Medidas Separatrizes

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Medidas Separatrizes
Guilherme Biz
24 de fevereiro de 2014
Medidas Separatrizes
• Para melhor entender uma distribuic¸a˜o, pode-se conhecer va-
lores acima ou abaixo dos quais se encontra uma determinada
porcentagem dos dados atrave´s de medidas separatrizes.
• As principais medidas separatrizes sa˜o: mediana, quartis, decis
e percentis.
• O percentil de ordem 100p de um conjunto de valores dispostos
em ordem crescente e´ um valor, tal que 100p% das observac¸o˜es
esta˜o nele ou abaixo dele, e 100(1 − p)% esta˜o nele ou acima
dele. (0 < p < 1)
• O percentil generaliza qualquer tipo de medida separatriz
• O percentil de ordem 50 (P50) e´ a mediana.
• Os percentis de ordens 25, 50 e 75, (P25 = Q1, P50 = Q2 e
P75 = Q3), sa˜o os quartis.
Percentis
• Localizar a posic¸a˜o (L).
L =
kn
100
em que k e´ o percentual desejado.
• Se L for decimal, arredonda o seu valor para o maior inteiro
mais pro´ximo.
• Se L for inteiro, somar o valor correspondente a L ao valor
correspondente a L + 1 e dividir o resultado por 2.
Exemplo
Tabela : O Rol dos depo´sitos banca´rios da empresa AKI-SE-TRABALHA,
em milhares de reais, Fev/Mar, 2005.
0,8 1,0 1,0 1,1 1,3 1,3 1,4 1,5 1,5
1,6 1,6 1,8 1,8 1,9 1,9 1,9 2,0 2,0
2,0 2,1 2,1 2,1 2,3 2,3 2,4 2,4 2,5
2,7 2,7 2,7 2,8 2,9 2,9 3,0 3,0 3,1
3,2 3,2 3,3 3,7 3,8 3,9 4,2
Calcule os quartis dos depo´sitos banca´rios da empresa
AKI-SE-TRABALHA.
Exerc´ıcios
• Calcule os quartis dos sala´rios dos 36 empregados da
companhia MB.
• Qual sa˜o os valores dos Q1, Q2, Q3 e D2 dos dados abaixo?
1 2 4 5 7 8 10 11 14
Percentis
• Quando os dados esta˜o agrupados em classe, os percentis sa˜o
calculados utilizando:
Pi = li +
L− Fan
nPi
ac
em que,
Fan = frequeˆncia acumulada anterior a` classe do Pi ;
nPi = frequeˆncia simples da classe do Pi ;
L = in100 e´ a posic¸a˜o do percentil;
i = 1, 2, ..., 99.
Exerc´ıcio
Tabela : Frequeˆncias dos depo´sitos banca´rios da empresa
Aki-se-Trabalha.
Depo´sito Freq. Freq Freq. Ponto
milhares (ni ) (fi ) Fi (x¯i )
0,8 |− 1,3 4 0,09 4 1,05
1,3 |−1,8 7 0,16 11 1,55
1,8 |−2,3 11 0,26 22 2,05
2,3 |−2,8 8 0,19 30 2,55
2,8 |−3,3 8 0,19 38 3,05
3,3 |−3,8 2 0,05 40 3,55
3,8 |−4,3 3 0,07 43 4,05
Total 43 1,0
Calcule os quartis dos depo´sitos banca´rios utilizando a tabela.
Tabela : Frequeˆncia absoluta e relativa dos 36 empregados da sec¸a˜o de
orc¸amento da Companhia MB por faixa de sala´rio
Classe de Freq. Freq.
sala´rios ni fi
4,00 |−8,00 10 0,28
8,00 |−12,00 12 0,33
12,00 |−16,00 8 0,22
16,00 |−20,00 5 0,14
20,00 |−24,00 1 0,03
Total 36 1,00
Calcule os quartis dos sala´rios utilizando a tabela.
Medidas de dispersa˜o
• As medidas de dispersa˜o servem para indicar o quanto os dados
se apresentam dispersos.
• Auxiliam as medidas de posic¸a˜o a descrever o conjunto de dados
adequadamente.
• Faz-se necessa´rio ao menos uma medida de posic¸a˜o e uma de
dispersa˜o para descrever um conjunto de dados.
• As principais medidas de dispersa˜o sa˜o:
• Amplitude
• Desvio Me´dio
• Variaˆncia
• Desvio Padra˜o
• Erro Padra˜o
• Coeficiente de variac¸a˜o
Amplitude
• E´ a diferenc¸a entre o maior e o menor valor observado
At = xmax − xmin
• Esta medida de dispersa˜o na˜o leva em considerac¸a˜o os valores
intermedia´rios perdendo a informac¸a˜o de como os dados esta˜o
distribu´ıdos e/ou concentrados.
• E´ muito limitada, pois depende apenas dos valores extremos.
Desvio Me´dio
• A diferenc¸a entre cada valor observado e a me´dia e´ denominado
desvio e e´ dado por (xi − µ) ou (xi − x¯).
• A soma de todos os desvios e´ igual a zero, e esta medida na˜o
mede a variabilidade dos dados.
• Para resolver este problema utiliza-se os valores absolutos dos
desvios e calcula a me´dia.
dm =
N∑
i=1
|xi − µ|
N
, ou dm =
n∑
i=1
|xi − x¯ |
n
• Caso os dados estejam apresentados seguindo uma distribuic¸a˜o
de frequeˆncias, tem-se:
dm =
k∑
i=1
|x¯i − µ| ni
N
, ou dm =
k∑
i=1
|x¯i − x¯ | ni
n
Variaˆncia
• E´ a medida de variabilidade mais utilizada.
• Se ao inve´s de utilizar os valores absolutos elevarmos os des-
vios ao quadrado, estaremos enfatizando os grandes desvios em
relac¸a˜o a observac¸o˜es mais pro´ximas da me´dia.
σ2 =
N∑
i=1
(xi − µ)2
N
ou s2 =
n∑
i=1
(xi − x¯)2
n − 1
σ2 =
n∑
i=1
x2i −
(
n∑
i=1
xi
)2
n
N
ou s2 =
n∑
i=1
x2i −
(
n∑
i=1
xi
)2
n
n − 1
• Caso os dados estejam apresentados segundo uma distribuic¸a˜o
de frequeˆncias, tem-se:
σ2 =
k∑
i=1
(x¯i − µ)2ni
N
ou s2 =
k∑
i=1
(x¯i − x¯)2ni
n − 1
σ2 =
k∑
i=1
x2i ni −
(
k∑
i=1
xini
)2
n
N
ou s2 =
k∑
i=1
x2i ni −
(
k∑
i=1
xini
)2
n
n − 1
• Ao calcular a variaˆncia observa-se que o resultado sera´ dado
em unidades quadra´ticas, o que dificulta a sua interpretac¸a˜o.
Desvio padra˜o
• Uma forma de se obter uma medida de dispersa˜o com a mesma
unidade de medida dos dados observados e´, simplesmente, apli-
car a raiz quadrada na variaˆncia, obtendo-se o desvio padra˜o.
σ =
√
(σ2) ou s =
√
(s2)
Erro padra˜o
• Diferentes amostras retiradas de uma mesma populac¸a˜o podem
apresentar me´dias diferentes.
• O erro padra˜o e´ uma medida da precisa˜o da me´dia amostral.
σx¯ =
σ√
n
ou sx¯ =
s√
n
Coeficiente de variac¸a˜o
• O coeficiente de variac¸a˜o expressa a variabilidade dos dados de
uma varia´vel de modo independente da sua unidade de medida.
• O coeficiente de variac¸a˜o e´ dado por:
CV =
s
x¯
100
• E´ utilizada para comparar variabilidades em situac¸o˜es nas quais
as me´dias sa˜o muito diferentes.
• Sua utilidade esta´ em fornecer uma medida para a homogenei-
dade de um conjunto de dados.
Exerc´ıcios
Tabela : Valores das se´ries A, B e C
Repetic¸a˜o Se´rie A Se´rie B Se´rie C
1 45 41 25
2 45 42 30
3 45 43 35
4 45 44 40
5 45 45 45
6 45 46 50
7 45 47 55
8 45 48 60
9 45 49 65
Me´dia 45 45 45
Mediana 45 45 45
Calcule todas as medidas de dispersa˜o para as se´ries A, B e C.
Exerc´ıcio
Tabela : O Rol dos depo´sitos banca´rios da empresa AKI-SE-TRABALHA,
em milhares de reais, Fev/Mar, 2005.
0,8 1,0 1,0 1,1 1,3 1,3 1,4 1,5 1,5
1,6 1,6 1,8 1,8 1,9 1,9 1,9 2,0 2,0
2,0 2,1 2,1 2,1 2,3 2,3 2,4 2,4 2,5
2,7 2,7 2,7 2,8 2,9 2,9 3,0 3,0 3,1
3,2 3,2 3,3 3,7 3,8 3,9 4,2
Calcule todas as medidas de dispersa˜o dos depo´sitos banca´rios da
empresa AKI-SE-TRABALHA.
Exerc´ıcio
Tabela : Frequeˆncias dos depo´sitos banca´rios da empresa
Aki-se-Trabalha.
Depo´sito Freq. Freq Freq. Ponto
milhares (ni ) (fi ) Fi (x¯i ) x¯ini x¯
2
i ni
0,8 |− 1,3 4 0,09 4 1,05 4,20 4,41
1,3 |−1,8 7 0,16 11 1,55 10,85 16,82
1,8 |−2,3 11 0,26 22 2,05 22,55 46,23
2,3 |−2,8 8 0,19 30 2,55 20,40 52,02
2,8 |−3,3 8 0,19 38 3,05 24,40 74,42
3,3 |−3,8 2 0,05 40 3,55 7,10 25,20
3,8 |−4,3 3 0,07 43 4,05 12,15 49,21
Total 43 1,0 101,65 268,31
Calcule todas as medidas de dispersa˜o dos depo´sitos banca´rios da
empresa AKI-SE-TRABALHA, utilizando a tabela.
Tabela : Frequeˆncia absoluta e relativa dos 36 empregados da sec¸a˜o de
orc¸amento da Companhia MB por faixa de sala´rio
Classe de Frequeˆncia Frequeˆncia
sala´rios absoluta relativa
4,00 |−8,00 10 0,28
8,00 |−12,00 12 0,33
12,00 |−16,00 8 0,22
16,00 |−20,00 5 0,14
20,00 |−24,00 1 0,03
Total 36 1,00
Calcule todas as medidas de dispersa˜o dos sala´rios dos 36
empregados da sec¸a˜o de orc¸amento da companhia MB, utilizando
os dados bruto e a distribuic¸a˜o de frequeˆncias.
Box-Plot
• Fornce informac¸o˜es importantes sobre o comportamento do
conjunto de dados, como simetria e variabilidade.
Exemplo Box-Plot
• O objetivo da administrac¸a˜o e´ lucrar o ma´ximo poss´ıvel como capital investido em sua empresa. Uma medida de bom de-
sempenho e´ o retorno sobre os investimentos. A seguir sa˜o
apresentados os mais recentes retornos
2210 2255 2350 2380 2380 2390
2420 2440 2450 2550 2630 2825
Assimetria
• Sime´trica: Uma distribuic¸a˜o e´ dita sime´trica quando apresenta
o mesmo valor para a moda, me´dia e mediana.
x¯ = Md = Mo
• Assime´trica a` direita ou positiva: Quando a cauda da curva
da distribuic¸a˜o declina para direita.
x¯ > Md > Mo
• Assime´trica a` esquerda ou negativa: Quando a cauda da
curva da distribuic¸a˜o declina para esquerda.
x¯ < Md < Mo