Lista de exercícios 8

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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Cieˆncias F´ısicas e Matema´ticas
Departamento de Matema´tica
MTM3101 - Ca´lculo 1
8a lista de exerc´ıcios (16/10/2017 a 20/10/2017)
1. Estime a a´rea sob o gra´fico de f(x) = 1 + x2 de x = −1 ate´ x = 2 usando treˆs retaˆngulos aproximantes
e extremos direitos. Enta˜o aperfeic¸oe sua estimativa utilizando seis retaˆngulos aproximantes. Esboce
a curva e os retaˆngulos aproximantes.
2. Seja f(x) =
{
cos x se x < 0
x2 + 2 se x > 0
e g(x) = ex
2
. Responda: A func¸a˜o (f − 2g) e´ integra´vel no
intervalo [−2, 2]? Justifique sua resposta.
3. Calcule a a´rea A da regia˜o R delimitada pela reta y = x e pela para´bola y2 = 2− x.
4. Calcule a a´rea da regia˜o definida pelas retas x = 0, x = 1, o eixo das abcissas e a curva y = x3.
5. Calcule a integral definida dada usando o Teorema Fundamental do Ca´lculo:∫ 1
0
(x4 + 3x3 + 1) dx(a)
∫ 1
−1
(2u1/3 − u2/3) du(b)
∫ 5
1
2
x3
dx(c)
∫ 2
0
x (2 + x5) dx(d)
∫ pi/4
0
sec2 t dt(e)
∫ 1
−1
eu+1 du(f)∫ 3
1
dx(g)
∫ 1
0
8
√
x dx(h)
∫ 0
1
(x7 − x+ 3) dx(i)∫ 4
1
1 + x√
x
dx(j)
∫ 1
0
1
1 + t2
dt(k)
∫ 0
−1
e−2x dx(l)
∫ pi/2
0
√
1− cos2 θ dθ(m)
∫ pi/4
0
tan2 θ dθ(n)
∫ 1/2
0
dx√
1− x2 dx(o)
6. Desenhe o conjunto A dado e calcule a a´rea.
A e´ o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que x2 − 1 ≤ y ≤ 0.(a)
A e´ o conjunto do plano limitado pelas retas x = −1, x = 2, y = 0 e pelo gra´fico de y = −x2+x+6.(b)
A e´ o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que x ≥ 0 e x3 ≤ y ≤ x.(c)
7. Um fabricante estima que o custo marginal para produzir q unidades de um certo produto e´
C ′(q) = 3q2− 12q+ 12 reais por unidade. Se o custo para produzir 10 unidades e´ de R$ 5.000, 00, qual
e´ o custo para produzir 20 unidades?
8. Se f(1) = 12, f ′ e´ cont´ınua e
∫ 4
1
f ′(x) dx = 17, qual e´ o valor de f(4)?
1
9. Determine as derivadas:∫ 1
x
sen t dt(a)
∫ x
0
√
1 + t2 dt(b) f(x) =
∫ 2
0
(
x3 + x2 − 7)5 dx(c)
∫ x3
0
e−t dt(d) f(x) =
∫ cosx
senx
√
t2 + 1 dt(e) f(x) =
∫ 5x
4x
sen5(t) dt(f)
10. Calcule a integral dada. Verifique se o resultado esta´ correto derivando o resultado.∫
−3 dx(a)
∫
u−2/5 du(b)
11. Encontre uma primitiva F , da func¸a˜o f(x) = x2/3 + x, que satisfac¸a F (1) = 1.
12. Determine a func¸a˜o f(x) tal que
∫
f(x) dx = x2 +
1
2
cos (2x) + c.
13. Seja f : R → R uma func¸a˜o duas vezes diferencia´vel em R. Suponha que a equac¸a˜o da reta
tangente a` representac¸a˜o geome´trica do gra´fico da func¸a˜o f no ponto (1, 3) e´ dada por y = x+ 2.
Se a func¸a˜o f ′′ : R→ R e´ dada por f ′′(x) = 6x, x ∈ R, encontre a expressa˜o da func¸a˜o f .
(a)
Seja f : R→ R uma func¸a˜o duas vezes diferencia´vel em R. Suponhamos que a func¸a˜o f ′′ : R→ R
e´ dada por f ′′(x) = 2 para todo x ∈ R. Encontre a expressa˜o da func¸a˜o f , sabendo-se que o
ponto (1, 3) e´ um do gra´fico e nesse ponto o coeficiente angular da reta tangente e´ −2.
(b)
14. Ache a integral indefinida geral.∫
(x3 + 6x+ 1) dx(a)
∫
(1− t)(2 + t2) dt(b)
∫
(2−√x)2 dx(c)
2