CAPITULO III MAQ SINCRONAS TRANSITÓRIOS

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TRANSITÓRIOS EM GERADORES SÍNCRONOS S Penin y Santos 
 
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CAPÍTULO III: 
TRANSITÓRIOS EM GERADORES SÍNCRONOS. 
1-OBJETIVO: 
Neste capítulo será recordado o funcionamento do GS em regime permanente, e será 
explicado o período transitório e subtransitório, entendido entre o instante da ocorrência do distúrbio que o 
provoca e sua passagem para o regime permanente. O estudo do GS que contemple seu comportamento em 
qualquer tipo de regime pode ser efetuado no domínio do tempo, mas implica na difícil resolução de um 
conjunto de equações diferencias que refletem o modelo da máquina. Neste capítulo é apresentada a 
modelagem no domínio da freqüência que embora com limitações do ponto de vista teórico, conduz a 
resultados confiáveis. Além disso, permite aprofundar o entendimento físico da máquina. 
Quando se aplica carga ao gerador é mister a manutenção da tensão em seus terminais. A 
componente desmagnetizante da força magneto motriz da reação de armadura deve ser compensada pelo 
acréscimo da corrente de excitação, que também compensa a queda na reatância de dispersão. O regulador 
identifica a tensão de saída nos terminais do gerador como a principal variável a ser controlada. Funções 
como sub e sobre excitação, relação entre a constância da tensão e freqüência, compensação de reativos para 
trabalho em paralelo, são outras variáveis a serem acrescidas ao sistema de excitação regulação, se 
necessárias. A ação corretiva do enrolamento amortecedor bem como aquela devida ao ‘‘efeito 
transformador’’ do enrolamento de campo são focadas também neste capítulo. 
 As figuras 1.a e 1.b mostram gerador e regulador bem como a representação em diagrama 
de blocos de um sistema de excitação e regulação de tensão de gerador (computer representation) de acordo 
com IEEE Recommended Practice for Excitation System Models for Power Systems Stability Studies –
IEEE Std 421.5-1992. 
 A referida prática classifica os diversos tipos de excitação-regulação. A figura 1 b) representa o 
tipo ST2A-Compound Source Controlled Rectifier Exciter listado no item 7-Type da referida IEEE 
Recommended Practice. 
 
 
 
 
 
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A figura 2 reproduz o corte de geradores síncronos de 2 e 4 pólos respectivamente de pólos salientes 
com rotor laminado. Evidencia-se o lugar para a colocação da gaiola amortecedora, elemento de grande 
importância, não apenas para dotar o gerador de capacidade de partida de motores de indução, mas também 
 
 
 
Figura 1.b- Representação computacional de gerador com excitação estática compoundada 
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para melhorar a estabilidade quando paralelado com outra(s) máquina(s). No caso da máquina síncrona 
trabalhar como motor síncrono, a gaiola é imprescindível para proporcionar conjugado de partida. Soluções 
de fabricação nas quais se utiliza sapata polar maciça ao invés de chapas laminadas, apresentam resultados 
piores no que diz respeito à resposta aos distúrbios transitórios. Na sapata polar maciça, os infinitos 
caminhos oferecidos à condução das correntes que surgem em decorrência ao distúrbio, possuem eficiência 
menor que os caminhos pela gaiola constituída por cobre. 
 
Figura 2- Alternadores de pólos salientes de 2 e 4 pólos respectivamente 
2- REGIME PERMANENTE 
Quando o gerador está em regime permanente, não importando qual seja a carga, desde que 
equilibrada, a composição das forças magneto motrizes criadas pelas três correntes de armadura, defasadas 
de 120 º entre si e em 3 enrolamentos defasados de 120º elétricos no espaço, ou seja, 120º/p geométricos, 
onde p é numero de pares de pólos, cria força magneto motriz girante de reação de armadura Fa, com 
rotação n igual à rotação do eixo imposta pela máquina motriz. No caso de pólos salientes o entreferro é 
variável, aumentado do centro do pólo (eixo direto) para as laterais o que permite gerar fluxo senoidal, com 
harmônicas devidas apenas a saturação, que provavelmente ocorre em volta do eixo direto, onde a relutância 
é menor. A tensão é praticamente isenta de harmônicas graças a técnicas aprimoradas de distribuição e 
encurtamento. Por isso, neste estudo considera-se apenas a fundamental. O erro cometido é menor que as 
linearizações admitidas nas modelagens. Assim a força magneto motriz de reação de armadura resultante 
das somas das FMM’s de cada fase, é senoidal e sua posição coincide com a fase com o máximo módulo. 
Esta propriedade permite concluir que FA está defasada de fº de V, sendo f o fator de potência. 
2.1- Considerações a respeito de alternadores de pólos lisos 
A força magneto motriz FA adicionada a Ff (força magneto motriz proporcionada pelo 
campo) resulta em FR, a qual causa o fluxo resultante no entreferro ΦR. Em máquinas de pólos lisos FA é 
calculada pela fórmula 
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FA=0,9. q Ke. Npf. Ia (1) 
Onde q é o número de fases, Npf é o número de espiras por pólo e por fase e Ke é o fator de 
enrolamento que considera a distribuição e o encurtamento. 
A superposição das FMM’s conduz a resultados mais precisos que os obtidos com 
modelagem que admite a superposição dos fluxos, o qual corresponde ao modelo das reatâncias, que é mais 
usual. 
 Em condições de regime permanente, FA e o campo possuem a mesma velocidade, não 
ocorrendo qualquer variação de fluxo e, portanto qualquer ação de transformação. 
Caso a corrente de carga esteja defasada com relação à tensão a força magneto motriz de reação 
de armadura FA possui componente desmagnetizante (carga indutiva) ou magnetizante ( carga capacitiva) . 
A figuras 3 representa referida situação de forma simplificada: 
 
