregamentos totais atuantes na laje é dada de forma
uniformemente distribuída, seguida pela equação:
𝑝 = 𝑞 + g (equação 9)

Onde:
p = carregamento total da laje
q = carregamento permanente
g = carregamento acidental

Tabela 6 - Cálculo das Cargas Atuantes
Laje Acidental h (m) γc
(kN/m³)
Peso Próprio
(kN/m²)
Permanente
adicional (kN/m²)
Total
(kN/m²)
L1 1,5 0,1 25 2,5 1 5,00
L2 1,5 0,1 25 2,5 1 5,00
L3 1,5 0,1 25 2,5 1 5,00
L4 1,5 0,1 25 2,5 1 5,00
Fonte: Os autores (2016).

Considerações:
Foi adotado como carga acidental o valor de 1,5 kN/m² considerando-se que esta laje
seria para uso residencial, conforme aponta a Tabela 5.

Conforme item 8.2.2 da NBR 6118 (2014), quando não se conhecer a massa
específica do concreto utilizado, para efeito de cálculo pode-se adotar para o concreto
armado o valor de 2500 kg/m³; fazendo-se a devida compatibilização de unidades,
adota-se 25 kN/m³.

Para se encontrar o valor de q é feita a multiplicação da altura encontrada pelo peso
específico do concreto.

3.6.11 Momentos Fletores

3.6.11.1 Determinação dos momentos fletores

As lajes em sua generalidade são solicitadas basicamente por tensões relacionadas
aos momentos fletores e forças cisalhantes.

Para o cálculo do método elástico apresentado nesta seção, serão utilizadas as
tabelas elaboradas por BARES (1972), e posteriormente adaptadas por PINHEIRO
(2010). Os resultados apresentados por este processo de cálculo são dados por metro
de largura linear de laje, sendo estes calculados pelas seguintes expressões:

𝑚 = 𝜇 ∗
𝑝 ∗ 𝑙𝑥2
100
(equação 10)
𝑚𝑥 = 𝜇𝑥 ∗
𝑝 ∗ 𝑙𝑥
2
100
(equação 10.1) 𝑚𝑦 = 𝜇𝑦 ∗
𝑝 ∗ 𝑙𝑥
2
100
(equação 10.3)
𝑚′𝑥 = 𝜇′𝑥 ∗
𝑝 ∗ 𝑙𝑥
2
100
(equação 10.2) 𝑚′𝑦 = 𝜇′𝑦 ∗
𝑝 ∗ 𝑙𝑥
2
100
(equação 10.4)

Tabela 7 - Cálculo dos Momentos
LAJE
Tabela 2.3 m=μ*p*(lx²/100) (kN*m) λ
μx μ'x μy μ'y mx m'x my m'y ly/lx
L1 3,86 9,03 2,56 7,72 3,09 7,22 2,05 6,18 1,25
L2 2,69 6,99 2,69 6,99 2,15 5,59 2,15 5,59 1,00
L3 3,86 9,03 2,56 7,72 3,09 7,22 2,05 6,18 1,25
L4 2,69 6,99 2,69 6,99 2,15 5,59 2,15 5,59 1,00
Fonte: Os autores (2016).

Considerações:
Os valores de 𝜇𝑥, 𝜇𝑦, 𝜇′𝑥 e 𝜇′𝑦 podem ser encontrados na Tabela 8, estando estes
relacionados ao tipo de engaste de laje e ao fator λ.
48

Tabela 8 - Valores de μ para cálculo dos momentos fletores.

Fonte: BARES (1972), Adaptado Pinheiro (2007).

3.6.11.2 Compatibilização dos momentos obtidos

Os momentos apresentados anteriormente são denominados positivos nos vãos, e
negativos quando próximos aos apoios, seu comportamento de um modo geral pode
ser descrito conforme a Figura 10.

Para a simplificação no processo de dimensionamento da laje, os apoios internos são
considerados como completamente engastados, e os externos como simplesmente
apoiados, na prática devido ao comportamento do material isto pode (e provavelmente
irá) não acontecer.

