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MEC 2348 - Transferência de Calor II Convecção forçada em escoamento laminar externo (Cap.2) Prof. Florian Pradelle (pradelle@puc-rio.br) Sala L-163 –Telefone: 3527-1182 5ª feira (09-12h) – L-106 1 Sumário • Problema fundamental da convecção • Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de pressão • Conceito de camada limite • Espessuras das camadas limites hidrodinâmica e térmica • Solução integral aproximada • Solução exata pelo método da similaridade • Escoamento sobre uma placa plana sem gradiente de pressão • Comprimento inicial não aquecido • Fluxo constante • Escoamento sobre uma placa plana isotérmica com gradiente de pressão • Escoamento ao longo de cunhas 2 Problema fundamental da convecção • Objetivo • Relação entre o escoamento (F) e a transferência de calor (h) ⟹ determinação dos perfis de u, v e T • Placa plana isotérmica ( ) sem gradiente de pressão ( ) • Velocidade ( ) e temperatura ( ) uniformes longe da placa • Força de arrasto (N): • Tensão cisalhante (N/m²): • Taxa de transferência de calor (W): • Fluxo de calor (W/m²): • Na interface (y=0): • Condição de não deslizamento: u = 0 • Condução pura na camada de fluido na interface: 3⟹ Problema fundamental da convecção • Equacionamento • Hipóteses: • Fluido newtoniano e incompressível • Propriedades constantes • Regime permanente • Escoamento bidimensional • Sem geração interna de calor • Dissipação viscosa e efeito da compressibilidade desprezíveis • Equação da continuidade: • Conservação de momento linear (dir. x): • Conservação de momento linear (dir. y): • Conservação de energia: 4 Problema fundamental da convecção • Condições de contorno • Na interface com a superfície (y=0): • Infinitamente longe da superfície (x, y → ∞): 5 • Hipótese de Ludwig Prandtl (1904): Escoamento externo pode ser dividido em 2 regiões • Camada limite (CL): perto da superfície sólida, onde se sente os efeitos da superfície • Forças viscosas comparáveis aos termos de aceleração (forças de inércia): • Espessura da CL é sempre muito menor do que as dimensões características do problema: • Corrente livre: longe da superfície sólida, onde não se sente os efeitos da superfície • Forças viscosas desprezíveis (equação de Euler): • Camada limite hidrodinâmica: • Tensão cisalhante, 𝜏, é importante • Gradiente de velocidade: 𝑢(𝑥) < 𝑈∞ • Espessura: y = δ(x) onde 𝑢(𝑥) 𝑈∞ = 0,99 • Camada limite térmica: • Diferença de temperatura, , é importante • Troca de energia: Uniforme ⟶ Perfil de temperatura T(x,y) • Espessura: y = δt (x) onde = 0,99 6 Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de pressão - Conceito de camada limite (CL) • Análise da ordem de grandeza dos termos • Corrente livre: • Camada limite (CL): • Variações de x, y e u: • Termos da equação de conservação de momento na direção x: • Da equação da continuidade: ⟹ • Consequências: • Termos de inércia: • Termos viscosos: 7 ⟹ ≪ Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de pressão - Conceito de camada limite (CL) • Análise da ordem de grandeza dos termos • Camada limite (CL): • Conservação de momento na direção x: • Conservação de momento na direção y: • Gradiente de pressão: ⟹ • Ordens de grandeza: equilíbrio entre as forças de pressão e viscosas (ou de inércia): • Logo, ⟹ ⟹ • Consequentemente, 8 Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de pressão - Conceito de camada limite (CL) Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de pressão - Conceito de camada limite (CL) • Análise da ordem de grandeza dos termos • Equações para camada limite (CL): • Conservação de massa: • Conservação de momento na direção x: • Conservação de energia: 9 Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de pressão – Espessuras δ e δt • Ordem de grandeza da espessura da camada limite hidrodinâmica δ • Tensão cisalhante: • Assumindo que a pressão na corrente livre é constante, obtém-se: • Logo, ⟹ com Re, número de Reynolds • Consequências: • Tensão cisalhante: • Coeficiente de atrito: ⟹ 10 Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de pressão – Espessuras δ e δt • Ordem de grandeza da espessura da camada limite térmica δt • Coeficiente de troca de calor por convecção: • Desprezando a dissipação viscosa e a geração de energia, obtém-se: • Caso 1: ⟹ e • Consequências: ⟹ • com Pe, número de Peclet e Pr, número