E book exercicios resolvidos

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
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Exercícios Resolvidos 
Pórticos planos e análise de cargas móveis 
 
 
 
 
 
 
 
 
Manaus - AM 
50 kN/m
15 kN
3
0
 k
N
/m
10 kN.m
2,0 m 5,0 m 3,0 m
3
,0
 m
A B
C E FD
40 kN/m
2,0 m
150 kN
160 kN.m
6,0 m
A
B
C
1,5 m
20 kN30 kN
5 kN/m 15 kN/m
15 kN/m
Carga Móvel
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SUMÁRIO 
 
1. EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 - Isostática: Pórtico Plano .......................................... 3 
1.1 Reações de Apoio ...................................................................................................................................... 4 
1.2 Esforço Normal .......................................................................................................................................... 6 
1.3 Esforço Cortante ....................................................................................................................................... 7 
1.4 Momento Fletor ......................................................................................................................................... 9 
2. EXERCÍCIO RESOLVIDO 2 - Isostática: Pórtico Plano ....................................... 11 
2.1 Reações de Apoio ................................................................................................................................... 12 
2.2 Esforço Normal ....................................................................................................................................... 14 
2.3 Esforço Cortante .................................................................................................................................... 15 
2.4 Momento Fletor ...................................................................................................................................... 18 
3. EXERCÍCIO RESOLVIDO 3 - Isostática: Pórtico Plano ....................................... 23 
3.1 Reações de Apoio ................................................................................................................................... 24 
3.2 Análise da Barra Inclinada ................................................................................................................. 26 
3.3 Esforço Normal ....................................................................................................................................... 28 
3.4 Esforço Cortante .................................................................................................................................... 29 
3.5 Momento Fletor ...................................................................................................................................... 31 
4. EXERCÍCIO RESOLVIDO 4 – Linha de Influência e Cargas Móveis ........ 34 
4.1 Análise da Seção ..................................................................................................................................... 35 
4.2 Esforços devido à Carga Permanente ............................................................................................ 37 
4.3 Análise da Carga Móvel ....................................................................................................................... 38 
4.3.1 Análise do Trecho AS ................................................................................................................ 38 
4.3.2 Análise do Trecho SC ................................................................................................................ 39 
4.3.3 Linha de Influência .................................................................................................................... 40 
4.3.4 Esforço devido à Carga Móvel ............................................................................................... 41 
4.4 Esforços Mínimos e Máximos ........................................................................................................... 43 
 
 
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EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 
– ISOSTÁTICA: PÓRTICO PLANO – 
 
QUESTÃO: 
Para o pórtico mostrado na Figura, determine: 
 
(a) Reações de Apoio; 
(b) Esforço Normal: Diagrama e Equações; 
(c) Esforço Cortante: Diagrama e Equações; 
(d) Momento Fletor: Diagrama e Equações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6,0 m
2
,0
 m
2
,0
 m
30 kN/m
20 kN
A
C D
B
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6,0 m
2
,0
 m
2
,0
 m
30 kN/m
20 kN
A
D E
B
C
RESOLUÇÃO: 
 
1.1 Reações de Apoio: 
 
1º Passo: Definir um sentido aleatório para as reações de apoio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º Passo: Definir as equações de equilíbrio para encontrar as Reações: 
 
FH = 0 ∴ para determinar HA 
MB = 0 ∴ para determinar VA 
FV = 0 ∴ para determinar VB 
 
 
3º Passo: Definir um sentido de referência para resolver as equações do passo 
anterior: 
 
FH = 0 ∴ −HA + 20 = 0 ∴ 𝐇𝐀 = 𝟐𝟎 𝐤𝐍 
 
Conclusão: Valor da reação HA positiva = sentido adotado no 1° passo correto!! 
 
𝐇𝐀 = 𝟐𝟎 𝐤𝐍 
 
 
 
 
HA 
VA VB 
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MB = 0 ∴ 6 . VA + 20 . 2 − 30 . 6 . 3 = 0 
 6 . VA = −40 + 540 
 6 . VA = 500 ∴ VA =
500
6
 ∴ 𝐕𝐀 = 𝟖𝟑, 𝟑𝟑𝟑 𝐤𝐍 
 
Conclusão: Valor da reação VA positiva = sentido adotado no 1° passo correto!! 
 
𝐕𝐀 = 𝟖𝟑, 𝟑𝟑𝟑 𝐤𝐍 
 
 
FV = 0 ∴ VA + VB − 30 . 6 = 0 
83,333 + VB − 180 = 0 
 VB − 96,667 = 0 ∴ 𝐕𝐁 = 𝟗𝟔, 𝟔𝟔𝟕 𝐤𝐍 
 
Conclusão: Valor da reação VB positiva = sentido adotado no 1° passo correto!! 
 
𝐕𝐁 = 𝟗𝟔, 𝟔𝟔𝟕 𝐤𝐍 
 
 
 
 
Para iniciar a análise dos esforços internos é necessário definir como será a análise: 
 
 
 
Consideração: 
Trecho 1: análise de A para C 
Trecho 2: análise de C para D 
Trecho 3: análise de D para E 
Trecho 4: análise de B para E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6,0 m
2
,0
 m
2
,0
 m
A
D E
B
C
X4X1
X2
X3
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1.2 Esforço Normal (Diagrama eEquações): 
 
1º Passo: Definição das Equações: 
 
Trecho 1: 
 
N(x1) = −VA = − 83,333 kN 
 
Trecho 2: 
 
N(x2) = VA = 20 kN 
 
Trecho 3: 
 
N(x3) = HA − 20 = 20 − 20 = 0 
 
Trecho 4: 
 
N(x4) = −VB = − 96,667 kN 
 
 
Observação: 
Pode-se observar que, para esta estrutura específica, as ações geram esforços 
normais constantes nos trechos, sendo assim, o cálculo das equações será utilizado 
como memória para traçar o diagrama. 
 
