Teste Hipótese

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Teste de Hipótese e Intervalo de 
Confiança 
Parte 2 
 Questões para discutirmos em sala: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O que é uma hipótese estatística? 
 
 O que é um teste de hipótese? 
 
 Quem são as hipóteses nula e alternativa? 
 
 Quando devemos rejeitar a hipótese nula? 
 
 Estamos prontos, agora, para aprendermos o 
primeiro teste de hipótese. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Vamos testar a média de uma população, 
supondo que conhecemos a variância. 
 
 Considere o problema de determinar a média do 
tamanho da ruptura muscular no ombro... 
 
 suponha temos uma amostra com 25 pacientes e 
que a variância seja dada e igual a 1. 
 
 Relembrando: Teste de Hipótese – Passo a Passo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Identifique o parâmetro de interesse 
2) Estabeleça H0 e Ha 
3) Estabeleça o nível de significância  que determinará a 
região de rejeição 
média 
H0:  = 3,5; Ha:   3,5 
 
 = 0,05 
É o que determina o teste! 
 Relembrando: Teste de Hipótese – Passo a Passo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Estabeleça uma estatística apropriada de teste 
 
 Relembrando: Teste de Hipótese – Passo a Passo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Estabeleça uma estatística apropriada de teste 
 
n
X
Z

0
__
0


Valor de H0 
Média amostral 
Raiz da variância ou Desvio Padrão 
Tamanho da amostra 
 Relembrando: Teste de Hipótese – Passo a Passo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Calcule o valor da estatística 
Vamos supor que a média amostral tenha sido 3,1. 
n
X
Z

0
__
0


3,5 
3,1 
1 
25 
 Relembrando: Teste de Hipótese – Passo a Passo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Calcule o valor da estatística 
2
1
5
10
4
5
1
104
5
1
4,0
25
1
5,31,3
0 





Z
Ho
Value Critical
Value
Critical
Value
1/2 1/2 
Sample Statistic
Rejection
Region
Rejection
Region
Nonrejection
Region
1 -  
Valor 
crítico 
-z/2 
Valor 
crítico 
z/2 
Região de 
rejeição 
Região de 
rejeição 
 Relembrando: Teste de Hipótese – Passo a Passo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Decida de H0 deve ou não ser rejeitada. 
Precisamos estabelecer o valor crítico. 
 Relembrando: Teste de Hipótese – Passo a Passo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Decida de H0 deve ou não ser rejeitada. 
Valor crítico: 
Z0 1.96-1.96
.025
Reject H
0
Reject H
0
.025
Rejeitar H0 Rejeitar H0 
Para  = 0,05, em um teste z bicaudal, os valores 
críticos são -z/2 = -1,96 e z/2 = 1,96. 
 Relembrando: Teste de Hipótese – Passo a Passo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Decida de H0 deve ou não ser rejeitada. 
A hipótese nula será rejeitada se: 
Z0 > z/2 
ou 
Z0 < -z/2 
E falharemos em rejeitar se: 
-z/2 < Z0 < z/2 
 Relembrando: Teste de Hipótese – Passo a Passo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Decida de H0 deve ou não ser rejeitada. 
Temos que Z0 = -2 e -z/2 = -1.96 
Como -2 < -1,96 
H0 é rejeitada. 
 Relembrando: Teste de Hipótese – Passo a Passo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Isto significa que: 
Com uma amostra de 25 pacientes e com variância 
igual a 1... 
e uma média amostral de 3,1... 
A hipótese nula de que a média dos dados é 3,5 
é rejeitada. 
Teste Z – Inferência sobre a Média da População com 
Variância Conhecida 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este teste que acabamos de estudar é conhecido 
como teste Z... 
porque usa a estatística de teste baseada em uma 
normal padrão (média zero e variância 1). 
Chamamos uma normal padrão de Z. 
Vamos verificar formalmente como é definido o 
teste Z... 
Teste Z – Inferência sobre a Média da População com 
Variância Conhecida 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suponha que desejamos testar a hipótese: 
 H0:  = 0 
 
Sendo 0 uma constante especificada. 
Considere uma amostra aleatória X1, X2, ..., Xn da 
população e a variância 2 da população dada. 
Teste Z – Inferência sobre a Média da População com 
Variância Conhecida 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule a estatística de teste: 
n
X
Z

