aula 5 geometria

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Conversa inicial 
Nesta aula estudaremos as distâncias entre pontos, retas e planos, com 
ênfase nos métodos de cálculo de cada caso. Em seguida, serão 
abordadas as cônicas, as curvas obtidas a partir das interseções de 
planos com um cone – como o próprio nome indica. As cônicas serão 
definidas juntamente com a apresentação das equações que as 
representam. Quanto às cônicas, o objetivo é classificá-las e determinar 
alguns de seus elementos a partir das seguintes equações: centro e 
dimensões dos eixos. Esse estudo servirá como base para a 
apresentação das quádricas, conteúdo da próxima aula. 
Pronto para começar os seus estudos? Então, acesse o material on-line 
e assista ao vídeo do professor Nacib Jr. sobre o conteúdo que será 
visto nesta aula! 
Contextualizando 
Os estudos sobre cônicas tiveram início com Apolônio, por volta de 200 
anos antes de Cristo. Apolônio (262 a.C. – 190 a.C.) nasceu em Praga, 
atual região da Turquia, e é considerado um dos maiores matemáticos 
gregos da antiguidade. 
Em muitas situações do cotidiano nos deparamos com as cônicas. Mas 
o que são cônicas? Um plano, dependendo da sua inclinação, pode 
NÍVEL Graduação 
CURSO Engenharia de Produção 
DISCIPLINA Geometria Analítica 
MÓDULO A1 2016 
AULA 5 
PROFESSOR Nacib Mattar Jr 
 
gerar três tipos de cônicas a partir de um cone circular reto: as 
parábolas, as elipses e as hipérboles. É importante ressaltar que uma 
circunferência é um caso particular da elipse e pode ser obtida a partir 
de um corte dado por um plano paralelo à base do cone. 
Como exemplos de aplicações das cônicas, temos espelhos refletores 
encontrados em consultórios odontológicos. 
 
 
 
 
 
 
As parábolas estão relacionadas a movimentos parabólicos estudados 
na física, a projetos arquitetônicos, à determinação do preço que 
maximiza o lucro em relação a um determinado produto, dentre outras 
muitas aplicações práticas. Podemos citar, como exemplo, o arquiteto 
brasileiro Oscar Niemeyer que utilizou a parábola como referência para 
o projeto da Igreja de São Francisco de Assis, no complexo da 
Pampulha, em Belo Horizonte, Minas Gerais. 
As hipérboles são utilizadas, por exemplo, na construção de telescópios, 
que têm espelhos hiperbólicos. Podemos citar como exemplo de elipses 
as órbitas planetárias que têm formato elíptico. 
Distâncias 
Distância entre dois pontos 
A distância entre dois pontos distintos A e B, denotada por d (A, B), é 
dada pelo módulo do vetor com pontos inicial e final em A e B, podendo 
 
tanto ser o vetor como o vetor , afinal, sempre se tem 
. Observe a figura ilustrativa: 
 
Exemplo 1: Considerando os pontos A e B representados abaixo, 
determine a distância d(A, B). 
 
As coordenadas dos pontos A e B são, respectivamente, (3, 4) e (7, 2). 
Como a distância entre dois pontos é dada por 
 
Vamos substituir xA por 3, xB por 7, yA por 4 e yB por 2: 
 
O próximo passo é calcularmos 7 - 3 = 4 e 2 - 4 = -2: 
 
Elevando 4 ao quadrado e -2 ao quadrado, temos: 
 
Vamos agora somar 16 e 4: 
 
 
Finalmente, calculando a raiz quadrada de 20, temos: 
 
Portanto, a distância entre os pontos A e B é igual a 4,47. 
 
Exemplo 2: calcule a distância entre os pontos A e B, dados no plano 
cartesiano a seguir. 
 
A distância pode ser obtida pelo módulo do vetor, isto é: d(A, B) = | |. 
Assim, como 
 
 = - = (xB - xA , yB - yA), tem-se d(A, B) = | | 
= 
 
Para A = (-2, -1) e B = (3, 1): 
 
 
Exemplo 3: Sejam A = (2, 5, -4) e B = (3, 3, 2). Calcule d (A, B). 
Quando estamos tratando de pontos no R3, a distância entre A e B é 
dada por: 
 
Para que possamos calcular a distância entre os pontos A e B, vamos 
substituir xA por 2,xB por 5, yA por 5, yB por 3, zA por -4 e zB por 2: 
 
Calculando 3 - 2 = 1, 3 - 5 = -2 e 2 - (-4) = 2 + 4 = 6, temos: 
 
Elevando 1, -2 e 6 ao quadrado, temos, respectivamente, 1, 4 e 36: 
 
Cuja soma resulta em: 
 
Calculando a raiz quadrada de 41, temos: 
 
Que é a distância entre os pontos A e B propostos inicialmente. 
 
Exemplo 4: calcule a distância entre os pontos A = (5, 4, -2) e B = (-7, 
1, 2). 
 
