AULAMECFLU CINEMATICA 2S 2015 2016

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Vales do Jequitinhonha e MucuriVales do Jequitinhonha e Mucuri
CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
MECÂNICA DOS MECÂNICA DOS 
UFVJMUFVJM
Universidade Federal dos Vales do Universidade Federal dos Vales do 
Jequitinhonha e MucuriJequitinhonha e Mucuri
© Marcos A R dos Santos © Marcos A R dos Santos ------ marcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.brmarcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.br Capítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCapítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
FLUIDOSFLUIDOS
MARCOS ANTONIO RODRIGUES DOS SANTOSMARCOS ANTONIO RODRIGUES DOS SANTOS
DIAMANTINA DIAMANTINA –– MGMG
2S 20152S 2015
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
• SUMÁRIO 
• 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS
• 2 – PROPRIEDADES E MEDIDAS FÍSICAS DOS FLUIDOS
• 3 – ESTÁTICA DOS FLUIDOS
• 4 – DINÂMICA DOS FLUIDOS
© Marcos A R dos Santos © Marcos A R dos Santos ------ marcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.brmarcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.br Capítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCapítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
• 4 – DINÂMICA DOS FLUIDOS
• 5 – CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
• 6 – ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA
• 7 – ESCOAMENTO INTERNO VISCOSO E INCOMPRESSÍVEL
• 8 – ESCOAMENTO EXTERNO POTENCIAL
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CAPÍTULO 5–CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
DESCRIÇÃO LAGRANGIANA E EULERIANA.
CAMPO DE VELOCIDADE E ACELERAÇÃO DO 
FLUIDO.
CONSERVAÇÃO DA MASSA
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CONSERVAÇÃO DA MASSA
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE 
MOVIMENTO LINEAR
FUNÇÃO CORRENTE
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOS.
DESCREVERÁ O MOVIMENTO DA PARTÍCULA DE 
FLUIDO SEM SE PREOCUPAR COM O QUE ORIGINA O 
MOVIMENTO (FORÇAS, MOMENTOS, ETC...)
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
DESCRIÇÃO LAGRANGIANA E EULERIANA.
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Joseph Lagrange (1736-1813) Leonhard Euler (1707-1783)
55
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
DESCRIÇÃO LAGRANGIANA E EULERIANA.
ATÉ ENTÃO...
Volume de
F
�� W
H
���
EULERINA
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Volume de
Controle
Q mɺ
EFEITOS GLOBAIS
66
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DESCRIÇÃO LAGRANGIANA E EULERIANA.
EULERINA
A ATENÇÃO É DADA PARA UMA REGIÃO
(VOLUME DE CONTROLE)
Superfície de 
controle
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Sistema
Volume de 
controle
controle
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DESCRIÇÃO LAGRANGIANA E EULERIANA.
LAGRANGIANA
A ATENÇÃO AGORA É VOLTADA PARA UMA PEQUENA
PORÇÃO DO FLUIDO (UM PONTO MATERIAL)
“DESCRIÇÃO DO MOVIMENTO DA PARTÍCULA DE
FLUIDO INDIVIDUALMENTE”
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FLUIDO INDIVIDUALMENTE”
Região de 
interesse
88
PARTÍCULA DE FLUIDO
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
DESCRIÇÃO LAGRANGIANA E EULERIANA.
EULERIANA
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99
Balanço das propriedades (termos médios) 
nas seções.
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DESCRIÇÃO LAGRANGIANA E EULERIANA.
LAGRANGIANA
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1010
Valores das propriedades ponto a 
ponto(Localmente).
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DIFICULDADE:
O FLUIDO É COMPOSTO DE BILHÕES DE PARTÍCULAS
AS INTERAÇÕES ENTRE AS PARTÍCULAS DE FLUIDO
É MUITO DIFÍCIL DE MODELAR E PREVER.
DESCRIÇÃO LAGRANGIANA E EULERIANA.
LAGRANGIANA
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1111
É MUITO DIFÍCIL DE MODELAR E PREVER.
APLICAÇÕES ESPECÍFICAS:
SPRAYS, DINÂMICA DE BOLHAS, GÁS RAREFEITO
METÓDOS HIBRIDOS EULER-LAGRANGEANO.
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LAGRANGIANA
(Spray)
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LAGRANGIANA
(Spray)
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(Spray)
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(Spray)
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LAGRANGIANA
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LAGRANGIANA
MICROELECTROMECHANICALSYSTEMS (MEMS)
NANOTECHNOLOGIES.
GLOBAL ENVIRONMENTAL MEMS SENSORS (GEMS)
SENSORES SUSPENSOS NAATMOSFERA
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PODE-SE OBTER VALORES MÉDIOS (EULERIANO) OU
VALORES LOCAIS INSTANTÂNEOS (LAGRANGIANO)
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LAGRANGIANALAGRANGIANA
(MEMS (MEMS -- GEMS)GEMS)
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LAGRANGIANALAGRANGIANA
(MEMS (MEMS -- GEMS)GEMS)
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CAMPO DE VELOCIDADE E ACELERAÇÃO.
UM CAMPO DE ESCOAMENTO 
SIGNIFICA REPRESENTAR AS PROPRIEDADES DO
FLUIDO EM FUNÇÃO DAS COORDENADAS
ESPACIAIS, EX: P(x,y,z,t), T(x,y,z,t), V(x,y,z,t)...
MEIO CONTÍNUO
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É A MENOR REGIÃO DE INTERESSE ONDE O
NÚMERO DE MOLECULAS É SUFICIENTE PARA
GARANTIR QUE AS PROPRIEDADES DO FLUIDO
VARIEM SUAVEMENTE.
ASSIM PODEMOS APLICAR OS CONCEITOS DO
CÁLCULO DIFERENCIAL
2020
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CAMPO DE VELOCIDADE E ACELERAÇÃO.
CAMPO DE VELOCIDADE
REFERÊNCIAL EULERIANO E LAGRANGIANO
REFERENCIAL REFERENCIAL 
MÓVELMÓVEL
REFERENCIAL REFERENCIAL 
MÓVELMÓVEL
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t1t1
t2t2
t3t3
t4t4
REFERENCIAL FIXOREFERENCIAL FIXO
REFERENCIAL REFERENCIAL 
MÓVELMÓVEL
REFERENCIAL REFERENCIAL 
MÓVELMÓVEL
MÓVELMÓVEL
2121
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REFERÊNCIAL EULERIANO E LAGRANGIANO
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(POSIÇÃO FIXA)
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(Sensor movimenta com
a partícula de fluido)
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CAMPO DE VELOCIDADE E ACELERAÇÃO.
CAMPO DE VELOCIDADE
V u v w= + +
� � � �
( , ) ( , ) ( , ) ( , )V r t u r t i v r t j w r t k= + +
�� � �� � � �
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( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )V x y z t u x y z t i v x y z t j w x y z t k= + +
�� � �
2525
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CAMPO DE VELOCIDADE E ACELERAÇÃO.
CAMPO DE ACELERAÇÃO
dV
a
dt
=
�
�
( )( , ) ( , ) ( , ) ( , )da r t u r t i v r t j w r t k
dt
= + +
�� �� � � � �
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dt
( ) ( )
( )
( , , , ) ( , , , )
( , , , )
( , , , )
d u x y z t d v x y z t
a x y z t i j
dt dt
d w x y z t
k
dt
= + +
+
� ��
�
2626