de Prandtl • ⟹ : casos dos metais líquidos (Pr << 1) • Consequências: • u = cste e v = 0 ⟹ Resolução somente da equação de energia • Coeficiente de troca de calor por convecção: 11 Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de pressão – Espessuras δ e δt • Ordem de grandeza da espessura da camada limite térmica δt • Coeficiente de troca de calor por convecção: • Desprezando a dissipação viscosa e a geração de energia, obtém-se: • Caso 2: ⟹ • Consequências: • • ⟹ : casos dos óleos e da água: (Pr >> 1) • Consequências: • Coeficiente de troca de calor por convecção: 12 13 • Número de Reynolds: • Razão entre as forças de inércia e forças viscosas: • Regime laminar se Re < 500 000 para a placa plana • Número de Prandtl: • Razão entre a difusividade de quantidade de movimento e difusividade térmica • Metais líquidos: Pr ≪ 1; Gases: Pr ≈ 1; Óleos, água: Pr ≫ 1 • Número de Peclet: • Razão entre as taxas de transferência de calor por advecção e por condução • Número de Nusselt: • Razão entre a transferência de calor por convecção e somente por condução no fluido Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de pressão – Espessuras δ e δt Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de pressão – Espessuras δ e δt 14 • Resumo Pr Razão . Número de Nusselt Perfil das camadas limites Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de pressão - Solução integral aproximada • Objetivo: • Determinar os valores dos coeficientes de proporcionalidade • Obter valores médios para a tensão cisalhante e o coeficiente de troca de calor por convecção • Solução integral: Método simples fornecendo uma solução aproximada • Desenvolvida por Pohlhausen e von Karman • Elimina a variável y das equações da CL • Soluções obtidas a partir dos gradientes de velocidade e de temperatura calculados em y = 0 • Integração das equações simplificadas entre y = 0 e y = Y = max(δ,δt) 15 Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de pressão - Solução integral aproximada • Simplificação das equações • Conservação de momento na direção x + u x Conservação de massa: • Conservação de energia + T x Conservação de massa: • Condições de contorno • Na interface com a superfície (y=0): • Infinitamente longe da superfície (x, y → ∞): 16 Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de pressão - Solução integral aproximada • Integração das equações entre y = 0 e y = Y = max(δ,δt) • Conservação de momento na direção x + u x Conservação de massa: • Conservação de energia + u x Conservação de massa: • Conservação de massa: • Substituindo e (expressão), assim como , nas condições de contorno, assumindo que é uma função de x e aplicando a regra de Leibnitz 17 ⟹ ⟹ ⟹ (expressão para )Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de pressão - Solução integral aproximada • Caso do escoamento sem gradiente de pressão ( e constantes) • Assumindo um perfil para a velocidade u: para • m(n) varia entre 0 e 1 • Logo, com com 18 (equação diferencial ordinária de 1ª ordem)⟹ Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de pressão - Solução integral aproximada • Caso do escoamento sem gradiente de pressão ( e constantes) • Assumindo um perfil para a temperatura T: para • m(p) varia entre 0 e 1 e , função do número de Prandtl • • Para Pr >> 1: • Para Pr << 1: • Primeira integral: Velocidade u tem o perfil para • Segunda integral: Velocidade u tem o perfil para ; predomina porque Δ >> 1 19 Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de pressão - Solução integral aproximada • Caso do escoamento sem gradiente de pressão ( e constantes) • Para Pr << 1: 20 Perfil mais simples: linear Perfil mais comum: cúbico Solução exata Esc. sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de pressão - Solução exata (método da similaridade) • Método da similaridade • Soluções desenvolvidas por Blasius (u) e Pohlhausen (T) • Mudança de coordenadas para transformar as equações diferenciais parciais em equações diferenciais ordinárias • Variável de similaridade proporcional a com : • Hipótese: representa o perfil de velocidade (incógnita) • Solução do problema hidrodinâmico • Hipóteses: Placa plana, sem gradiente de pressão, propriedades constantes e regime permanente • Equações: • Condições de contorno: 21 Esc. sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de pressão - Solução exata (método da