 
2º Passo: Traçado do Diagrama de Esforço Normal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
8
3
,3
3
3
9
6
,6
6
7
_
DEN (kN)
A
D
B
E
_
6,0 m
2
,0
 m
2
,0
 m
30 kN/m
20 kN
A
D
B
E
C
X1
X2
X3
X4
HA = 20 kN 
VA = 83,333 kN VB = 96,667 kN 
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1.3 Esforço Cortante (Diagrama e Equações): 
 
1º Passo: Definição das Equações: 
 
Trecho 1: 
 
Q(x1) = +HA = 20 
 
Trecho 2: 
 
Q(x2) = +HA − 20 = 20 − 20 = 0 
 
Trecho 3: 
 
Q(x3) = +VA − 30 . x3 
 
Q(x3) = +83,333 − 30x3 
 
Trecho 4: 
 
Q(x4) = 0 
 
 
2º Passo: Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Esforço Cortante: 
 
Trecho 1: 
 
QA = +HA = 20 kN 
 
QC
AC = +HA = 20 kN 
 
Trecho 2: 
 
QC
CD = +HA − 20 = 20 − 20 = 0 
 
QD
CD = 0 
 
Trecho 3: 
 
QD
DE = +VA = 83,333 kN 
 
QE
DE = +VA − 30 . 6 = 83,333 − 180 = −96,667 kN 
 
 
 Neste trecho há uma seção onde o Esforço Cortante é nulo, pois na extremidade D o valor 
do esforço é positivo (o diagrama será traçado para cima) e na outra extremidade o valor é 
negativo (o diagrama será traçado para baixo). Assim, nesta seção ocorre o Momento Fletor 
máximo do trecho. 
 Diante disso, deve-se calcular o ponto exato onde isto ocorre. 
 
 
6,0 m
2
,0
 m
2
,0
 m
30 kN/m
20 kN
A
D
B
E
C
X1
X2
X3
X4
HA = 20 kN 
VA = 83,333 kN VB = 96,667 kN 
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Q(x3) = 83,333 − 30x3 
 
0 = 83,333 − 30x3 ∴ 30x3 = 83,333 
 
 x3 =
83,333
30
 ∴ 𝐱𝟑 = 𝟐, 𝟕𝟕𝟖 𝐦 
 
Trecho 4: 
 
QB
BE = 0 
 
QE
BE = 0 
 
 
3º Passo: Traçado do Diagrama de Esforço Cortante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEC (kN)
2
0
83,333
96,667
_
+
_
A
D
B
E
2,778 m
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1.4 Momento Fletor (Diagrama e Equações): 
 
1º Passo: Definição das Equações: 
 
Trecho 1: 
 
M(x1) = +HA . x1 = 20x1 
 (diagrama linear) 
 
Trecho 2: 
 
M(x2) = M(x1) + HA . x2 − 20. x2 
M(x2) = (20.2) + 20. x2 − 20. x2 
M(x2) = +40 
 (diagrama uniforme) 
 
Trecho 3: 
 
M(x3) = +VA. x3 − 30 . x3.
x3
2
 
 
M(x3) = 83,333. x3 − 30.
x3
2
2
 
 
 (diagrama parabólico − 2° Grau) 
 
Trecho 4: 
 
M(x4) = 0 
 
 
2º Passo: Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Momento Fletor: 
 
Trecho 1: 
 
MA = 0 
 
MC
AC = +HA. 2 = 20.2 = 40 kN. m 
 
Trecho 2: 
 
MC
CD = MC
AC = 40 kN. m 
 
MD
CD = +HA. 4 − 20.2 = 20.4 − 40 = 80 − 40 = 40 kN. m 
 
Trecho 3: 
 
MD
DE = MD
CD = 40 kN. m 
 
ME
DE = MD
CD + VA. 6 − 30. 6.
6
2
= 40 + 83,333.6 − 540 ≅ 0 kN. m 
 
6,0 m
2
,0
 m
2
,0
 m
30 kN/m
20 kN
A
D
B
E
C
X1
X2
X3
X4
HA = 20 kN 
VA = 83,333 kN VB = 96,667 kN 
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Obs: Neste trecho há um cortante nulo quando x3 = 2,778 m, sendo assim, deve-se 
calcular o momento máximo: 
 
Mmáx
DE = MD
CD + VA. (2,778) − 30. (2,778).
(2,778)
2
 
 
Mmáx
DE = 40 + 83,333. (2,778) − 115,759 
 
Mmáx
DE = 155,740 kN. m 
 
 
Trecho 4: 
 
MB
BE = 0 
 
ME
BE = 0 
 
 
3º Passo: Traçado do Diagrama de Momento Fletor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
A
D
40
40
DMF (kN.m)
D
E
2,778 m
96,667
135 =
q.L²___
8
40
M
m
á
x
B
E
M =máx
0
0
135 =
q.L²___
8
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EXERCÍCIO RESOLVIDO 2 
– ISOSTÁTICA: PÓRTICO PLANO – 
 
QUESTÃO: 
Para o pórtico mostrado na Figura, determine: 
 
(a) Reações de Apoio; 
(b) Esforço Normal: Diagrama e Equações; 
(c) Esforço Cortante: Diagrama e Equações; 
(d) Momento Fletor: Diagrama e Equações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 kN/m
15 kN
3
0
 k
N
/m
10 kN.m
2,0 m 5,0 m 3,0 m
3
,0
 m
A B
C E FD
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RESOLUÇÃO: 
 
2.1 Reações de Apoio: 
 
1º Passo: Definir um sentido aleatório para as reações de apoio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º Passo: Definir as equações de equilíbrio para encontrar as Reações: 
 
MC
esq
= 0 ∴ para determinar HA 
FH = 0 ∴ para determinar HB 
MB = 0 ∴ para determinar VA 
FV = 0 ∴ para determinar VB 
 
3º Passo: Definir um sentido de referência para resolver as equações do passo 
anterior: 
 
MC
esq
= 0 ∴ 3 . HA −
30.3
2
. (
1
3
. 3) = 0 
 3 . HA − 45 = 0 
 3 . HA = 45 ∴ HA =
45
3
 ∴ 𝐇𝐀 = 𝟏𝟓 𝐤𝐍 
 
Conclusão: Valor da reação HA positiva = sentido adotado no 1° passo, correto!! 
 