 
Que tal recapitular todo esse conteúdo de uma maneira bem prática? 
Acesse o vídeo a seguir e veja mais uma explicação sobre como 
calcular a distância entre dois pontos. 
https://www.youtube.com/watch?v=x50TCzwj4c4 
 
Distância entre um ponto e uma reta 
Para se calcular a distância entre um ponto e uma reta pode-se usar 
uma importante propriedade do Produto Vetorial: 
 , sendo θ o ângulo entre os dois vetores, e . 
Observe a figura a seguir, em que se representou um paralelogramo 
formado a partir dos vetores e : 
 
A partir do triângulo retângulo formado pela altura destacada no 
desenho, denominada de CO ou cateto oposto, pode-se desenvolver a 
seguinte fórmula: 
Ou seja: 
 
Da equação 
Pode-se obter: 
 
 
E então, a altura do paralelogramo destacada no desenho tem sua 
medida dada por: 
 
O desenvolvimento anterior será de grande ajuda para o cálculo da 
distância entre um ponto e uma reta, sim, de fato pode-se estabelecer 
uma fórmula para o cálculo dessa distância. 
Observe a figura a seguir, em que se representou um ponto P e uma 
reta r e destacou-se o segmento que passa por P que é perpendicular 
a r. A distância entre P e r (denotada por d (P, r)) é dada pelo 
comprimento desse segmento: 
 
A partir da situação representada, pode-se pensar em um 
paralelogramo, como o representado a seguir, sendo A um ponto 
pertencente à reta r. 
 
A distância entre P e r pode ser calculada da seguinte forma: 
 
Exemplo 1: Determine a distância entre o ponto P = (5, 7) e a reta r: y = 
2x + 2. 
A imagem abaixo apresenta a reta r : y = 2x + 2 e o ponto P = (5, 7). 
 
 
Para calcularmos a distância entre a reta r: y = 2x + 2 e o ponto P = (5, 
7)), vamos utilizar a fórmula: 
 
Onde a, b e c são os coeficientes de x, y e o termo independente na 
expressão 
r : ax + by + c = 0, respectivamente, ou seja, a = 2, b = -1 e c = 
2 e x0 e y0 são as coordenadas do ponto P, isto é, x0 = 5 e y0 = 7. 
Vamos então substituir esses valores. 
 
Efetuando as multiplicações indicadas e elevando os termos 2 e -1 ao 
quadrado, temos: 
 
Vamos agora somar e subtrair os termos que aparecem no numerador 
e no denominador. 
 
Como temos a raiz quadrada de 5 no denominador, podemos fazer a 
racionalização desse denominador, ou seja, vamos multiplicar 
 
numerador e denominador por para que tenhamos um número 
racional no denominador. 
 
Multiplicando 5 por , temos 5 e multiplicando por , temos 
. = = = 5. Logo, 
 
Vamos agora simplificar os dois números 5, o que resulta em: 
 
Calculando a raiz quadrada de 5, temos: 
 
Portanto, a distância entre o ponto P e a reta r é igual a 2,24 unidades 
de comprimento. 
 
Exemplo 2: calcule a distância entre: A (6, 2) e r: y = 3x - 1. 
Para se determinar um vetor , paralelo à reta r, pode-se, por exemplo, 
determinar uma equação vetorial de r e, então, um de seus vetores 
diretores. 
Uma equação vetorial de r pode ser obtida fazendo-se x = t e, em 
consequência, y = 3t - 1: 
r: P = (t, 3t -1) 
r: P = (0, -1) + (t, 3t) 
r: P = (0, -1) + t. (1, 3) 
Portanto, o vetor = (1, 3) é um dos vetores diretores da reta r. 
 
Em seguida, para se determinar o vetor , encontre um 
ponto B pertencente à reta substituindo o parâmetro t por um valor real. 
Por exemplo, se substituir t = 0, teremos: 
r: P = (t, 3t - 1) 
B = (0, 0 - 1) 
B = (0, -1) 
 
Assim, tem-se: 
. 
Observe quedeve ser um vetor com ponto inicial em algum ponto da 
reta r e com ponto final no local em que se pretende calcular a distância 
em relação à reta r, não importando como o ponto é denominado: 
ponto P, ponto A, ponto B etc. 
Finalmente, para se calcular , será preciso 
calcular e . Como o produto vetorial é definido apenas para 
vetores de três componentes, faça: 
= (1, 3, 0) e = (6, 3, 0): 
 
E então: 
 
Para cálculo da distância entre um ponto P = (x0, y0) e uma reta r: ax + 
by + c = 0, no plano cartesiano, como é o caso do exemplo visto, pode-
se também usar a fórmula . Observe a resolução do 
exemplo anterior usando essa fórmula: 
 
 
Em primeiro lugar, escreva a equação da reta r no formato da equação 
geral: r: 3x - y - 1 = 0, assim: a = 3, b= -1 e c = -1. Com isso, aplique a 
fórmula: 
 
Exemplo 3: Sabendo que A = (1, 0, 3) e r: M = (3t + 1, 2t, 5t - 2), encontre 
a distância entre o ponto A e a reta r. 
Cálculo do vetor diretor: 
Sabemos que r: M = (3t + 1, 2t, 5t - 2) 
Que é equivalente a r: M = (1 + 3t, 0 + 2t, - 2 + 5t) 
Podemos decompor então como a soma de dois vetores r: M = (1, 0, -
2) + (3t, 2t, 5t) 
Donde: r: M = (1, 0, -2) + t(3, 2, 5) 
Logo, temos um vetor diretor de r: = (3, 2, 5). 
 
