Medidas de Dispersão e Assimetria

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Probabilidade e 
Estatística Aplicada
Aula 3
Prof. Nelson Pereira Castanheira
Tema 1
Medidas de Dispersão: 
Amplitude e Desvio Médio
Medidas de Dispersão
� As medidas de dispersão ou de 
afastamento são medidas 
estatísticas utilizadas para verificar 
o quanto os valores encontrados 
numa pesquisa estão dispersos ou 
afastados em relação à média ou 
em relação à mediana
� Suponhamos duas situações 
diferentes: 
a)duas pessoas tiraram nota 
igual a 6,0
b)duas pessoas tiraram, 
respectivamente, 
nota 2,0 e nota 10,0
�Caso a – as pessoas estão 
na média
�Caso b – as pessoas se 
dispersaram (se afastaram) 
da média
� Amplitude total (A)
• Exemplo:
�No conjunto: 
4, 6, 8, 9, 12, 17, 20, 
a amplitude total será:
A = 20 – 4 = 16
2
� Na distribuição de frequências:
Idades Frequência (f)
9
12
12
17
16
14
11
9
18
21
24
27
30
33
36
39
21
24
27
30
33
36
39
42
� A amplitude total será: 
a)pelo ponto médio das classes,
A = 40,5 – 19,5 = 21
b)pelos limites das classes, 
A = 42 – 18 = 24
Conceitos Importantes
� Quartil
� Decil
� Centil
Desvio Médio (Dm)
Dm =
Σ X – X . f
n
� Onde X – X é o módulo de cada 
desvio em relação à média
� Exemplo
• Calcular o desvio médio do 
seguinte conjunto de números: 
4, 6, 8, 9, 10, 11
• Primeiro passo: calcular a média
X = 4 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11
6
X = 8
X X – X X – X 
4 4 – 8 = – 4 4
6 6 – 8 = – 2 2
8 8 – 8 = 0 0
9 9 – 8 = 1 1
10 10 – 8 = 2 2
11 11 – 8 = 3 3
Σ 0 12
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� O desvio médio será:
Dm = 2
Dm =
12
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Tema 2
Medidas de Dispersão: 
Variância e Desvio-padrão
� Variância (S2): é a média 
aritmética do quadrado dos 
desvios
S2 =
Σ ( X – X )2 . f 
n
para a 
população 
toda
� Observação: no caso de uma 
amostra, o denominador deverá 
ser n – 1
Desvio-padrão (S)
� É a medida de dispersão mais 
utilizada na prática, considerando, 
tal qual o desvio médio, os 
desvios em relação à média. Para 
o seu cálculo, basta extrairmos 
a raiz quadrada da variância
� Lembre-se que:
S2 = S
� Então:
Σ ( X – X )2 . f
S =
n
� Exemplo
• Calcular o desvio-padrão do 
seguinte conjunto de números: 
4, 6, 8, 9, 10, 11
• Primeiro passo: calcular a média
X = 4 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11
6
X = 8
4
X X – X X – X 
4 4 – 8 = – 4 4
6 6 – 8 = – 2 2
8 8 – 8 = 0 0
9 9 – 8 = 1 1
10 10 – 8 = 2 2
11 11 – 8 = 3 3
Σ 0 12
• Segundo passo: calcular a 
variância
S2 =
Σ ( X – X )2 . f
n
34 . 1
S2 =
6
S2 = 5,67
• Terceiro passo: calcular o 
desvio-padrão
S = 5,67
S = 2,38
Tema 3
Medidas de Assimetria 
Medidas de Assimetria
� Indicam o grau de deformação 
de uma curva
� Uma distribuição pode ser:
• simétrica
• assimétrica positiva
• assimétrica negativa
Distribuição Simétrica
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Distribuição Assimétrica 
Positiva
Distribuição Assimétrica 
Negativa
Coeficientes de Assimetria
� Coeficiente de Assimetria (As)
• As = 0 curva simétrica
• As > 0 curva assimétrica 
positiva
• As < 0 curva assimétrica 
negativa
� Primeiro coeficiente de Pearson
As =
(X – Mo)
S
� Segundo coeficiente de Pearson
As =
3 . (X – Md)
S
� Calcular o primeiro coeficiente de 
Assimetria de Pearson para o 
seguinte conjunto de dados: 
3 – 4 – 5 – 5 – 6 – 5 – 7 - 5
As =
(X – Mo)
S
X =
40
8
= 5
Mo = 5
S2 = 1,6667
S = 1,291
As =
5 – 5 
1,291
As = 0
Logo, a curva é Simétrica
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Tema 4
Medidas de Curtose 
Medidas de Curtose
� Indicam o grau de achatamento 
ou de afilamento de uma 
distribuição de frequências
� Dados uniformemente 
distribuídos:
Curva Mesocúrtica
Dados
f
� Dados concentrados em torno 
da média:
Curva Leptocúrtica
Dados
f
� Dados com frequências próximas:
Curva Platicúrtica
Dados
f
Coeficiente de Curtose
k = 
Q3 – Q1
2 . (C90 - C10 )
� Onde:
Q = Quartil
C = Centil
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Interpretação de k
k = 0,263 Curva Mesocúrtica
k < 0,263 Curva Leptocúrtica
k > 0,263 Curva Platicúrtica
Coeficiente de Curtose
� Determina o tipo de curva que os 
seguintes valores apresentaram:
Q3 = 8
Q1 = 3
C90 = 10
C10 = 3
K = 0,357
Logo, é Platicúrtica
k = 
Q3 – Q1
2 . (C90 - C10 )
k = 
8 – 3
2 (10 – 3)
Referências de Apoio
� BUSSAB, Wilton de O.; 
MORETTIN, Pedro A. Estatística 
básica. 5. ed. São Paulo: 
Saraiva, 2002.
� CASTANHEIRA, Nelson Pereira. 
Estatística aplicada a todos 
os níveis. 5. ed. Curitiba: 
Intersaberes, 2010.