𝐇𝐀 = 𝟏𝟓 𝐤𝐍 
 
 
50 kN/m
15 kN
3
0
 k
N
/m
10 kN.m
2,0 m 5,0 m 3,0 m
3
,0
 m
A B
C E FD
HA 
VA VB 
HB 
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FH = 0 ∴ − HA − HB + 
30.3
2
= 0 
 − 15 − HB + 45 = 0 
 − HB + 30 = 0 ∴ 𝐇𝐁 = 𝟑𝟎 𝐤𝐍 
 
Conclusão: Valor da reação HB positiva = sentido adotado no 1° passo, correto!! 
 
𝐇𝐁 = 𝟑𝟎 𝐤𝐍 
 
 
MB = 0 ∴ 7 . VA +
30.3
2
. (
2
3
 . 3) − 50.10.2 − 15.5 + 10 = 0 
 7 . VA + 90 − 1000 − 75 + 10 = 0 
 7 . VA = 975 ∴ VA =
975
7
 ∴ 𝐕𝐀 = 𝟏𝟑𝟗, 𝟐𝟖𝟔 𝐤𝐍 
 
Conclusão: Valor da reaçãoVA positiva = sentido adotado no 1° passo, correto!! 
 
𝐕𝐀 = 𝟏𝟑𝟗, 𝟐𝟖𝟔 𝐤𝐍 
 
 
FV = 0 ∴ VA + VB − 15 − 50 . 10 = 0 
139,286 + VB − 15 − 500 = 0 
 VB − 375,714 = 0 ∴ 𝐕𝐁 = 𝟑𝟕𝟓, 𝟕𝟏𝟒 𝐤𝐍 
 
Conclusão: Valor da reação VB positiva = sentido adotado no 1° passo, correto!! 
 
𝐕𝐁 = 𝟑𝟕𝟓, 𝟕𝟏𝟒 𝐤𝐍 
 
 
 
Para iniciar a análise dos esforços internos é necessário definir como será a análise: 
 
 
Consideração: 
Trecho 1: análise de A para C 
Trecho 2: análise de C para D 
Trecho 3: análise de D para E 
Trecho 4: análise de F para E 
Trecho 5: análise de B para E 
 
 
 
 
3,0 m
3
,0
 m
A
B
C E FD
X1
X2 X3 X4
X5
2,0 m 5,0 m
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2.2 Esforço Normal (Diagrama e Equações): 
 
1º Passo: Definição das Equações: 
 
Trecho 1: 
 
N(x1) = − 139,286 kN 
 
Trecho 2: 
 
N(x2) = 15 −
30.3
2
 
 
N(x2) = 15 − 45 = −30 kN 
 
Trecho 3: 
 
N(x3) = N(x2) = −30 kN 
 
Trecho 4: 
 
N(x4) = 0 
 
Trecho 5: 
 
N(x5) = − 375,714 kN 
 
 
Observação: 
Pode-se observar que, para esta estrutura específica, as ações geram esforços 
normais constantes nos trechos, sendo assim, o cálculo das equações será utilizado 
como memória para traçar o diagrama. 
 
 
2º Passo: Traçado do Diagrama de Esforço Normal: 
 
 
A B
C E FD
DEN (kN)
1
3
9
,2
8
6
3
7
5
,7
1
4
30,000
_
_ 0
_
139,286 kN 375,714 kN
15 kN
30 kN
50 kN/m
15 kN
3
0
 k
N
/m
10 kN.m
2,0 m 5,0 m 3,0 m
3
,0
 m
A B
C
E FD
X1
X2 X3 X4
X5
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2.3 Esforço Cortante (Diagrama e Equações): 
 
1º Passo: Definição das Equações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trecho 1: 
 
Q(x1) = +15 −
30. x1
2
. (
1
3
. x1) = 15 − 5. x1
2 (diagrama parabólico − 2° grau) 
 
 
 
Trecho 2: 
 
Q(x2) = +139,286 − 50. x2 (diagrama linear) 
 
 
 
Trecho 3: 
 
Q(x3) = Q(x2) − 15 − 50. x3 
Q(x3) = (139,286 − 50 . 2) − 15 − 50. x3 
Q(x3) = (39,286) − 15 − 50. x3 
Q(x3) = 24,286 − 50. x3 (diagrama linear) 
 
 
 
Trecho 4: 
 
Q(x4) = 50. x4 (diagrama linear) 
 
 
 
Trecho 5: 
 
Q(x5) = 30 (diagrama uniforme) 
 
 
 
 
139,286 kN 375,714 kN
15 kN
30 kN
50 kN/m
15 kN
3
0
 k
N
/m
10 kN.m
2,0 m 5,0 m 3,0 m
3
,0
 m
A B
C
E FD
X1
X2 X3 X4
X5
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2º Passo: Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Esforço Cortante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trecho 1: 
 
QA = 15 kN 
 
QC
AC = QA −
30 . 3
2
= 15 − 45 = −30 kN 
 
 Neste trecho há uma seção onde o Esforço Cortante é nulo, pois na extremidade A o 
valor do esforço é positivo e na outra extremidade o valor é negativo. Assim, nesta seção 
ocorre o Momento Fletor máximo do trecho. 
 Diante disso, deve-se calcular o ponto exato onde isto ocorre. 
 