 
 
figura 3 
A análise da figura 3 permite identificar a força magneto motriz de campo Ff no 
eixo direto, bem como da reação de armadura FA, neste caso para gerador em regime com carga indutiva, 
entre os eixos direto e quadratura; à esquerda onde se representa máquina de pólos lisos, a relutância 
oferecida a FA pelo circuito magnético é constante, se forem desconsideradas as variações da relutância 
devidas aos dentes bem como à saturação. A soma de Ff e FA pode ser efetuada. Sua resultante FR não 
importando a posição, causa o fluxo ΦR cuja derivada com relação ao tempo provoca o aparecimento da fem 
resultante por espira ou a fem ER do enrolamento, considerando todas as espiras do mesmo em série. 
2.2-Considerações sobre alternadores de pólos salientes 
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 Na figura 3 da direita representa-se gerador de pólos salientes: para cada posição de FA existe 
uma relutância diferente. A soma direta de Ff e FA implica em erro que facilmente pode ser evitado 
 
decompondo FA em duas componentes: Fd no eixo direto e Fq no eixo em quadratura. A relutância 
oferecida a cada componente é constante. Deve-se observar que a forma de Ff é retangular, conseqüência da 
geometria da bobina e do pólo, enquanto FA bem como Fd e Fq são senoidais em enrolamentos distribuídos 
e encurtados. O método desenvolvido por J.A. Shouthen permite recalcular os módulos das fundamentais de 
Fd e Fq equivalentes, em função da geometria dos pólos salientes, o que permite adicioná-las a Ff. 
 Fd =0,75q Ke Npf Ia senψ (2) 
 Fq=0,4635q Ke Npf Ia cos ψ (3) 
onde ψ é o ângulo entre Ia e o eixo em quadratura. A fórmula 2 foi desenvolvida para indução senoidal. A 
fórmula 3 foi desenvolvida para arco do pólo entre 0,67 e 0,7 do passo polar. Os valores das harmônicas de 
Fd possuem ordens de grandeza de até 10% e desconsidera-los implica em erro de 2 a 3%. Os harmônicos 
de Fq são da ordem de 40% e desconsidera-los pode implicar em erro de 10% a 12% de Fq. 
 A figura 3 evidencia ainda que no caso de carga indutiva a componente Fd é oposta a Ff e, 
portanto desmagnetizante. A componente Fq no eixo em quadratura provoca acentuada distorção nas 
sapatas polares. A influência na composição da tensão é reduzida no módulo, porém não desprezível na 
posição angular. Desconsiderar esta componente implica em grave erro no cálculo da potência. 
2.3-Equivalência da superposição das FMM’s e dos fluxos 
O diagrama fasorial da figura 4 mostra a superposição das FMM’s em máquina de pólos lisos. Se 
adotada a linearização da máquina, cada FMM pode ser associada ao respectivo fluxo por ela provocado. As 
tensões derivadas dos fluxos são adicionadas permitindo calcular a tensão final. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4- Diagrama fasorial de tensões, fluxos e FMM´s. 
 
 
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 No diagrama fasorial da figura 4, para corrente de carga indutiva, FA é desmagnetizante. 
 FR=Ff +FA, aplicada ao circuito magnético proporciona fluxo ΦR 
.A análise da figura 4.4 permite escrever a equação da tensão 
Ef=V+jxs Ia (4) 
Onde Ef é a tensão que existiria, caso a única FMM fosse Ff. 
 xs=xl+xmg é a reatância síncrona, xl é a reatância de dispersão e xmg é a reatância de magnetização; ra 
foi desconsiderada. 
A figura 5 mostra o diagrama fasorial para alternador de pólos salientes 
 
 
 
 
 
 
Figura 5- Diagrama fasorial de tensões, FMM´s e fluxos do gerador síncrono de pólos salientes. 
A decomposição de FA no eixo d e q, devido à diferença das relutâncias, impõe alterações na 
equação 4, pois como exposto, cada FMM decomposta atuará em circuito magnético diferente. Associando-
se uma reatância em cada eixo e utilizando a corrente devidamente decomposta, pode-se reescrever a 
equação 4. Assim, se a tensão nos terminais for V e a corrente Ia, a fem ER que corresponde ao fluxo 
resultante ΦR, desconsiderando ra, será 
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 ER=V+jxl Ia (5) 
 
 A observação da figura 5, que obedece a teoria de dupla reação, permite escrever: 
 
 Ef= V+jxl Ia+jxrd Iad +jxrq Iaq 
Se xd=xl+xrd e xq=xl+xrq 
 Ef= V+jxd Iad +jxq*Iaq (6) 
 
2.4- Análise do comportamento do gerador com cargas fortemente indutivas 
A figura 6 mostra o mesmo diagrama fasorial, porém com corrente de carga muito elevada e 
fortemente desmagnetizante. Corresponde a partida de MI . 
 
 
 
Figura 6- Diagrama fasorial de tensões, FMM´s e fluxos de gerador com carga fortemente indutiva. 
 
 Não se considerou o efeito do enrolamento amortecedor(dumper) ou ‘’efeito transformador’’ do 
enrolamento de excitação na representação. As componentes correspondentes estão presentes apenas no 
estudo do regime transitório. 
 Iaq pode ser desconsiderada e a equação 6 pode ser reduzida. 
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 Ef= V+jxd Iad (7) 
 A fundamentação teórica s expressões 4, 6 e 7 supõe máquina linearizada como já exposto. 
Entretanto, disponibilizam-se métodos que permitem sua utilização em máquinas saturadas. Os resultados 
apresentam razoável grau de precisão. 
 