Figura 10 - Descrição dos Momentos

Fonte: Os autores (2016).

Devido aos carregamentos analisados e diferentes dimensões desta situação
hipotética de laje, os momentos fletores negativos terão valores diferentes em cada
lado do apoio central, conforme ilustra a Figura 10. Surge então a necessidade de se
compatibilizar estes momentos, para que a armadura que irá suportar esta tensão
consiga trabalhar de forma eficiente para ambos os casos.

Este processo ocorre fazendo-se a comparação dos seguintes valores, sendo adotado
o maior entre os dois:

𝑀𝑠𝑑𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 = {
𝑚1 +𝑚2
2
𝑜𝑢
𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ∗ 0,8
(equação 11)

Este método de compatibilização é amplamente adotado, devido a sua simplicidade
de aplicação e eficiência quando ambos os momentos analisados possuem a mesma
ordem de grandeza.Deve-se em seguida fazer a compatibilização dos momentos positivos, fazendo-se a
seguinte análise:

𝑀𝑠𝑑𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 =
𝑀𝑠𝑑𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 −𝑚1
2
+𝑚2 (equação 12)

Tabela 9 - Compatibilização dos Momentos Negativos
Sentido Laje (a) Laje (b) m (a) m (b) Média 0,8xMaior Adotado
X L1 L2 7,22 5,59 6,41 5,78 6,41
Y L1 L3 6,18 6,18 6,18 4,94 6,18
X L3 L4 7,22 5,59 6,41 5,78 6,41
Y L2 L4 5,59 5,59 5,59 4,47 5,59
Fonte: Os autores (2016).

Tabela 10 - Compatibilização dos Momentos Positivos
LAJES mx my mx compatibilizado my compatibilizado
L1 3,09 2,05 2,68 2,05
L2 2,15 2,15 2,56 2,15
L3 3,09 2,05 2,68 2,05
L4 2,15 2,15 2,56 2,15
Fonte: Os autores (2016).

3.6.12 Verificação das flechas

A Tabela 11 apresenta parte do item “13.3 Deslocamentos-limites” da NBR 6118:2014
que admite para fins residenciais as seguintes flechas:

Tabela 11 - Deslocamentos-Limites

Fonte: NBR 6118:2014. (Adaptado)

Sendo ℓ igual ao menor vão da laje em questão.

Sendo assim, deveverificar as flechas presentes na estrutura para certificar-se quanto
ao atendimento deste item, que visa conferir conforto sensorial aos usuários da
edificação.

3.6.12.1 Cálculo da Flecha Imediata

Segundo PINHEIRO (2010) a flecha imediata αi pode ser calculada utilizando-se da
seguinte expressão:
𝛼𝑖 =
𝛼
100
∗
𝑏
12
∗
𝑝ℓ𝑥
4
𝐸𝑐𝑠 ∗ 𝐼𝑐
(equação 13)

Onde α pode ser encontrado na Tabela 13, em função do tipo de vinculação definido
durante o pré-dimensionamento e do parâmetro λ;

b é dado por metro linear de laje, sendo neste caso utilizado 100 cm, para fins de
compatibilização de unidades;
p é o valor denominado por PINHEIRO (2010) como “combinação quase permanente”
e pode ser encontrado através da formula:
52

𝑝 = 𝑔 + 𝜓2 ∗ 𝑞 (equação 14)

Sendo 𝜓2 igual a 0,3 para edifícios residenciais, definidos pela tabela 11.2 da NBR
6118:2014

𝐸𝑐𝑠 é o módulo de elasticidade secante do concreto, este valor pode ser obtido
primariamente pela fórmula:
𝐸𝑐𝑠 = α𝑖 ∗ 𝐸𝑐𝑖 (equação 15)

Sendo α𝑖 função da resistência característica à compressão do concreto utilizado, esta
relação pode ser encontrada abaixo. (TABELA 12)

𝐸𝑐𝑖 é calculado pela fórmula:

𝐸𝑐𝑖 = α𝐸 ∗ 5600 ∗ √𝑓𝑐𝑘 (equação 16)

α𝐸 é dado em função do tipo de agregado graúdo, sendo no caso deste trabalho
considerado 1,0 devido a utilização de gnaisse neste trabalho.

