3 Aula 3 Geometria projetiva

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Noções de geometria projetiva
Desenho e construções
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO NORTE - Campus Apodi
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Noções de geometria descritiva
 Ponto
 Reta
 Plano
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Estudo do Ponto:
	
	Não tem definição. Além disso, não tem dimensão. Graficamente, expressa-se o ponto pelo sinal obtido quando se toca a ponta do lápis no papel. Sua representação também se dá pelo cruzamento de duas linhas, que podem ser retas ou curvas.
	Figura geométrica sem dimensão, que representa um local no plano, é a intersecção entre duas linhas. A localização de uma cidade no mapa, a marca de uma ponta de giz no quadro, por exemplo, nos dão a idéia de ponto. Designamos os pontos com letras maiúsculas A, B, C, ... e sua representação gráfica é:
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Estudo do ponto
O espaço:
 Planos de projeção: 
	Planos de projeção são dois planos perpendiculares entre si; um deles chama-se plano horizontal e o outro plano vertical. Os dois planos são ilimitados em todos os sentidos. 
 Linha de terra: a interseção ente os planos horizontal () e vertical de projeção (’), representada por LT ou ( ’).
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Desenho – Professora Dr. Sc. Danila Neri
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Elementos de projeção:
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Conceitos:
Projetante: é a reta que passa pelos pontos do objeto e intercepta o plano de projeção. 
Centro de projeção: é o ponto fixo de onde partem ou por onde passam as projetantes.
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Elementos de projeção:
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Veja agora como é possível determinar a forma e a posição dos objetos no espaço
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Fazer o plano de projeção com papel.
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 Semi-planos de projeção: 
	A linha de terra divide cada plano de projeção em duas partes iguais ou dois semi-planos, sendo:
Semi-plano horizontal anterior (HA ou A): a parte do plano horizontal de projeção à direita da linha de terra.
Semi-plano horizontal posterior (HP ou P): a parte do plano horizontal de projeção à esquerda da linha de terra.
 Semi-plano vertical superior (VS ou ’S): a parte do plano vertical de projeção acima da linha de terra.
Semi-plano vertical inferior (VI ou ’I): a parte do plano vertical de projeção abaixo da linha de terra.
 
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Preencher o plano de projeção com as novas informações
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 Diedros: 
	As regiões compreendidas ente os semi-planos de projeção, sendo:
 1º d = 1º diedro: a região compreendida entre A e ’S
 2º d = 2º diedro: a região compreendida entre P e ’S
 3º d = 3º diedro: a região compreendida entre P e ’I
 4º d = 4º diedro: a região compreendida entre A e ’I
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ESTUDO DO PONTO: O ESPAÇO
Linha de Terra
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1º d
2º d
3º d
4º d
Preencher o plano de projeção com as novas informações
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 Representação de um ponto no espaço por suas coordenadas descritivas: 
	
	Para representar um ponto (P) no espaço, obtêm as suas projeções ortogonais horizontal (P) e vertical (P’), respectivamente nos planos horizontal () e vertical (’).
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 Coordenadas: 
	
Afastamento de um ponto (y): a posição da projeção horizontal do ponto A em relação a linha de terra. Se medido no semi-plano HA é positivo logo y 0, se medido no semi-plano HP é negativo logo y 0. 
y 0
y 0
y  0
y  0
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 Coordenadas: 
	
Cota de um ponto (Z): a posição da projeção vertical do ponto A’ em relação a linha de terra. Se medido no semi-plano VS é positivo logo Z 0, se medido no semi-plano VI é negativo logo Z 0. 
Z  0
Z  0
Z  0
Z  0
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 Coordenadas: 
	
Abscissa de um ponto (X): a posição da projeção do ponto A na linha de terra, é necessário estabelecer um referencial. Se a abscissa for medida a direita da origem ela é positiva logo X  0, se for medida a esquerda da origem ela é negativo logo X 0. 
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 Representação de um ponto por suas coordenadas descritivas: 
	
	As coordenadas: abscissa, afastamento e cota de um ponto são denominadas coordenadas descritivas de um ponto.
	Um ponto é representado numericamente pel expressão (P) [x; y; z), onde: (P): significa o ponto objeto, X: abscissa, Y: afastamento, Z: cota. separados por ; e entre []. 
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 Representação de um ponto por suas coordenadas descritivas: 
	
	Um ponto P está determinado quando se conhece abscissa, afastamento e cota.
Exemplo: P [1,4,2].
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REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO NO ESPAÇO
SPVI
SPVS
SPHP
SPHA
1º Diedro
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REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO NO ESPAÇO
2º Diedro
Y< 0 e Z >0
0
X (B)
z (B)
(B)
y (B)
B0
B`
B
(B) [x; y<0; z>0]
SPVI
SPVS
SPHP
SPHA
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REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO NO ESPAÇO
3º Diedro
Y< 0 e Z <0
0
X (C)
z (C)
(C)
y (C)
C0
C`
C
(B) [x; y<0; z<0]
SPVI
SPVS
SPHP
SPHA
0
LT
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REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO NO ESPAÇO
4º Diedro
Y> 0 e Z <0
0
X (D)
z (D)
(D)
y (D)
D0
C`
D
(D) [x; y>0; z<0]
SPVI
SPVS
SPHP
SPHA
D´
LT
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 Representação de um ponto por suas coordenadas descritivas: 
	
Exemplos:
A [3; 4; 2]
B [6; -3; 7]
C [8; -6; -3,5]
D [10; 5; -2]
E [5; 5; 5]
F [7; -5; 9]
 
	
G [4; 5; 1]
H [9; -6; 7]
I [8; -1,5; -5,5]
J [2; 6; -6]
L [0; 10; 5]
M [7; -10; 3]
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Épura 
	Figura plana que representa a superposição dos planos de projeção horizontal e vertical.
	O interessante da épura é observar a figura no plano e imaginar como essa figura se apresenta no espaço.
 
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Representação de um ponto na Épura 
1º diedro
	
 
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Representação de um ponto na Épura 
2º diedro
	
 
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Representação de um ponto na Épura 
3º diedro
	
 
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Representação de um ponto na Épura 
4º diedro
	
 
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 Representação de um ponto por suas coordenadas descritivas na ÉPURA: 
 
Exemplos:
A [3; 4; 2]
B [6; -3; 7]
C [8; -6; -3,5]
D [10; 5; -2]
E [5; 5; 5]
F [7; -5; 9]
 
	
G [4; 5; 1]
H [9; -6; 7]
I [8; -1,5; -5,5]
J [2; 6; -6]
L [0; 10; 5]
M [7; -10; 3]
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 EXERCÍCIOS
	
1) Representar por suas projeções os seguintes pontos:
A [2; 3; 1]
B [4; -2; 5]
C [6; -4; -2,5]
D [8; 3; -1]
E [1; 4; 2]
F [6; -5; 10]
G [2; 3; -3]
H [4; -3; -6]
I [-6; -4; -2,5]
J [10; 1; -5]
L [1; 7; 2]
M [-2; -2;-2]
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2) Construir e ler as épuras dos seguintes pontos, utilizando uma só linha de terra:
A [4;4;0]
B [6;0;-5]
C [8;0;0]
D [10;-5; 0]
E [ 12; 4; -4]
F [ 14; 3; 3]
G [16; -5; 5]
H [ 18; -2; -2]
I [ 20; 0; 5]
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