3- REGIME TRANSITÓRIO E SUB TRANSITÓRIO 
3.1-Regime transitório 
 Reatância transitória. Método de cálculo. 
 A complexidade de análise da máquina síncrona decorre pelo fato de possuir vários 
enrolamentos: 3 na armadura e um no campo além do amortecedor no eixo direto e em quadratura, cuja 
ação não ocorre em regime permanente, mas contribui decisivamente durante os transitórios. O 
reconhecimento das interações entre os diversos enrolamentos é dificultado pela geometria irregular das 
máquinas de pólos salientes. 
Não somente para justificar o modelo que será utilizado para o cálculo de situações 
transitórias em geral como, por exemplo, curto circuitos ou partida de MIT , mas também para explorar 
com maior detalhamento o conceito dos fenômenos envolvidos, apresenta-se a seguir a sustentação teórica 
do modelo freqüentemente utilizado classicamente. 
Para focalizar a atenção exclusivamente no período transitório, desconsidera-se a existência 
do enrolamento amortecedor, que inclui os caminhos constituídos pela sapata polar e estruturas que 
suportam as cabeças de bobinas. 
 Ao ser aplicada, a corrente de armadura cria a força magneto motriz FA, no eixo direto com ação 
desmagnetizante (carga indutiva). Pelo teorema fluxos concatenados de Doherty & Shirley (theorem of 
constant linkages - Doherty and Shirley, Trans. A.I.E.E.,37,p.1209(1918)), no instante t=0+, a variação do 
fluxo no enrolamento do campo é zero. Para anular a componente desmagnetizante de FA, este enrolamento 
será sede de variação de corrente que imporá variação da Força Magneto Motriz ∆Ff. 
 Mas, nem todo fluxo criado pelo enrolamento de campo se enlaça com o da armadura, em 
função da dispersão. Assim, neste enrolamento ocorre diminuição do fluxo. O parâmetro que mede a 
redução é a reatância transitória. 
 Após o primeiro instante, o efeito da resistência do enrolamento provoca queda na corrente do 
enrolamento, até que seu efeito cesse totalmente. 
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 A fim de generalizar a análise, suponha-se o gerador excitado com If. 
A aplicação de carga no gerador em vazio Ia gera FA. Se o mesmo já está fornecendo Ia, o 
acréscimo de carga ∆Ia gera acréscimo ∆FA. FA impõe fluxo ΦA assim como o acréscimo ∆FA impõe ∆ΦA. 
Assim o novo fluxo será ΦA1= ΦA+∆ΦA. 
 
Figura 7-Diagrama fasorial das FMM’s e fluxos na aplicação de carga indutiva 
 
 A figura 7 mostra o aumento instantâneo da corrente de armadura (indutiva) Ia e de FA 
representados por ∆Ia e ∆FA, bem como Ff e ∆Ff. Os acréscimos do fluxo no instante do distúrbio são ∆ΦA 
e ∆Φf.. Mostram-se também acréscimos que não atravessam o entreferro, ou seja, as variações de dispersão 
do campo ∆Φfl e da armadura ∆ΦAl 
 Exclusivamente para facilidade de entendimento suponha-se a máquina inicialmente em vazio. 
Portanto em t=0-ÆIa=0; em t=0+Æ Ia>0 que provoca FA>0 e ΦA>0. O entreferro em máquinas rotativas 
causa grandes fluxos de dispersão. Seja Φal o fluxo de dispersão de armadura, Φm o fluxo mútuo e Φfl o 
fluxo de dispersão do campo.(Se a máquina estivesse em carga e aumentássemos o valor da mesma, 
trabalharíamos com acréscimos. Assim teríamos ∆Φal, ∆Φm, ∆Φfl como mostra a figura 7 ao invés de 
Φal, Φm, Φfl). A indutância de dispersão do enrolamento da armadura será 
Lal = Na*Φal/Ia (8) 
ou simplesmente Ll.A indutância de dispersão do campo 
Lfl = Nf*Φfl/∆if (9) 
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ou simplesmente Lf e a indutância mútua entre a armadura e o campo no eixo direto. 
M =Nf*ΦΜ/ia (10) 
 Observe-se que os parâmetros da armadura incluem as três fases, pois como já explicado, FA 
é a resultante da soma das três forçasmagneto motrizes pulsantes senoidalmente das fases, defasadas no 
tempo em 120º elétricos e aplicada às três bobinas defasadas no espaço. A corrente ∆if e sua correspondente 
 
FMM é unidirecional, porém para um observador no estator corresponderá a corrente alternada. A utilização 
de ∆if é necessária para diferenciar de if que sempre existe se a máquina está excitada. 
 Quando a corrente do estator passar de zero para ia, o fluxo que atravessa o entreferro Φm 
expresso em termos da indutância mútua e provocado por Ia será: 
Φm = M*ia/Na (11) 
ou seja o fluxo concatenado é 
Φm*Na = M*ia. (12) 
 O enrolamento de campo "reage" com corrente ∆if, a qual gera fluxo concatenado (Lf+M)*∆if 
na bobina deste enrolamento. Portanto, o fluxo resultante concatenado no campo imediatamente após o 
surto, ou seja, em t=0+, será (desconsiderou-se o fluxo que existia quando a máquina estava em vazio, pois 
o que importa para a análise é a variação) : 
 λf=(Lf+M)*∆if-M*ia. (13) 
 A utilização de letras minúsculas é para caracterizar o fenômeno em um instante qualquer. As 
letras maiúsculas são reservadas para valores eficazes. 
 As FMM’s pulsantes da corrente de armadura por fase possuem harmônicas, minimizadas pela 
distribuição e encurtamento, o que permite serem desconsideradas. Observação semelhante deve ser 
aplicada ao fluxo que seria provocado pelo enrolamento do campo, seja pela corrente de excitação ou pela 
componente transitória, objeto deste estudo. 
Os parâmetros do rotor serão referidos ao estator. Portanto para um observador no rotor, os 
valores rotóricos da expressão (13) serão sempre referidos ao estator. 
Na referida expressão, para não contrariar o teorema dos fluxos enlaçados constantes, e 
considerando desprezíveis os valores resistivos(observação válida apenas para o primeiro momento do 
surto ou seja em t=0+) necessariamente λf=0. Assim 
(Lf+M)*∆if-M*ia=0 (14) 
(Lf+M)*∆if=Mia 
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∆if=M/(Lf+M)*ia (15) 
 A expressão 15 expressa o valor de corrente que surge no campo para manter o fluxo 
concatenado inalterado em t=0+: 
No enrolamento de armadura, a componente do eixo direto do fluxo concatenado é: 
λa = M*∆if – (M+ Ll)ia (16) 
(considera-se como sinal positivo o sentido do vetor do campo) 
 