Tabela 12 - Valores de αi.

Fonte: ABNT NBR 6118:2014.
53

Tabela 13 - Valores de α.

Fonte: BARES (1972), adaptado por PINHEIRO (2010).

3.6.12.2 Cálculo da Flecha Diferida

O item 17.3.2.1.2 da NBR 6118:2014 define que “A flecha adicional diferida,
decorrente das cargas de longa duração em função da fluência, pode ser calculada
de maneira aproximada pela multiplicação da flecha imediata pelo fator 𝛼𝑓...”, sendo
𝛼𝑓 dado pela expressão:

𝛼𝑓 =
Δ𝜉
1 + 50𝜌′
(equação 17)

Sendo 𝜌′ obtido através da fórmula:

𝜌′ =
𝐴′𝑠
𝑏 𝑑
(equação 18)

𝐴′𝑠 representa a armadura que resiste aos esforços de compressão; sendo assim
neste caso de laje, este valor deixa ser considerado, já que esta armação não existe.

Δ𝜉 representa a variação do tempo em que esta flecha diferida irá ocorrer, e é
encontrada, subtraindo-se do coeficiente considerado para a flecha diferida, o valor
dado para o tempo quando esta flecha começou a ocorrer, ou seja, quando retirado o
escoramento. Estes valores podem ser encontrados na Tabela 14a seguir, que é item
integrante da NBR 6118:2014.

Tabela 14 - Valores do coeficiente 𝝃em função do tempo

Fonte: NBR 6118:2014.

3.6.12.3 Cálculo da flecha total

A flecha total é obtida pela simples multiplicação da flecha imediata obtida, pelo valor
da flecha diferida acrescido do fator um, ou seja:

𝛼𝑡 = 𝛼𝑖 ∗ (1 + 𝛼𝑓) (equação 19)

Tabela 15 - Cálculo e Verificação das Flechas
Laje λ Tipo α Ecs
Flecha
Imediata
Flecha
Diferida
Flecha
Total
Passou?
L1 1,25 C 3,61 24080 0,38 1,46 0,93 Sim
L2 1,00 C 2,46 24080 0,26 1,46 0,63 Sim
L3 1,25 C 3,61 24080 0,38 1,46 0,93 Sim
L4 1,00 C 2,46 24080 0,26 1,46 0,63 Sim
Fonte: Os autores (2016).

Considerações:

Conforme citado anteriormente o valor da flecha total não pode ser maior que os
valores apresentados na TABELA 11. Na última coluna é apresentada esta
verificação.

3.6.13 Reações de apoio

As ações influentes nas lajes, em comportamento elástico, são transferidas para as
vigas de apoio, no entanto o procedimento recomendado pela ABNT NBR 6118:2014
baseia-se no comportamento em regime plástico. Procedimento este reconhecido
como processo das áreas.

Para o cálculo de reações nas bordas de lajes maciças retangulares com carga
uniforme, assim como no cálculo de momentos fletores solicitantes e de flechas, as
lajes são analisadas em função de serem armadas em uma ou duas direções. De
acordo com a NBR 6118:2014, item 14.7.6:
a) As reações em cada apoio são as correspondentes às cargas atuantes nos
triângulos ou trapézios determinados através das charneiras plásticas
56

correspondentes à análise efetivada com os critérios 14.7.4, sendo que essas
reações podem ser de maneira aproximada, consideradas uniformemente
distribuídas sobre os elementos estruturais que lhe servem de apoio;

b) Quando a análise plástica não for efetuada, as charneiras podem ser
aproximadas por retas inclinadas, a partir dos vértices, com os seguintes
vértices;
- 45° entre dois apoios do mesmo tipo;
- 60° a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado
simplesmente apoiado;
- 90° a partir do apoio quando a borda vizinha for livre.

Figura 11 - Reações de apoio para lajes retangulares armadas em cruz.

Fonte: PINHEIRO et al. (2010)

Onde:

𝑙𝑥, 𝑙𝑦= menor e maior vão respectivamente
v𝑥, v′𝑥= reações de apoio na direção do vão 𝑙𝑥
v𝑦, v′𝑦= reações de apoio na direção do vão 𝑙𝑦
A𝑥 ,A′𝑥, A𝑦 ,A′𝑦= áreas correspondentes aos apoios considerados.

As reações auferidas pelos momentos compatibilizados das lajes são distribuídas
uniformemente nas vigas de apoio. O cálculo das reações pode ser realizado com
auxílio das tabelas, como a que segue abaixo que são baseadas do Processo das
Áreas. As reações de apoio nas bordas das vigas simplesmente apoiadas são
calculadas a partir da equação geral:

q =
v ∙ 𝑝 ∙ 𝑙𝑥
10
(equação 20)
57

𝑞𝑥 =
vx ∙ 𝑝 ∙ 𝑙𝑥
10
(equação 20.1) 𝑞𝑦 =
vy ∙ 𝑝 ∙ 𝑙𝑥
10
(equação 20.2)

As reações de apoio nas bordas das vigas em bordas engastadas são calculadas a
partir da equação:
𝑞′𝑥 =
v′x ∙ 𝑝 ∙ 𝑙𝑥
10
(equação 20.3) 𝑞′𝑦 =
v′y ∙ 𝑝 ∙ 𝑙𝑥
10
(equação 20.4)

v𝑥, vy, v′𝑥, v′y= coeficientes consta na Tabela 17.

Tabela 16 - Reações de apoio das lajes.
LAJES λ vx vy v’x v’y P (kN/m²) 𝒍𝒙(m) qx qy q’x q’y
L1 1,25 2,60 3,80 2,17 3,17 5,00 4,00 5,20 7,60 4,34 6,34
L2 1,00 2,17 3,17 2,17 3,17 5,00 4,00 4,34 6,34 4,34 6,34
L3 1,25 2,60 3,80 2,17 3,17 5,00 4,00 5,20 7,60 4,34 6,34
L4 1,00 2,17 3,17 2,17 3,17 5,00 4,00 4,34 6,34 4,34 6,34
Fonte: Os autores (2016)

Tabela 17 - Reações de apoio em lajes com cargas uniformes.

Fonte: PINHEIRO (2007).

3.6.14 Dimensionamento das armaduras

Após obter os valores dos momentos característicos compatibilizados, faz-se o
dimensionamento daarmadura. Admite-se 𝑏𝑤= 100 cm, obtendo assim a armadura
por metro linear e considerando 𝑓
𝑦𝑑 =
50
1,15
pois utilizaremos aço CA-50.
59

𝑚𝑠𝑑 = momento adotado ∗ 1,4 ∗ 100 (equação 21)
𝐾𝑀𝐷 =
𝑚𝑠𝑑
𝑏𝑤 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑓𝑐𝑑
(equação 22)

Conhecendo o valor do KMD, encontramos o valor de 𝑘𝑧 (TABELA 18).Para o cálculo
da armadura longitudinal, temos:

𝑎𝑠 =
𝑚𝑠𝑑
𝑘𝑧 ∗ 𝑑 ∗ 𝑓𝑦𝑑
(equação 23)

Para calcular a armadura negativa, utilizamos o valor do maior momento negativo
compatibilizado (TABELA 22) e para a armadura positiva, utilizamos o momento
positivo compatibilizado em X para armaduras em X (TABELA 23), e momento positivo
compatibilizado em Y para armaduras em Y (TABELA 24).

