Equacoes simultaneas [2016]

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Modelos de Equações 
Simultâneas
1
• Em uma equação de regressão, 
normalmente a relação de causa e 
efeito flui dos Xs para o Y. 
2
iiii uXXY 1332211  
• Em muitas situações, porém, não faz 
sentido tal relação causa e efeito de 
mão única, ou unidirecional.
3
• Pode existir situações em que o Y é 
determinado pelos Xs, e alguns dos Xs
são, por sua vez, determinados por Y;
→Ou seja, há uma relação de mão dupla, 
ou simultânea, entre Y e alguns dos Xs, 
que torna a distinção entre variáveis 
dependente e independentes duvidósa.
4
 
iiii uXYY 1111212101   
 
 
iiii uXYY 2121121202   
Exemplo de equações simultâneas
• Nos modelos de equações 
simultâneas não podemos estimar os 
parâmetros de uma única equação, 
sem levar em conta as informações 
proporcionadas pelas demais 
equações do sistema.
6
• O que acontecerá se os parâmetros 
de cada equação forem estimados 
com a aplicação dos M.Q.O , 
desconsiderando outras equações 
no sistema?
7
• Uma das hipóteses dos MQO é que as 
variáveis independentes são não estocásticas 
ou, se forem estocásticas, estão distribuídas 
independentemente do termo de erro
estocástico.
8
→ Se essa condição não for 
atendida, os estimadores por 
M.Q.O serão viesados e 
inconsistentes.
9
iiii uXYY 1111212101   
 
iiii uXYY 2121121202   Assim, no seguinte sistema hipotético de 
equações:
10
 
 O método clássico dos M.Q.O não 
poderá ser aplicado a essas equações 
individualmente porque resultará em 
estimativas inconsistentes. 
11
• Dessa forma, é melhor reunir 
um conjunto de variáveis que 
possam ser determinadas 
simultaneamente pelo 
conjunto restante de variáveis.
12
• No contexto dos modelos de 
equações simultâneas, as 
variáveis conjuntamente 
dependentes são 
denominadas variáveis 
endógenas.
13
• As variáveis verdadeiramente 
não estocásticas, ou que 
podem ser consideradas 
assim, são chamadas de 
variáveis exógenas ou 
predeterminadas.
14
• Nos modelos de equações 
simultâneas não podemos 
estimar os parâmetros de uma 
única equação, sem levar em 
conta as informações 
proporcionadas pelas demais 
equações do sistema.
15
iiii uXYY 1111212101   (18.1.1) 
 
iiii uXYY 2121121202   (18.1.2) Assim, no seguinte sistema hipotético de equações:
16
 A menos que se possa mostrar que a 
variável explicativa estocástica Y2 em (18.1.1) 
seja distribuída independentemente de u1; 
iiii uXYY 1111212101   (18.1.1) 
 
e a variável explicativa estocástica Y1 em 
(18.1.2) seja distribuída independentemente de 
u2, 
iiii uXYY 2121121202   (18.1.2) 
17
 
 A aplicação do método clássico 
dos M.Q.O a essas equações 
individualmente resultará em 
estimativas inconsistentes. 
18
Exemplos de Modelos de 
equações simultâneas
19
Função demanda 
tt
d
t uPQ 110   01  
Função Oferta 
ttt uPQ 210
0   01  
Condição de equilíbrio o
t
d
t QQ  
Modelo de demanda e oferta. 
20
Função Consumo: 
ttt uYC  10  
 
Identidade da renda:  tttt SICY  
Modelo Keynesiano de determinação da renda. 
21
Modelos de Salário-preço
Ẇ = tx variação dos salários nominais
UN = tx de desemprego
Ṗ = tx variação dos preços
Ṙ = tx variação dos custos do capital
Ṁ = tx variação do preço das matérias primas 
importadas
tttt
uPUNW
1210
  
ttttt
uMRWP
23210
  
22
Modelo IS da Macroeconomia
dtt
YC
10
 
tt
YT
10
 
tt
rI
10
 
ttdt
TYY 
GG
t

tttt
GICY 
23
Modelo LM ou equilíbrio do mercado monetário
tt
d
t
crbYaM 
MM S
t

S
t
d
t
MM 
24
Modelos Econométricos
função consumo
função investimento
(Demanda por mão de obra)
Identidade
Identidade
Identidade
ttttt
uPWWPC
113210
)( 


ttttt
uKPPI
2171654



tttt
utWTYWTYW
31111098
)()( 


ttttt
GICTY 
tttt
PWWY 
ttt
IKK 
1
25
O Viés das equações 
simultâneas
26
• Sabe-se que o MQO não pode ser 
aplicado à estimação de uma única 
equação de um sistema de equações 
simultâneas se uma ou mais variáveis 
explanatórias estiverem 
correlacionadas ao termo de erro da 
equação, pois os estimadores assim 
obtidos seriam inconsistentes .
27
• Para demonstrar isso, pode-se 
recorrer ao exemplo da 
determinação do modelo Keynesiano 
simples de determinação da renda.
28
Suponha que queiramos estimar os parâmetros da função 
consumo. 
 
Função Consumo:
ttt uYC  10  10 1   
 
admitindo que: 
 
  0tuE
 
 
  22 tuE
 
 
  0 jttuuE
 j ≠ 0 
 
  0,cov tt uI
 
29
Demonstra-se primeiro que Yt e ut em 
ttt uYC  10  estão correlacionados e 
depois provamos que 
1ˆ
 é um estimador 
inconsistente de β1. 
30
Para provar que Yt e ut se correlacionam, 
procedemos da seguinte maneira: 
 
 
ttt uYC  10  (18.2.3) 
 
  tttt SICY  (18.2.4) 
31
Substituindo (18.2.3) em (18.2.4) para obter: 
 
 
tttt IuYY  10  
 
 
tttt uIYY  01  
 
   ttt uIY  011  
 
 
      ttt
uIY
111
0
1
1
1
1
1 






 (18.3.1) 
32
      
ttt uIY
111
0
1
1
1
1
1 






 
 
Agora:       tt
IYE
11
0
1
1
1 




 (18.3.2) 
 
visto que:   0tuE 
 
e que 
tI
 sendo exógeno, ou predeterminado (porque é fixado 
antecipadamente), tem It como seu valor esperado. 
33
Subtraindo (18.3.2) de (18.3.1): 
 
    tt
IYE
11
0
1
1
1 




 (18.3.2) 
      ttt
uIY
111
0
1
1
1
1
1 






 (18.3.1) 
 
 
  ttt
uYEY
11
1
 (18.3.3) 
 
Sabemos que:   ttt uuEu  (18.3.4) 
34
       tttttt uEuYEYEuYCov ,
 
  tt uuE 







11
1

 
  
1
2
1 
 t
uE 
 
1
2
1 


 (18.3.5) 
 
Como 2 é positivo por hipótese, a covariância 
entre Y e u dada em (18.3.5) certamente vai ser 
diferente de zero. 
35
 Se 
1
2
1
),cov(



tt uY
, é de se esperar que 
Yt e ut em (18.2.3) sejam correlacionados: 
 
ttt uYC  10  (18.2.3) 
 
36
 
 Isso viola a hipótese do MCRL de que 
as perturbações (ut) são independentes, 
 
 Ou, pelo menos, não tenham correlação 
com as variáveis explicativas. 
 