similaridade) 22 • Variável de similaridade: tal que • Uso de uma função corrente : • Verifica a equação da continuidade: • Equação de conservação de momento na direção x: • Condições de contorno: • Definição de em função da variável similar : ⟹ ⟹ ⟹ ⟹ ⟹ Esc. sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de pressão - Solução exata (método da similaridade) 23 • Equação de Blasius: • Equação diferencial não linear com coeficientes constantes de 3ª ordem • Resolução: • Blasius (1908): solução aproximada • Howarth (1938): solução numérica • Valores tabelados • Espessura δ: • • 4,92 na solução aprox. de Blasius • Esc. sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de pressão - Solução exata (método da similaridade) 24 • Equação de conservação de momento: • Espessura de deslocamento: • • Fração da velocidade da corrente livre desacelerada por efeitos viscosos pela parede • Espessura de momento: • Fração do momento deslocada fora da CL • Soluções pelo método da similaridade: ⟹ Esc. sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de pressão - Solução exata (método da similaridade) • Coeficiente de atrito • Local: • Médio: Cmédio entre x= 0 e x qualquer = 2 x Clocal em x qualquer • Solução do problema térmico • Hipóteses adicionais: sem geração, dissipação viscosa e efeito da compressibilidade desprezíveis • Equação: • Usando o perfil de temperatura adimensional : • Obs 1: Se e , os perfis adimensionais de u e T são idênticos • Obs 2: Existe uma solução analítica obtida por separação de variáveis • Condições de contorno: 25 ⟹ ⟹ Esc. sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de pressão - Solução exata (método da similaridade) 26 • Solução analítica do problema térmico • Equação: • Condições de contorno: • Integração dupla: • Usando a CC para 𝜂 → ∞: • Solução analítica depende da solução numérica das integrais e do número de Prandtl ⟹ ⟹ Esc. sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de pressão - Solução exata (método da similaridade) 27 • Número de Nusselt • Local: • Para Pr > 0,5: • Para Pr < 0,5 ( ): • Médio: • Numédio entre x = 0 e x qualquer = 2 x Nulocal em x qualquer • Correlação de Churchill e Ozoe (para qualquer Pr, mas Pe > 100): ⟹ ⟹ ⟹ Esc. sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de pressão - Solução exata (método da similaridade) 28 • Limitações da teoria da camada limite • Velocidade normal v: • Na solução de Blasius, a velocidade normal a superfície v tende a quando 𝜂 → ∞ • Na realidade, v tende a zero quando 𝜂 → ∞ (efeitos da parede desprezíveis) • Quando 𝜂 → ∞: ⟹Melhor solução quando Re aumenta e a CL fica mais fina • Próximo a borda de ataque: • Ordem de grandeza para δ: • Para ter , : condição não válida próxima a borda de ataque (L pequeno) Escoamento sobre uma placa plana sem gradiente de pressão - Comprimento inicial não aquecido 29 • Comprimento inicial não aquecido • Assumindo perfis cúbicos para os perfis de velocidade e de temperatura ⟹ com ⟹ Escoamento sobre uma placa plana sem gradiente de pressão - Fluxo constante 30 • Fluxo constante • Obs.: A superfície não está mais isotérmica • Para • Número de Nusselt: • Perfil de temperatura (método da similaridade): • Diferença de temperatura média: Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de pressão - Escoamento ao longo de cunhas 31 • Escoamento ao longo de cunhas • Corrente livre faz um ângulo 𝛽 2 com a superfície • Acelerado com o aumento de x (distância a borda de ataque da cunha) • Perfil de velocidade fora da CL, obtido pela teoria de escoamento potencial • com • Fora da CL • • Substituindo na eq. de conservação de momento na direção x na CL: ⟹ Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de pressão - Escoamento ao longo de cunhas 32 • Escoamento ao longo de cunhas • Método da similaridade para e • Problema hidrodinâmica: (eq de Falkner e Skan) • Condições de contorno: • Coeficiente de atrito local: Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de pressão - Escoamento ao longo de cunhas 33 • Escoamento ao longo de cunhas • Método da similaridade para e • Problema térmica: • Condições de contorno: • Coeficiente de troca de calor por convecção médio: Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de pressão - Escoamento ao longo de cunhas 34 • Escoamento ao longo de cunhas • com
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