Uma outra forma de obtermos o vetor diretor é considerarmos os 
coeficientes de t na expressão r: M = (3t + 1, 2t, 5t - 2). Note que os 
coeficientes são, respectivamente,3, 2 e 5. Logo, = (3, 2, 5). 
Vamos agora obter um ponto pertencente à reta r para determinarmos 
o vetor . 
Sabemos que: 
r: M = (3t + 1, 2t, 5t - 2) 
Fazendo t = 0, temos 
M = (3(0) + 1, 2(0), 5(0) - 2) 
Vamos efetuar os produtos indicados: 
 
M = (0 + 1, 0, 0 - 2) 
E, finalmente, somar os devidos termos: 
M = (1, 0, -2) 
Como já temos um ponto M que pertence à reta r, podemos obter o 
vetor tal que: 
= MA = A - M 
Como A = (1, 0, 3) e M = (1, 0, -2), temos 
= (1, 0, 3) - (1, 0, -2) 
O que resulta em: 
= (0, 0, 5) 
Finalmente, podemos calcular a distância entre A e r: 
 
Primeiro vamos calcular o produto vetorial × . Sabemos que 
 
Para calcularmos o determinante, vamos repetir as duas primeiras 
colunas após a terceira coluna e efetuar as multiplicações necessárias 
 
Somando os termos semelhantes, temos 
 
Precisamos agora calcular o módulo de × : 
 
 
Para isso basta calcularmos a raiz quadrada da soma dos quadrados 
de cada componente do vetor × 
 
Como 102 = 100, (-15)2 = 225 e 02 = 0, temos 
 
Somando 100, 225 e 0, temos 
 
Que resulta em: 
 
Como já temos o módulo de × , precisamos agora do módulo 
de que é dado por 
 
Como = (3, 2, 5), temos: 
Vamos elevar cada termo ao quadrado: 
 
e, em seguida, efetuar a somas indicadas: 
 
Calculando a raiz quadrada de 38, temos: 
 
Finalmente, a distância entre A e r é: 
 
O que resulta em: 
 
 
 
Exemplo 4: calcule a distância entre P = (1, 2, 4) e r: P = (2t, t - 1, 3 + 
t). 
Pela equação vetorial da reta, é possível determinar um de seus vetores 
diretores (suas componentes serão dadas pelos coeficientes do 
parâmetro t): 
r: P = (2t, t - 1, 3 + t) 
r: P = (0 + 2t, -1 + t, 3 + t) 
r: P = (0, -1, 3) + (2t, t, t) 
r: P = (0, -1, 3) + t.(2, 1, 1) 
Portanto, o vetor = (2, 1, 1) é um dos vetores diretores da reta r. 
 
Em seguida, para se determinar o vetor , encontre um 
ponto A pertencente à reta substituindo o parâmetro t por um valor real. 
Por exemplo, substituindo t = 0, temos: 
r: P = (2t, t - 1, 3 + t) 
A = (0, 0 - 1, 3 + 0) 
A = (0, -1, 3) 
Assim, tem-se: 
 
 
Observe que deve ser um vetor com ponto inicial em um ponto da 
reta r e com ponto final no local em que se pretende calcular a distância 
em relação à reta r. Finalmente, para se calcular: 
 
 
Será preciso calcular: e 
 
 
E então: 
 
 
Distância entre um ponto e um plano 
Antes de continuarmos, compreenda melhor os conceitos referentes à 
distância entre um ponto e um plano no vídeo indicado a seguir. 
https://www.youtube.com/watch?v=C7POM84YSkE 
Para se calcular a distância entre um ponto P = (x0, y0, z0 ), pode-se 
usar a fórmula: 
 
Encontre a distância entre o ponto D = (4, 1, 6) e o plano α: 2x + 3y + z 
- 2 = 0. 
Podemos calcular a distância entre D e α utilizando a fórmula 
 
Onde x0, y0, z0 são as coordenadas de D e a, b, c e d são os 
coeficientes de α: 
2x + 3y + z - 2 = 0, ou seja, x0 = 4, y0 = 1 e z0 = 6 
e a = 2, b = 3, c = 1 e d = -2. 
 
 
Primeiro, vamos efetuar as multiplicações e as potências indicadas: 
 
Vamos agora somar os termos que constam no numerador e também 
no denominador 
 
Como |15| = 15, temos 
 
Finalmente, vamos racionalizar o denominador. Para isso, basta 
multiplicarmos numerador e denominador por 
 
Como 15. = 15 e . = = 14, temos 
 
Multiplicando 15 por e dividindo o resultado por 14, a distância 
entre D e α é igual a 
 
Observe o exemplo a seguir: 
 
Exemplo 2: Calcule a distância entre o ponto P = (2, 5, 3) e o plano α : 
3x - y + z - 7 = 0. 
Aplicando-se a fórmula: 
 
 
Para compreender melhor os conceitos aprendidos até esse momento, 
não deixe de assistir ao vídeo do professor Nacib Mattar Júnior no 
material on-line, no qual ele explica detalhadamente cada um deles. 
Cônicas: circunferência 
As cônicas são curvas que podem ser obtidas a partir de cortes em uma 
superfície cônica. Observe o desenho a seguir: 
 
Dependendo de como for realizado o corte na superfície cônica, a curva 
resultante será uma parábola, uma elipse, uma circunferência ou 
ainda uma hipérbole. No entanto, pode resultar do corte o que se 
denomina de cônica degenerada. Observe: 
 
 
Nessas representações, os cortes resultaram em retas ou ponto, ou 
seja, em cônicas degeneradas. 
 
Circunferência 
A circunferência é uma cônica e pode ser definida como o conjunto de 
pontos do plano cuja distância a um ponto fixo C, denominado de 
centro, é igual a um número real positivo R, denominado de raio. 
 
O raio da circunferência é a distância entre o seu centro e um ponto 
qualquer pertencente a ela, ou seja: 
 
A expressão (x - x0)2 + (y - y0)2 = R2 é denominada de equação 
reduzida da circunferência e, a partir dela pode-se obter a equação 
geral da circunferência pela resolução das potências. Observe os 
exemplos numéricos a seguir: 
 
Exemplo 1: Qual é a equação reduzida de uma circunferência com 
centro em C = (2, 2) e raio r = 4? 
A equação reduzida de uma circunferência corresponde a: 
(x - x0)2 + (y - y0)2 = R2 
Como C = (2, 2), temos: 
(x - 2)2 + (y - 2)2 = 42 
 
Exemplo 2: Determine a equação geral de uma circunferência com 
centro em C = (1, 3) e raio r = 3. 
 