 
 Os estimadores por MQO nesta 
situação são inconsistentes. 
 
37
Para mostrar que o estimador de MQO 
1ˆ
 é um estimador inconsistente de 
1
 por causa da correlação entre Yt e ut, procede-se da seguinte maneira: 
ttt uYC  10  
   
 




21
ˆ
YY
YYCC
t
tt 



21
ˆ
t
tt
y
yc
 



21
ˆ
t
tt
y
yC
 (18.3.6) 
38
Substituindo Ct de (18.2.3) em 1ˆ , obtemos: 
 
 

 

2
10
1
ˆ
tttt
y
yuY
 
 

  

2
10
1
ˆ
t
ttttt
y
uyyYy 
 
 
 
39

  

2
10
1
ˆ
t
ttttt
y
uyyYy  
Se: 
  0ty
 
e 1
2



t
tt
y
yY 
Então: 



211
ˆ
t
tt
y
uy
 (18.3.7) 
 
40



211
ˆ
t
tt
y
uy
 (18.3.7) 
 
Se tomarmos a expectativa de (18.3.7) em ambos os 
lados, obtemos: 
 
  








211
ˆ
t
tt
y
uy
EE  (18.3.8) 
41
Não podemos calcular 








2
t
tt
y
uy
E , já que o operador de 
expectativas é um operador linear, ou seja: 
)(
)(
BE
AE
B
A
E 





. 
42
Mas, intuitivamente, deve estar claro que, a 
menos que o termo 







2
t
tt
y
uy
 seja zero, 
1ˆ é 
um estimador viesado de 
1 . 
43
• Como não podemos calcular a equação (18.3.8), 
também não podemos demonstrar que na 
equação (18.3.5), a covariância entre Y e u é 
diferente de zero e que portanto, é viesado.
1ˆ
  








211
ˆ
t
tt
y
uy
EE  (18.3.8) 
1
2
1
),cov( tt uY (18.3.5) 
44
Mas se o tamanho da amostra aumentar 
indefinidamente, então podemos recorrer 
ao conceito de estimador consistente e 
verificar o que acontece com 
1ˆ quando n, o 
tamanho da amostra, aumenta 
indefinidamente. 
 
45
Em resumo, quando não podemos 
explicitamente calcular o valor esperado de um 
estimador, como em (18.3.8), podemos 
verificar o seu comportamento em grandes 
amostras. 
  








211
ˆ
t
tt
y
uy
EE  (18.3.8) 
46
Diz-se que um estimador é consistente se seu 
limite de probabilidade, ou plim, é igual a seu 
verdadeiro valor (na população). 
47
Diz-se que 
1ˆ
 é um estimador 
consistente se ele se aproxima do 
verdadeiro valor de 
1
, conforme o 
tamanho da amostra fica cada vez maior. 
48
 
 Densidade Probabilidade 
 
 
 
 n = 100 
 
 
 
 
 
 n= 25 
 
 
 
 
 
 β 
 
Figura – A distribuição de 
1ˆ
 conforme aumenta o tamanho da amostra. 
49
Portanto, para mostrar que 
1ˆ de (18.3.7) é inconsistente, 
devemos mostrar que seu plim não é igual ao verdadeiro 
1 . 



211
ˆ
t
tt
y
uy (18.3.7) 
50
• Observe que:
• Observe também que:
51
11)lim(  p
)lim(
)lim(
lim
Bp
Ap
B
A
p 





Aplicando as regras do limite de probabilidade a (18.3.7), obtemos: 
 
 



211
ˆ
t
tt
y
uy
 (18.3.7) 
 
     









211
limlimˆlim
t
tt
y
uy
ppp  
 
     









ny
nuy
ppp
t
tt
211
limlimˆlim  
 
52
Quando divide-se 
 ttuy
 e  2ty pelo 
número total de observações na amostra (n), as 
quantidades entre parênteses são agora a 
covariância na amostra entre Y e u, e a 
variância na amostra de Y, respectivamente. 
 
   
 nyp
nuyp
p
t
tt



211 lim
lim
ˆlim  (18.3.9) 
53
 (18.3.9) mostra que o limite da probabilidade de 
1ˆ
 é igual a 
1
 verdadeiro mais a razão entre o 
plim da covariância na amostra entre Y e u e o 
plim da variância na amostra de Y. 
 
   
 nyp
nuyp
p
t
tt



211 lim
lim
ˆlim  (18.3.9) 
54
 
 Assim, conforme o tamanho da amostra n 
aumenta indefinidamente, é de se esperar que 
a covariância na amostra entre Y e u se 
aproxime da verdadeira covariância na 
população 
     tttt uEuYEYE 
, que é igual a 
  12 1   , de (18.3.5). 
1
2
1
),cov( tt uY (18.3.5) 55
Conforme n tende para o infinito, a variância de Y na amostra se 
aproxima de sua variância na população, digamos, 2
Y
. 
 