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CAMPO DE VELOCIDADE E ACELERAÇÃO.
CAMPO DE ACELERAÇÃO
, , , ,COMO u v w são funções de xy z e t
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( , , , )d u x y z t u u d x u d y u d z∂ ∂ ∂ ∂
= + + +
∂ ∂ ∂ ∂
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dt t x dt y dt z dt
= + + +
∂ ∂ ∂ ∂
, ,
dx dy dz
u v w
dt dt dt
= = =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( , , , )d u x y z t u u u u
u v w
dt t x y z
∂ ∂ ∂ ∂
= + + +
∂ ∂ ∂ ∂
2727
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CAMPO DE VELOCIDADE E ACELERAÇÃO.
CAMPO DE ACELERAÇÃO
( ) ( ) ( ) ( ):COMO i j k
x y z
∂ ∂ ∂
∇ = + +
∂ ∂ ∂
�� �� �
∇OPERADOR NABLA � “GRADIENTE” 
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∇OPERADOR NABLA � “GRADIENTE” 
( )du u V u
dt t
∂
= + ⋅∇
∂
� �
A DERIVADA TOTAL DE u FICA,
2828
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CAMPO DE VELOCIDADE E ACELERAÇÃO.
CAMPO DE ACELERAÇÃO
∇OPERADOR NABLA � “GRADIENTE” 
APLICAÇÕES DO OPERADOR NABLA
( ) ( ) ( ) ( )i j k
x y z
φ φ φ
φ
∂ ∂ ∂
∇ = + +
∂ ∂ ∂
�� �� �
GRADIENTE
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2929
( ) ( ) ( )V V V
V i j k
x y z
∂ ∂ ∂
∇ = + +
∂ ∂ ∂
� � �
�� �� � �
i DIVERGENTE
() () ()
x y z
i j k
V
x y z
V V V
∂ ∂ ∂
∇× =
∂ ∂ ∂
�� �
�� �
ROTACIONAL
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 2 2
i j k
x y z
φ φ φ
φ
∂ ∂ ∂
∇ = + +
∂ ∂ ∂
�� �� �
LAPLACIANO
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CAMPO DE VELOCIDADE E ACELERAÇÃO.
CAMPO DE ACELERAÇÃO
SIMILARMENTE AO QUE FOI FEITO PARA u AS 
VELOCIADES v E w FICAM DADAS POR,
( )du u V u∂= + ⋅∇
∂
� �
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( )dv v V v
dt t
∂
= + ⋅∇
∂
� �
( )dw w V w
dt t
∂
= + ⋅∇
∂
� �
3030
( )V u
dt t
= + ⋅∇
∂
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CAMPO DE VELOCIDADE E ACELERAÇÃO.
CAMPO DE ACELERAÇÃO
A ACELERAÇÃO TOTAL SERÁ
( ) ( ) ( )d u d v d w
a i j k
dt dt dt
= + +
�� ��
�� � � � � �� �
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( ) ( ) ( )u v wa V u i V v j V w k
t t t
∂ ∂ ∂     = + ⋅∇ + + ⋅∇ + + ⋅∇     ∂ ∂ ∂     
�� � � � � �� ��
( )Va V V
t
∂
= + ⋅∇
∂
��
��� ��
AGRUPANDO OS TERMOS
3131
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CAMPO DE VELOCIDADE E ACELERAÇÃO.
CAMPO DE ACELERAÇÃO
( )Va V V
t
∂
= + ⋅∇
∂
��
��� ��
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ESTE TERMO ESTE TERMO 
REPRESENTAREPRESENTA
A A ACELERAÇÃO LOCAL ACELERAÇÃO LOCAL E E 
DESAPARECE SE O DESAPARECE SE O 
ESCOMENTO FOR ESCOMENTO FOR 
PERMANENTEPERMANENTE
ESTE TERMO ESTE TERMO 
REPRESENTAREPRESENTA
A ACELERAÇÃO A ACELERAÇÃO 
CONVECTIVA E SURGE CONVECTIVA E SURGE 
DEVIDO A VARIAÇÃO DA DEVIDO A VARIAÇÃO DA 
VELOCIDADEVELOCIDADE
3232
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CAMPO DE VELOCIDADE E ACELERAÇÃO.
CAMPO DE ACELERAÇÃO
( )Va V V
t
∂
= + ⋅∇
∂
��
��� ��
VARIAÇÃO DA VELOCIDADEVARIAÇÃO DA VELOCIDADE
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VARIAÇÃO DA VELOCIDADEVARIAÇÃO DA VELOCIDADE
OBS: UM ESCOAMENTO PERMANENTE PODE APRESENTAR OBS: UM ESCOAMENTO PERMANENTE PODE APRESENTAR 
GRANDES VARIAÇÕES CONVECTIVAS GRANDES VARIAÇÕES CONVECTIVAS –– GRANDES ACELERAÇÕES GRANDES ACELERAÇÕES 
3333
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Vales do Jequitinhonha e MucuriVales do Jequitinhonha e Mucuri
CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CAMPO DE VELOCIDADE E ACELERAÇÃO.
CAMPO DE ACELERAÇÃO
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3434
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( , , , )d u x y z t u u u u
u v w
dt t x y z
∂ ∂ ∂ ∂
= + + +
∂ ∂ ∂ ∂
0 0 0
( ) ( )
udu
u
dt x
∂
=
∂
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CAMPO DE VELOCIDADE E ACELERAÇÃO.
CAMPO DE TEMPERATURA
60 ºC
70 ºC
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3535
10 ºC
15 ºC
20 ºC 30 ºC
45 ºC
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CAMPO DE VELOCIDADE E ACELERAÇÃO.
CAMPO DE ACELERAÇÃO
A DERIVADA TOTAL A DERIVADA TOTAL 
( )d V
dt
�
AS VEZES É CHAMADA AS VEZES É CHAMADA 
DE DERIVADA DE DERIVADA SUBSTÂNCIALSUBSTÂNCIAL DA VELOCIDADEDA VELOCIDADE
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DE DERIVADA DE DERIVADA SUBSTÂNCIALSUBSTÂNCIAL DA VELOCIDADEDA VELOCIDADE
OU OU 
DE DERIVADA DE DERIVADA MATERIALMATERIAL DA VELOCIDADE DA VELOCIDADE 
() () () () ()D
u v w
Dt t x y z
∂ ∂ ∂ ∂
= + + +
∂ ∂ ∂ ∂
3636
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CAMPO DE VELOCIDADE E ACELERAÇÃO.
EXEMPLO
DADO O CAMPO DE VELOCIDADE EULERIANO 
ABAIXO DETERMINARA ACELERAÇÃO DE UMA 
PARTÍCULA DE FLUIDO.
23V t i x z j t y k= + +
�� � �
( ) ( ) ( ) ( ) ( )d u u u u u∂ ∂ ∂ ∂
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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3
3 0 0 0
3
d u u u u u
u v w u t
dt t x y z
d u
u v w
dt
d u
dt
∂ ∂ ∂ ∂
= + + + ∴ =
∂ ∂ ∂ ∂
= + + +
=
3737
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CAMPO DE VELOCIDADE E ACELERAÇÃO.
EXEMPLO
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 20 3 0 3
d v v v v v
u v w
dt t x y z
d v
z t x z x t y z t x y t
∂ ∂ ∂ ∂
= + + +
∂ ∂ ∂ ∂
= + + + = +
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( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )2
0 3 0 3
3
z t x z x t y z t x y t
dt
d v
z t x y t
dt
= + + + = +
= +
3838
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CAMPO DE VELOCIDADE E ACELERAÇÃO.
EXEMPLO
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 20 3 2 0 2
d w w w w w
u v w
dt t x y z
d w
y t y t x z t y y x y z t
∂ ∂ ∂ ∂
= + + +
∂ ∂ ∂ ∂
= + + + = +
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( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )2
0 3 2 0 2
2
y t y t x z t y y x y z t
dt
d w
y x y z t
dt
= + + + = +
= +
3939
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CAMPO DE VELOCIDADE E ACELERAÇÃO.
EXEMPLO
( ) ( )2 23 3 2a i z t x y t j y x y z t k= + + + +
�� ��
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4040
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
EXEMPLO
DADO O CAMPO DE VELOCIDADES
DETERMINAR:
1) O PONTO DE ESTAGNAÇÃO DO ESCOAMENTO SE EXISTIR
2) A ACELERAÇÃO DO ESCOAMENTO
( ) ( )( / ) 0,5 1,2 2,0 1,2Vm s x i y j= + + − −
�� � �
DADO O CAMPO DE VELOCIDADES
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4141
DADO O CAMPO DE VELOCIDADES
DETERMINAR:
1) O PONTO DE ESTAGNAÇÃO DO ESCOAMENTO SE EXISTIR
2) A ACELERAÇÃO DO ESCOAMENTO
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
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4242
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
VAMOS CONSIDERAR UM VOLUME DE CONTROLE
ELEMENTAR
CONSERVAÇÃO DA MASSA
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4343
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA MASSA
dy
y ( )sist
VC SC
dB d
dV V n dA
dt dt
 
= + ⋅ 
 
∫ ∫
� �
β ρ β ρ
, 1.B m= =β
dm
=
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x
dx
dz
z
0.
dm
dt
=
( ) 0
VC SC
d
dV V n dA
dt
 
+ ⋅ = 
 
∫ ∫
� �
ρ ρ
ESCOAMENTO UNIDIMENSIONAL
( ) ( ) 0
SAI ENTRA
VC
d
dV m m
dt
 
+ − = 
 
∑ ∑∫ ɺ ɺρ
4444
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA MASSA
VOLUME DE CONTROLE FIXO 
( ) ( ) 0
SAI ENTRA
VC
d
dV m m
dt
 
+ − = 
 
∑ ∑∫ ɺ ɺρ
( )ρ ∂
Massa Específica Uniforme No Interior do V.C
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( ) ( ) ( ) 0
SAI ENTRA
VC
dV m m
t
ρ ∂
+ − = 
∂ 
∑ ∑∫ ɺ ɺ
Volume de controle muito pequeno Volume é dV = dx dy dz
A integral de “dV” ao longo de todo volume infinitesimal é o 
próprio elemento de volume = dx dy dz.
4545
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA MASSA
A TAXA DA MASSA NO VOLUME DE CONTROLE REDUZ A:
( ) ( ) ( )
VC
dV dV dx dy dz
t t t
ρ ρ ρ∂ ∂ ∂
= =
∂ ∂ ∂∫
FLUXO DE MASSA NA DIREÇÃO x
y
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x
u dy dzρ
Entrada Saída
z
y
Série de Taylor
( )( )
( ) ( )
ENTRA
SAI ENTRA
V A
V A V A dx
x
∂
= +
∂
ρ
ρ ρ
4646
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA MASSA
x
u dy dzρ
( )u dy dz
u dy dz dx
x
 ∂ 
+   ∂  
ρ
ρ
( )u
u dx dy dz
x
 ∂ 
+   ∂  
ρ
ρ
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z
Entrada
Saída
y
Entrada
Saída
4747
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA MASSA
( )u dy dzρEm x:
Entrada: Saída:
( )u
u dx dy dz
x
 ∂ 
+   ∂  
ρ
ρ
( ) ( )
v ∂ ρ
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( )v dx dzρEm y:
( )v
v dy dx dz
y
 ∂ 
+   ∂  
ρ
ρ
( )w dx dyρEm z:
( )w
w dz dx dy
z
 ∂ 
+   ∂  
ρ
ρ
( ) ( ) 0
SAI ENTRA
VC
dV m m
t
 ∂
+ − = 
∂ 
∑ ∑∫ ɺ ɺ
ρ
4848
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA MASSA
( ) ( ) 0
SAI ENTRA
VC
dV m m
t
 ∂
+ − = 
∂ 
∑ ∑∫ ɺ ɺ
ρ
( )u dy dzρEm x:
( )u
u dx dy dz
x
 ∂ 
+   ∂  
ρ
ρ
( )u
dx dy dz
x
∂ 
 
∂ 
ρ
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  
Em y:
Em z:
( )y dx dzρ( )
v
v dy dx dz
y
 ∂ 
+   ∂  
ρ
ρ
( )v
dx dy dz
y
∂ 
 
∂ 
ρ
( )w dx dyρ( )
w
w dz dx dy
z
 ∂ 
+   ∂  
ρ
ρ
( )w
dx dy dz
z
∂ 
 
∂ 
ρ
4949
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA MASSA
( ) ( ) 0
SAI ENTRA
VC
dV m m
t
 ∂
+ − = 
∂ 
∑ ∑∫ ɺ ɺ
ρ
( ) ( ) 0
SAI ENTRA
dV m m
t
∂
+ − =
∂ ∑ ∑ɺ ɺ
ρ
( )u∂ ρ ( )v∂ ρ ( )w∂ ρ
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( )u
dx dy dz
x
∂ 
 
∂ 
ρ ( )v
dx dy dz
y
∂ 
 
∂ 
ρ ( )w
dx dy dz
z
∂ 
 
∂ 
ρ
dx dy dz
t
∂
∂
ρ
+ + + =0
( )u
x
∂ 
 
∂ 
ρ ( )v
y
∂ 
 
∂ 
ρ ( )w
z
∂ 
 
∂ 
ρ
t
∂
∂
ρ
+ + + =0
Equação da 
conservação da 
massa para um 
V.C infinitesimal
Também chamada de Equação da Continuidade
5050
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA MASSA
EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA NA FORMA
COMPACTA
( ) 0V
t
∂
+∇ =
∂
�� ��
i
ρ
ρ
O ESCOAMENTO PODE SER:
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O ESCOAMENTO PODE SER:
1) ESCOAMENTO PODE SER PERMANENTE OU NÃO
PERMANENTE
2) VISCOSO OU NÃO VISCOSO
3) INCOMPRESSÍVEL OU COMPRESSÍVEL
5151
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA MASSA
EQUAÇÃO PARA ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL
PERMANENTE
�
( ) 0V
t
ρ
ρ
∂
+∇ =
∂
�� ��
i
PERMANENTEPERMANENTEPERMANENTEPERMANENTE
=0=0=0=0
( ) 0V∇ =
�� ��
i ρ
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PERMANENTEPERMANENTEPERMANENTEPERMANENTE
=0=0=0=0
A MASSA ESPECÍFICA E A VELOCIDADE VARIAM
COM O ESPAÇO, MAS NÃO COM O TEMPO
5252
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA MASSA
EQUAÇÃO PARA ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL
�
( ) 0V
t
ρ
ρ
∂
+∇ =
∂
�� ��
i
INCOMPRESSÍVELINCOMPRESSÍVELINCOMPRESSÍVELINCOMPRESSÍVEL
≈0≈0≈0≈0
A MASSA ESPECÍFICA PODE SAIR DO PARENTESE
( ) 0V∇ =
�� ��
i ρ
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A MASSA ESPECÍFICA PODE SAIR DO PARENTESE
( ) 0V∇ =
�� ��
i 0
u v w
x y z
∂ ∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂
RESULTADO VÁLIDO PARA ESCOAMENTO
INCOMPRESSÍVEL E, PERMANENTE OU NÃO
PERMANENTE
5353
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA MASSA
OBSERVAÇÕES
O AR A CONSIÇÕES PADRÕES
PODESE CONSIDERAR UM ESCOAMENTO
INCOMPRESSÍVEL SE A VELOCIDADE DO AR FOR
MENOR QUE ≈ 100 m/s.
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MENOR QUE ≈ 100 m/s.
PODESE ABRANGER:
MOVIMENTO DE AUTOMOVÉIS “EM GERAL”.
MOVIMENTO DE TRENS.
AVIÕES DE PEQUENO PORTE.
DECOLAGEM E ATERRISSAGEM DE AVIÕES.
ESCOAMENTO EM TUBULAÇÕES.
ESCOAMENTO EM MÁQUINAS HIDRÁULICAS.
5454
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA MASSA
OBSERVAÇÕES
OS LÍQUIDOS EM GERAL SÃO INCOMPRESSÍVEIS
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5555
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA MASSA
EXEMPLOS “pag. 9 a 11 da apostila”
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5656
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
VAMOS CONSIDERAR UM VOLUME DE CONTROLE
ELEMENTAR
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5757
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
VAMOS CONSIDERAR UM VOLUME DE CONTROLE
ELEMENTAR
y
Volume dx dy dz⇒
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x
dx
dz
dy
z
Volume dx dy dz⇒
5858
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
UTILIZAR O TEOREMA TRANSPORTE DE REYNOLDS
“TTR”
( ) ( ) ( )( ) R
VC SC
d mV
F V dV V V n dA
dt t
∂
⇒ = + ⋅
∂ ∫ ∫
��
�� �� �� �� �
ρ ρ
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( ) ( )
SAI ENTRA
mV mV−∑ ∑
�� ��
ɺ ɺ
( ) ( )
VC
V V
dV dx dy dz
t t
∂ ∂
≈
∂ ∂∫
�� ��
ρ ρ
5959
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Vales do Jequitinhonha e MucuriVales do Jequitinhonha e Mucuri
CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
BALANÇO DO FLUXO DA QUANTIDADE DE
MOVIMENTO
3 ENTRADAS 3 SAÍDAS
y y
© Marcos A R dos Santos © Marcos A R dos Santos ------ marcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.brmarcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.br Capítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCapítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
x
z
x
z
6060
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Vales do Jequitinhonha e MucuriVales do Jequitinhonha e Mucuri
CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
2E
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
BALANÇO DO FLUXO DA QUANTIDADE DE
MOVIMENTO
3 ENTRADAS 3 SAÍDAS
y y 3S
© Marcos A R dos Santos © Marcos A R dos Santos ------ marcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.brmarcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.br Capítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCapítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
x
z
x
z
1E
3E
1S
2S
6161
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Vales do Jequitinhonha e MucuriVales do Jequitinhonha e Mucuri
CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
FLUXO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO NA DIREÇÃO xx
Entrada Saída
y
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
BALANÇO DO FLUXO DA QUANTIDADE DE
MOVIMENTO
© Marcos A R dos Santos © Marcos A R dos Santos ------ marcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.brmarcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.br Capítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCapítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
x( )
ENTRA
u dy dzV
mV
��
��
ɺ
ρ
z
Série de Taylor
( )( )
( ) ( )
ENTRA
SAI ENTRA
mV
mV mV dx
x
∂
= +
∂
��
ɺ�� ��
ɺ ɺ
6262
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Vales do Jequitinhonha e MucuriVales do Jequitinhonha e Mucuri
CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
FLUXO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO NA DIREÇÃO xx
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
BALANÇO DO FLUXO DA QUANTIDADE DE
MOVIMENTO
Entrada Saída
u dy dz V
��
ρ
( )u dy dz V
u dy dz V dx
x
∂
+
∂
��
�� ρ
ρ
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u dy dz Vρ u dy dz V dx
x
+
∂
ρ
( )uV
u dy dzV dx dy dz
x
∂
+
∂
��
�� ρ
ρ
( )uV
uV dx dy dz
x
 ∂
 +
∂ 
 
��
�� ρ
ρ
6363
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
FLUXO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO NA DIREÇÃO y e zy e z
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
BALANÇO DO FLUXO DA QUANTIDADE DE
MOVIMENTO
Entrada Saída
v dx dz V
��
ρ ( )vV
vV dy dx dz
 ∂
 +
��
�� ρ
ρ
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v dx dz Vρ ( )
vV dy dx dz
y
 +
∂ 
 
��
ρ
w dx dyV
��
ρ ( )wV
wV dz dx dy
z
 ∂
 +
∂ 
 
��
�� ρ
ρ
6464
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
( ) ( )
SAI ENTRA
mV mV−∑ ∑
�� ��
ɺ ɺ
Entrada: Saída:
u dy dz V
��
ρEm x:
( )uV
uV dx dy dz
x
 ∂
 +
∂ 
 
��
�� ρ
ρ
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Em y:
Em z:
v dx dz V
��
ρ ( )vVvV dy dx dz
y
 ∂
 +
∂ 
 
��
�� ρ
ρ
w dx dyV
��
ρ
( )wV
wV dz dx dy
z
 ∂
 +
∂ 
 
��
�� ρ
ρ
6565
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
( ) ( )
SAI ENTRA
mV mV−∑ ∑
�� ��
ɺ ɺ
u dy dz V
��
ρ
( )uV
uV dx dy dz
x
 ∂
 +
∂ 
 
��
�� ρ
ρEm x:
© Marcos A R dos Santos © Marcos A R dos Santos ------ marcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.brmarcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.br Capítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCapítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
( )uV
dx dy dz
x
 ∂
 
∂ 
 
��
ρ
6666
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
( ) ( )
SAI ENTRA
mV mV−∑ ∑
�� ��
ɺ ɺ
Em y:
( )
��
( )vV
vV dy dx dz
y
 ∂
 +
∂ 
 
��
�� ρ
ρ v dx dz V
��
ρ
© Marcos A R dos Santos © Marcos A R dos Santos ------ marcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.brmarcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.br Capítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCapítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
( )vV
dx dy dz
y
 ∂
 
∂ 
 
��
ρ
6767
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
( ) ( )
SAI ENTRA
mV mV−∑ ∑
�� ��
ɺ ɺ
Em z:
( )
��
( )wV
wV dz dx dy
z
 ∂
 +
∂ 
 
��
�� ρ
ρ w dx dyV
��
ρ
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( )wV
dx dy dz
z
 ∂
 
∂ 
 
��
ρ
6868
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
( ) ( )
SAI ENTRA
mV mV−∑ ∑
�� ��
ɺ ɺ
( )wV
dx dy dz
z
 ∂
 
∂ 
 
��
ρ
( )uV
dx dy dz
x
 ∂
 
∂ 
 
��
ρ ( )vV
dx dy dz
y
 ∂
 
∂ 
 
��
ρ
© Marcos A R dos Santos © Marcos A R dos Santos ------ marcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.brmarcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.br Capítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCapítulo 5 CINEMÁTICADOS FLUIDOS
z∂ 
 
( ) ( ) ( )R
VC SC
F V dV V V n dA
t
∂
= + ⋅
∂ ∫ ∫
�� �� �� �� �
ρ ρ
( ) ( ) ( )R
SAI ENTRA
V
F dx dy dz mV mV
t
∂
= + −
∂ ∑ ∑
��
�� �� ��
ɺ ɺ
ρ
6969
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
( ) ( ) ( ) ( )
R
V uV vV wV
F dxdydz dxdydz dxdydz dxdydz
t x y z
∂ ∂ ∂ ∂
= + + +
∂ ∂ ∂ ∂
�� �� �� ��
�� ρ ρ ρ ρ
( ) ( ) ( ) ( )
R
V uV vV wV
F dxdydz
t x y z
 ∂ ∂ ∂ ∂
 = + + +
∂ ∂ ∂ ∂ 
 
�� �� �� ��
�� ρ ρ ρ ρ
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 
Em cada termo aplicar a regra da derivada do produto
( ) ( ) ( )V V
V
t t t
∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂
�� ��
��ρ ρ
ρ
( ) ( ) ( )uV Vu
V u
x x x
∂ ∂∂
= +
∂ ∂ ∂
�� ��
��ρ ρ
ρ
7070
( ) ( ) ( )vV Vv
V v
x x x
ρ ρ
ρ
∂ ∂∂
= +
∂ ∂ ∂
�� ��
��
( ) ( ) ( )wV Vw
V w
z z z
∂ ∂∂
= +
∂ ∂ ∂
�� ��
��ρ ρ
ρ
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
Vamos separar os termos que tem VV
( ) ( ) ( ) ( )V uV vV wV
dxdydz
t x y z
 ∂ ∂ ∂ ∂
 + + +
∂ ∂ ∂ ∂ 
 
�� �� �� ��
ρ ρ ρ ρ
( ) ( ) ( )V V
V
t t t
∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂
�� ��
��ρ ρ
ρ
( ) ( ) ( )uV Vu
V u
x x x
∂ ∂∂
= +
∂ ∂ ∂
�� ��
��ρ ρ
ρ
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t t t∂ ∂ ∂ x x x∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( )vV Vv
V v
y y y
∂ ∂∂
= +
∂ ∂ ∂
�� ��
��ρ ρ
ρ ( ) ( ) ( )wV Vw V w
z z z
∂ ∂∂
= +
∂ ∂ ∂
�� ��
��ρ ρ
ρ
( ) ( ) ( ) ( )u v w
V
t x y z
∂ ∂ ∂ ∂ 
+ + + ∂ ∂ ∂ ∂ 
��
i
ρ ρ ρ ρ ( ) ( )V V
t
∂ 
+∇ ∂ 
�� �� ��
i i
ρ
ρ
Conservação da massa 
7171
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
Vamos separar os termos que tem ρρ
( ) ( ) ( ) ( )V uV vV wV
dxdydz
t x y z
 ∂ ∂ ∂ ∂
 + + +
∂ ∂ ∂ ∂ 
 
�� �� �� ��
ρ ρ ρ ρ
( ) ( ) ( )V V
V
t t t
∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂
�� ��
��ρ ρ
ρ
( ) ( ) ( )uV Vu
V u
x x x
∂ ∂∂
= +
∂ ∂ ∂
�� ��
��ρ ρ
ρ
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t t t∂ ∂ ∂ x x x∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( )vV Vv
V v
y y y
∂ ∂∂
= +
∂ ∂ ∂
�� ��
��ρ ρ
ρ ( ) ( ) ( )wV Vw V w
z z z
∂ ∂∂
= +
∂ ∂ ∂
�� ��
��ρ ρ
ρ
( ) ( ) ( ) ( )V V V V
u v w
t x y z
 ∂ ∂ ∂ ∂
 + + +
∂ ∂ ∂ ∂ 
 
�� �� �� ��
iρ
7272
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
Satisfeita a conservação da massa 
( ) ( ) ( ) ( )V uV vV wV
dxdydz
t x y z
 ∂ ∂ ∂ ∂
 + + +
∂ ∂ ∂ ∂ 
 
�� �� �� ��
ρ ρ ρ ρ
( ) ( ) 0V V
t
∂ 
+∇ ≡ ∂ 
�� �� ��
i i
ρ
ρ
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t x y z∂ ∂ ∂ ∂ 
 