Q(x1) = 15 − 5. x1
2 ∴ 0 = 15 − 5. x1
2 ∴ 5. x1
2 = 15 
 x1 = √
15
5
 ∴ 𝐱𝟏 = 𝟏, 𝟕𝟑𝟐 𝐦 
 
Trecho 2: 
 
QC
CD = 139,286 kN 
 
QD
CD = QC
CD − 50.2 = 139,286 − 100 = 39,286 kN 
 
 
Trecho 3: 
 
QD
DE = QD
CD − 15 = 39,286 − 15 = 24,286 kN 
 
QE
DE = QD
DE − 50.5 = 24,286 − 250 = −225,714 kN 
 
 Neste trecho há uma seção onde o Esforço Cortante é nulo, pois na extremidade D o 
valor do esforço é positivo e na outra extremidade o valor é negativo. Assim, nesta seção 
ocorre o Momento Fletor máximo do trecho. 
Diante disso, deve-se calcular o ponto exato onde isto ocorre. 
 
139,286 kN 375,714 kN
15 kN
30 kN
50 kN/m
15 kN
3
0
 k
N
/m
10 kN.m
2,0 m 5,0 m 3,0 m
3
,0
 m
A B
C
E FD
X1
X2 X3 X4
X5
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Q(x3) = 24,286 − 50. x3 ∴ 0 = 24,286 − 50. x3 ∴ 50. x3 = 24,286 
 
 x3 = 
24,286
50
 ∴ 𝐱𝟑 = 𝟎, 𝟒𝟖𝟔 𝐦 
 
Trecho 4: 
 
QF = 0 
 
QE
FE = 50.3 = 150 kN 
 
 
Trecho 5: 
 
QB = 30 
 
QE
BE = QB = 30 kN 
 
 
3º Passo: Traçado do Diagrama de Esforço Cortante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A
C
15
30
+
_
1
,7
3
2
 m
C
E
D
24,286
39,286
139,286
225,714
+
_
E
F
150
+
2,486 m
B
E
30+
DEC (kN)
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Observação: Detalhe do traçado do trecho AC: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.4 Momento Fletor (Diagrama e Equações): 
 
1º Passo: Definição das Equações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trecho 1: 
 
M(x1) = +15. x1 − (
30. x1
3
) . (
x1
2
) . (
1
3
. x1) 
 
M(x1) = 15. x1 − 30.
x1
3
18
 
 
M(x1) = 15. x1 −
5. x1
3
3
 
 (diagrama parabólico − 3° grau) 
 
 
 
 
 
A
C
=11,25
q.L___
8
1
,7
3
2
 m
139,286 kN 375,714 kN
15 kN
30 kN
50 kN/m
15 kN
3
0
 k
N
/m
10 kN.m
2,0 m 5,0 m 3,0 m
3
,0
 m
A B
C
E FD
X1
X2 X3 X4
X5
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Trecho 2: 
 
M(x2) = M(x1) + 139,286 . x2 − 50. x2. (
x2
2
) 
 
M(x2) = (15.3 −
5. 33
3
) + 139,286. x2 − 25. x2
2 
 
M(x2) = 0 + 139,286. x2 − 25. x2
2 
 
M(x2) = 139,286. x2 − 25. x2
2 (diagrama parabólico − 2° grau) 
 
 
Trecho 3: 
 
M(x3) = M(x2) + (139,286. x3 − 100. x3) − 15. x3 − 50 . x3. (
x3
2
) 
 
M(x3) = (139,286 . 2 − 25 . 2
2) + (39,286. x3) − 15. x3 − 50.
x3
2
2
 
 
M(x3) = 178,572 + 24,286. x3 − 25. x3
2 (diagrama parabólico − 2° Grau) 
 
 
Trecho 4: 
 
M(x4) = −10 − 50. x4. (
x4
2
) 
 
M(x4) = −10 − 50.
x4
2
2
 (diagrama parabólico − 2° Grau) 
 
 
Trecho 5: 
 
M(x5) = −30. x5 (diagrama linear) 
 
 
 
2º Passo: Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Momento Fletor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
139,286 kN 375,714 kN
15 kN
30 kN
50 kN/m
15 kN
3
0
 k
N
/m
10 kN.m
2,0 m 5,0 m 3,0 m
3
,0
 m
A B
C
E FD
X1
X2 X3 X4
X5
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Trecho 1: 
 
MA = 0 
 
MC
AC = +15.3 − (
30 . 3
2
) . (3.
1
3
) = 0 
 
 
Obs: Neste trecho há um cortante nulo quando x1 = 1,732 m, sendo assim, deve-se 
calcular o momento máximo: 
 
Mmáx
AD = 15 .1,732 − (30.
1,732
3
) . (
1,732
2
) . (
1
3
. 1,732) 
 
Mmáx
DE = 25,98 − (17,32 . 0,866 . 0,577) 
Mmáx
DE = 25,98 − (8,654) 
 
 
Mmáx
AD = 17,326 kN. m 
 
 
Trecho 2: 
 
MC
CD = MC
AC = 0 
 
MD
CD = MC
CD + 139,286 . 2 − 50. 2. (
2
2
) 
 
MD
CD = 0 + 278,572 − 100 = 178,572 kN. m 
 
 
Trecho 3: 
 
MD
DE = MD
CD = 178,572 kN. m 
 
ME
DE = MC
CD + 139,286 . 7 − 50. 7. (
7
2
) − 15 . 5 
 
ME
DE = 0 + 975,002 − 1225 − 75 ≅ 325 kN. m 
 
 
Obs: Neste trecho há um cortante nulo quando x3 = 0,486 m, sendo assim, deve-se 
calcular o momento máximo: 
 
Mmáx
DE = MC
CD + 139,286 . (2,0 + 0,486) + 
 −50. (2,0 + 0,486). (
(2,0 + 0,486)
2
) − 15 . (0,486) 
 
Mmáx
DE = 0 + 346,265 − 154,505 − 7,29 
 
Mmáx
DE = 184,470 kN. m 
 
 
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Trecho 4: 
 
MF
FE = −10 
 
ME
FE = MF
FE − 50. 3. (
3
2
) = −10 − 225 = −235 kN. m 
 
Trecho 5: 
 