Portanto, a equação (18.3.9) pode ser escrita como: 
 
 
 
 
 
 
2
1
2
11
)1(ˆlim
Y
p



 
 
 
 
   
 nyp
nuyp
p
t
tt



211 lim
lim
ˆlim  (18.3.9) 
56
 
 
2
1
2
11
)1(ˆlim
Y
p



 
 
 
 
 
  









2
2
1
11
1
1ˆlim
Y
p 

 (18.3.10) 
 
Suponhamos que 10 1   e que 22 e Y sejam ambos 
positivos, a equação (18.3.10) deixa evidente que  1ˆlim p será 
sempre maior que 
1 , ou seja, 1ˆ superestimará o 1 
verdadeiro. 
57
Em outras palavras, 
1ˆ
 é um estimador 
tendencioso, e o viés não desaparecerá por 
maior que seja a amostra, o que a torna 
inconsistente. 
58
O PROBLEMA DA 
IDENTIFICAÇÃO
59
• O modelo geral de M equações com 
M variáveis endógenas (ou 
conjuntamente dependentes) pode ser 
escrito como a equação 19.1.1:
60
tktkttMtMttt uXXXYYYY 1121211113132121 ....................   
 
tktkttMtMttt uXXXYYYY 2222212123231212 ................   
 
tktkttMtMttt uXXXYYYY 3323213132321313 ...................   
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
 
MtktMktMtMtMMMtMtMtMMT uXXXYYYYY    ...... 2211,11,331211 Equações 19.1.1
61
em que: 
 
Y1, Y2, ...,YM = M variáveis endógenas, ou conjuntamente dependentes; 
 
X1, X2, ...,Xk = k variáves predeterminadas (uma destas variáveis X 
pode assumir valor de 1 para levar em conta o termo de intercepto em 
cada equação); 
 
62
 
u1, u2, ...,uM = M perturbações estocásticas; 
 
t = 1, 2, 3, ..., T = número total de observações; 
 
s
 coeficientes das variáveis endógenas; 
 
s coeficientes das variáveis predeterminadas. 
63
• Como mostra as equações (19.1.1), 
as variáveis que introduzem um 
modelo de equação simultânea são 
de dois tipos:
• Endógenas
• Exógenas
64
• Variáveis Endógenas, ou seja, as 
determinadas (seus valores são determinados) 
dentro do modelo; são variáveis estocásticas.
• Variáveis Predeterminadas, ou seja, as 
determinadas fora do modelo; são variáveis 
não-estocásticas.
65
• As variáveis predeterminadas se dividem 
em duas categorias:
→Exógenas (atuais e defasadas) e 
→Endógenas defasadas.
66
Assim, das equações (19.1.1): 
MtktMktMtMtMtMMMtMtMtMtMMT
uXXXXYYYYYY 

 ......
)1(132211,11,)1(14331211
 
 
X1t é uma variável exógena 
corrente 
 
X1(t-1) é uma variável exógena 
defasada 
 
 
67
Novamente (19.1.1): 
MtktMktMtMtMtMMMtMtMtMtMMT
uXXXXYYYYYY 

 ......
)1(132211,11,)1(14331211
 
 
Y(t-1) é uma variável endógena defasada, mas, como 
seu valor é conhecido no instante corrente t, é 
considerada como não-estocástica, e, 
consequentemente, umavariável predeterminada. 
68
Novamente (19.1.1): 
MtktMktMtMtMtMMMtMtMtMtMMT
uXXXXYYYYYY 

 ......
)1(132211,11,)1(14331211
 
Y(t-1) é uma variável endógena defasada. 
 
Aqui supomos implicitamente que os erros 
estocásticos (u) estão serialmente não 
correlacionados. Se esse não for o caso, Yt-1 será 
correlacionado com o termo de erro do período 
corrente ut. Portanto, não podemos tratá-lo como 
predeterminado. 
69
• Em suma, as variáveis exógena 
corrente, exógena defasada e 
endógena defasada são julgadas 
predeterminadas; seus valores não 
são determinados pelo modelo no 
período atual
70
As equações que aparecem em (19.1.1) são conhecidas 
como equações estruturais ou comportamentais porque 
podem retratar a estrutura de uma economia ou o 
comportamento de um agente econômico. 
tktkttMtMttt uXXXYYYY 1121211113132121 ....................   
 
tktkttMtMttt uXXXYYYY 2222212123231212 ................   
 
tktkttMtMttt uXXXYYYY 3323213132321313 ...................   
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
 
MtktMktMtMtMMMtMtMtMMT uXXXYYYYY    ...... 2211,11,331211 
 
 
 
71
MtktMktMtMtMtMMMtMtMtMtMMT
uXXXXYYYYYY 

 ......
)1(132211,11,)1(14331211
 
 
Os 
s
 e 
s
 são conhecidos como coeficientes ou 
parâmetros estruturais. 
72
Com base nas equações estruturais, 
pode-se solucionar as variáveis 
endógenas M e derivar as 
equações de forma reduzida e os 
coeficientes de forma reduzida 
associados.
73
• Uma equação na forma reduzida é a 
que expressa uma variável endógena 
unicamente em termos das variáveis 
predeterminadas e perturbações 
estocásticas.
74
Para ilustrar, considere o modelo keynesiano de determinação de renda: 
 
 Função Consumo: 
ttt uYC  10 
 
10 1  
 (18.2.3) 
 
 Identidade da renda: 
 tttt SICY 
 (18.2.4) 
 
 
C e Y são variáveis endógenas; 
 
I é variável exógena ou predeterminada. 
75
Substituindo (18.2.3) em (18.2.4) obtemos: 
 
 
tttt IuYY  )( 10  
 
tttt uIYY  01  
 
tttt uIY  0)1(  
 
111
0
11
1
1 






 ttt
u
IY
 
 
ttt wIY  10  (19.1.2) 
76
Ela expressa a variável endógena Y 
unicamente como uma função da variável 
exógena ou predeterminada I e do termo de 
erro u. 
 
0
 e 
1
 são os coeficientes na forma 
reduzida associados. 
77
Substituindo o valor de Y de (19.1.2) em C de (18.2.3), 
obtemos uma outra equação na forma reduzida: 
 
ttt uYC  10  10 1   (18.2.3) 
 
 
ttt wIY  10  (19.1.2) 
 
 
tttt
uwIC  )(
1010
 
 
78
 
tttt
uwIC  )(
1010
 
t
t
tt
u
u
IC 











111
0
10
11
1
1 
 
1
11110100
1 



 ttttt
uuuI
C 
11
1
1
0
111 








 ttt
u
IC 
ttt wIC  32  (19.1.4) 
79
Os coeficientes na forma reduzida, tais 
como 
1
 e 
3
, são conhecido como 
multiplicadores de impacto, ou de curto 
prazo. 
80
ttt wIY  10  (19.1.2) 
ttt wIC  32  (19.1.4) 
• Nas equações de forma reduzida, estão
presentes apenas as variáveis
predeterminadas e os distúrbios
estocásticos, e são presumidas como não
correlacionadas com os termos de
distúrbio
81
• Nesse caso, o método dos MQO pode
ser aplicado para estimar os coeficientes
das equações de forma reduzida (os π)
82
• Com base nos coeficientes de forma
reduzida estimados pode-se estimar ou
recuperar os coeficientes estruturais (os
β).
• Esse procedimento é conhecido como
mínimos quadrados indiretos (MQI)
83
• Como se podem estimar ou recuperar
os coeficientes estruturais por meio dos
coeficientes de forma reduzida?
• A resposta é dada através do problema
da identificação.
84
O problema da identificação
85
• Por problema de identificação 
queremos dizer se estimativas 
numéricas dos parâmetros de uma 
equação estrutural podem ser 
obtidos dos coeficientes estimados 
na forma reduzida.
86
Função Consumo: 
ttt uYC  10  10 1   (18.2.3) 
 
Identidade da renda:  tttt SICY  (18.2.4) 
 
ttt wIY  10  (19.1.2) 
ttt wIC  32  (19.1.4) 
87
• Se isso for possível, dizemos que a 
equação estrutural que está sendo 
considerada está identificada.
• Se não for possível, dizemos que a 
equação estrutural que está sendo 
considerada não é identificada, ou 
seja, ela será subidentificada.
88
• Uma equação identificada pode 
tanto ser exatamente identificada 
ou sobreidentificada.
89
• Diz-se que uma equação estrutural é 
exatamente identificada se for 
possível obter para ela valores 
numéricos exato de seus parâmetros 
estruturais.
90
• Diz-se que uma equação estrutural é 
superidentificada ou 
sobreidentificada se mais de um 
valor numérico puder ser obtido para 
alguns dos parâmetros das equações 
estruturais.
91
• O problema da identificação surge 
porque diferentes conjuntos de 
coeficientes estruturais podem ser 
compatíveis com o mesmo conjunto 
de dados.
92
Regras para Identificação
93
Condições de identificação por 
ordem e posto
94
• Para entender as condições de ordem e posto, 
usaremos as seguintes notações:
M = número de variáveis endógenas do modelo.
m = número de variáveis endógenas em dada equação.
K = número de variáveis predeterminadas do modelo, 
incluindo o intercepto.
k = número de variáveis predeterminadas em uma dada 
equação.
95
A condição de ordem para 
Identificação
96
• Uma condição de identificação 
necessária (mas não suficiente) é 
conhecida como a condição de 
ordem.
97
• No caso de um modelo de M equações 
simultâneas, para que uma equação 
possa ser identificada, é preciso que 
exclua no mínimo M – 1 das variáveis 
(tanto endógenas quanto 
predeterminadas) que aparecem no 
modelo.
98
• Se excluir exatamente M – 1 variáveis, a 
equação será exatamente identificada.
• Se excluir mais de M – 1 variáveis, será 
superidentificada.
99
Para que uma equação seja identificada, em um 
modelo de M equações simultâneas, o número de 
variáveis predeterminadas excluídas da equação 
não poderá ser menor que o número de variáveis 
endógenas incluídas nessa equação menos 1. 
 
Isto é: 1 mkK (19.3.1) 
100
Se 
1 mkK
, a equação será exatamente 
identificada. 
 
Se 
1 mkK
, ela será superidentificada. 
101
• Aplicando as definições de M, m, K e k, e
fazendo R igual ao número de variáveis
excluídas (tanto endógenas como
predeterminadas) de uma equação dada,
então, R = (M - m) + (K - k) >= (M – 1).
• Subtraindo (M – m) de cada lado, temos
(K – k) >= m - 1
102
Exemplos
103
tt
d
t uPQ 110   01  (18.2.1) 
ttt uPQ 210
0  01 
 (18.2.2) 
 
Este modelo tem duas variáveis endógenas (M), 
P e Q 
 
Nenhuma variável predeterminada (k) 
104
1 mkK 
0 - 0 < 2 - 1 
 0 < 1 
• Cada equação estrutural possui duas variáveis 
endógenas e nenhuma variável 
predeterminada.
• Para serem identificadas, cada uma das 
equações deve excluir ao menos a variável
M – 1 = 1.
Neste caso, nenhuma equação é identificada.
105
Função de demanda: 
tttt uIPQ 1210   0,0 21   (19.2.12) 
 
Função de oferta: 
ttt uPQ 210   01  (19.2.13) 
106
• 1ª equação:
• 1 – 1 = 2 - 1
• 0 < 1 a função de demanda não é 
identificada
• 2ª equação:
• 1 – 0 = 2 - 1
• 1 = 1 a função de oferta é exatamente 
identificada, porque exclui exatamente a
M -1 = 1 variável, It.
107
Demanda: 
tttt uIPQ 1210   0,0 21   (19.2.12) 
Oferta: 
tttt uPPQ 21210   01  02  (19.2.22) 
108
• 1ª equação:
• 2 – 1 = 2 - 1
• 1 = 1 exatamente identificada, exclui 
exatamente uma variável Pt-1 .
• 2ª equação:
• 2 – 1 = 2 – 1
• 1 = 1 exatamente identificada, exclui 
exatamente uma variável It .
109
Demanda: 
ttttt uRIPQ 13210   (19.2.28) 
Oferta: 
tttt uPPQ 21210   01  02  (19.2.22) 
110
• 1ª equação:
• 3 – 2 = 2 - 1
• 1 = 1 exatamente identificada, exclui a 
variável Pt-1
• 2ª equação:
• 3 – 1 = 2 – 1
• 2 > 1 sobreidentificada, exclui as variáveis 
It e Rt.
111
• Portanto, a identificação de uma 
equação em um modelo de 
equações simultâneas é possível se 
essa equação exclui uma ou mais 
variáveis presentes em outras 
equações do modelo.
112
• Essa situação é conhecida como 
critério de exclusão ou critério de 
restrições zero.
113
Condição de posto para 
identificação
114
Mesmo que a condição de ordem ( 1 mkK ) seja atendida em 
uma equação, ela pode não ser identificada porque as variáveis 
predeterminadas excluídas dessa equação, mas presentes no 
modelo, podem não ser todas independentes, de modo que não 
haja uma correspondência um a um entre os coeficientes estruturais 
(os  ) e os coeficientes na forma reduzida (os  ). 
115
• Isto é, podemos não conseguir estimar os 
parâmetros estruturais a partir dos 
coeficientes na forma reduzida.
• Portanto, precisamos de uma condição 
necessária e suficiente para a identificação.
• Esta é dada pela condição de posto para a 
identificação.
116
A condição de posto de identificação
• Em um modelo que contenha M equações em 
M variáveis endógenas, uma equação é 
identificada se, e apenas se, ao menos um 
determinante diferente de zero de ordem 
(M – 1)(M – 1) puder ser construído por meio 
dos coeficientes das variáveis (tanto 
endógenas quanto predeterminadas) 
excluídas da equação especificada, mas 
incluídas em outras equações do modelo.
117
• O termo posto se refere ao posto da matriz e 
é dado pela matriz quadrada de mais alta 
ordem, cujo o determinante é diferente de 
zero.
Ou seja, o posto de uma matriz é o maior 
número de linhas ou colunas independentes 
dessa matriz.
118
• Como ilustração da condição de 
posto para a identificação, vejamos o 
seguinte sistema hipotético de 
equações simultâneas em que as 
variáveis Y são endógenas e as 
variáveis X são predeterminadas.
119
ttttt uXYYY 1111313212101   (19.3.2) 
 
ttttt uXXYY 2222121323202   (19.3.3) 
 
ttttt uXXYY 3232131131303   (19.3.4) 
 
ttttt uXYYY 4343242141404   (19.3.5) 
120
• Para facilitar a identificação, 
escrevamos esses sistemas como 
na tabela 19.1:
121
ttttt uXYYY 1111313212101   (19.3.2) 
 
ttttt uXXYY 2222121323202   (19.3.3) 
 
ttttt uXXYY 3232131131303   (19.3.4) 
 
ttttt uXYYY 4343242141404   (19.3.5) 
122
Tabela 19.1 
Equação 
n° 
1 Y1 Y2 Y3 Y4 X1 X2 X3 
(19.3.2) 
10
 1 
12
 
13
 0 
11
 0 0 
(19.3.3) 
20
 0 1 
23
 0 
21
 
22
 0 
(19.3.4) 
30
 
31
 0 1 0 
31
 
32
 0 
(19.3.5) 
40
 
41
 
42
 0 1 0 0 
43
 
 
Tabela 19.1 
Equação 
n° 
1 Y1 Y2 Y3 Y4 X1 X2 X3 
(19.3.2) 
10
 1 
12
 
13
 0 
11
 0 0 
(19.3.3) 
20
 0 1 
23
 0 
21
 
22
 0 
(19.3.4) 
30
 
31
 0 1 0 
31
 
32
 0 
(19.3.5) 
40
 
41
 
42
 0 1 0 0 
43
 
 
123
• Agora apliquemos a condição de 
ordem para a identificação como 
mostra a tabela 19.2:
124
125
Tabela 19.2. 
Equação n° 
Número de variáveis 
predeterminadas 
excluídas (K – k) 
Número de variáveis 
endógenas incluídas 
menos 1 (m – 1) 
Identificada? 
(19.3.2) 2 2 Exatamente 
(19.3.3) 1 1 Exatamente 
(19.3.4) 1 1 Exatamente 
(19.3.5) 2 2 Exatamente 
 
Tabela 19.1 
Equação 
n° 
1 Y1 Y2 Y3 Y4 X1 X2 X3 
(19.3.2) 
10
 1 
12
 
13
 0 
11
 0 0 
(19.3.3) 
20
 0 1 
23
 0 
21
 
22
 0 
(19.3.4) 
30
 
31
 0 1 0 
31
 
32
 0 
(19.3.5) 
40
 
41
 
42
 0 1 0 0 
43
 
 
Tabela 19.2. 
Equação n° 
Número de variáveis 
predeterminadas 
excluídas (K – k) 
Número de variáveis 
endógenas incluídas 
menos 1 (m – 1) 
Identificada? 
(19.3.2) 2 2 Exatamente 
(19.3.3) 1 1 Exatamente 
(19.3.4) 1 1 Exatamente 
(19.3.5) 2 2 Exatamente 
 
126
• Segundo a condição de ordem, todas as 
equações são identificadas.
127
• Agora vamos reconferir com a condição de 
posto.
• Na primeira equação, exclui-se as variáveis Y4, 
X2 e X3 (representado pelos zeros na primeira 
linha da tabela 19.1).
128
• Para que essa equação seja identificada, 
precisamos obter pelo menos um 
determinante diferente de zero de ordem 
3 x 3 a partir dos coeficientes das variáveis 
excluídas dessa equação, mas incluídas nas 
demais.
129
Tabela 19.1 
Equação 
n° 
1 Y1 Y2 Y3 Y4 X1 X2 X3 
(19.3.2) 
10
 1 
12
 
13
 0 
11
 0 0 
(19.3.3) 
20
 0 1 
23
 0 
21
 
22
 0 
(19.3.4) 
30
 
31
 0 1 0 
31
 
32
 0 
(19.3.5) 
40
 
41
 
42
 0 1 0 0 
43
 
 
130
Para obter o determinante, começamos obtendo a 
matriz dos coeficientes das variáveis Y4, X2 e X3, 
incluídas nas outras equações: 
 














43
32
22
01
00
00



A
 (19.3.6) 
131
Tabela 19.1 
Equação 
n° 
1 Y1 Y2 Y3 Y4 X1 X2 X3 
(19.3.2) 
10
 1 
12
 
13
 0 
11
 0 0 
(19.3.3) 
20
 0 1 
23
 0 
21
 
22
 0 
(19.3.4) 
30
 
31
 0 1 0 
31
 
32
 0 
(19.3.5) 
40
 
41
 
42
 0 1 0 0 
43
 
 
132
Podemos ver que o determinante dessa matriz é 
zero: 
 














43
32
22
01
00
00
det



A (19.3.7) 
 
Como o determinante é zero, o posto da matriz 
(19.3.6), denotado por 
)(A
, é menor que 3. 
133
• Portanto, a equação (19.3.2) não satisfaz a 
condição de posto e, em conseqüência, não é 
identificada.
• A condição de posto é uma condição 
necessária e suficiente para a identificação.
• Assim, embora a condição de ordem mostre 
que a equação (19.3.2) é identificada, acondição de posto nos diz que ela não o é.
134
• Aparentemente, as colunas ou linhas 
da matriz dadas na equação (19.3.6) 
não são linearmente independentes, 
significando que há alguma relação 
entre as variáveis Y4 , X2 , e X3.
135
• Como resultado, não temos 
informações suficientes para estimar 
os parâmetros da equação (19.3.2)
136
ttttt uXYYY 1111313212101   (19.3.2) 
• As equações da forma reduzida para 
o modelo
mostrarão que não é possível obter 
os coeficientes estruturais da 
equação com base nos coeficientes 
na forma reduzida.
137
ttttt uXYYY 1111313212101   (19.3.2) 
As condições de ordem e de posto para a 
identificação nos levam aos seguintes princípios 
gerais de identificação de uma equação estrutural: 
 
1 – se 
1 mkK
 e o posto da matriz A for M – 1, a 
equação é superidentificada. 
 
2 – se 
1 mkK
 e o posto da matriz A for M – 1, a 
equação é exatamente identificada. 
 
138
3 – se 
1 mkK
 e o posto da matriz A for menor 
que M – 1, a equação é subidentificada. 
 
4– se 
1 mkK , a equação estrutural não é 
identificada. O posto da matriz A, neste caso, tende a 
ser menor que M – 1. 
139
Um teste de simultaneidade
140
• Se não houver problema de simultaneidade, 
os estimadores de MQO geram estimadores 
consistentes e eficientes.
• Se houver problema de simultaneidade, os 
estimadores de MQO não são sequer 
consistentes.
141
• Se aplicarmos métodos alternativos quando 
não houver, de fato, simultaneidade, esses 
métodos nos proporcionarão estimativas 
consistentes, mas não eficientes (com 
variância menor).
• Por isso é importante verificar a existência do 
problema de simultaneidade, antes de 
descartar os MQO.
142
• O problema de simultaneidade surge porque 
alguns dos regressores são endógenos e, 
portanto, tendem a estar correlacionados com 
o termo de erro.
• Para verificar o problema de simultaneidade, 
podemos utilizar o teste de especificação de 
Hausman.
143
Seja o modelo de duas equações: 
 
Demanda:
ttttt uRIPQ 13210   (19.4.1) 
 
Oferta:
ttt uPQ 210   (19.4.2) 
144
• Para verificar se é isto o que ocorre, 
o teste de Hausman segue as etapas 
a seguir:
145
 
a) obtemos de (19.4.1) e (19.4.2) as equações na forma 
reduzida: 
 
tttt vRIP  210  (19.4.3) 
 
tttt wRIQ  543  (19.4.4) 
146
ttttt uRIPQ 13210   (19.4.1) 
 
ttt uPQ 210   (19.4.2) 
b) estimando (19.4.3) por MQO, obtemos: 
 
tttt vRIP  210  (19.4.3) 
ttt RIP 210 ˆˆˆ
ˆ   (19.4.5) 
 
portanto: 
ttt vPP ˆ
ˆ  (19.4.6) 
147
c) substituindo (19.4.6) em (19.4.2), obtemos: 
ttt vPP ˆ
ˆ  (19.4.6) 
ttt uPQ 210   (19.4.2) 
tttt uvPQ 2110 ˆ
ˆ   (19.4.7) 
148
Agora, sob a hipótese nula de que não há simultaneidade, 
a correlação entre 
tvˆ
 e 
tu2ˆ
 deveria, assintoticamente, ser 
igual a zero. 
 
Assim, se estimamos a regressão (19.4.7) e verificamos 
que o coeficiente de vt em (19.4.7) é estatisticamente 
igual a zero, podemos concluir que não há problema de 
simultaneidade. 
149
Essencialmente, então, o teste de 
Hausman envolve os seguintes passos: 
Primeiro passo: 
Fazer a regressão de Pt contra It e Rt para 
obter 
tvˆ
. (19.4.5) 
150
Segundo Passo: 
Fazer a regressão de Qt contra tPˆ e tvˆ e 
aplicar um teste t ao coeficiente de 
tvˆ
. 
(19.4.7) 
151
Se o coeficiente de 
tvˆ
 for significativo, 
não rejeitamos a hipótese de 
simultaneidade. 
Para estimação eficiente, regredir Qt contra 
tP
 e 
tvˆ
, de acordo com Pindyck e Rubinfeld. 
152
• Teste de Exogeneidade
• É de responsabilidade do 
pesquisador a especificação de 
quais variáveis são endógenas e 
quais são exógenas.
• É possível elaborar um teste 
estatístico, para examinar a 
exogeneidade de variáveis em um 
sistema de equações 
simultâneas.
• Suponha que tenhamos um 
modelo com três equações e três 
variáveis endógenas, Y1, Y2 e Y3, e 
que há três variáveis exógenas, 
X1, X2 e X3.
• A primeira equação do modelos 
será:
iiiii uXYYY 111332201  
• Se Y2 e Y3 forem de fato 
endógenas, não podemos estimar
por meio dos MQO.
iiiii uXYYY 111332201  
• Para realizar o teste, procede-se 
da seguinte maneira:
• 1 – Obter as equações na forma 
reduzida para Y2 e Y3.
• 2 - A partir delas obtém-se e , 
os valores previstos de Y2i e Y3i, 
respectivamente. 
iY2
ˆ
iY3
ˆ
• 3 – Agora estima-se por MQO:
iiiiiii uYYXYYY 1332211332201
ˆˆ  
• 4 – Testa a hipótese de que
λ2 = λ3 = 0 através do teste de F 
dos mínimos quadrados restritos.
(Y2 e Y3 são exógenos)
(Y2 e Y3 são endógenos)
0: 320  H
0: 321  H
Métodos de equações 
simultâneas
163
1 – MODELOS RECURSIVOS E 
MÍNIMOS QUADRADOS 
ORDINÁRIOS
164
• Devido à interdependência entre o termo
de erro estocástico e a(s) variável(is)
independente(s) endógena, o método
dos MQO não é apropriado para a
estimação de uma equação em um
sistema de equações simultâneas.
165
• Se aplicarmos MQO a essa situação, os
estimadores não serão apenas viesados
(em pequenas amostras), mas também
inconsistentes, mesmo em grandes
amostras.
166
• Porém, no caso de modelos recursivos,
triangulares ou causais, pode-se aplicar
MQO
167
• Considere o seguinte sistema de três
equações (20.2.1):
168
tttttt
ttttt
tttt
uXXYYY
uXXYY
uXXY
3232131232131303
2222121121202
1212111101






• Os Ys são variáveis endógenas e os
Xs variáveis exógenas.
• Os erros de mesmo período em
equações diferentes não são
correlacionadas
169 0),cov(),cov(),cov( 323121  tttttt uuuuuu
• Observe a primeira equação de (20.2.1):
• O lado direito da equação é composta
apenas de variáveis exógenas, não
correlacionadas com u1t , e portanto
pode ser estimada por MQO.
170
tttt uXXY 1212111101  
• Observe a segunda equação de (20.2.1):
• Os MQO podem ser aplicados, desde que
Y1t e u2t sejam não correlacionados.
• Veja a hipótese de cov(u1t,u2t)
• O mesmo vale para a terceira equação.
171
ttttt uXXYY 2222121121202  
• Então, no sistema recursivo, os MQO
podem ser aplicados a cada uma das
equações separadamente.
• Não temos um problema de
simultaneidade no sistema recursivo
172
O modelo recursivo pode ser demonstrado 
graficamente:
173
• Embora os modelos recursivos sejam
úteis, a maioria dos modelos de
equações simultânea não exibe relação
unilateral de causa e efeito.
174
• Nos modelos recursivos, presume-se o erro
presente nas equações são
contemporaneamente não correlacionados.
• Se este não for o caso, tem-se que recorrer à
técnica de estimação de regressões
aparentemente não correlacionadas, (SURE).
175
2 - O MÉTODO DE MÍNIMOS 
QUADRADOS DE DOIS ESTÁGIOS 
(MQ2E)
176
Considere o seguinte modelo: 
Função renda: 
ttttt
uXXYY1212111211101
 
 (20.4.1) 
Função oferta de moeda: 
ttt
uYY
2121202
 
 (20.4.2) 
177
ttttt
uXXYY
1212111211101
  
ttt
uYY
2121202
  
em que: Y1 = renda 
 Y2 = estoque de moeda 
 X1 = gastos com investimentos 
 X2 = gastos do governo em bens e serviços
 
178
Será necessário encontrar uma Proxy para Y1, de 
forma que ela não seja correlacionada com u2. 
Essa Proxy é conhecida como variável 
instrumental. 
179
• Como podemos obter a variável 
instrumental?
→ uma resposta é dada pelo método dos 
mínimos quadrados de dois estágios.
→ esse método envolve duas aplicações 
sucessivas de MQO.
180
• Estágio 1.
Para ficarmos livres da provável correlação 
entre Y1 e u2, em primeiro lugar, fazemos a 
regressão de Y1 sobre todas as variáveis 
predeterminadas em todo o sistema, e não 
apenas naquela equação.
181
No presente caso, isso significa fazer a regressão de Y1 
sobre X1 e X2, da seguinte maneira: 
tttt
uXXY ˆˆˆˆ
221101
  (20.4.3) 
Onde ut são os resíduos de MQO costumeiros. 
182
Pela equação (20.4.3), obtemos: 
 
ttt
XXY
221101
ˆˆˆˆ   (20.4.4) 
 
Onde 
t
Y
1
ˆ
 é uma estimativa do valor médio de Y 
condicionado aos X fixados. 
183
Agora, a equação (20.4.3) pode ser expressa como: 
tttt
uXXY ˆˆˆˆ
221101
  (20.4.3) 
ttt
uYY ˆˆ
11

 (20.4.5) 
que mostra que o Y1t estocástico consiste em duas partes: 
t
Y
1
ˆ
, 
que é uma combinação linear dos X não estocásticos e de um 
componente aleatório ût. 
Segundo a teoria dos MQO, 
t
Y
1
ˆ
 e ût não são correlacionados. 
184
Estágio 2. 
A equação de oferta de moeda é: 
ttt
uYY
2121202
  (20.4.2) 
e da equação (20.4.5): 
ttt uYY ˆ
ˆ
11 
 
 Agora pode-se escrever: 
185
*
121202
212121202
2121202
ˆ
)ˆ(ˆ
)ˆˆ(
ttt
tttt
tttt
uYY
uuYY
uuYY






 (20.4.6) 
 
onde 
ttt
uuu ˆ
212
*  
186
Qual é a vantagem de (20.4.6)? 
→ 
t
Y
1
ˆ em (20.4.6) é assintoticamente não 
correlacionados com *
t
u
; 
→ isto é, em amostras grandes (ou, mais 
exatamente, a medida que o tamanho da amostra 
aumenta indefinidamente). 
187
• A idéia básica que fundamenta 
os MQ2E é “purificar” a 
variável explanatória 
estocástica Y1 da influência do 
termo de erro estocástico u2.
188
• Esse objetivo é atingido executando-
se a regressão na forma reduzida de 
Y1 sobre todas as variáveis 
predeterminadas no sistema (estágio 
1), obtendo-se as estimativas e 
substituindo-se Y1t na equação 
original pela estimada, e então 
aplicando-se os MQO à equação 
assim transformada (estágio 2).
189
• →Os estimadores obtidos desse 
modo são consistentes; isto é, 
eles convergem para seus 
valores verdadeiros à medida 
que o tamanho da amostra 
aumenta indefinidamente.
190
Para ilustrar os MQ2E, considere o modelo renda-oferta de moeda da seguinte maneira: 
Função renda: 
ttttt
uXXYY
1212111212101
  (20.4.7) 
Função oferta de moeda: 
ttttt
uXXYY
2424323121202
  (20.4.8) 
em que: 
X1 = gasto de investimentos 
X2 = gastos do governo em bens e serviços. 
X3 = renda no período de tempo anterior; 
X4 = oferta de moeda no período anterior. 
X1, X2, X3 e X4, são predeterminadas. 
As equações (20.4.7) e (20.4.8) são superidentificadas. 
191
Para aplicar os MQ2E, procedemos 
da seguinte maneira:
192
 No estágio 1 fazemos a regressão das variáveis 
endógenas sobre todas as variáveis predeterminadas do 
sistema. 
Assim: 
tttttt
uXXXXY
1414313212111101
ˆˆˆˆˆˆ   
 (20.4.9) 
tttttt
uXXXXY
2424323222121202
ˆˆˆˆˆˆ   
 (20.4.10) 
193
No estágio 2, substituímos Y1 e Y2 nas equações (estruturais) 
originais por seus valores estimados obtidos nas duas 
regressões anteriores e, então, executamos as regressões por 
MQO como segue: 
*
1212111212101
ˆ
ttttt
uXXYY   (20.4.11) 
*
2424323121202
ˆ
ttttt
uXXYY   (20.4.12) 
onde: 
ttt
uuu
2121
*
1
ˆ 
ttt
uuu
1122
*
2
ˆ 
As estimativas assim obtidas serão consistentes. 
194
Note as seguintes características do MQ2E:
• 1 – Ele pode ser aplicado a uma equação 
individual no sistema sem levar 
diretamente em conta qualquer outra 
equação (ou equações) no sistema.
Por conseguinte, para resolver 
modelos econométricos que envolvam 
um grande número de equações, o 
MQ2E oferece um método econômico.
195
• 2 – diferentemente do MQI, que 
fornece estimativas múltiplas dos 
parâmetros nas equações 
superidentificadas, o MQ2E provê 
somente uma estimativa por 
parâmetro.
196
• 3 – é fácil de aplicar porque basta 
saber o número total de variáveis 
exógenas ou predeterminadas no 
sistema sem conhecer quaisquer 
outras variáveis do sistema.
197
• 4 – embora especialmente 
projetado para tratar equações 
superidentificadas, o método 
também pode ser aplicado a 
equações exatamente 
identificadas.
198
• 5 – Se os valores de R2 nas 
regressões na forma reduzida 
(isto é, regressões do estágio I) 
forem muito altos, digamos, 
maiores que 0,8, as estimativas 
de MQO clássicas e as 
estimativas de MQ2E serão muito 
próximas.
199
• Isso ocorre porque, se o valor de R2 no 
primeiro estágio for muito alto, significa 
que os valores estimados das variáveis 
endógenas estão muito próximos de seus 
valores reais, e por conseguinte, é menor 
a probabilidade desses últimos serem 
correlacionados com os termos de erro 
estocásticos nas equações estruturais 
originais.
200
• Se os valores de R2 nas regressões do primeiro 
estágio forem muito baixos, as estimativas por 
MQ2E praticamente não terão significado, 
porque estaremos substituindo os Y originais 
na regressão do segundo estágio pelos 
estimados pelas regressões do primeiro 
estágio que, em essência, representarão os 
termos de erro nas regressões do primeiro 
estágio.
• Em outras palavras, nesse caso, os serão 
proxies muito precários dos Y originais.
201
Yˆ
6 - Os erros padrão estimados nas regressões do 
segundo estágio precisam ser modificados porque, 
como podemos ver pela equação (20.4.6), o termo de 
erro *
t
u
 é, na verdade, o termo de erro original u2t 
mais 
t
uˆ
21

. 
Por conseguinte, a variância de *
t
u
 não é exatamente 
igual à variância do u2t original. 
202
Equação (20.4.6):
203
 
*
121202
212121202
2121202
ˆ
)ˆ(ˆ
)ˆˆ(
ttt
tttt
tttt
uYY
uuYY
uuYY






→ estimação de erros padrão de estimadores 
MQ2E.
• O objetivo é mostrar que os erros padrão das 
estimativas obtidas pela regressão do segundo 
estágio do procedimento de MQ2E, usando a 
fórmula aplicável na estimativa por MQO, não 
são estimativas “adequadas” dos erros padrão 
“verdadeiros”.
204
• Para demonstrar, utilizaremos o modelo de 
oferta de renda-moeda:
205
ttttt
uXXYY
1212111211101
  
Função renda (20.4.1) 
 
ttt
uYY
2121202
  
Função oferta de moeda (20.4.2) 
• Estima-se os parâmetros da função 
oferta de moeda superidentificada com 
base na regressão de segundo estágio 
como:
(20.4.6)
em que:
206
*
121202
ˆ
ttt
uYY  
ttt
ûuu
212
* 
• Agora, quando operamos a regressão (20.4.6), 
o erro padrão de, por exemplo, é obtido 
por meio da seguinte expressão:
em que:207
21
ˆ
2
1
2
21
ˆ
ˆ
)ˆvar(
*
t
u
y



 
2
)ˆˆˆ(
2
ˆ
2
121202
2*
2
*






n
YY
n
û
ttt
u

• Mas não é a mesma coisa que , em 
que o último é uma estimativa não 
tendenciosa da variância verdadeira de u2.
• Essa diferença pode ser prontamente 
verificada por meio da equação 
208
2
*u

2
2
ˆ
u
ttt
ûuu
212
* 
• Para obter o verdadeiro , procedemos 
como se segue:
em que e são as estimativas por
meio da regressão de segundo estágio. 
209
2
2
ˆ
u
ttt
YYû
1212022
ˆˆ  
20
ˆ
21
ˆ
• Portanto:
210
2
)ˆˆ(
ˆ
2
1212022
2 


n
YY tt
u

• Perceba a diferença entre a equação
(1)
(2)
Na equação (2), utilizamos o Y1 real em vez do 
Y1 estimado por meio da regressão de 
primeiro estágio.
211
2
)ˆˆˆ(
ˆ
2
1212022
*



n
YY tt
u

2
)ˆˆ(
ˆ
2
1212022
2 


n
YY tt
u

• Tendo estimada a equação
o caminho mais fácil para corrigir os erros 
padrão dos coeficientes estimados na 
regressão de segundo estágio é multiplicar 
cada um deles por 
212
2
)ˆˆ(
ˆ
2
1212022
2 


n
YY tt
u

*
2
ˆ
ˆ
u
u


• Observe que, se Y1 e forem muito 
próximos, isto é, o R2 na regressão de primeiro 
estágio for muito alto, o fator de correção
será próximo de 1, caso em que os erros 
padrão estimados na regressão de segundo 
estágio podem ser tomados como estimativas 
verdadeiras. 
213
t
Y
1
ˆ
*
2
ˆ
ˆ
u
u


• Mas, em outras situações, 
deveríamos usar o fator de correção 
anterior.
214
7 – Ao utilizar os MQ2E, tenha em mente as 
seguintes observações:
a) A justificativa estatística do MQ2E considera 
que se trabalha com grandes amostras.
215
7 – Ao utilizar os MQ2E, tenha em mente as 
seguintes observações:
b) Quando não há variáveis endógenas 
defasadas, os estimadores de MQ2E são 
consistentes se as variáveis exógenas são 
constantes em amostras repetidas e se o(s) 
erros são independentemente distribuídos 
com médias zero e variâncias finitas.
216
7 – Ao utilizar os MQ2E, tenha em mente as 
seguintes observações:
c) Quando o sistema de equações contém 
variáveis defasadas, a consistência e a 
normalidade da amostra grande dos 
estimadores de MQ2E requerem uma 
condição adicional, que, à medida que a 
amostra cresce, o quadrado médio dos valores 
assumidos por uma variável endógena 
defasada converge, em probabilidade, para 
um limite positivo.
217
7 - Ao utilizar os MQ2E, tenha em mente as
seguintes observações:
d) Se os erros não são independentemente
distribuídos, variáveis endógenas defasadas
não são independentes da operação corrente
do sistema da equação, o que significa que
essas variáveis não são realmente
predeterminadas.
218
7 - Ao utilizar os MQ2E, tenha em mente as 
seguintes observações:
e) Se essas variáveis são, no entanto, 
tratadas como predeterminadas no 
procedimento de MQ2E, os estimadores 
resultantes não são consistentes.
219
• Uma característica notável dos MQ2E é que as
estimativas obtidas são consistentes, isto é, à
medida que o tamanho da amostra aumenta
indefinidamente, as estimativas convergem
para os valores reais da população.
• Em amostras pequenas, as inferências obtidas
dos MQ2E devem ser interpretados com o
devido cuidado.
220
Bibliografia:
GUJARATI, D. N. e PORTER, C. P. Econometria 
Básica. 5ª edição, McGraw-Hill e Artmed. 
2011. 
221