 
Para obtermos a equação geral de uma circunferência, inicialmente 
vamos considerar a equação reduzida: 
(x - x0)2 + (y - y0)2 = R2 
Substituindo x0 por 1 e y0 por 3, temos: 
(x - 1)2 + (y - 3)2 = 32 
Vamos agora desenvolver os produtos notáveis: 
(x - 1)2 = x2 - 2x + 1 
 (y - 3)2 = y2 - 6y + 9 
 Pois sabemos que: 
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 
x2 - 2x + 1 + y2 - 6y + 9 = 9 
Agrupando os termos semelhantes, temos x2 + y2 - 2x - 6y = -1 
 
Exemplo 3: encontre a equação reduzida e a equação geral de uma 
circunferência de centro emC = (1, –3) e raio 2. 
De acordo com os dados do enunciado, tem-se: 
(x - x0)2 + (y - y0)2 = R2 
(x - 1)2 + (y - (-3))2 = 22 
(x - 1)2 + (y + 3)2 = 4 → Equação reduzida 
E então: 
(x - 1)2 + (y + 3)2 = 4 
x2 - 2x + 1 + y2 + 6y + 9 = 4 
x2 + y2 - 2x + 6y + 6 = 0 → Equação geral 
Exemplo 4: Qual é a cônica cuja equaçãocorresponde a x2 + y2 + 2x + 
6y = 8 
Sabemos que a equação da cônica é igual a x2 + y2 + 2x + 6y = 8 
Precisamos agora descobrir qual é a sua forma para que, com isso, 
possamos determinar que cônica é essa. Pensando em produtos 
notáveis, podemos agrupar os termos em x e adicionar 1 e -1 a esses 
termos. 
 
Esse procedimento não altera a equação, mas permite que possamos 
escrever x2 + 2x + 1 como (x + 1)2. Mas como é possível saber que 
nesse caso é preciso adicionar 1 e -1? A resposta é bem simples: basta 
considerarmos o coeficiente de x e dividirmos esse coeficiente por 2 e, 
em seguida, elevarmos o resultado ao quadrado: 2 ÷ 2 = 1 e 12 = 1. 
Agrupamos também os termos em y e acrescentamos 9 e -9 a esses 
termos. A escolha desses números é feita da mesma maneira que 
explicamos anteriormente. 
Nesse caso, dividimos o coeficiente de y por 2 e elevamos o resultado 
ao quadrado: 6 ÷ 2 = 3 e 32 = 9. Dessa forma podemos escrever y2 + 6y 
+ 9 como sendo (y + 3)2: 
x2 + 2x + 1 - 1 + y2 + 6y + 9 - 9 = 8 
 
Substituindo, então, x2 + 2x + 1 por (x + 1)2 e y2 + 6y + 9 por (y + 3)2, 
temos: (x + 1)2 - 1 + (y + 3)2 - 9 = 8 
 
Vamos agora somar -1 e -9, o que resulta em -10: 
(x + 1)2 + (y + 3)2 - 10 = 8 
 
Somando 10 nos dois membros, temos: (x + 1)2 + (y + 3)2 = 8 + 10 
Vamos agora somar 8 com 10: (x + 1)2 + (y + 3)2 = 18 
 
Como a equação obtida possui o formato (x - x0)2 + (y - y0)2 = R2, trata-
se de uma circunferência de raio R = e centro em (-1, -3). 
 
Exemplo 5: determine qual é a cônica dada por x2 + y2 + 4x - 10y = 0 
Reescreva a equação geral dada usando quadrados perfeitos: 
x2 + y2 + 4x - 10y = 0 
x2 + 4x + y2 - 10y = 0 
x2 + 4x + 4 - 4 + y2 - 10y + 25 - 25 = 0 
(x + 2)2 - 4 + (y - 5)2 - 25 = 0 
(x + 2)2 + (y - 5)2 = 29 
 
Como a equação encontrada está no formato (x - x0)2 + (y - y0)2 = R2, 
pode-se afirmar que se trata de uma circunferência de centro em (–2, 
5) e raio . 
 
Exemplo 6: efetue uma translação nos eixos x e y para que a 
circunferência encontrada no exemplo anterior tenha centro no ponto 
de origem (0, 0). 
Como o centro da circunferência está em (–2, 5), faça x' = x + 2 e y'= y 
- 5, ou seja, substitua x por x' - 2 e y por y' + 5. Assim: 
(x + 2)2 + (y - 5)2 = 29 
(x' - 2 + 2)2 + (y' + 5 - 5)2 = 29 
(x')2 + (y')2 = 29 
Para se aprofundar ainda mais sobre equação da circunferência e 
equação reduzida da circunferência, acesse os dois vídeos disponíveis 
nos ícones a seguir. 
https://www.youtube.com/watch?v=4jnGRvAzsTk 
https://www.youtube.com/watch?v=yHWma-nfgNc 
Está com alguma dúvida? Então, não perca a explicação do professor 
Nacib Mattar Júnior sobre esse conteúdo, acessando o vídeo no 
material on-line! 
Cônicas: elipse 
A elipse também é uma cônica e ela pode ser definida como um 
conjunto de pontos de um plano cuja a soma das distâncias de dois 
pontos fixos (Foco 1 e Foco 2) é igual a uma constante de mesmo valor 
real positivo a. 
 