MB
BE = 0 
 
ME
BE = MB
BE − 30 . 3 = 0 − 90 = −90 kN. m 
 
 
3º Passo: Traçado do Diagrama de Momento Fletor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DMF (kN.m)
A
C
17,326M =máx
1
,7
3
2
 m
C
D
E F
325
235
178,572
1
8
4
,4
7
0
M
 
 
 =
m
á
x
B
E
90
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Observação 1: Detalhe do traçado do trecho CE: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação 2: Detalhe do traçado do trecho AC e EF: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
156,25 =
Mmáx
q.L²__
8
156,25 =
q.L²__
8
D E
=25
q.L²__
8
DC
56,25 =
q.L²__
8
56,25 =
q.L²__
8
E F
Mmáx
A
C
22,5 =
q.L²__
12
1
,7
3
2
 m
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EXERCÍCIO RESOLVIDO 3 
– ISOSTÁTICA: PÓRTICO PLANO – 
 
QUESTÃO: 
Para o pórtico mostrado na Figura, determine: 
 
(a) Reações de Apoio; 
(b) Esforço Normal: Diagrama e Equações; 
(c) Esforço Cortante: Diagrama e Equações; 
(d) Momento Fletor: Diagrama e Equações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 kN/m
5
 k
N
/m
BA
DC
4,0 m4,0 m
3
,0
 m
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RESOLUÇÃO: 
 
3.1 Reações de Apoio: 
 
1º Passo: Definir um sentido aleatório para as reações de apoio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º Passo: Definir as equações de equilíbrio para encontrar as Reações: 
 
FH = 0 ∴ para determinar HB 
MB = 0 ∴ para determinar VA 
FV = 0 ∴ para determinar VB 
 
3º Passo: Definir um sentido de referência para resolver as equações do passo 
anterior: 
 
FH = 0 ∴ − HB + 5 . 3 = 0 
 − HB + 15 = 0 
 𝐇𝐁 = 𝟏𝟓 𝐤𝐍 
 
Conclusão: Valor da reação HB positiva = sentido adotado no 1° passo correto!! 
 
𝐇𝐁 = 𝟑𝟎 𝐤𝐍 
 
 
 
 
 
20 kN/m
5
 k
N
/m
BA
DC
4,0 m4,0 m
3
,0
 m
VA VB 
HB 
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MB = 0 ∴ 8 . VA + 5. 3. (
3
2
) − 20 . 8 . (
8
2
) = 0 
 8 . VA + 22,5 − 640 = 0 
 8 . VA = 617,5 ∴ VA =
617,5
8
 ∴ 𝐕𝐀 = 𝟕𝟕, 𝟏𝟖𝟕 𝐤𝐍 
 
Conclusão: Valor da reação VA positiva = sentido adotado no 1° passo correto!! 
 
𝐕𝐀 = 𝟕𝟕, 𝟏𝟖𝟕 𝐤𝐍 
 
 
FV = 0 ∴ VA + VB − 20 . 8 = 0 
77,187 + VB − 160 = 0 
 VB − 82,813 = 0 ∴ 𝐕𝐁 = 𝟖𝟐, 𝟖𝟏𝟑 𝐤𝐍 
 
Conclusão: Valor da reação VB positiva = sentido adotado no 1° passo correto!! 
 
𝐕𝐁 = 𝟖𝟐, 𝟖𝟏𝟑 𝐤𝐍 
 
 
 
Para iniciar a análise dos esforços internos é necessário definir como será a análise: 
 
 
 
Consideração: 
Trecho 1: análise de B para D 
Trecho 2: análise de D para C 
Trecho 3: análise de A para C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BA
C
4,0 m
3
,0
 m
X1
X3
4,0 m
D
X2
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3.2 Análise da barra inclinada AC: 
 
Comprimento da barra: 
hipotenusa2 = b2 + c2 = 32 + 42 = 9 + 16 
hipotenusa = √25 ∴ hipotenusa = 5m 
 
 
 
sen α = 
cateto oposto
hipotenusa
= 
3
5
 
 
 
cos α = 
cateto adjacente
hipotenusa
= 
4
5
 
 
 
 
 
Análise da reação de apoio VA: 
 
 
 
 
V′A = VA . cos α = 77,187 .
4
5
= 61,750 kN 
V′′A = VA . sen α = 77,187 .
3
5
= 46,312 kN 
 
 
 
 
 
Análise da carga distribuída de 20 kN/m: 
 
 
C
20 kN/m
C
80
A A
C
80
A
q'' q'




4,0 m
20 kN/m
5
 k
N
/m
B
A
DC
4,0 m4,0 m
3
,0
 m

A
C

VA
V'A
V''A

5,
0 
m
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Carga q’: 
Resultante: q′ = 80 . cos α = 80 .
4
5
= 64 kN 
Carga distribuída: q′ = 
64
5
= 12,8 kN. m 
 
 
 
 
 
Carga q’’: 
Resultante: q′′ = 80 . sen α = 80 .
3
5
= 48 kN 
Carga distribuída: q′′ = 
48
5
= 9,6 kN. m 
 
 
 
 
Análise da carga distribuída de 5 kN/m: 
 
 
 
 
 
Carga p’: 
Resultante: p′ = 15 . sen α = 15 .
3
5
= 9 kN 
Carga distribuída: p′ = 
9
5
= 1,8 kN. m 
 
 
 
 
 
 
 
C
A

5
 k
N
/m
C
A

15
C
A

15

p''
p'
3
,0
 m
C

A
12
,8
 kN
/m
5,
0 
m
C

A
9,
6 
kN
/m
5,
0 
m
C

A
1,
8 
kN
/m
5,
0 
m
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Carga p’’: 
Resultante: p′′ = 15 . cos α = 15 .
4
5
= 12 kN 
Carga distribuída: p′′ = 
12
5
= 2,4 kN. m 
 
 
 
 
Resultado da decomposição dos esforços: 
 
 
 
 
3.3 Esforço Normal (Diagrama e Equações): 
 
1º Passo: Definição das Equações: 
 