 
substituindo ∆if da expressão (15) na expressão (16) 
 λa = M* M/(Lf+M)*ia – (M+ Ll)ia 
λa = - (- M2) / (M+Lf) + Ll + M)*ia (17) 
 A equação 17 é do fluxo instantâneo na bobina ‘’a’’ para surto no eixo direto. 
Em valores eficazes, tem-se: 
Λa = (Ll +M - M2 / (M+Lf) )* Ia (18) 
Portanto o valor eficaz da tensão será: 
 2 π f *Λa = ω∗Λa =ω∗[ Ll + M - M2 / (M+Lf) ]* Ia 
 ou: ω∗Λa = [ ωLl + ωM - ω2 M2 /(ω( M + Lf)) ] Ia (19) 
Obs: 1) a utilização de Id ao invés de Ia ocorre quando a análise contempla apenas o eixo 
direto. 
 2)Ao trabalhar com valores eficazes ocorreu migração do domínio do tempo para o 
domínio da freqüência. Desta forma, desconsidera-se a componente continua que será tratada mais adiante. 
 A equação acima expressa a variação de tensão que ocorre na armadura, no instante inicial, 
quando se impõe uma corrente Ia. Ou seja, a tensão foi ajustada inicialmente para valor nominal Ef=Vn, 
para a máquina em vazio. Ao aplicar carga Ia (indutiva) a tensão em t+0= cai de Ef=Vn para: 
V=Ef- ω∗Λa (20) 
V=Ef- [ ωLl + ωM - ω2 M2 /(ω ( M + Lf)) ]* Ia=Ef-(Xl+ Xl*XM/(Xl+XM)*Ia(21) . 
Se a resistência do enrolamento do campo fosse realmente nula, o fenômeno persistiria 
infinitamente, o que evidentemente não é plausível. Em função da existência física da mesma, a tensão cairá 
exponencialmente para V=Ef-jxs*Ia (xs é a reatância síncrona). A expressão 
 [ωLl + ωM - ω2M2 / (ωM + ωLf)] = xl + xM - xM2 / (xf+xM) (22) 
 
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é a reatância denominada transitória ou reatância transitória no eixo direto, e identificada como X’d por se 
tratar de fenômeno no eixo direto. 
A equação 22 pode ser rescrita como 
 x’d =xl+xM*xf/(xf+xM), (23) 
 Ou seja, a reatância transitória no eixo direto é a reatância de dispersão da armadura, adicionada 
à reatância de dispersão do campo, esta em paralelo com a impedância mútua. 
 A equação acima é resultado do circuito equivalente da figura 8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O circuito acima equivale ao de um transformador em curto onde xl-reatância de dispersão 
da armadura corresponde à reatância de dispersão do primário, xM é a reatância de magnetização e xf- 
reatância de dispersão do campo corresponde a reatância de dispersão do secundário. Portanto a reatância 
x’d é calculada em função das dispersões do campo e armadura (e da mútua) e que ocorrem em qualquer 
situação de alteração do funcionamento. A expressão (20) pode ser reescrita 
V=Ef-jx’d*Ia (24) 
Na expressão 22 é interessante observar que ( xl + xM) é a reatância síncrona xs (sendo que no 
eixo direto em máquinas de pólos salientes é denominada xd - reatância síncrona no eixo direto 
Na hipótese de ocorrer um curto, ao invés de o gerador ser chaveado sobre uma carga, o 
limite da corrente de curto no momento inicial será dado por x’d. Ao atingir o regime (sempre admitindo 
invariância na excitação) o limite é dado por xs. 
 
 
3.2- QUEDA TRANSITÓRIA DE TENSÃO QUANDO OCORRE VARIAÇÃO NA CARGA. 
 
. 
Figura 8 –
circuito 
equivalente do 
gerador durante 
o transitório sem 
amortecedor 
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 Uma vez definida a reatância transitória e supondo inexistência de enrolamento amortecedor, 
qualquer variação brusca de carga causará queda de tensão nos terminais do gerador proporcional ao valor 
dessa reatância. A queda em t=0+ é definida como queda transitória. 
 Antes estudar o fenômeno durante o distúrbio, deve-se investigar sobre a aplicabilidade deste 
método clássico quando ocorre brusco aumento da corrente . 
O estudo é restrito por algumas hipóteses: 
a) o tratamento é linear; 
b) a alteração de carga é simétrica; 
 
 
c) visa apenas estudar o fenômeno transitório, pois todas as máquinas são construídas com o 
enrolamento amortecedor, seja feito em barras de cobre ou gaiola maciça constituída pela sapata polar). 
Interessa verificar qual a queda ao ocorrer brusca variação de caráter indutivo do estado de 
carga. Antes da variação o estado de carga é caracterizado pelo índice será 1; após a variação é 
caracterizado pelo índice 2. A variação ocorre em t=0. 
Em t=0-, os fluxos concatenados com o enrolamento do campo são: 
λf1 =(L f+M)*i f1 – M*i a1. 
 O brusco aumento da carga tenta impor redução do fluxo. Em t=0+ não poderá ocorrer 
qualquer alteração no fluxo concatenado com a bobina de campo. Uma componente transitória ∆if surge 
nessa bobina para manter a invariabilidade do fluxo no campo. Desta forma ocorre compensação parcial do 
efeito desmagnetizante de ∆FA nos enrolamentos da armadura. 
O novo fluxo concatenado no campo será: 
 λf2=λf1+∆λf=(Lf+M)*(if1+∆if)-Mia2==(Lf+M)*(if1+∆if)-M(ia1+∆ia) (25) 
Mas λf1=λf2, ou seja, ∆λf=0. Assim: 
 (Lf+M)*(if1+∆if)-M*ia2= (Lf+M)*if1 –M*ia1 
 M*(ia2-ia1)=(Lf+M)*(if1+∆if)-(Lf+M)*if1=Lf*if1+Mif1+ Lf*∆if +M*∆if-Lf*if1-M*if1 
 M*(ia2-ia1)=(Lf +M)*∆if 
 ∆ia= (ia2-ia1)=(Lf +M)/ M*∆if 
ou chamando ia=id 
 ∆id= (Lf +M)/ M*∆if (26) 
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 Assim, a uma variação instantânea da corrente de armadura, de ia1 para ia2, desde que ocorra no 
eixo direto, corresponde uma variação no enrolamento de campo em t=0+, quando o sistema de regulação-
excitação ainda não atuou. 
 Em outras palavras, a alteração da corrente do estator provoca surgimento de corrente no 
enrolamento do campo por efeito de transformação, que se superpõe à corrente normal de excitação. A fonte 
(excitatriz) possui baixa impedância e pode ser considerada como um curto. Em cálculos mais exatos sua 
resistência e indutância podem ser adicionadas à resistência e indutância do campo respectivamente. 
 Finalmente pode ser analisada a queda instantânea do gerador quando o mesmo já está 
carregado alimentando carga com corrente Ia1 e com tensão V1 nos terminais. 
 
 
 Em t=0- Æ V1=Er-jXl*Ia1. Em t=0+, o acréscimo ∆Ia acarreta no campo ∆If. A nova FMM 
resultante Fr2, menor que Fr1, resulta em fluxo Φr2<Φr1 e portanto em Er2<Er1. A figura 9 (a) mostra as 
FMM’s em t=0+, bem como as diversas tensões se tivessem existência individual. A figura 9(b) evidencia o 
resultado da equação 30. A figura 9(c) mostra a superposição dos fluxos. O deslocamento dos vetores na 
horizontal ou vertical visa apenas dar clareza à figura. 
 A nova tensão em t=0+ será 
V2=Er2-jXl*(Ia+∆Ia)=Er2-jXl*∆Ia-jXl*Ia (27) 
 Mas 
Er2=Er1-jXf*∆If sendo ∆Ιf =X M / (Xf+XM) *∆Ia (28) 
V2=Er1-jXf ∆If-jXl*∆Ia-jXl*Ia=Er1-j(XM/(Xf+XM)∆IaXf-jXl∆Ia-jXlIa= 
V2=Er1-jXlIa-j∆Ia(XMXf/(Xf+XM)+Xl) (29) 
V2=V1-j∆Ia X’d (30) 
 Portanto se ocorrer um surto de corrente ∆Ia, o afundamento de tensão no instante t+ será ∆Ia 
X’d, na hipótese da inexistência de enrolamento amortecedor e desconsiderando a componente contínua. 
Como a corrente de campo é incrementada por imposição do regulador de tensão, V2 será corrigida para V1 
por ação do referido regulador. 
 Por isso o estudo deve contemplar duas situações distintas: a) No instante t=0+ quando não 
ocorreu ainda a reação do regulador. b)Após este momento quando o sistema de regulação começa a atuar e, 
portanto surge uma nova componente de excitação corretiva cuja tarefa é eliminar o distúrbio. 
 
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 Prosseguindo com o estudo do distúrbio em t=0+: 
Se em t=0- o gerador com V1 fornece Ia1 e em t=0 é ligada carga de impedância xe, o acréscimo de corrente 
em t=0+ é: ∆Ιa=V1/(X’d+Xe). 
 Como V2=V1-∆Ia*X’d =V1-V1/(Xe+X’d)*X’d=V1(1-Xe/(Xe+X’d). 
 A queda em t=0+ é 
∆V=V1*X’d/(Xe+X’d) (31) 
 freqüentemente denominada ‘’queda instantânea’’ e consagrada por D. Beeman. 
Uma situação comum em aplicações de campo ocorre quando com um gerador alimentando 
cargas efetua-se a partida de um MIT, que impõe brusca alteração da corrente do gerador. O acréscimo é 
fortemente indutivo o que atende as hipóteses b e c) acima formuladas. As outras são aceitas por não 
introduzirem variações inaceitáveis e para facilitar a solução. A reatância equivalente do MIT na partida 
será Xe, soma da reatância de dispersão do estator e rotor. A resistência equivalente Re foi desconsiderada. 
O cálculo da queda de tensão durante a partida de MIT’s é freqüentemente efetuado por fabricantes e 
projetistas pela aplicação da fórmula 31. 
3.3 CONSTANTE DE TEMPO TRANSITÓRIA: 
 O conhecimento da constante de tempo é importante: permite confrontar o tempo gasto pelo 
sistema de excitação/regulação para injetar corrente no campo e compensar o efeito desmagnetizante da 
reação de armadura com o tempo que o enrolamento do campo (e do amortecedor como será visto), 
conseguem sustentar a tensão. 
TRANSITÓRIOS EM GERADORES SÍNCRONOS S Penin y Santos 
 
87 
 
 Os fatores que influenciam a constante de tempo transitória podem ser investigados com o auxílio 
da Figura 8. 
 Considerar o gerador com o enrolamento de campo fechado, e o enrolamento de armadura em 
aberto. A constante de tempo que permite estudar o campo transitório nesta situação, é a constante de 
tempo transitória de eixo direto em circuito aberto T’do. 
 Os terminais de estator (Figura 8) estão em circuito aberto, e os terminais do campo estão curto-
circuitados. 
 O transitório é então afetado pela auto-indutância do campo, Lf+M e por sua resistência rf. 
Embora a mesma tenha sido desconsiderada em t=0+, seu valor é determinante no comportamento do 
fenômeno ao longo do tempo.A constante de tempo é 
τ’do=(Lf + M)/rf (32) 
 
 
 
 A definição da fórmula (32) envolve apenas a auto indutância e a resistência de campo. É 
simplesmente a constante de tempo de um circuito LR-série simples, ou seja, uma característica do circuito 
de campo isolado. Sua utilização restringe-se a geração inicial de tensão com o gerador ainda sem carga. 
Permite calcular o comportamento da corrente campo ao se alterar o valor da tensão aplicada ao referido 
campo com o gerador em vazio. Não é um parâmetro que possa ser utilizado nos fenômenos envolvendo a 
armadura 
 3.3.1 Constante de tempo transitória quando ocorre um curto. 
 Quando o gerador entra repentinamente em curto-circuito, os terminais de estator e rotor estão 
curto-circuitados. Para condições de bruscas variações, considerar-se-á que os terminais do estator se 
fecham através de uma impedância externa, conforme figura 10 b). Na primeira análise, os terminais do 
estator serão colocados em curto, conforme figura 10 a): 
 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 Figura 10 a- Circuito Figura 10 b- Circuito equi- 
 equivalente da reatância valente da reatância de gera- 
 de gerador em curto dor fechando-se sobre Xe 
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88 
 