 
A equação canônica da elipse é dada por: 
 
Sendo o seu centro P = (x0, y0), e a e b, os comprimentos de seus 
semieixos como indica a ilustração a seguir: 
 
Observe que se a = b, a elipse será uma circunferência! 
Exemplo 1: A figura abaixo apresenta uma elipse com centro na origem, 
semieixo vertical igual a 3 e semieixo horizontal igual a 4. 
 
Com base nessas informações, determine a equação canônica dessa 
elipse. 
A equação canônica da elipse é: 
Onde x0 e y0 são as coordenadas do centro da elipse e a e b são os 
semieixos da elipse. Substituindo x0 e y0 por 0 e 0, respectivamente 
e a e b por 4 e 3, respectivamente, temos: 
 
O que resulta em: 
 
Que é a equação canônica da elipse dada. 
 
Exemplo 2: encontre a equação canônica da elipse representada a 
seguir. 
 
Como essa elipse tem centro na origem e os semieixos de 
medidas 2 (horizontal) e 4(vertical), tem-se: 
 
A equação geral dessa elipse pode ser obtida a partir da sua equação 
canônica. Observe: 
 
Exemplo 3: Determine qual é a cônica de equação 25x2 + 9y2 + 100x + 
18y - 116 = 0. 
Para sabermos qual é a cônica cuja equação é: 
25x2 + 9y2 + 100x + 18y - 116 = 0 
Precisamos encontrar a sua forma padrão. Inicialmente vamos agrupar 
os termos em x e os termos em y. 
25x2 + 100x + 9y2 + 18y - 116 = 0 
 
 
Podemos agora, em relação aos termos em x, colocar 25 em evidência. 
Em relação aos termos em y, podemos colocar 9 em evidência. 
25(x2 + 4x) + 9(y2 + 2y) - 116 = 0 
Vamos agora acrescentar 4 e -4 ao termo (x2 + 4x) e vamos também 
acrescentar 1 e-1 ao termo (y2 + 2y). 
25(x2 + 4x + 4 - 4) + 9(y2 + 2y + 1 - 1) - 116 = 0 
Com isso, podemos utilizar os produtos notáveis para simplificarmos 
esses termos. A seguir iremos colocar parênteses nos termos a serem 
simplificados para que possamos visualizar melhor. 
25((x2 + 4x + 4) - 4) + 9((y2 + 2y + 1) - 1) - 116 = 0 
Podemos escrever: 
x2 + 4x + 4 como (x+2)2 e y2 + 2y + 1 como (y+1)2. 
25((x + 2)2 - 4) + 9((y + 1)2 - 1) - 116 = 0 
Multiplicando 25 por (x + 2)2 e por -4 e multiplicando 9 por (y + 1)2 e 
por -1 temos 
25(x + 2)2 - 100 + 9(y + 1)2 - 9 - 116 = 0 
Vamos agora somar os termos -100, -9 e -116 
25(x + 2)2 + 9(y + 1)2 - 225 = 0 
Somando 225 nos dois membros, temos 
25(x + 2)2 + 9(y + 1)2 = 225 
 
Vamos agora dividir os dois membros por 225: 
 
Logo, temos: 
 
Podemos escrever 9 como sendo 32 e 25 como sendo 52 
 
 
Como a equação está na forma: 
 
Temos uma elipse de centro em (-2, -1) e cujos semieixos 
medem 3 (horizontal) e 5(vertical). 
 
Exemplo 4: determine qual é a cônica dada por x2 + 4y2 - 1 = 0. 
A equação dada pode ser reescrita assim: 
 
Como a equação encontrada está no formato: 
 
Pode-se afirmar que se trata de uma elipse com seu centro na origem 
e com semieixos de medidas a = 1 (horizontal) e (vertical). 
 
Exemplo 5: determine qual é a cônica dada por 4x2 + y2 + 8x - 6y - 3 = 
0. 
Inicialmente pode-se observar que como os coeficientes dos termos de 
2º grau são diferentes, 4e 1, a figura não se trata de uma circunferência. 
Reescreva, então, a equação geral dada usando quadrados perfeitos: 
 
A equação obtida está no formato: 
 
 
 
Portanto, pode-se afirmar que se trata de uma elipse com centro em (–
1, 3) e com semieixos de medidas a = 2 (semieixo horizontal) e b = 
4 (semieixo vertical). 
Que tal mais algumas resoluções de exercícios de elipse para você ficar 
ainda mais por dentro desse assunto? Não perca tempo e acesse o 
vídeo indicado a seguir. 
https://www.youtube.com/watch?v=s-7406oQOow 
Para compreender melhor esse assunto, assista ao vídeo do professor 
Nacib Mattar Júnior no material on-line! 
Cônicas: hipérbole 
A hipérbole também é uma cônica e pode ser definida como um 
conjunto de pontos em um plano cuja a diferença, em módulo, das 
distâncias de dois pontos fixos (Foco 1 e Foco 2) é igual a um mesmo 
valor real positivo a. 
 
A equação canônica da hipérbole é dada por: 
 
(ramos à esquerda e à direita) 
ou 
 
(ramos acima e abaixo) 
 
 
Exemplo 1: Determine a equação canônica da hipérbole apresentada 
na figura abaixo. 
 
A forma da equação canônica da hipérbole é: 
 
Nesse caso, x0 = 0, y0 = 0, a = 3 e b = 1: 
 
Subtraindo os termos entre parênteses e elevando os denominadores 
ao quadrado, temos: 
 
Que corresponde a: 
 
A equação canônica da hipérbole em questão. 
Exemplo 2: encontre a equação canônica da hipérbole representada a 
seguir. 
 