( ) ( ) ( ) ( )V V V V
u v w
t x y z
 ∂ ∂ ∂ ∂
 + + +
∂ ∂ ∂ ∂ 
 
�� �� �� ��
iρ
( ) ( ) ( ) ( )
R
V V V V
F u v w dxdydz
t x y z
 ∂ ∂ ∂ ∂
 = + + +
∂ ∂ ∂ ∂ 
 
�� �� �� ��
��
iρ ( )R
d V
F dxdy dz
dt
=
��
��
ρ
7373
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
Somatório de todas Forças sobre o elemento 
de volume
( )
R
d V
F dxdy dz
dt
=
��
��
ρ
Já foi dito no capítulo 4 os tipos de forças
Forças de CAMPO 
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Forças de CAMPO 
(Gravitacional, Magnéticas, Potencial Elétrico, etc.)
Forças de SUPERFÍCIE
7474
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
FORÇAS DE CAMPO
VAMOS CONSIDERAR APENAS O CAMPO GRAVITACIONAL 
gdF m g=
�� �
gdF V g=
�� �
ρ gdF dx dy dz g=
�� �
ρ
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( )g g k= −
��
x
y
z
k
�
i
�j
�
g
� gdF g
dx dy dz
=
��
�
ρ
gdF
g
dV
=
��
�
ρ
7575
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
FORÇAS DE SUPERFÍCIE
TEMOS AS FORÇAS DEVIDO A:
PRESSÕES HIDROSTÁTICASPRESSÕES HIDROSTÁTICAS
© Marcos A R dos Santos © Marcos A R dos Santos ------ marcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.brmarcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.br Capítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCapítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
TENSÕES VISCOSAS (GRADIENTE DE VELOCIDADES)TENSÕES VISCOSAS (GRADIENTE DE VELOCIDADES)
7676
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
FORÇAS DE SUPERFÍCIE
DEVIDO AS PRESSÕES HIDROSTÁTICASDEVIDO AS PRESSÕES HIDROSTÁTICAS
A VARIAÇÃO DA PRESSÃO PODE OCORRER NAS 
TRÊS DIREÇÕES x y E z
y
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x1pXF p dy dz=
1 2
z
y
Série de Taylor
( )1
2 1
( )
( ) ( )
p
p p dx
x
∂
= +
∂
( )1
2 1
( )
( )pX
p
F p dx dy dz
x
∂ 
= + ∂ 
7777
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
FORÇAS DE SUPERFÍCIE
A FORÇA LÍQUIDA DEVIDO A PRESSÃO NA DIREÇÃO x É
( )1
2 1
( )
( )pXp
F p dx dy dz
∂ 
= + ∂1pX
F p dy dz=
DEVIDO AS PRESSÕES HIDROSTÁTICASDEVIDO AS PRESSÕES HIDROSTÁTICAS
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2 1( )pXF p dx dy dz
x
= + ∂ 
1pXF p dy dz=
x
1 2
z
pX
p
F dx dy dz
x
∂
= −
∂
y
7878
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
FORÇAS DE SUPERFÍCIE
A FORÇA LÍQUIDA DEVIDO A PRESSÃO NA DIREÇÃO y É
pY
p
F dx dy dz
y
∂
= −
∂
DEVIDO AS PRESSÕES HIDROSTÁTICASDEVIDO AS PRESSÕES HIDROSTÁTICAS
© Marcos A R dos Santos © Marcos A R dos Santos ------ marcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.brmarcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.br Capítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCapítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
A FORÇA LÍQUIDA DEVIDO A PRESSÃO NA DIREÇÃO z É
pYF dx dy dz
y
= −
∂
pZ
p
F dx dy dz
z
∂
= −
∂
7979
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
FORÇAS DE SUPERFÍCIE
DEVIDO AS PRESSÕES HIDROSTÁTICASDEVIDO AS PRESSÕES HIDROSTÁTICAS
p pX pY pZF F F F= + +
p
p p p
F dx dy dz dx dy dz dx dy dz
x y z
∂ ∂ ∂
= − − −
∂ ∂ ∂
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p
x y z∂ ∂ ∂
p
p p p p p p
F dx dy dz dx dy dz
x y z x y z
   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − − − = − + +   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
( ) ( )pp FF p dx dy dz p
dx dy dz
 = − ∇ ⇒ = −∇ 
��
�� �� ��
( )pF p
dV
= −∇
��
��
( )pdF p
dV
= −∇
��
��
8080
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
FORÇAS DE SUPERFÍCIE
TENSÕES VISCOSASTENSÕES VISCOSAS
CADA FACE POSSUI DUAS TENSÕES CISALHANTES E CADA FACE POSSUI DUAS TENSÕES CISALHANTES E 
UMA TENSÃO NORMALUMA TENSÃO NORMAL z
τ
zzτ
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x
y
zxτzyτ
zz
zxτ
Face perpendicular a z
Direção x
8181
FLUIDO
EQUILÍBRIO 
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
FORÇAS DE SUPERFÍCIE
TENSÕES VISCOSASTENSÕES VISCOSAS
z
zxττ
zzτ
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x
y
zxτzyτ
8282
UFVJM UFVJM –– Universidade Federal dos Universidade Federal dos 
Vales do Jequitinhonha e MucuriVales do Jequitinhonha e Mucuri
CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
FORÇAS DE SUPERFÍCIE
TENSÕES VISCOSASTENSÕES VISCOSAS
z
© Marcos A R dos Santos © Marcos A R dos Santos ------ marcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.brmarcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.br Capítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCapítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
x
y
xyτ
xzτ
xxτ
x
y
z
8383
UFVJM UFVJM –– Universidade Federal dos Universidade Federal dos 
Vales do Jequitinhonha e MucuriVales do Jequitinhonha e Mucuri
CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
FORÇAS DE SUPERFÍCIE
TENSÕES VISCOSASTENSÕES VISCOSAS
z
yxτ yyτz
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x
y
yxτ
yzτ
yyτ
x
y
z
8484
UFVJM UFVJM –– Universidade Federal dos Universidade Federal dos 
Vales do Jequitinhonha e MucuriVales do Jequitinhonha e Mucuri
CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
FORÇAS DE SUPERFÍCIE
TENSÕES VISCOSASTENSÕES VISCOSAS
z
zyτ
zxτ
z
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x
y
zzτ
x
y
8585
UFVJM UFVJM –– Universidade Federal dos Universidade Federal dos 
Vales do Jequitinhonha e MucuriVales do Jequitinhonha e Mucuri
CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
FORÇAS DE SUPERFÍCIE
TENSÕES VISCOSASTENSÕES VISCOSAS
TENSOR DE TENSÕES VISCOSASTENSOR DE TENSÕES VISCOSAS
DIREÇÃO 
i
�
j
�
k
�
NO EQUILÍBRIONO EQUILÍBRIO
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xx yx zx
xy yy zy
xz yz zz
 
 
=  
 
 
�
τ τ τ
τ τ τ τ
τ τ τ
i j k NO EQUILÍBRIONO EQUILÍBRIO
8686
UFVJM UFVJM –– Universidade Federal dos Universidade Federal dos 
Vales do Jequitinhonha e MucuriVales do Jequitinhonha e Mucuri
CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
FORÇAS DE SUPERFÍCIE
TENSÕES VISCOSASTENSÕES VISCOSAS
FLUIDO EM MOVIMENTO:FLUIDO EM MOVIMENTO:
xyτ
xxτ
z
xz
xz dx
x
∂ +  ∂ 
τ
τ
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xy
xy dx
x
∂ 
+  ∂ 
τ
τ
xzτ
xxτ
x
y
xx
xx dx
x
∂ +  ∂ 
τ
τ
Série de Taylor
xz dx
x
+ ∂ 
τ
8787
UFVJM UFVJM –– Universidade Federal dos Universidade Federal dos 
Vales do Jequitinhonha e MucuriVales do Jequitinhonha e Mucuri
CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
FORÇAS DE SUPERFÍCIE
TENSÕES VISCOSASTENSÕES VISCOSAS
FORÇA RESULTANTE EM X, Y e Z:FORÇA RESULTANTE EM X, Y e Z:
( )( ) ( )yxxx zx
xdF dx dy dz dy dxdz dz dxdy
x y z
∂ ∂ ∂   = + +    ∂ ∂ ∂    
µ
ττ τ
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x y z∂ ∂ ∂    
( ) ( ) ( )xy yy zy
ydF dx dy dz dy dxdz dz dxdy
x y z
∂ ∂ ∂     
= + +     ∂ ∂ ∂     
µ
τ τ τ
( )( ) ( )yzxz zz
zdF dx dy dz dy dxdz dz dxdy
x y z
∂ ∂ ∂   = + +    ∂ ∂ ∂    
µ
ττ τ
8888
UFVJMUFVJM –– Universidade Federal dos Universidade Federal dos 
Vales do Jequitinhonha e MucuriVales do Jequitinhonha e Mucuri
CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
FORÇAS DE SUPERFÍCIE
TENSÕES VISCOSASTENSÕES VISCOSAS
FORÇA RESULTANTE EM X, Y e Z:FORÇA RESULTANTE EM X, Y e Z:
( )( ) ( )yxxx zx
xdF dxdy dz
x y z
 ∂  ∂ ∂   = + +     ∂ ∂ ∂     
µ
ττ τ
© Marcos A R dos Santos © Marcos A R dos Santos ------ marcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.brmarcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.br Capítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCapítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
x y z∂ ∂ ∂     
( ) ( ) ( )xy yy zy
ydF dxdy dz
x y z
 ∂ ∂ ∂      
= + +      ∂ ∂ ∂      
µ
τ τ τ
( )( ) ( )yzxz zz
zdF dxdy dz
x y z
 ∂  ∂ ∂   = + +     ∂ ∂ ∂     
µ
ττ τ
8989
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
FORÇAS DE SUPERFÍCIE
TENSÕES VISCOSASTENSÕES VISCOSAS
FORÇA POR UNIDADE DE VOLUME:FORÇA POR UNIDADE DE VOLUME:
( )( ) ( )yxx xx zxdF
dxdy dz x y z
 ∂  ∂ ∂   = + +     ∂ ∂ ∂     
µ ττ τ
© Marcos A R dos Santos © Marcos A R dos Santos ------ marcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.brmarcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.br Capítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCapítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
dF
dV
=∇
��
�� �
i
τ τ
     
( ) ( ) ( )y xy yy zydF
dxdy dz x y z
 ∂ ∂ ∂      
= + +      ∂ ∂ ∂      
µ τ τ τ
( )( ) ( )yzz xz zzdF
dxdy dz x y z
 ∂  ∂ ∂   = + +     ∂ ∂ ∂     
µ ττ τ
9090
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
FORÇAS
( )
R
d V
F dxdy dz
dt
=
��
��
ρ
( )RF d V
dV dt
=
�� ��
ρ
FORÇA DE CAMPO
FORÇA DE SUPERFÍCIE
DEVIDO A PRESSÃO
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( )RF d V
g p
dV dt
= −∇ +∇ =
�� ��
�� ��� �
iρ τ ρ
FORÇA DE SUPERFÍCIE
DEVIDO A VISCOSIDADE
9191
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
FORÇA RESULTANTE
xx:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )yxxx zx
x
p u u u u
g u v w
x x y z t x y z
∂  ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− + + + = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
ττ τ
ρ ρ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xy yy zy
y
p v v v v
g u v w
∂ ∂ ∂  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− + + + = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
τ τ τ
ρ ρyy:
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yg u v w
y x y z t x y z
− + + + = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
ρ ρ
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )yzxz zz
z
p w w w w
g u v w
z x y z t x y z
∂  ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− + + + = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
ττ τ
ρ ρ
yy:
zz:
EQUAÇÃO GERAL DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
LINEAR VÁLIDA EM QUALQUER MOVIMENTO GERAL 
PARA QUALQUER FLUIDO
9292
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
TIPOS DE MOVIMENTO E DEFORMAÇÃO EM UM ELEMENTO DE FLUIDO
Elemento em t0 Elemento em t0+dt
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9393
Movimento 
Geral
= 
Translação Deformação
Linear
Rotação Deformação
Angular
+ + + 
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
TIPOS DE MOVIMENTO E DEFORMAÇÃO EM UM ELEMENTO DE FLUIDO
Deformação Linear em x:
u
u
u dx
x
∂
+
∂
B
C C C’ 
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9494
u
dx
u
u dx
x
∂
+
∂
xds
A
D D D’ 
x
u
ds dx dt
x
∂ =  ∂ 
y
v
ds dy dt
y
 ∂
=  ∂ 
z
w
ds dz dt
z
∂ =  ∂ 
Deformação Linear em y e z
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
TIPOS DE MOVIMENTO E DEFORMAÇÃO EM UM ELEMENTO DE FLUIDO
Deformação Linear:
x
u
ds dx dt
x
∂ =  ∂ 
z
w
ds dz dt
z
∂ =  ∂ 
y
v
ds dy dt
y
 ∂
=  ∂ 
dV dx dy dz= ( ) ( ) ( )' x y zdV dx ds dy ds dz ds= + + +
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9595
'
u v w
dV dx dx dt dy dy dt dz dz dt
x y z
   ∂  ∂  ∂    = + + +        ∂ ∂ ∂        
'dV u v w
dx dx dy dy dz dz
dt x y z
   ∂  ∂  ∂    = + + +        ∂ ∂ ∂        
'
1 1 1
dV u v w
dx dy dz
dt x y z
 ∂ ∂ ∂   = + + +    ∂ ∂ ∂    
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
'
1
dV u v u v w u w v w u v w
dx dy dz
dt x y x y z x z y z x y z
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
'
1
dV u v w
dx dy dz
dt x y z
 ∂ ∂ ∂
= + + + ∂ ∂ ∂ 
'
1
dV u v w
dV
 ∂ ∂ ∂
= + + + 
Se o escoamento 
for 
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9696
'
1
dV u v w
dV
dt x y z
 ∂ ∂ ∂
= + + + ∂ ∂ ∂ 
( ) 0V∇ =
�� ��
iVariação da taxa da 
deformação linear
(DILATAÇÃO VOLUMÉTRICA)
for 
incompressível
Dilatação volumétrica
É ZERO!!!
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
TIPOS DE MOVIMENTO E DEFORMAÇÃO EM UM ELEMENTO DE FLUIDO
Movimento de Rotação e Deformação Angular
u
u dy
y
∂
+
∂
B
u
dy dt
y
 ∂
 ∂ 
δββββ
B
B’© Marcos A R dos Santos © Marcos A R dos Santos ------ marcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.brmarcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.br Capítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCapítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
9797
u
v
v dx
x
∂
+
∂dxO
A
dy
v
v
dx dt
x
∂ 
 ∂ δα
δββββ
O A
A’
B’ 
0
limOA
dt dt
δα
ω
→
 =  
  ( )tan
v
dx dt
x
dx
δα δα
∂ 
 ∂ ≈ =
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
( )tan v dt
x
δα δα
∂ ≈ =  ∂ 0
limOA
dt dt
δα
ω
→
 =  
 