Trecho 1: 
 
N(x1) = − 82,813 
 
Trecho 2: 
 
N(x2) = −15 
 
Trecho 3: 
 
N(x1) = − 46,31 + 7,2. x1 
 
 
2º Passo: Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Esforço Cortante: 
 
Trecho 1: 
 
NB = ND
BD = − 82,813 kN 
 
A
C
61,75 kN
46,31 kN
14
,6
 kN
/m
7,
2 
kN
/m
20 kN/m
B
A
DC
4,0 m
3
,0
 m
X2
X1
61,75 kN 82,813 kN
15 kN
46,31 kN
14
,6
 kN
/m
7,
2 
kN
/m
X3
4,0 m
C

A
2,
4 
kN
/m
5,
0 
m
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Trecho 2: 
 
ND
DC = NC
DC = − 15 kN 
 
Trecho 3: 
 
NA = − 46,31 
 
NC
AC = − 46,31 + 7,2 . 5 = −46,31 + 36 = −10,31 kN 
 
 
 
3º Passo: Traçado do Diagrama de Esforço Normal: 
 
 
 
 
 
3.4 Esforço Cortante (Diagrama e Equações): 
 
1º Passo: Definição das Equações: 
 
Trecho 1: 
 
Q(x1) = +15 
 
 (diagrama uniforme) 
 
Trecho 2: 
 
Q(x2) = −82,813 + 20. x2 
 
 (diagrama linear) 
 
Trecho 3: 
 
Q(x3) = +61,75 − 14,6. x3 
 
 (diagrama linear) 
 
 
 
8
2
,8
1
3
_
15,000
_
_
46
,31
10
,31
BA
DC
DEN (kN)
20 kN/m
B
A
DC
4,0 m
3
,0
 m
X2
X1
61,75 kN 82,813 kN
15 kN
46,31 kN
14
,6
 kN
/m
7,
2 
kN
/m
X3
4,0 m
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2º Passo: Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Esforço Cortante: 
 
Trecho 1: 
 
QB = +15 kN 
 
QD
BD = +15 kN 
 
Trecho 2: 
 
QD
DC = +82,813 kN 
 
QC
DC = QD
DC − 20.4 = +82,813 − 80 = −2,813 kN 
 
Trecho 3: 
 
QA = +61,75 kN 
 
QC
AC = QA − 14,6 . 5 = +61,75 − 73 = −11,25 kN 
 
 Neste trecho há uma seção onde o Esforço Cortante é nulo, pois na extremidade A o 
valor do esforço é positivo e na outra extremidade o valor é negativo. Assim, nesta seção 
ocorre o Momento Fletor máximo do trecho. 
 Diante disso, deve-se calcular o ponto exato onde isto ocorre. 
 
Q(x3) = +61,75 − 14,6. x3 ∴ 0 = +61,75 − 14,6. x3 ∴ 14,6 . x3 = 61,75 
 
 x3 = 
61,75
14,6
 ∴ 𝐱𝟑 = 𝟒, 𝟐𝟑 𝐦 
 
 
3º Passo: Traçado do Diagrama de Esforço Cortante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEC (kN)A
C
61,75
11,25
+
4,
23
 m
DC
_
82,81
2,81
B
D
15
+
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3.5 Momento Fletor (Diagrama e Equações): 
 
1º Passo: Definição das Equações: 
 
Trecho 1: 
 
M(x1) = −15. x1 
 
 (diagrama linear) 
 
Trecho 2: 
 
M(x2) = M(x1) + 82,813 . x2 − 20. x2. (
x2
2
) 
 
M(x2) = (−15 . 3) + 82,813. x2 − 10. x2
2 
 
M(x2) = −45 + 82,813. x2 − 10. x2
2 
 
 (diagrama parabólico − 2° grau) 
 
 
Trecho 3: 
 
M(x3) = 61,75. x3 − 14,60 . x3. (
x3
2
) 
M(x3) = 61,75. x3 − 7,3 . x3
2 
 
 (diagrama parabólico − 2° Grau) 
 
 
2º Passo: Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Momento Fletor: 
 
Trecho 1: 
 
MB = 0 
 
MD
BD = MB − 15 . 3 
 
MD
BD = 0 − 15 . 3 = −45 kN. m 
 
 
Trecho 2: 
 
MD
DC = MD
BD = −45 kN. m 
 
MC
DC = MD
DC + 82,813 . 4 − 20. 4. (
4
2
) 
 
MC
DC = −45 + 331,252 − 160 = 126,25 kN. m 
 
 
 
 
20 kN/m
B
A
DC
4,0 m
3
,0
 m
X2
X1
61,75 kN 82,813 kN
15 kN
46,31 kN
14
,6
 kN
/m
7,
2 
kN
/m
X3
4,0 m
20 kN/m
B
A
DC
4,0 m
3
,0
 m
X2
X1
61,75 kN 82,813 kN
15 kN
46,31 kN
14
,6
 kN
/m
7,
2 
kN
/m
X3
4,0 m
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Trecho 3: 
 
MA = 0 
 
MC
AC = MA + 61,75 . 5 − 14,6 . 5 . ( 
5
2
) = 126,252 kN. m 
 
MC
AC = 0 + 308,75 − 182,50 = 126,25 kN. m 
 
Obs: Neste trecho há um cortante nulo quando x3 = 4,23 m, sendo assim, deve-se 
calcular o momento máximo nesta seção: 
 
Mmáx
AC = 61,75 . (4,23) − 14,6. (4,23). (
4,23
2
) 
 
Mmáx
DE = 261,202 − 130,618 
 
Mmáx
AC = 130,58 kN. m 
 
 
 
 
3º Passo: Traçado do Diagrama de Momento Fletor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A
C
126,25
130,58
Mmáx
4,
23
 m
D
C
126,25
45
B
D
45
DMF (kN.m)
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Observação 1: Detalhe do traçado do trecho AC: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação 2: Detalhe do traçado do trecho CD: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D
C
40 =
q.L²__
8
40 =
q.L²__
8
A
C
Mmáx
4,
23
 m
46,625 =
q.L²__
8
46,625 =
q.L²__
8
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EXERCÍCIO RESOLVIDO 4 
- LINHA DE INFLUÊNCIA E CARGAS MÓVEIS - 
 
 
QUESTÃO: 
Para a viga biapoiada, submetida às ações permanentes e acidentais (carga 
móvel), calcular o Esforço Cortante e Momento Fletor, máximo e mínimo, na 
seção onde o momento fletor, devido a carga permanente, é máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 kN/m
2,0 m
150 kN
160 kN.m
6,0 m
A
B
C
1,5 m
20 kN30 kN
5 kN/m 15 kN/m
15 kN/m
Carga Móvel
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RESOLUÇÃO: 
 
4.1 Análise da seção 
 
ONDE SERÁ A SEÇÃO DE ANÁLISE ? 
 
A seção de momento fletor máximo localiza-se onde o esforço cortante é nulo, 
então, essa situação será analisada através do traçado do Diagrama de Esforço 
Cortante, para que possamos observar onde esse esforço vale 0. 
Após, iremos definir uma equação para esse trecho e igualar a zero. Assim, 
definimos o local exato onde o cortante vale 0 e o momento fletor seja máximo. 
 
 
Reação de Apoio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
320 kN
2,0 m
150 kN
160kN.m
6,0 m
A
B
C
4,0 m4,0 m
8
150 . 6
8,0 m
8
320 . 4
8
160
VA 252,5 kN
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Esforço Cortante: 
𝑸𝐀 = 𝟐𝟓𝟐, 𝟓 𝐤𝐍 
QB1 = +252,5 − 40.2 = 𝟏𝟕𝟐, 𝟓 𝐤𝐍 
QB2 = +172,5 − 150 = 𝟐𝟐, 𝟓 𝐤𝐍 
QC = +252,5 − 40.8 − 150 = −𝟐𝟏𝟕, 𝟓 𝐤𝐍 
 
 
 
 
Conclusão: a seção onde o cortante é nulo está no trecho BC 
 
Equação do Trecho BC: 
Q (x2) = 22,5 − 40. x2 
 
Seção onde o cortante vale zero: 
0 = 22,5 − 40. x2 
40. x2 = 22,5 
x2 =
22,5
40
 
𝐱𝟐 = 𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓 𝐦 
 
 
 
 
40 kN/m
2,0 m
150 kN
160 kN.m
6,0 m
A
B
C
252,5 kNVA
A
B
C
252,5
172,5
22,5
217,5
_
+
DEN (kN)
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Conclusão: O momento fletor ocorre na seção distante 2,5625 m da seção A, 
chamaremos este ponto de Seção S. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2 Esforços devido à carga permanente na Seção S: 
 
 
 
 
ESFORÇO CORTANTE EM ‘S’: 
QS = 0 
 
MOMENTO FLETOR EM ‘S’: 
MS = +252,5 . 2,5625 − 40 . 2,5625 .
2,5625
2
− 150 . 0,5625 
MS = 647,031 − 131,328 − 84,375 
 
MS = 431,328 kN. m 
 
 
 
 
 
40 kN/m
2,0 m
150 kN
160 kN.m
5,4375 m
A
B
C
2,5625 m
S
0,5625
252,5 kNVA
A
B
C
252,5
172,5
22,5
217,5
_
+
DEN (kN)
2 m 0,5625 m
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4.3 Análise da Carga Móvel: 
 
4.3.1 Análise do Trecho AS (0 ≤ x1 ≤ 2,5625m) 
 
Reação de Apoio: 
 
 
 
ESFORÇO CORTANTE EM ‘S’: 
 
 
 
LI QS(x1) = QS(x1) 
QS(x1) =
8 − x1 
8
− 1 =
8 − x1 − 8 
8
= −
x1 
8
 
 
𝐋𝐈 𝐐𝐒(𝐱𝟏) = −
𝐱𝟏 
𝟖
 
 
Então: 
𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟏 = 𝟎 
LI QS(0) = −
(0)
8
 = 0 
 
𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟏 = 𝟐, 𝟓𝟔𝟐𝟓 𝐦 
LI QS(2,5625) = −
(2,5625)
8
 = −0,320 
5,4375 m
A C
2,5625 m
S
8,0 m
P = 1 kN
x 8 - x
8
1 . (8 - x )
8
VA
8 - x1
1
1 1
5,4375 m
A C
2,5625 m
S
8,0 m
P = 1 kN
2,5625 - x
VA
x1 1
8
8 - x1
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MOMENTO FLETOR EM ‘S’: 
LI MS(x1) = MS(x1) = (
8 − x1 
8
) . 2,5625 − 1 . (2,5625 − x1) 
MS(x1) =
(8 − x1). 2,5625 − 8 . (2,5625 − x1)
8
 
 
MS(x1) = 
20,5 − 2,5625 x1 − 20,5 + 8 x1
8
= 
5,4375 x1
8
 
 
𝐋𝐈 𝐌𝐒(𝐱𝟏) = 
𝟓, 𝟒𝟑𝟕𝟓 𝐱𝟏
𝟖
 
 
Então: 
𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟏 = 𝟎 
LI MS(0) = 
5,4375 . (0)
8
= 0 
 
𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟏 = 𝟐, 𝟓𝟔𝟐𝟓 𝐦 
LI MS(2,5625) = 
5,4375 . (2,5625)
8
 = 1,742 
 
 
4.3.2 Análise do Trecho SC (0 ≤ x2 ≤ 5, 4375m) 
 
Reação de Apoio: 
 
 
 