 
 A reatância equivalente durante o transitório, que determina, portanto a queda durante este 
período é Xf adicionada à XM e Xl em paralelo, ou: 
Leq =1/(2πf) (Xf +(XM*Xl)/(XM+Xl))= 1/(2πf)( Xf*Xl+Xf*XM+ Xl*XM)/(XM+Xl)= 
 
1/(2πf)( Xf*Xl+Xf*XM+ Xl*XM)/(XM+Xl)* (Xf+XM)/( Xf +XM)= 
 
1/(2πf)( Xf*Xl+Xf*XM+ Xl*XM)/( XM+Xf)*(Xf+XM)/( XM+Xl)= 
 
(Xf+XM)/(2πf)* X’d/Xd (33) 
 
dividindo a expressão 33 por rf tem-se a constante de tempo em curto-circuito: 
 
 τ’d = (Xf + XM) /(2πf*rf *X’d /Xd)= τ’do X’d/ Xd (34) 
 
3.3.2 Constante de tempo transitória no eixo direto em curto circuito ajustada para reatância externa. 
 Se ao invés de ocorrer um curto circuito franco, os terminais do gerador são fechados através de 
carga fortemente indutiva de reatância Xe, um novo valor deve agora ser considerado. Uma vez referida ao 
estator da máquina em análise, a reatância da carga subitamente ligada, estará em série com a reatância de 
dispersão da armadura Xl. Em outras palavras equivale a dizer que a nova reatância, com a introdução de 
Xe é equivalente a um aumento da dispersão da armadura de Xl para Xl+Xe. A reatância transitória ajustada 
para considerar reatância externa é X’de=X’d +Xe 
 O circuito equivalente nesta nova situação é apresentado na figura 4.10 b: 
 A constante de tempo transitória de eixo diretoem curto-circuito ajustada para reatância externa, 
τ’de, é: 
 τ’de = τ’do (X’d+Xe) /(Xd+Xe)= τ’d* Xd/X’d* (X’d+Xe) /(Xd+Xe) (35) 
 
 O conhecimento da constante de tempo permite verificar o que ocorre após t=0+. 
 3.3.3- Corrente de curto se o gerador está em vazio inicialmente 
 
TRANSITÓRIOS EM GERADORES SÍNCRONOS S Penin y Santos 
 
89 
 
 
 
 Utilizando-se o circuito equivalente e denominado-se a tensão em vazio de Vo, a ocorrência de um 
curto nos terminais do gerador propiciará a corrente 
 ia(sc)=Vo/Xd + (Vo/ X’d – Vo/ Xd )*e-t/τ’d (36) 
 Após passado algum tempo por exemplo após t=10.τ, a corrente seria ia(sc)=Vo/Xd no caso 
de não ocorrer intervenção do regulador o que não é verdadeiro pois o sistema de geração seria inviável para 
o usuário. 
3.3.4-Surto inicial de corrente e tensão nos terminais após conexão de carga Xe, estando o gerador em vazio 
ou em carga 
 Ajustando o circuito equivalente para a adição de impedância externa, conforme figura 10 b o 
valor da corrente da armadura é : 
 ia(Xe)=Vo/(Xd+ Xe) + (VoEf/ (X’d+ Xe) – Vof/ (Xd+ Xe) )*e-t/τ’de (37) 
A corrente é limitada pela impedância externa (Xd+ Xe) com a do último parágrafo de 3.3.3. A 
constante de tempo é τ’de. 
 Interessa investigar qual o comportamento da tensão nos terminais do gerador quando o mesmo 
estando em vazio passa alimentar repentinamente carga, cuja impedância é Xe. A referida tensão é: 
V= Vo.Xe /(Xd+ Xe) + (Vo Xe / (X’d+ Xe) - Vo Xe / (Xd+ Xe) )*e-t/τ’de (38) 
 O que ocorre quando se aplica carga Xe a gerador já carregado? Este caso é o mais comum. A 
queda no instante t=0+ é expressa por ∆V=∆ Ia * X’d . A tensão V2 é: 
V2= V1*Xe /(Xd+ Xe) + (V1* Xe / (X’d +Xe) – V1 * Xe / (Xd+ Xe))*e-t/τ’de (39) 
Esta expressão, entretanto não reflete o que ocorre em um gerador real conforme já observado, pois 
imediatamente o regulador injeta corrente ao campo e restabelece V1. Analisando exclusivamente o instante 
t=0+ tem-se : 
 V2= (V1* Xe / (X’d +Xe) (40) 
4- REATÂNCIA SUBTRANSITÓRIA NO EIXO DIRETO. 
 O enrolamento do campo por estar longe do entreferro possui grande indutância de dispersão, 
vale dizer grande reatância transitória no eixo direto. Portanto se sòmente existisse o enrolamento de campo, 
a queda de tensão, ao ocorrer variação brusca da carga, seria elevada. 
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90 
 
 Por raciocínio semelhante pode-se concluir que quando o gerador trabalha em paralelo, o 
torque sincronizante poderá ser insuficiente para mante-lo sincronizado. Igualmente se a máquina trabalha 
como Motor Síncrono, possuirá pequeno torque de partida. 
 Por isso as máquinas síncronas são dotadas de enrolamento amortecedor, que confere às mesmas 
características apropriadas para atender estas necessidades. 
Colocado mais perto possível do entreferro e utilizando-se o melhor condutor desde que 
economicamente viável, o amortecedor possuirá menor dispersão que o enrolamento de campo e, portanto 
terá ação mais acentuada, pois a indutância será menor, vale dizer a queda de tensão durante sua atuação 
será menor. 
 
 
 
 
Fig. 11- vista em corte de um pólo saliente com bobina de campo e gaiola amortecedora. 
 
 A figura 11 mostra vista em corte de um pólo saliente com bobina de campo e gaiola 
amortecedora. As linhas tracejadas inclinadas laterais correspondem ao eixo em quadratura. A tracejada 
central corresponde ao eixo direto. 
Analogamente ao comportamento do enrolamento de campo, que conforme anteriormente 
exposto atua como o secundário de um transformador em curto quando ocorre a erupção da corrente, o 
enrolamento amortecedor também se comporta como enrolamento em curto. A figura 11 mostra os 
caminhos de dispersão dos enrolamentos do rotor: as setas largas de cor vermelha representam o fluxo da 
 
 
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bobina do campo que atravessa o entreferro, as setas largas de cor magenta representam o fluxo 
proporcionado pelo amortecedor que atravessa o entreferro. As finas representam o fluxo de dispersão. 
 Observe-se que a ação dos enrolamentos ocorre concomitantemente. Entretanto suas constantes 
de tempo são diferentes. Assim, como a ação do amortecedor ocorre mais rapidamente, sua ação cessa em 
tempo menor. Considerando-se raciocínio idêntico ao desenvolvido anteriormente para o transitório e 
considerando-se o teorema dos fluxos concatenados constantes, pode-se deduzir a fórmula para esta 
reatância denominada X’’d . A reatância de dispersão do referido enrolamento é denominada XD. A figura 
12 representa o circuito equivalente nesta nova situação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A observação da mesma com os circuitos do amortecedor e do enrolamento do campo durante o transitório 
em paralelo facilitam a dedução da fórmula de X’’d.. 
X’’d=Xl + XMXDXf / (XM Xf +XD Xf + XM XMD ) (41) 
 Na hipótese de variação brusca de carga(indutiva), de forma semelhante ao já estudado na 
determinação de X’d, a reatância externa proporcionada pela carga equivale a um acréscimo da reatância de 
dispersão da armadura. 
A figura 12. b) esclarece o exposto e permite calcular X’’de 
 X’’de =Xl+Xe + XMXDXf / (XM Xf +XD Xf + XM XMD ) (42) 
 A constante de tempo denominada subtransitória, em circuito aberto possui pouca 
importância para o cálculo dos distúrbios nesse período. Por isso deve-se estudar com atenção a constante 
de tempo com os terminais a b do circuitos da figura 12 em curto circuito. 
 
 (a) (b) 
Figura 12: circuito equivalente para o gerador com enrolamento amortecedor, 
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 Deduzindo-se de forma semelhante àquela que foi efetuada para a constante de tempo 
transitória, tem-se: 
τ’’d=(1/ω∗rD )[XD+Xl*XM*Xf/ (Xl*XM+Xf* Xl+XM*Xf)] (43) 
e para o circuito ajustado para impedância externa(valor aproximado, mas normalmente aceito em 
engenharia) para curto circuito nos terminais do gerador: 
 (44) 
 
 
 
 
 5- COMPORTAMENTO DO SISTEMA DURANTE O SUBTRANSITÓRIO 
 Alguns autores clássicos consideram suficiente a análise do transitório na ocorrência de curtos 
ou em bruscas variações de carga. No livro ‘’Máquinas Elétricas’’, Fitzgerald, Kinsley e Kusko sugerem o 
tratamento do distúrbio sòmente com o transitório (item 10.5) .D Beeman conclui fórmula semelhante à 40 
cuja queda em t=0+ é determinada apenas por X’d. 
 Desconsiderar o subtransitório significa admitir que o regulador excitador atuam somente 
após esse período de 2 a 4 ciclos, o que pode não ser verdadeiro. 
 O objetivo deste item é calcular a corrente de armadura bem como o comportamento da 
tensão nos terminais do gerador após brusca alteração da carga no instante t=0+ porém considerando-se a 
reatância subtransitória. A situação equivale a um curto, porém não franco, mas que se fecha numa reatância 
externa Xe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 X’d X”d + Xe 
 X”d X’d + Xe
τ”de = τ”d 
 
Figura 13 Aplicação de carga em gerador já parcialmente carregado 
TRANSITÓRIOS EM GERADORES SÍNCRONOSS Penin y Santos 
 
93 
 
 
 Para facilitar considere-se o gerador trabalhando em vazio com tensão Vo. Quando ocorre a 
erupção, o enrolamento amortecedor e o do campo por ‘’efeito transformador’’ suprem parcialmente o 
circuito magnético onde está colocado o enrolamento da armadura. Assim a tensão interna (também 
chamada tensão de entreferro) será E’’d ou Est (tensão subtransitória no eixo direto). Após cessar a 
intervenção do enrolamento amortecedor prevalecerá o ‘’efeito transformador’’ do enrolamento de 
excitação. A tensão interna será E’d ou Et (tensão transitória no eixo direto). 
 
 
 A componente simétrica, ou alternada, da corrente é: 
Ia=√2{Vo/(Xd+Xe)+[Et/(X’d+Xe)+Vo/(Xd+Xe)]ε-t/τde’+[Est/(X’’d+Xe)+Et/(Xd+Xe)]} ε-t/Τde’ 
 (45) 
A corrente da expressão 45 não é de curto circuito, uma vez que existe impedância externa. 
 τ’de é a constante de tempo transitória de eixo direto em curto-circuito ajustada para reatância 
externa. 
 τ’’de é a constante de tempo subtransitória de eixo direto em curto-circuito ajustado para 
reatância externa. 
 No instante t=0+ a expressão 40 será reescrita para 
 V2= (V1* Xe / (X’’d +Xe) (46) 
Os valores de tensão são eficazes. O valor da corrente é máximo. Assim poderemos traçar sua 
envoltória desde que desconsiderada a componente continua 
 Componente contínua : 
 A componente simétrica não é única: eis que uma componente contínua se superpõe à 
componente simétrica. 
 A componente contínua é dada por: 
 Icc = Icc0ε-t/τac (47) 
Icco valor inicial, igual e oposto ao valor instantâneo de Ica para a fase em t = 0 
 τac: constante de tempo de armadura convenientemente ajustada. 
 A máxima componente contínua possível será: 
 
 (48) 
 Significa uma onda totalmente deslocada. 
 E st 
 x”d + xe Iccm = √2 ε -t/τac 
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Portanto o valor máximo total (envoltória) em qualquer instante é: 
 Ia=Ica+Icc 
 
 Constante de tempo da armadura τa 
 A seguir descreve-se a forma para calcular a constante de tempo da armadura τa, com curto-
circuito trifásico inicialmente sem qualquer impedância externa. 
 Referida constante de tempo depende, de: 
 a)resistência de armadura ra 
 
 
 
 b)indutância equivalente do circuito de armadura em corrente contínua, a qual depende do 
circuito da armadura e do circuito rotórico (campo e amortecedor), pois a componente contínua induz 
correntes de freqüência fundamental nestes circuitos fechados. 
 A componente contínua cria uma fmm estacionária no espaço. Quando o rotor gira, esta 
componente da fmm induz sobre os circuitos do rotor, no eixo direto, fem’s e conseqüentemente correntes 
cuja intensidade é diferente da intensidade do eixo em quadratura devido às diferentes relutâncias nos 
circuitos do rotor nos dois eixos. 
 Visto do rotor, o circuito magnético não apresenta qualquer variação, exceto aquela imposta 
pelas ranhuras, cuja alteração de relutância gera pequeno serrilhamento na tensão de saída que pode ser 
diminuindo inclinando-se a ranhura, de tal forma que quando a sapata polar ‘’entra’’ em uma ranhura na 
extremidade direita da máquina, a próxima ranhura está começando a sair na extremidade esquerda, de tal 
forma que a relutância permaneça constante. 
 
Figura 14 Inclinação de ranhuras do estator. 
 
 
TRANSITÓRIOS EM GERADORES SÍNCRONOS S Penin y Santos 
 
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 Mas, analisando o circuito magnético pelo estator e para considerar as diferenças entre o eixo em 
quadratura e o eixo direto, costuma-se adotar a média aritmética da indutância correspondente a X”d e a 
indutância correspondente a X”q onde X"q é a reatância subtransitória no eixo em quadratura . 
 Assim a constante de tempo da armadura que corresponde a essa média, será: 
 (49) 
 
 Utilizando o método de ajuste da constante de tempo transitória, quando existe uma reatância 
externa, poderemos ajustar a fórmula também quando existir uma impedância externa. 
 Se a resistência externa re entre os terminais da máquina e o local onde ocorreu o distúrbio ou 
a falta tiver valor significativo, o que equivale dizer que o fator de potência proporcionado pelo distúrbio ao 
gerador será bem superior a zero, tal resistência deve ser considerada. Portanto a constante de tempo 
ajustada com circuito externo, é 
 τae=1/[ω(ra+re)]*(X’’d+X’’q/2+Xe) (50) 
 A consideração da componente continua depende da aplicação. 
 A análise do distúrbio deve considerar duas possibilidades: 
 Primeira: Quando devem ser considerados os fenômenos subtransitórios do sistema.Como 
exemplo mais eloqüente e que se constitui na tese central deste trabalho é o caso de gerador acionando 
MIT’s, sendo o campo do gerador alimentado por sistema de excitação regulação que injete corrente no 
referido campo no primeiro ou segundo ciclo. 
 Segunda: Quando podemos desprezar os fenômenos subtransitórios, ou seja, quando a resposta 
rapidamente amortecida dos primeiros poucos ciclos pode ser ignorada. 
 No primeiro caso a máquina é comumente representada pela sua reatância subtransitória de eixo 
direto X’’d. No segundo caso pela transitória X’d 
 Representação da máquina por uma reatância. 
 A representação da máquina individual por uma única reatância simplifica a análise. O modelo 
permite calcular o afundamento (sag) no instante t=0+. O cálculo é efetuado adotando-se, portanto 
modelagem no domínio da freqüência e que foi possível por considerar-se o fluxo constante no instante 
t=0+. O decréscimo do fluxo concatenado no enrolamento do campo e na armadura é feito introduzindo-se a 
resistência (do campo) que impõe o decréscimo citado. 
 Quando se despreza o subtransitório, deve-se identificar o tempo para atuação do regulador-
excitador. Antes da intervenção, a tensão pode ser considerada constante. Equivale dizer que o fluxo 
Ta = 1 x``d + x``q 
 2πf ra 2 
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concatenado é constante e, portanto foi desprezada a redução do mesmo por efeito da resistência do 
enrolamento do campo. A queda nos terminais corresponde a X’d* Ia. Fitzgerald, Kinsley e Kusko em ‘’ 
Máquinas Elétricas’’ afirmam no item 10.5, na pagina 498 da edição de 1975: 
"As tensões antes da reatância transitória, podem freqüentemente ser consideradas constantes por períodos 
até cerca de 1 s após a ocorrência do curto, suposição que é equivalente a ignorar o decréscimo do fluxo 
concatenado com o campo, ou a concluir que as excitatrizes da máquina, atuadas por reguladores de 
tensão, elevam a corrente de campo com uma taxa aproximadamente suficiente para compensar a 
influência desmagnetizante das correntes de curto-circuito no estator". 
 A discussão proposta pelos autores é incompleta, pois admite queda de tensão transitória. O 
sistema de regulação, entretanto pode ser tão rápido que a correção se inicia ainda no subtransitório ou 
imediatamente após o mesmo. 
 Neste caso, o modelo não deve desconsiderar a reatância x’’d. Experimentos têm demonstrado 
emalgumas circunstâncias que a média aritmética de ambas, x’d e x’’d, apresenta resultados compatíveis 
com os obtidos em testes. 
 Os estudos de partida de MIT bem como alimentação de fornos de indução ou lâmpadas com 
reatores não compensados implicam em fenômenos que ocorrem principalmente no eixo direto. Também os 
estudos de curto circuito podem ser efetuados apenas com os parâmetros de eixo direto. 
 Alimentação de cargas com fator de potência próximo a 1, devem considerar a componente 
ativa o que exige a inclusão do eixo em quadratura, e da resistência externa do sistema. 
 Situações que estudem torques e potências de saída do gerador, sob condições transitórias ou 
subtransitórias, como por exemplo, a permanência do gerador em paralelo com outros quando ocorrem 
perturbações, a componente contínua da corrente de curto pode ser desprezada, pois sua influência é 
pequena na potência e no conjugado síncrono.