0
__
0


Critérios de rejeição: 
Z0 > z/2 ou Z0 < -z/2 Ha:   0 
 
 Ha:  > 0 
 Ha:  < 0 
Ha: 
Z0 > z 
Z0 < -z 
 H0:  = 0 
 
 H0:   0 
 H0:   0 
H0: 
O p-valor é o valor de significância observado 
Se p-valor  , NÃO rejeita H0 
Se p-valor < , REJEITA H0 
p-valor 
Levamos ao laboratório uma 
amostra aleatória de 25 caixas e 
constatamos uma média do 
princípio ativo de 372.5 mg. O 
fabricante especifica que a média 
de principio ativo é 368 mg e que 
o desvio  é de 15 mg. Queremos 
achar o p valor. 
368 mg 
Genérico 
Z0 1.50-1.50
Valor amostral da estatística 
Z (observado) 
Z
X
n




 


372 5 368
15
25
150
.
.
Z0 1.50-1.50
Valor amostral da estatística 
Z (observado) 
O p-valor é P(Z  -1.50 ou Z  1.50) 
O p-valor é P(Z  -1.50 ou Z  1.50) 
Valor amostral da estatística 
Z (observado) 
Z0 1.50-1.50
1/2 p-Value1/2 p-Value
½ p-valor ½ p-valor 
O p-valor é P(Z  -1.50 ou Z  1.50) 
Valor amostral da estatística 
Z (observado) 
Z0 1.50-1.50
1/2 p-Value1/2 p-Value
½ p-valor ½ p-valor 
0.433 
Calculado através de tabela 
ou no computador 
O p-valor é P(Z  -1.50 ou Z  1.50) 
Valor amostral da estatística 
Z (observado) 
Z0 1.50-1.50
1/2 p-Value1/2 p-Value
½ p-valor ½ p-valor 
0.433 
Calculado através de tabela 
ou no computador 
 0.500 
- 0.433 
 0.067 = 
O p-valor é P(Z  -1.50 ou Z  1.50) = 0.134 
Valor amostral da estatística 
Z (observado) 
Z0 1.50-1.50
1/2 p-Value1/2 p-Value
½ p-valor ½ p-valor 
0.433 
Calculado através de tabela 
ou no computador 
 0.500 
- 0.433 
 0.067 = 
0 1.50-1.50 Z
RejectReject
1/2 p-valor = 0.067 1/2 p-valor = 0.067 
1/2  = 0.025 1/2  = 0.025 
Rejeita Rejeita 
(p-valor = 0.134)  ( = 0.05). 
Então: NÃO rejeita a hipotese H0 
 Observe que no teste z, a variância da população 
é dada... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 entretanto, em problemas reais, isto não é algo 
comum. 
 
 e se precisarmos de um teste de hipótese para 
médias e não conhecermos a variância da 
população? 
 
Teste T – Inferência sobre a Média da População com 
Variância Desconhecida 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E se a variância não for conhecida? 
Muitas vezes não conhecemos a variância 
populacional dos nossos dados. 
A única diferença para o teste z é que aqui a 
variância não é conhecida. 
Usaremos, então, o teste T. 
 Vamos testar a média de uma população, sem 
conhecemos a variância. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Considere o problema de determinar a média do 
tamanho da ruptura muscular no ombro... 
 
 suponha temos uma amostra com 25 pacientes. 
 
 Relembrando: Teste de Hipótese – Passo a Passo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Identifique o parâmetro de interesse 
2) Estabeleça H0 e Ha 
3) Estabeleça o nível de significância  que determinará a 
região de rejeição 
média 
H0:  = 3,5; Ha:   3,5 
 
 = 0,05 
 Relembrando: Teste de Hipótese – Passo a Passo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Estabeleça uma estatística apropriadade teste 
 
n
S
X
T 0
__
0


Valor de H0 
Média amostral 
Desvio padrão amostral 
Tamanho da amostra 
 Relembrando: Teste de Hipótese – Passo a Passo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Calcule o valor da estatística 
Vamos supor que a média amostral tenha sido 3,1 
e que o desvio amostral tenha sido 0,7. 
n
S
X
T 0
__
0


