Principio da Continuidade e a Aplicações da Eq de Bernoulli

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MECÂNICA DOS FLUIDOS
PRINCÍPIO DA CONTINUIDADE E
APLICAÇÕES
PROF. HILBERTH VIANA
MECÂNICA DOS FLUIDOS
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Antoine Lavoisier
Lei da Conservação da Matéria
MECÂNICA DOS FLUIDOS
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Quando nos referimos a continuidade, estamos atribuindo a ideia de
conservação de massa ou matéria. Na teoria estamos evidenciando que a
massa não pode ser criada e nem destruída.
Assim, não podemos deixar de imaginar como seria possível manter a
matéria intacta mesmo depois de submetê-la a ações de forças endógenas
e exógenas.
MECÂNICA DOS FLUIDOS
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Imagine um fluxo de água em regime permanente (não se altera com o
tempo). Pela Lei da conservação da matéria, toda massa que entra no
sistema por uma extremidade deve sair pela outra extremidade.
Mas como calcular isso, quando a massa específica (densidade) é
constante?
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Observe o esquema do escoamento abaixo:
Após um tempo
Pelo princípio em estudo, tudo que entra por um lado deve sair pelo outro,
ou seja:
Dm1 = Dm2
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Logo, a variação da massa após um tempo pode ser dada por:
Dm1
D
Dm2
D
Como densidade é r dada por
r r
r
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Substituindo na equação de conservação da massa, teremos:
r 𝟏
D
r 𝟐
D
𝑛 ...
Como o volume é dado por:
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Substituindo V na equação anterior, ficamos com:
r 1 1 r 2 2
Finalmente, podemos escrever:
1 1 2 2
r 1 𝟏
D
r 2 𝟐
D
MECÂNICA DOS FLUIDOS
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Considerando a equação anterior, se a massa específica (densidade) não é
constante, então escrevemos:
r 1 1 r 2 2
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A Vazão em Massa é função da quantidade de massa que passa por um
ponto durante um intervalo de tempo.
𝑚
Dm
D
A Vazão em Volume é dada em função da quantidade de volume que passa
por um ponto durante um intervalo de tempo.
𝑣
DV
D
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A equação Euller para escoamento permanentes ao longo de uma linha de
corrente é igual a:
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Como adotamos um caso de escoamento incompressível, a densidade ( ),
permanece constante. Portanto:
2
Pressão Estática
Pressão Dinâmica
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“Para um fluxo sem viscosidade, um aumento na velocidade do fluido
ocorre simultaneamente com uma diminuição na pressão ou uma
diminuição na energia potencial do fluido”.
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Se dividirmos ambos os lados da equação por “g” chegamos a outra
equação, com a seguinte forma:
2
2
MECÂNICA DOS FLUIDOS
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Logo:
 
2
𝐴
 
𝐴
2
𝐴
𝐵
 
𝐵
2
𝐵
Finalmente, podemos escrever:
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A aplicação da equação de Bernoulli requer cuidado quanto a restrições,
são elas:
1. Escoamento em Regime Permanente;
2. Escoamento Incompressível;
3. Escoamento sem atrito;
4. Escoamento ao longo de uma linha de corrente.
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A figura abaixo apresenta um sifão. Sabendo que a pressão no ponto S do sifão
deve ser maior que – 60 kPa em pressão relativa e desprezando as perdas de carga
determine a velocidade da água ( = 104 N/m3) no sifão e a máxima altura que o
ponto S pode ter em relação ao ponto A.
MECÂNICA DOS FLUIDOS
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1º Passo: Determinar a velocidade de fluxo no sifão
Considerações:
i. não há mudança de velocidade em
todo o sifão;
ii. pressão em A e B é a mesma (Pressão
Atmosférica);
iii. velocidade em A é nula.
iv. referencial está no ponto B (h=0)
v. pressão Atmosférica = 101.325 Pa
vi. gravidade igual a 10 m/s²
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Equação de Bernoulli:
𝐴
 
𝐴
2
𝐵
 
𝐵
2
𝐵
𝐴
𝐵
2
𝐵
2
𝐴
Então, teremos:
Fazendo V em função de z, ficamos com:
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Substituindo os valores na ultima equação, temos:
𝐵 𝐵
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2º Passo: Determinar a altura para o Ponto S em que a pressão mínima será de - 60 Kpa
𝐴
 
𝐴
2
𝐴
𝑠
 
𝑠
2
𝑠
Aplicando novamente a equação de Bernoulli:
Substituindo os valores fornecidos e obtidos anteriormente, teremos
4
𝐴
2 3
4 
2
𝑠
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Resolvendo...
𝑠 𝑠
𝑠 𝑠
A mudança de referencial faz-se necessária, pois o ponto de referencia para o
cálculo da altura (quando pressão mínima é igual a - 60 KPa) é o ponto A.
Geralmente, ao nível do mar, a ação da pressão atmosférica na água é desprezível.
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Logo, teríamos a seguinte dedução:
𝑧𝑠
𝐴
 
𝐴
2
𝐴
𝑠
 
𝑠
2
𝑠
3
4 
2
𝑠
𝑑𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑧í𝑣𝑒𝑙
𝑠 𝑠
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Imagine a situação do sifão anterior, porém, você precisa aumentar a pressão no
ponto S em 2 ATM de pressão relativa, desprezando as perdas de cargas, determine
a velocidade da água ( = 104 N/m3) no sifão e a máxima altura que o ponto S pode
ter em relação ao ponto A.
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1º Passo: Cálculo da Velocidade
𝐵
2º Passo: Cálculo da altura do ponto S em relação ao ponto A
5
4 𝑠
𝐴
 
𝐴
2
𝐴
𝑠
 
𝑠
2
𝑠
𝑑𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑧í𝑣𝑒𝑙
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Um sifão é usado para retirar líquido de um reservatório
através de um tubo recurvado ABC e fazendo jorrar água
em C, conforme a figura ao lado. A área do reservatório é
muito maior que a área da seção transversal do tubo.
Considerando o fluido ideal. Calcule:
a) A velocidade de escoamento em C
b) O valor máximo de h0 para o qual o sifão ainda
funciona?
Dados: p0=1,0 ⋅ 10 5 Pa, Patm = 10 5 Pa, g = 10 m/s², r = 0 ³ kg/m³
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Estabelecendo um referencial:
Logo, hc = 0
Considerações:
1. ha = h1 ;
2. va = 0.
3. Pc = Patm;
4. Pa = Patm;
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A pressão no Ponto A’ é a pressão atmosférica, pois está na superfície. Pelo
princípio de Stevin o ponto imediatamente adjacente a este possuirá o mesmo
valor.
𝐴 𝑎𝑡𝑚
..
A’
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Da equação de Bernoulli, vem que:
𝐴
 
𝐴
2
𝐴
𝐶
 
𝐶
2
𝐶
𝐴
𝐶
2
𝐶
2
𝐴
Então, teremos:
Fazendo V em função de z, ficamos com:
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Substituindo os valores na ultima equação, temos:
𝐶 𝐶
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b) A altura máxima para o sifão funcionar:
𝐵
A altura máxima para h0 será obtida quando pressão em B é igual a zero (PB = 0)
Da equação de Bernoulli, vem que:
𝑐
 
𝑐
2
𝑐
𝐵
 
𝐵
2
𝐵
Da equação da continuidade, temos:
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Como hc = 0, então a equação anterior, reduz-se a:
𝑐
 
𝐵
 𝐵 , 1 0
𝐶 1 0 𝐶 𝐵 r 1 0
𝐵 𝐶 r 1 0
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Substituindo os valores, teremos
5 03 0
Finalmente, escrevemos:
0
5
4
0
PRINCIPAL
1. FOX R.W.; McDONALD, A. Introdução à Mecânica dos Fluidos. 9° ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2018. 
2. WHITE, F. Mecânica dos Fluidos. 8° ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2018. 
3. CIMBALA, J. M.; CENGEL, Y A. Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e Aplicações. 
3º Ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2015. 
COMPLEMENTAR
TIPLER, P. Física para cientistas e engenheiros. Volume 1. Rio de Janeiro: LTC, 2006.