 
Como os ramos são horizontais (à esquerda e à direita), o formato da 
equação canônica é: 
 
O centro da hipérbole, dadopelo ponto de encontro das assíntotas 
(retas), é a origem do plano cartesiano, portanto: x0 = 0 e y0 = 0 
 
Os coeficientes a e b são obtidos pelas medidas dos lados do retângulo 
representado na figura, sendo a igual à metade da medida dos lados 
horizontais e b igual a metade da medida dos lados verticais do 
retângulo, assim: 
 
Substituindo-se os valores encontrados na equação canônica, tem-se: 
 
A equação geral também pode ser obtida a partir da reduzida, como é 
demonstrado a seguir: 
 
Exemplo 3: determine qual é a cônica dada por -x2 + 4y2 - 1 = 0. 
 
A equação dada pode ser reescrita como a seguir: 
 
Como a equação encontrada está no formato 
 , pode-se afirmar que se trata de uma hipérbole de 
ramos verticais (para cima e para baixo) de centro na origem, com 
coeficientes . 
 
Exemplo 4: determine qual é a cônica dada por x2 - y2 + 3x - 2y + 5 = 
0. 
Pode-se observar inicialmente que, como os coeficientes dos termos de 
2º grau possuem sinais diferentes, + 1 e – 1, não se trata de uma 
circunferência e nem de uma elipse. 
Reescreva a equação geral dada usando quadrados perfeitos: 
x2 - y2 + 3x - 2y + 5 = 0 
x2 + 3x - y2 - 2y + 5 = 0 
x2 = 3x - 1 . (y2 + 2y) + 5 = 0 
 
 
A equação obtida está no formato: 
 
 
 
 
Portanto, pode-se afirmar que se trata de uma hipérbole de ramos 
verticais (para cima e para baixo) de centro em e 
coeficientes . 
 
Para aprofundar seus conhecimentos sobre os cálculos envolvendo 
hipérboles, assista à explicação do professor Nacib Mattar Júnior no 
material on-line! 
Cônicas: parábola 
Antes de começarmos a abordar as parábolas na Geometria Analítica, 
recapitule os principais aspectos desse tema assistindo o vídeo a 
seguir. 
https://www.youtube.com/watch?v=_JUpxc3W-CU 
A parábola também é uma cônica e pode ser definida como o conjunto 
dos pontos (inseridos em um plano) que estão equidistantes de um 
ponto fixo F, denominado de foco, e de uma reta fixada r, denominada 
de reta diretriz. 
 
A equação geral de uma parábola “vertical”, isto é, com concavidade 
para cima ou para baixo, é dada por y = ax² + bx + c. Além disso, tem-
se que: 
 
As interseções com o eixo x, se houver alguma, são dadas 
por 
A interseção com o eixo y é dada pelo termo independente, ou seja, 
será o ponto (0, c); 
O vértice da parábola é o ponto de coordenadas: 
 
A equação geral de uma parábola “horizontal”, isto é, com concavidade 
para a direita ou para a esquerda, é dada por x = ay² + by + c. Além 
disso, tem-se que: 
As interseções com o eixo y, se houver alguma, são dadas 
por ; 
A interseção com o eixo x é dada pelo termo independente, ou seja, 
será o ponto (c,0); 
O vértice da parábola é o ponto de coordenadas: . 
 
Exemplo 1: Determine a equação canônica da parábola apresentada na 
figura abaixo. 
 
 
Observando o gráfico, a parábola passa pelos pontos (0, 0), (5, 
12) e (10, 0). Para que possamos encontrar a equação dessa parábola, 
vamos substituir cada um desses pontos na equação y = ax2 + bx + c. 
 
Para o ponto (0, 0), temos y = ax2 + bx + c 
0 = a(0)2 + b(0) + c 
0 = 0 + 0 + c 
0 = c 
c = 0 
 
Para o ponto (5, 12), temos y = ax2 + bx + c 
12 = a (5)2 + b(5) + 0 
12 = a (25) + b(5) + 0 
12 = 25a + 5b 
Ou, de maneira equivalente, 25a + 5b = 12 
 
Note que obtivemos uma equação linear com duas incógnitas. Como há 
uma infinidade de soluções para essa equação, no momento não é 
possível encontrar os valores de a e de b, mas iremos utilizá-la depois. 
 
Para o ponto (10, 0), temos y = ax2 + bx + c 
0 = a(10)2 + b(10) + 0 
0 = a(100) + b(10) + 0 
0 = 100a + 10b 
Ou, de maneira equivalente, 100a+10b=0 
 
 
Para encontrarmos os valores de a e b, vamos resolver o sistema de 
equações 
 
Há várias possibilidades de resolução desse sistema. Vamos utilizar o 
método da adição. Observe que 100: 25 = 4. Logo, se multiplicarmos a 
primeira equação por -4 será possível zerarmos o coeficiente de a ao 
somarmos as duas equações. 
 
Multiplicando cada termo da primeira equação por -4 temos 
 
Vamos agora somar as duas equações 
 
Como -10b = - 48 
Podemos multiplicar a equação por -1, o que resulta em 10b = 48 
Dividindo os dois membros por 10, temos 
Logo: b = 4,8 
Vamos agora calcular o valor de a. O procedimento é bem simples. 
Basta substituirmos b por 4,8 em uma das duas equações. 
Independente da escolha, o resultado obtido é o mesmo. 
Substituindo b por 4,8 na equação 25a + 5b = 12 temos: 
25a + 5(4,8) = 12 
Vamos multiplicar 5 por 4,8: 
25a + 24 = 12 
 
Subtraindo 24 dos dois membros temos: 
25a = 12 - 24 
Que é igual a: 
25a = -12 
Agora basta dividir os dois membros por 25 
 
Logo a = -0,48 
Como a = -0,48, b = 4,8 e c = 0, a equação procurada é: 
y = -0,48x2 + 4,8x 
 
Exemplo 2: encontre a equação da parábola representada a seguir, 
sabendo que o ponto pertence a essa parábola. 
 
A equação geral de uma parábola “horizontal” é x = ay² + by + c. Os 
pontos pertencem a essa parábola. Portanto, 
devem atender à equação a seguir, obtidas pela substituição das 
coordenadas de cada um dos pontos em 
x = ay² + by + c: 
 
Substituindo-se c = 0 nas duas primeiras equações obtém-se: 
 
 
A solução é dada por: . Portanto, a parábola possui 
equação , ou ainda: . 
 
Exemplo 2: determine qual é a cônica dada por x + y² – 1 = 0. 
Não se trata de uma circunferência, nem de uma elipse ou de uma 
hipérbole, já que somente uma das incógnitas (y) é de 2º grau. 
A equação dada pode ser reescrita dessa forma: 
x + y² - 1 = 0 
x = -y² + 1 → Equação geral de uma parábola "horizontal" 
 
Como na equação geral encontrada o coeficiente de y² é negativo (–1), 
a abertura dessa parábola está voltada para a esquerda. 
 
Exemplo 3: determine qual é a cônica dada por x² + 5x + 2y -1 = 0. 
Não se trata de uma circunferência, nem de uma elipse ou de uma 
hipérbole, já que somente uma das incógnitas (y) é de 2º grau. 
A equação dada pode ser reescrita dessa forma: 
 
 
Como na equação geral encontrada o coeficiente de x² é negativo 
a abertura dessa parábola está voltada para baixo. 
 
 
Exemplo 4: Qual é a cônica cuja equação corresponde a 
x² + y - 10 = 0? 
Vamos isolar a variável y. x² + y - 10 = 0 
Primeiro, vamos somar 10 nos dois membros x² + y = 0 + 10 
que é igual a x² + y = 10 
Agora basta subtrairmos x² dos dois membros, o que resulta em 
y = - x² + 10 que é uma parábola vertical com concavidade voltada para 
baixo. 
 
Exemplo 5: Qual é a cônica cuja equação corresponde a y² + 2x + 5 = 
0? 
 
Parábola horizontal com concavidade voltada para esquerda. 
 
Exemplo 6: Represente graficamente a parábola dada por x² - 6x - y + 
5 = 0. Vamos escrever essa equação sob a forma y = ax² + bx + c 
Sendo assim, temos y = x² - 6x + 5 
Uma forma de representarmos graficamente uma parábola é 
encontrarmos as coordenadas do vértice e, caso existam, as raízes 
dessa equação. Depois, basta representar a parábola que passa pelos 
pontos encontrados. Inicialmente, calculando as raízes, temos: 
 
Como a = 1, b = -6 e c = 5 temos: 
 
 
Fazendo – (-6) = 6, (-6)2 = 36 e 4.(1).(5) = 20 temos: 
 
Como 36 - 20 = 16, temos: 
 
Que resulta em: 
 
Para resolvermos esse problema, precisamos calcular, 
separadamente, e . Logo: 
 
 
Portanto, as raízes são 1 e 5. 
Vamos agora calcular as coordenadas do vértice utilizando a fórmula: 
 
Vamos substituir a por 1, b por -6 e c por 5: 
 
Logo, o vértice está localizado no ponto (3, -4). 
Sendo assim, a representação gráficada parábola é a seguinte: 
 
 
Exemplo 7: identifique a cônica dada por x² - 3x – y = 0 como uma 
parábola e represente-a graficamente, incluindo em sua representação 
as intersecções com os eixos x e y, quando houver, e o vértice dessa 
parábola. A equação dada pode ser reescrita como a seguir: 
x² - 3x – y = 0 
y = x² - 3x → Equação geral de uma parábola "vertical" 
Coeficientes: a = 1 ; b = - 3 ; c = 0 
 
Como na equação geral encontrada o coeficiente de x² é positivo (+ 1), 
a abertura dessa parábola está voltada para cima. E ainda: 
 
As interseções com o eixo x, se houver alguma, são dadas 
por . Assim: 
 
 
A interseção com o eixo y é dada pelo termo independente, ou seja, 
será o ponto (0, c) = (0, 0). 
O vértice da parábola é o ponto dado por: 
 
A representação geométrica dessa parábola é dada por: 
 
Para finalizar essa aula, assista a duas lições sobre os cálculos de 
Geometria Analítica envolvendo parábolas disponíveis nos vídeos a 
seguir. 
https://www.youtube.com/watch?v=9Wk_9N1h46o 
https://www.youtube.com/watch?v=2ZS_bohHayA 
Não deixe de acessar o material on-line e descobrir o que o professor 
Nacib Mattar Júnior tem a ensinar sobre esse assunto. Não perca! 
Distância entre dois pontos 
No R²: 
 
 
No R³: 
 
 
 
Distância entre ponto e reta: 
 
 
 
 
Distância entre ponto e plano: 
 
 
 
Cônicas: parábola, elipse, circunferência ou hipérbole. 
 
 
Cônicas degeneradas: retas ou pontos. 
 
Circunferência: 
Equação reduzida: (x -x0)² + (y - y0)² = ℝ² 
 
Elipse: 
Equação canônica: 
 
 
Hipérbole: 
Equação canônica: 
 
(ramos à esquerda e à direita) 
 
 
(ramos acima e abaixo) 
 
 
 
 
Parábola: 
Parábola horizontal: 
Equação geral: y = ax² + bx + c 
Intersecções com o eixo x: 
Intersecção com o eixo y: (0, c) 
Vértice da parábola: 
 
 
Parábola vertical: 
Equação geral: x = ay² + by + c 
Intersecções com o eixo x: 
Intersecção com o eixo y: (0, c) Vértice da parábola: 
 
 
E assim terminamos a aula de hoje. Nela você estudou as distâncias e 
os cálculos existentes nas Cônicas que envolvem circunferências, 
elipses, hipérboles e parábolas. 
 
Para se aperfeiçoar cada vez mais nessa matéria, continue estudando 
essas lições. Com certeza esse esforço aumentará e muito o seu 
desempenho. 
Até a próxima! 
Na prática 
Vimos que as cônicas estão presentes em diversas aplicações práticas. 
Como exemplo, podemos considerar uma empresa que produz e 
comercializa chinelos de E.V.A. Os custos fixos associados a esse 
produto totalizam R$ 1.200,00. Sabe-se que se o preço unitário é de R$ 
20,00 o par, o lucro será de R$ 600,00 e se o preço for de R$ 22,00 o 
par, o lucro será de R$ 648,00. 
Na prática, essas informações têm origem a partir da observação dos 
fatos relacionados à empresa. O objetivo da empresa é determinar o 
preço de venda de cada par de chinelos que maximiza o respectivo 
lucro mensal. 
A relação entre o preço de venda e o lucro de uma empresa muitas 
vezes pode ser descrita por uma função quadrática, isso ocorre por que 
se o preço é muito baixo, a margem de lucro é muito pequena e se o 
preço for muito alto, o lucro unitário pode ser bastante significativo, mas 
o volume de vendas é bem menor e consequentemente o lucro total 
também fica reduzido. 
Existe um preço ótimo que gera o maior lucro possível para esse 
produto. Na figura a seguir, podemos observar isso. 
 
 
Se o preço estiver próximo de x1 ou de x2, (raízes da função quadrática), 
o respectivo lucro é próximo de zero, mas se obtivermos um preço entre 
as raízes, o lucro aumenta até atingir um ponto máximo que é o vértice 
(xv) da parábola. Nesse caso, a fórmula a seguir pode ser utilizada para 
calcularmos esse preço ótimo. 
a
b
xv
2


 
Para que isso seja possível, precisamos obter a expressão da função 
quadrática relacionada ao problema onde x é o preço de venda e y é o 
lucro mensal associado a esse preço. 
Com base nas informações apresentadas, para x=0, temos y=-1200 e 
o nosso primeiro ponto é (0, -1200). Precisaremos de mais dois pontos 
e para isso é importante termos mais informações. Sabemos ainda que 
se o preço é de R$ 20,00, o lucro é de R$ 600,00 e se o preço é de R$ 
22,00, o lucro é de R$ 648,00. Sendo assim, temos os seguintes pares 
ordenados: (20, 600) e (22, 648). Logo, vamos substituir cada um dos 
três pares ordenados na expressão y=ax2+bx+c para encontrarmos os 
coeficientes a, b e c. 
 
Para o ponto (0, -1200), temos: 
y=ax2+bx+c 
-1200=a(0)2+b(0)+c 
-1200=0+0+c 
-1200=c 
c=-1200 
 
Para o ponto (20, 600), temos: 
y=ax2+bx+c 
600=a(20)2+b(20)+(-1200) 
600=400a+20b-1200 
600+1200=400a+20b 
 
1800=400a+20b 
400a+20b=1800 
 
Para o ponto (22, 648), temos: 
y=ax2+bx+c 
648=a(22)2+b(22)+(-1200) 
648=484a+22b-1200 
648+1200=484a+22b 
1848=484a+22b 
484a+22b=1848 
 
Precisamos resolver agora o sistema de equações a seguir para 
obtermos os valores de a e b: 
{
400a + 20b = 1800
484𝑎 + 22𝑏 = 1848
 
 
Para simplificar, podemos dividir a primeira equação por 20 e a segunda 
por 22, o que resulta em: 
{
20a + b = 90
22𝑎 + 𝑏 = 84
 
 
Multiplicando a segunda equação por -1, temos: 
{ 20a + b = 90
−22𝑎 − 𝑏 = −84
 
 
Somando termo a termo, temos: 
-2a=6 
a=6/(-2) 
a=-3 
 
Vamos substituir o valor de a na equação 20a+b=90 para calcularmos 
o valor de b: 
20a+b=90 
20(-3)+b=90 
 
-60+b=90 
b=90+60 
b=150 
 
Logo, a=-3, b=150 e c=-1200 
Portanto, a função quadrática que relaciona o lucro com o preço é: 
y=-3x2+150x-1200 
Essa técnica pode ser utilizada para a obtenção de qualquer função 
quadrática associada a um problema real. Para sabermos então qual é 
o preço de venda que maximiza o lucro mensal, vamos utilizar a fórmula: 
xv =-b/(2a) 
Como a=-3 e b=150, temos: 
xv =-150/(2(-3)) 
xv =-150/(-6) 
xv =25 
Portanto, o preço que fornece o maior lucro mensal possível para a 
produção e venda dos chinelos é de R$ 25,00 para cada par. 
 
Síntese 
Chegamos ao final da aula! 
Nessa aula você aprendeu a calcular as distâncias entre pontos, retas 
e planos. Também aprendeu o que são cônicas bem como as 
respectivas equações que as representam. 
Você aprendeu também como determinar o ponto que maximiza o lucro 
de uma empresa quando a função que a rege é uma função quadrática. 
Até a próxima! 
 
 
Referências 
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: 
Pearson, 2014.