3,5 
3,1 
0,7 
25 
 Relembrando: Teste de Hipótese – Passo a Passo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Calcule o valor da estatística 
86,2
7
50
10
4
50
7
104
5
7,0
4,0
25
7,0
5,31,3
0 





T
 Relembrando: Teste de Hipótese – Passo a Passo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Decida de H0 deve ou não ser rejeitada. 
Para  = 0,05, em um teste t bicaudal com 24 
graus de liberdade, os valores críticos são -t/2 = -
2,39 e t/2 = 2,39. 
 Relembrando: Teste de Hipótese – Passo a Passo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Decida de H0 deve ou não ser rejeitada. 
Temos que t0 = -2,86 e -t/2 = -2,39 
Como -2,86 < -2,39 
H0 é rejeitada. 
 Na prática: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Teremos nossos dados e vamos querer testar 
hipóteses. 
 
 Precisamos saber: 
 identificar o parâmetro a ser testado; 
 
 
 formular os testes, identificando 
corretamente as hipóteses nula e 
alternativa; 
 
 
 identificar o teste e executá-lo no 
computador. 
 
 
Unicaudal ou bicaudal 
Uma ou duas populações 
Intervalos de Confiança 
Suponha que temos uma população NORMAL de 
média  e desvio  e que vamos adquirir algumas 
amostras desta população. 
Podemos para cada uma destas amostras calcular a 
média amostral Xa 
Qual o erro que vamos incorrer ao usar esta media 
amostral para estimar a média da populacao ? 
Será que podemos estabelecer um intervalo de 
confiança em torno de Xa dentro do qual acreditamos 
encontrar a média da populacao ? 
Se adquirimos muitas amostras de tamanho ‘n’, as 
médias amostrais Xa terão uma distribuição, como é esta 
distribuição? 
É UMA NORMAL 
COM MÉDIA  
e DESVIO 
na
X

 
aXa
X 96,1
O número 2 é uma aproximação. Na verdade teremos 
1,96: 
Suponha que uma média amostral Xa cai dentro da área 
amarela, 
Note que Xa é o desvio da distribuição das médias amostrais 
Como Xa tem uma probabilidade de 0,95 de cair neste 
intervalo temos que a probabilidade do intervalo 
aXa
X 96,1
conter  é 0,95. 
Construímos então um intervalo de confiança de 0,95 
de probabilidade. 
Isso quer dizer que se sortearmos um grande número de 
observações, cerca 95% destas observações terão a 
média verdadeira incluída dentro do intervalo de 
confiança. 
Um hospital decide fazer uma pesquisa para estimar o 
tempo médio de internação. Portanto, o que deve ser 
estimado é o tempo médio  de uma população a qual 
não se pode ter acesso. 
Para isso colhe-se uma amostra de tamanho 100, isso é 
sorteia-se 100 pacientes entre os que já passaram pelo 
hospital, e verifica-se o tempo de internação 
O resultado (em dias) é: 
A média amostral é Xa= 4,53 dias, com um desvio 
amostral s = 3,68 dias. 
Então nosso intervalo de confiança de 95% é: 
100
96,153,42
 
aXa
X
Como não temos o desvio da população , vamos usar 
o desvio amostral s, que se aproxima de  a medida 
que se tem um ‘n’ grande. 
100
68,3
96,153,4
100
96,153,4
100
96,153,4 
s
72,053,4 
ou seja, nossos dados nos levam a concluir que 95% de 
segurança a média de internação nesse hospital está 
entre 3,81 e 5,25 dias . 
Note, diretamente da formula do intervalo que a 
medida que o ‘n’ cresce o intervalo diminui, ou seja 
com o mesmo nível de segurança (95%) pode-se 
afirmar um intervalo menor. Portanto a afirmação é 
feita com mais precisão. 
Este intervalo de confiança é feito para média com 
variância conhecida. 
aXa
zX  2/
Se quisermos um intervalo associado com outro valor 
crítico, em um teste bicaudal: 
Se o teste for unicaudal: 
aXa
zX 
aXna
stX 1,2/  
Se o desvio não for dado, teremos um teste T. Para 
obter o intervalo associado, basta trocar o valor crítico 
e calcular o desvio amostral: