Intervalo de Confiança

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Intervalo de Confianc¸a
Guilherme Biz
24 de abril de 2014
Intervalo de Confianc¸a
• Esse procedimento permite julgar qual a poss´ıvel magnitude do
erro que estamos cometendo.
• Os intervalos de confianc¸a sa˜o baseados na distribuic¸a˜o do es-
timador pontual
• A estimac¸a˜o por intervalo consiste na fixac¸a˜o de dois valores
tais que γ = (1− α) seja a probabilidade de que o intervalo,
por eles determinado, contenha o verdadeiro valor do
paraˆmetro.
P
[
θˆ1 ≤ θ ≤ θˆ2
]
= 1− α.
Intervalo de confianc¸a para me´dia, com
variaˆncia conhecida ou n > 30
• Sabe-se que se Y ∼ N(µ, σ2), enta˜o Y¯ ∼ N(µ, σ2n ), portanto,
o que se procura e´ determinar um intervalo, tal que:
P
[
y¯1 ≤ Y¯ ≤ y¯2
]
= P [−zc ≤ Z ≤ zc ] = 1− α
• Substituindo-se Z = y¯−µσ√
n
, tem-se
P
[
y¯ − z(α
2
)
σ√
n
≤ µ ≤ y¯ + z(α
2
)
σ√
n
]
= 1− α
• Exemplo 1: Uma ma´quina enche pacotes de cafe´ com uma
variaˆncia igual a 100g2. Ela estava regulada para encher os
pacotes com 500g, em me´dia. Agora, ela se desregulou, e
queremos saber qual a nova me´dia µ. Uma amostra de 25
pacotes apresentou uma me´dia igual a 485g. Vamos construir
um intervalo com 95% de confianc¸a para µ.
1- Calcule o intervalo de confianc¸a para a me´dia de uma N(µ, σ2)
em cada um dos casos abaixo:
Me´dia Tamanho Desvio Padra˜o Coeficiente de
Amostral da Amostra da Populac¸a˜o Confianc¸a
170cm 100 15cm 95%
165cm 184 30cm 85%
180cm 225 30cm 70%
2- Num estudo de custos de seguro contra colisa˜o de automo´veis,
uma amostra de n=35 consertos de coliso˜es frontais contra
um muro a uma velocidade espec´ıfica teve um custo me´dio de
1438 unidades moneta´rias. Sabendo que σ = 269 unidades mo-
neta´rias para esses dados, determine um intervalo com 98% de
confianc¸a para o custo me´dio. Tambe´m construa um intervalo
de 90% de confianc¸a para o custo me´dio de tais consertos.
Intervalo de confianc¸a para me´dia, com
variaˆncia desconhecida
• Neste caso, o intervalo de confianc¸a e´ calculado utilizando-se
uma nova estat´ıstica:
T =
Y¯ − µ
s√
n
• Procura-se determinar um intervalo, tal que:
P [−tc ≤ T ≤ tc ] = 1− α
• Substituindo o valor de T, tem-se:
P
[
y¯ − t(n−1;α
2
)
s√
n
≤ µ ≤ y¯ + t(n−1;α
2
)
s√
n
]
= 1− α
• Exemplo 2: Considere uma amostra de 9 elementos de uma
populac¸a˜o:
10, 4, 8, 11, 14, 12, 9, 13 e 9.
Determine o intervalo de 95% de confianc¸a para a me´dia po-
pulacional.
3- Uma amostra de 25 pacotes, de uma ma´quina de encher paco-
tes de cafe´, apresentou me´dia igual a 485g e variaˆncia igual a
100g2. Determine os intervalos com 95% e 90% de confianc¸a
para µ.
4- De 50000 va´lvulas fabricadas por uma companhia retira-se uma
amostra de 400 va´lvulas, e obte´m-se a vida me´dia de 800 horas
e o desvio padra˜o de 100 horas.
(a) Qual o intervalo de confianc¸a de 99% para a vida me´dia da
populac¸a˜o?
(b) Com que confianc¸a dir-se-ia que a vida me´dia e´ 800± 0, 98?
(c) Que tamanho deve ter a amostra para que seja de 95% a
confianc¸a na estimativa 800± 7, 84?
5- As medidas da eficieˆncia te´rmica de n=15 ma´quinas a diesel
fabricadas por uma empresa renomada sa˜o as seguintes: 30,7;
35,0; 34,9; 33,6; 28,7; 32,1; 29,0; 31,4; 31,7; 31,8; 33,6; 29,7;
33,4; 28,2; 31,6. Determine um intervalo de 99% de confianc¸a
para a eficieˆncia te´rmica me´dia de tais ma´quinas a diesel.
6- Cinco recipientes de um solvente comercial selecionados aleato-
riamente de um lote de produc¸a˜o grande, pesaram 19,5; 19,3;
20,0; 19,0; 19,7 quilogramas. Supondo que esses dados podem
ser vistos como uma amostra de uma populac¸a˜o normal, deter-
mine um intervalo de 99% de confianc¸a para o peso me´dio dos
recipientes de solvente do lote de produc¸a˜o.
Intervalo de confianc¸a para proporc¸a˜o
• Vamos obter um intervalo de confianc¸a para o paraˆmetro p de
uma distribuic¸a˜o b(n, p)
• Sabemos que se X=nu´mero de sucessos nas n provas, enta˜o X
tem distribuic¸a˜o aproximadamente normal, com me´dia µ = np
e variaˆncia σ2 = np(1− p).
• Logo,
Z =
X − np√
npq
∼ N(0, 1).
• Portanto, o intervalo de confianc¸a para proporc¸a˜o e´:
P
[
pˆ − z(α
2
)
√
pˆ(1− pˆ)
n
≤ p ≤ pˆ + z(α
2
)
√
pˆ(1− pˆ)
n
]
= 1− α
Exemplo
• Exemplo 3: Numa pesquisa de mercado, n=400 pessoas foram
entrevistadas sobre determinado produto, e 60% delas preferi-
ram a marca A. Aqui, pˆ = 0, 6 e um intervalo de confianc¸a para
p com coeficiente de confianc¸a 0,95 sera´:
Exerc´ıcios
7- Uma amostra aleato´ria de 625 donas de casa revela que 70%
delas preferem a marca A de detergente. Construa um intervalo
de confianc¸a para proporc¸a˜o das donas de casa que preferem A
com coeficiente de confianc¸a γ = 90%.
8- Suponha que estejamos interessados em estimar a porcenta-
gem de consumidores de um certo produto. Se a amostra de
tamanho 300 forneceu 100 indiv´ıduos que consomem o dado
produto, determine:
(a) o intervalo de confianc¸a de p, com coeficiente de confianc¸a de
95%
(b) o tamanho da amostra para que o erro da estimativa na˜o
exceda a 0,02 unidades com probabilidade de 95%.
9- Em uma amostra aleato´ria de 200 alunos de uma grande univer-
sidade, 144 sa˜o contra´rios ao aumento do nu´mero de disciplinas
curriculares na a´rea de exatas, enquanto que 56 sa˜o favora´veis
a um tal aumento.
(a) Construa o intervalo de confianc¸a de 95% para a proporc¸a˜o da
populac¸a˜o que se opo˜e a um aumento da carga curricular.
(b) Construa o intervalo de confianc¸a de 95% para a proporc¸a˜o da
populac¸a˜o que e´ a favor de um aumento da carga curricular.
Intervalo de confianc¸a para a diferenc¸a de
duas me´dias
• Ha´ situac¸o˜es em que o interesse do pesquisador e´ comparar as
me´dias de duas populac¸o˜es, sobre as quais ele realiza algum
estudo.
• Pode-se fazer essa comparac¸a˜o atrave´s do intervalo de con-
fianc¸a para a diferenc¸a entre duas me´dias populacionais.
Notac¸a˜o: x¯1, s1 e n1 para a amostra 1,
µ1, σ1 para a populac¸a˜o 1 e
µ2, σ2 para a populac¸a˜o 2.
Variaˆncias conhecidas ( ou n1 e n2 > 30)
• As amostras das populac¸o˜es devem ser independentes.
• A estimativa para a diferenc¸a entre duas me´dias populacionais
(µ1 − µ2) e´ (x¯1 − x¯2).
• Assumindo-se que as variaˆncias populacionais sa˜o conhecidas,
tem-se que a estat´ıstica usada e´ dada por:
Z =
(X¯1 − X¯2)− (µ1 − µ2)√
σ21
n1
+
σ22
n2
∼ N(0, 1)
• Portanto, o intervalo de confianc¸a a γ% para µ1 − µ2 e´:
IC =
(x¯1 − x¯2)− zα
2
√
σ21
n1
+
σ22
n2
; (x¯1 − x¯2) + zα
2
√
σ21
n1
+
σ22
n2

OBS: Caso as variaˆncias populacionais sejam desconhecidas, mas n1
e n2 maiores que 30, utiliza-se as estimativas amostrais s
2
1 e s
2
2
em lugar das variaˆncias populacionais σ21 e σ
2
2.
• Exemplo 4: Nas turmas 1 e 2 de estat´ıstica, os alunos obtive-
ram notas com me´dias µ1 e µ2 e desvios padro˜es σ1 = 1, 2 e
σ2 = 2, 13. Foi extra´ıda uma amostra de 25 alunos da turma
1 e obteve-se uma nota me´dia de 7,8. Da turma 2 foi extra´ıda
uma amostra de 20 alunos e obteve-se uma nota me´dia de 6,0.
Construir um intervalo de 95% de confianc¸a para a verdadeira
diferenc¸a das me´dias populacionais.
Exerc´ıcios
10- Esta˜o sendo estudados dois processos para conservar alimentos,
cuja principal varia´vel de interesse e´ o tempo de durac¸a˜o destes.
No processo A, o tempo X de durac¸a˜o segue a distribuic¸a˜o
N(µ1,100), e no processo B o tempo Y segue a distribuic¸a˜o
N(µ2,100). Sorteiam-se duas amostras independentes: a de A,
com 16 latas, apresentou tempo me´dio de durac¸a˜o igual a 50,
e a de B, com 25 latas, durac¸a˜o me´dia igual a 60.
(a) Construa um I.C. para µ1 e µ2, separadamente.
(b) Para verificar se os dois processos podem ter o mesmo
desempenho, decidiu-se construir um I.C. para a diferenc¸aµ1 − µ2. Caso o zero pertenc¸a ao intervalo, pode-se concluir
que existe evideˆncia de igualdade dos processos. Qual seria sua
resposta?
11- Foi escolhido uma turma de uma escola A e uma turma de uma
escola B e aplicado uma prova de Probabilidade e Estat´ıstica. A
turma da escola A com 50 alunos obteve me´dia 76 com desvio
padra˜o de 6 e a turma da escola B com 75 alunos obteve me´dia
82 com desvio padra˜o de 8. Encontre um intervalo de confianc¸a,
com 5% de significaˆncia, para a diferenc¸a µ1 − µ2, em que µ1
representa a me´dia de todos alunos da escola A e µ2 a me´dia
de todos os alunos da escola B, que poderiam fazer esta prova
e interprete.
Variaˆncias desconhecidas e n ≤ 30
• As amostras das populac¸o˜es devem ser aleato´rias e independen-
tes.
• Como as variaˆncias populacionais sa˜o desconhecidas, e supondo
σ21 = σ
2
2 = σ, tem-se que a estat´ıstica usada e´ dada por:
T =
(X¯1 − X¯2)− (µ1 − µ2)
Sp
√
1
n1
+ 1n2
em que Sp =
√
(n1−1)S21 +(n2−1)S22
n1+n2−2 .
• Portanto, um intervalo de confianc¸a para µ1−µ2, com variaˆncia
populacionais desconhecidas, mas homogeˆneas e´:
IC =
[
(x¯1 − x¯2)− tα
2
,ϕSp
√
1
n1
+
1
n2
; (x¯1 − x¯2) + tα
2
,ϕSp
√
1
n1
+
1
n2
]
• Exemplo 5: Um mesmo tipo de material pode ser adquirido de
dois fabricantes. A varia´vel de interesse e´ a resisteˆncia mecaˆnica
do material (em unidades convenientes) para cada fabricante.
Para comparar os seus valores me´dios obteve-se (por amostra-
gem aleato´ria) uma amostra de cada.
Fabricante 1 Fabricante 2
x¯1 = 8, 73 x¯2 = 8, 68
s21 = 0, 35 s
2
2 = 0, 40
n1 = 15 n2 = 18
Com o objetivo de ajudar a decidir qual dos dois e´ melhor,
pretende-se calcular um intervalo de confianc¸a a 95% para a
diferenc¸a dos valores me´dios.