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
TIPOS DE MOVIMENTO E DEFORMAÇÃO EM UM ELEMENTO DE FLUIDO
Movimento de Rotação e Deformação Angular
0
limOA
dt
v v
x x
ω
→
∂ ∂ = = ∂ ∂ 
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9898
OB
u
y
ω
∂
=
∂
A rotação em torno de z é definido como a média entre 
ω
OA
e ω
OB
OA
v
x
ω
∂
=
∂ 1
2
Z
v u
x y
ω
 ∂ ∂
= − ∂ ∂ 
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
TIPOS DE MOVIMENTO E DEFORMAÇÃO EM UM ELEMENTO DE FLUIDO
Movimento de Rotação e Deformação Angular
1
2
Z
v u
x y
ω
 ∂ ∂
= − ∂ ∂ 
1
2
X
w v
y z
ω
 ∂ ∂
= − ∂ ∂ 
1
2
Y
u w
z x
ω
∂ ∂ = − ∂ ∂ 
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9999
Vorticidade ou Rotacional
IrrotacionalIrrotacional
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
TIPOS DE MOVIMENTO E DEFORMAÇÃO EM UM ELEMENTO DE FLUIDO
Movimento de Rotação e Deformação Angular
DEFORMAÇÃO ANGULAR
u
dt
y
δβ
 ∂
=  ∂ 
ββββ
B
TAXA DA DEFORMAÇÃO 
ANGULAR
δγ δα δβ= +
u v
dt y x
δγ ∂ ∂
= +
∂ ∂
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100100
v
dt
x
δα
∂ =  ∂ δα
δββββ
O A
A’
B
B’ 
dt y x∂ ∂
TENSÃO 
CISALHANTE
d du
dt dy
θ
τ µ µ= =
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
VAMOS CONSIDERAR UM ESCOAMENTO TRIDIMENSIONAL VISCOSOTRIDIMENSIONAL VISCOSO
2xx
u
x
∂
=
∂
τ µ
yx
u v
y x
 ∂ ∂
= + ∂ ∂ 
τ µ zx
w u
x z
τ µ
∂ ∂ = + ∂ ∂ 
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x∂
xy
u v
y x
 ∂ ∂
= + ∂ ∂ 
τ µ
xz
w u
x z
τ µ
∂ ∂ = + ∂ ∂ 
2yy
v
y
∂
=
∂
τ µ
2zz
w
z
∂
=
∂
τ µ
y x∂ ∂  x z∂ ∂ 
yz
w v
y z
 ∂ ∂
= + ∂ ∂ 
τ µ
zy
w v
y z
τ µ
 ∂ ∂
= + ∂ ∂ 
101101
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CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
ESCOAMENTO VISCOSO INCOMPRESSÍVEL E VISCOSIDADE 
CONSTANTE
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )yxxx zx
x
p u u u u
g u v w
x x y z t x y z
∂  ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− + + + = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
ττ τ
ρ ρ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xy yy zy
y
p v v v v
g u v w
∂ ∂ ∂  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− + + + = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
τ τ τ
ρ ρ
© Marcos A R dos Santos © Marcos A R dos Santos ------ marcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.brmarcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.br Capítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCapítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
yg u v w
y x y z t x y z
− + + + = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
ρ ρ
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )yzxz zz
z
p w w w w
g u v w
z x y z t x y z
∂  ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− + + + = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
ττ τ
ρ ρ
102102
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Vales do Jequitinhonha e MucuriVales do Jequitinhonha e Mucuri
CTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOSCTD 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
ESCOAMENTO VISCOSO INCOMPRESSÍVEL E VISCOSIDADE 
CONSTANTE
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
x
p u u u u u u u
g u v w
x x y z t x y z
   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− + + + = + + +   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  
ρ µ ρ
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
y
p v v v v v v v
g u v w
y x y z t x y z
   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− + + + = + + +   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
ρ µ ρ
© Marcos A R dos Santos © Marcos A R dos Santos ------ marcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.brmarcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.br Capítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCapítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
2 2 2y
g u v w
y x y z t x y z
− + + + = + + +   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  
ρ µ ρ
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
z
p w w w w w w w
g u v w
z x y z t x y z
   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− + + + = + + +   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  
ρ µ ρ
ESTA É A EQUAÇÃO DE NAVIERESTA É A EQUAÇÃO DE NAVIER--STOKES.STOKES.
É UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL DE SEGUNDA ORDEM.É UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL DE SEGUNDA ORDEM.
103103
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCINEMÁTICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
DESPRESANDO A VISCOSIDADE 
( )RF d V
g p
dV dt
= −∇ +∇ =
�� ��
�� ��� �
iρ τ ρ
=0
( )d V
g p
dt
= −∇
��
���
ρ ρ
( )
0
d V
p g
dt
∇ − =
��
�� �
ρ ρ
EQUAÇÃO DE EULER
© Marcos A R dos Santos © Marcos A R dos Santos ------ marcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.brmarcos.rodrigues@ict.ufvjm.edu.br Capítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOSCapítulo 5 CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
EQUAÇÃO DE EULER
INTEGRANDO AO LONGO DE UMA LINHA DE 
CORRENTE OBTEMOS A EQUAÇÃO DE BERNOULLI.
104104
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EXEMPLO
CONSIDERE O CAMPO DE ESCOAMENTO ABAIXO:
( ) 2 24 2 ( )V x y i x y j= + −
�� � �
DETERMINE