Para escolha do diâmetro das barras, utiliza-se o valor encontrado de 𝑎𝑠 (TABELA
19). Os valores mínimos da armadura devem atender a tabela 20 e 21, recomendada
pela NBR 6118:2014, onde:

𝜌 = 𝑎𝑠(𝑏𝑤. ℎ) (equação 24)
𝜌𝑚𝑖𝑛 = 𝑤𝑚𝑖𝑛
𝑓𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
(equação 25)

𝜌𝑚𝑖𝑛 = Taxa mecânica mínima de armadura longitudinal
Considerando b= 100 cm e d em cm obtém-se 𝑎𝑠 em cm²/m.

Armadura positiva armada
em duas direções
A𝑠mín = ρs ≥ 0,67ρmín ∴ 0,67 ∗ 0,150% ∗ bw ∗ h
Armaduras negativas

A𝑠mín = ρs ≥ ρmín

Para definir o espaçamento, divide-se a área da secção da barra escolhida, pela área
calculada, ou seja:
𝑆 =
𝐴𝑠∅
𝐴𝑠
(equação 26)

O espaçamento máximo entre as barras deve ser 𝑠 ≤ 20 cm ou 2h, o diâmetro máximo
das armaduras de flexão deve atender a condição de Ф ≤
ℎ
8
(NBR 6118:2014).

Tabela 18- Coeficientes adimensionais para dimensionamento à flexão.

Fonte: Carvalho e Figueiredo Filho (2004)
62

Tabela 19 - Área da seção de barras As (cm²).

Fonte: NASCIMENTO e PINHEIRO.

Tabela 20 - Área da seção de barras por metro de largura as.

Fonte: ABNT NBR 6118:2014. (Adaptado)

Tabela 21 - Valores de ρmin

Fonte: ABNT NBR 6118:2014.

Tabela 22 - Cálculo das armaduras longitudinais (negativo)
LAJES Msd
(kN*cm)
KMD Kz As
(cm²)
ØMáx
(mm)
Ø
Adotado
As
mín
(cm²)
Espaça-
mento
Esp.
Adotado
L1 - L2 897,12 0,103 0,928 3,176 12,5 8 1,5 16 16
L1 - L3 864,64 0,099 0,933 3,045 12,5 8 1,5 16 16
L3 - L4 897,12 0,103 0,928 3,176 12,5 8 1,5 16 16
L2 - L4 782,88 0,089 0,933 2,757 12,5 8 1,5 18 18
Fonte: Os autores (2016).

Tabela 23 - Cálculo das Armaduras Longitudinais Em X (Positivo)
Lajes Msd
(kN*cm)
KMD Kz As
(cm²)
ØMáx
(mm)
Ø
Adot
ado
As
Mín
Espaça-
mento
Esp.
Adotado
L1 375,20 0,043 0,964 1,279 12,50 6,3 1,50 21 20
L2 358,40 0,041 0,964 1,222 12,50 6,3 1,50 21 20
L3 375,20 0,043 0,964 1,279 12,50 6,3 1,50 21 20
L4 358,40 0,041 0,964 1,222 12,50 6,3 1,50 21 20
Fonte: Os autores (2016).

Tabela 24 - Cálculo das Armaduras Longitudinais Em Y (Positivo)
Lajes Msd
(kN*cm)
KMD Kz As
(cm²)
ØMáx
(mm)
Ø
Adotado
As
Mín
Espaça-
mento
Esp.
Adotado
L1 286,72 0,033 0,972 0,969 12,50 6,3 1,50 21 20
L2 301,28 0,034 0,972 1,018 12,50 6,3 1,50 21 20
L3 286,72 0,033 0,972 0,969 12,50 6,3 1,50 21 20
L4 301,28 0,034 0,972 1,018 12,50 6,3 1,50 21 20
Fonte: Os autores (2016).

Figura 12 - Representação em planta das reações e momentos finais das lajes - Regime Elástico.

Fonte: Os autores (2016).