ESFORÇO CORTANTE EM ‘S’: 
LI QS(x2) = QS(x2) =
5,4375 − x2 
8
 
 
𝐋𝐈 𝐐𝐒(𝐱𝟐) =
𝟓, 𝟒𝟑𝟕𝟓 − 𝐱𝟐 
𝟖
 
5,4375 m
A C
2,5625 m
S
8,0 m
P = 1 kN
x 5,4375 - x
8
1 . (5,4375 - x )
A
5,4375 - x
22
2
2
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Então: 
𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟐 = 𝟎 
LI QS(0) = 
5,4375 − (0)
8
 = 0,680 
 
𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟐 = 𝟓, 𝟒𝟑𝟕𝟓 𝐦 
LI QS(5,4375) = 
5,4375 − (5,4375)
8
 = 0 
 
 
MOMENTO FLETOR EM ‘S’: 
LI MS(x2) = MS(x2) = (
5,4375 − x2 
8
) . 2,5625 = 
13,933 − 2,5625 x2
8
 
 
𝐋𝐈 𝐌𝐒(𝐱𝟐) = 
𝟏𝟑, 𝟗𝟑𝟑 − 𝟐, 𝟓𝟔𝟐𝟓 𝐱𝟏
𝟖
 
 
Então: 
𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟐 = 𝟎 
LI MS(0) = 
13,933 − 2,5625. (0)
8
= 1,742 
 
𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟐 = 𝟓, 𝟒𝟑𝟕𝟓 𝐦 
LI MS(5,4375) = 
13,933 − 2,5625. (5,4375)
8
 = 0 
 
 
4.3.3 Linha de Influência 
 
ESFORÇO CORTANTE EM ‘S’: 
 
 
 
 
 
5,4375 m
A C
2,5625 m
S
8,0 m
0,680
-0,320
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MOMENTO FLETOR EM ‘S’: 
 
 
 
 
4.3.4 Esforço devido à carga móvel 
 
ESFORÇO CORTANTE EM ‘S’: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2,5625 m -0,320 
1,0625 m y’ 
 
 y’ = -0,133 
 
2,5625 m 0,680 
3,9375 m y’’ 
 
 y’’ = -0,492 
 
 
 
 
Esforço Cortante Mínimo: 
Q
S (mínimo)
′ = 30 . (−0,320) + 20. (−0,133) + 15. (
1, 0625. (−0,133)
2
)
+ 5 . (
1,5. (−0,133 − 0,320)
2
) 
Q
S (mínimo)
′ = −9,600 − 2,660 − 1,060 − 1,700 
𝐐
𝐒 (𝐦í𝐧𝐢𝐦𝐨)
′ = −𝟏𝟓, 𝟎𝟐𝟎 𝐤𝐍 
5,4375 m
A C
2,5625 m
S
8,0 m
1,742
5 kN/m
y'
y''
5,4375 m
A C
2,5625 m
S
-0,320
1,5 m
30 kN20 kN
15 kN/m
5 kN/m
1,5 m 20 kN30 kN
0,680
15 kN/m
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Esforço Cortante Máximo: 
Q
S (máximo)
′ = 30 . (0,680) + 20. (0,492) + 5. (
1,5. (0,680 + 0,492)
2
)
+ 15. (
3,9375 . (0,492)
2
) 
Q
S (máximo)
′ = 20,400 + 9,840 + 4,395 + 14,529 
𝐐
𝐒 (𝐦á𝐱𝐢𝐦𝐨)
′ = 𝟒𝟗, 𝟏𝟔𝟒 𝐤𝐍 
 
 
MOMENTO FLETOR EM ‘S’: 
 
 
 
 
 
 
 
 
5,4375 m 1,742 
3,9375 m y’’’ 
 
 y’’’ = 1,261 
 
 
 
 
Momento Fletor Mínimo: 
 
𝐌
𝐒 (𝐦í𝐧𝐢𝐦𝐨)
′ = 𝟎 
 
 
Momento Fletor Máximo: 
 
M
S (máximo)
′ = 30 . (1,742) + 20. (1,261) + 15. (
2,5625. (1,742)
2
)
+ 5. (
1,5 . (1,742 + 1,261)
2
) + 15. (
3,9375. (1,261)
2
) 
M
S (máximo)
′ = 52,260 + 25,220 + 33,479 + 11,261 + 37,239 
𝐌
𝐒 (𝐦á𝐱𝐢𝐦𝐨)
′ = 𝟏𝟓𝟗, 𝟒𝟓𝟗 𝐤𝐍. 𝐦 
 
 
 
 
 
A C
S
1,742
5,4375 m2,5625 m
1,5 m 20 kN30 kN
15 kN/m
5 kN/m
15 kN/m
y'''
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4.4 Esforços mínimos e máximos: 
 
(a) Esforço Cortante mínimo e máximo: 
 
1) QS (mínimo) = QS (carga permanente)+ QS (carga móvel) 
 
 QS (mínimo) = 0 − 15,020 
 
 𝐐𝐒 (𝐦í𝐧𝐢𝐦𝐨) = 𝟏𝟓, 𝟎𝟐𝟎 𝐤𝐍 
 
2) QS (máximo) = QS (carga permanente)+ QS (carga móvel) 
 
 QS (máximo) = 0 + 49,164 
 
 𝐐𝐒 (𝐦á𝐱𝐢𝐦𝐨) = 𝟒𝟗, 𝟏𝟔𝟒 𝐤𝐍 
 
 
(b) Momento Fletor mínimo e máximo: 
 
1) MS (mínimo) = MS (carga permanente)+ MS (carga móvel)MS (mínimo) = 431,328 − 0 
 
 𝐌𝐒 (𝐦í𝐧𝐢𝐦𝐨) = 𝟒𝟑𝟏, 𝟑𝟐𝟖 𝐤𝐍. 𝐦 
 
2) MS (máximo) = MS (carga permanente)+ MS (carga móvel) 
 
 MS (máximo) = 431,328 + 159,459 
 
 𝐌𝐒 (𝐦á𝐱𝐢𝐦𝐨) = 𝟓𝟗𝟎, 𝟕𝟖𝟕 𝐤𝐍. 𝐦 
 
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