Exerc´ıcios
12- Um grupo de planejamento urbano esta´ interessado em esti-
mar a diferenc¸a entre a me´dia de rendimentos familiares para
dois bairros em uma grande a´rea metropolitana. Amostras
aleato´rias independentes de fam´ılias nos bairros forneceram os
seguintes resultados:
Bairro 1: n1 = 8 ; X¯1 = R$1570, 00; s1 = R$70, 00.
Bairro 2: n2 = 12; X¯2 = R$1450, 00; s2 = R$85, 00.
Com base no I.C. a 95% para a diferenc¸a dos rendimentos
me´dios, qual seria a conclusa˜o do grupo?
13- Uma empresa deseja estudar a eventual efica´cia da aplicac¸a˜o
dos programas de treinamento ministrados pela sua a´rea de
recursos humanos. Para isso analisou duas amostras de de-
sempenhos de seus funciona´rios: Grupo A, treinamento de 20
horas/aula e o Grupo B com 80 horas/aula. Os desempenhos
dos funciona´rios foram:
Grupo A: 7; 8; 8; 7; 6; 8; 9; 7; 8.
Grupo B: 5; 9; 4; 8; 6; 6; 7; 5; 6.
Verifique, pelo I.C. a 95% para a diferenc¸a das me´dias das
notas, se os programas podem ser considerados equivalentes.
Intervalo de confianc¸a para diferenc¸a de
proporc¸o˜es
• Sejam pi1 e pi2 as verdadeiras proporc¸o˜es populacionais. O inte-
resse do pesquisador esta´ na diferenc¸a entre as duas proporc¸o˜es
(pi1 − pi2).
• As estimativas de pi1 e pi2 sa˜o dadas por:
p1 =
x1
n1
e p2 =
x2
n2
• Portanto, uma estimativa natural da diferenc¸a entre proporc¸o˜es
e´ dada por (p1 − p2).
• O intervalo de confianc¸a e´ dado por:
IC (pi1 − pi2, γ) = (p1 − p2)± zα
2
√
p1(1− p1)
n1
+
p2(1− p2)
n2
.
Exemplo
• Exemplo 6: Uma empresa que presta servic¸os de assessoria
econoˆmica a outras empresas esta´ interessada em comparar a
taxa de reclamac¸o˜es sobre os seus servic¸os em dois dos seus
escrito´rios em duas cidades diferentes. Suponha que a empresa
tenha selecionado aleatoriamente 100 servic¸os realizados pelo
escrito´rio da cidade A e foi constatado que em 12 deles houve
algum tipo de reclamac¸a˜o. Ja´ do escrito´rio da cidade B fo-
ram selecionados 120 servic¸os e 18 receberam algum tipo de
reclamac¸a˜o. A empresa deseja saber se estes resultados sa˜o
suficientes para se concluir que os dois escrito´rios apresentam
diferenc¸a significativa entre suas taxas de reclamac¸o˜es. Deter-
mine o Intervalo de confianc¸a para a verdadeira diferenc¸a entre
as proporc¸o˜es.
Exerc´ıcios
14- Determine um intervalo de confianc¸a de 95% para (p1−p2) em
cada uma das seguintes situac¸o˜es:
(a) n1 = 400, pˆ1 = 0, 65; n2 = 400, pˆ2 = 0, 58.
(b) n1 = 180, pˆ1 = 0, 31; n2 = 250, pˆ2 = 0, 25.
(c) n1 = 100, pˆ1 = 0, 46; n2 = 120, pˆ2 = 0, 61.
15- Um me´todo de borrifar nuvens (para provocar chuva) foi bem
sucedido em 57 dentre 150 tentativas, enquanto outro me´todo
foi eficaz em 33 dentre 100 tentativas. Ao n´ıvel de significaˆncia
de 0.05% podemos concluir que o primeiro me´todo e´ melhor do
que o segundo?
16- Um estudo mostrou que 56 dentre 80 pessoas que viram uma
determinada propaganda na televisa˜o durante uma novela e
38 dentre 80 pessoas que viram a propaganda durante um
jogo de futebol lembraram da marca duas horas depois.
Determine um intervalo de confianc¸a para a diferenc¸a entres
as proporc¸o˜es ao n´ıvel de 0,01 de significaˆncia e conclua sobre
qual per´ıodo e´ mais eficaz anunciar esse produto.
	Uma População
	Duas Populações