Obs.: Os momentos apresentados na FIGURA 19 são momentos de cálculo (com fator
de majoração de 1,4).
65

4 MÉTODO PLÁSTICO-RÍGIDO

4.1 Breve Histórico

Segundo TISMOSHENKO (1953), estabelecer regras que constituem elementos
estruturais já era necessidade mesmo na antiguidade. E é notório que os precursores
do cálculo estrutural possuissem a noção que o cálculo deveria ser feito na ruptura.

Podemos notar tais noções a partir do clássico conhecido como o Problema de Galillei,
onde foram realizados ensaios em vigas de pedra e madeira, que consistiam em
engastá-las em uma parede, sendo a viga submetida ao carregamento de peso
próprio tanto isoladamente como em conjunto com outra força, aplicada em sua
extremidade (FIGURA 13). Os objetivos de Galillei era identificar a força necessária
para ruptura em AB, pois é onde se concentra o momento fletor de maior intensidade,
e apontar a ligação existente entre a altura da seção e sua resistência. Este conceito
de inércia fora denominado como resistência absoluta.

Figura 13 - Problema de Galillei e sua consideração de tração uniformemente distribuída na seção.

Fonte: FONTES, 2015.

Por meio do ensaio supramencionado Galillei estabeleceu suas fórmulas, sendo as
mesmas em tração para todas as fibras, ou seja, uma hipótese plástica. Apesar de
não estar correto, ele considerou apenas os momentos em relação às fibras externas,
o fato dos materiais na época serem basicamente madeira e pedra, fica-se claro a
percepção de sua hipótese, pois nestes dois materiais “a viga se rompe do lado
tracionado, de forma súbita e ao longo de toda a seção transversal, remetendo uma
tração em todos os pontos” (PINHEIRO, 1988).
66

Segundo FONTES (2015) Mariotte, em 1860, por meio de experimentos de vigas de
madeira e vidro chega à conclusão que algumas fibras são tracionadas, antes da
ruptura, enquanto outras são comprimidas, e aponta o erro de Galillei. Sem justificativa
aparente, ele afirma que, em uma seção transversal, metade das fibras está
comprimida e metade, tracionada, ou seja, que a linha neutra passa no meio da seção.
Essa afirmação só é verdade no caso de simetria da seção e para níveis de solicitação
em que ainda não houve algum tipo de deformação.

Após a descoberta e publicação da Lei de Hooke o foco tornou-se a análise elástica,
embora com menor destaque, o cálculo plástico nunca foi completamente
abandonado. Já neste século é possível vê-lo ganhando destaque, ocupando
dimensionamento de estruturas, já que para verificação de segurança contra ruínas é
o mais indicado.

PINHEIRO (1988) salienta que o cálculo plástico permite a obtenção mais racional da
carga última, no entanto ele não fornece informações sobre a distribuição mais
conveniente das armaduras, levando em consideração que este é um dado de partida.

4.2 Análise Plástica de Lajes de Edifícios

4.2.1 Conceitos Relacionados à Plasticidade

A rigidez elástica rege a magnitude das velocidades de deformação em se tratando
de regime elástico, por outro lado a deformação plástica é regida pela Lei de Fluxo
que define um material quanto à velocidade de sua deformação.

A partir do momento que as cargas promovem uma deformação plástica nos materiais,
a Lei de Fluxo possibilita, a partir da uma relação entre tensão e deformação,
determinar tais deformações.

A representação matemática desta lei, denominada como tensão de normalidade e
escrita na formula infra-mencionada:

𝐷 𝜀𝑖𝑗
𝑝 = 𝑑𝜆 ∙
𝜕 𝑄
𝜕 𝜎𝑖𝑗
(equação 27)

D εijp corresponde aos incrementos de deformação plástica,
∂ Q
∂σij
é a direção do vetor
de incremento de deformação plástica e d é um fator escalar que determina a
magnitude deste incremento. O controle de plasticidade por meio dos estados de
tensões caracteriza o comportamento plástico de um material, objetivando de critérios
de escoamento.

Esta teoria apresenta um método de cálculo, baseado no comportamento plástico do
material, permitindo avaliar a carga de ruína das lajes de concreto armado. Este
também é