Caderno de Exercícios - Economia - Microeconomia - Parte 2

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10 
 
x
y
 
e) Bens complementares 
x
y
 
f) Bens substitutos 
x
y
 
 
 
A.2.5. Represente as preferências dos consumidores para os seguintes casos, verificando 
em cada um se se tratam de preferências bem comportadas. 
a) O Gonçalo bebe sempre um café com um copo de água. 
 11 
 
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
cafés
co
po
s 
de
 á
gu
a
 
b) A Graça é indiferente entre utilizar papel A4 pautado e papel A4 liso. 
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
pautado
lis
o
 
c) Ao almoço, a Maria não consegue comer mais de 220 gramas de carne, mas 
bebe toda a Coca-Cola que lhe servirem. 
0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440
carne
co
ca
-c
ol
a
 
d) O Pedro é indiferente entre jogar uma hora de futebol ou duas horas de ténis. 
 12 
 
0
1
2
3
4
5
0 0,5 1 1,5 2 2,5
futebol
té
ni
s
 
e) A D. Carlota bebe sempre cada chávena de chá com meio pacote de açúcar. 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 1 2 3 4 5 6
chá
aç
úc
ar
 
f) A Joaninha adora leite com torradas. Ao lanche, não consegue comer mais de 
4 torradas, mas bebe todo o leite que lhe servirem. 
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8
torradas
le
it
e
 
 
 
A.2.6. Considere as seguintes funções utilidade: 
i. 5,05,0 yxU = 
ii. yx3U ++−= 
iii. { }y,xminU = 
 13 
 
iv. yxU += 
Para cada uma delas: 
a) Indique o tipo de preferências. 
b) Represente o mapa de indiferença. 
c) Calcule as utilidades marginais. 
d) Determine a taxa marginal de substituição de y por x. 
e) Encontre uma função que represente as mesmas preferências. 
 5,05,0 yxU = yx3U ++−= { }y,xminU = yxU += 
a) Cobb-Douglas Substitutos perfeitos Complementares Quasi-lineares 
b) 
bem
be
m
U1
U2
U3
 bem
be
m
U1
U2
U3
 
bem
be
m
U1
U2
U3
 
U1
U2
U3
 
c) 
5,05,0 yx5,0xUmg −= 
5,05,0 yx5,0yUmg −= 
1xUmg = 
1yUmg = 
0xUmg = 
0yUmg = 
1xUmg = 
5,0y5,0yUmg −= 
d) 
x
y
TMS x,y = 1TMS x,y = Não tem y2TMS x,y = 
e) 5,05,0 yx2V = yxV ++= { }y3,x3minV = yyx2xV 2 ++= 
 
 
 
A.2.7. A utilidade que um consumidor retira da utilização de gás e de electricidade é 
dada pela função 5,05,0 yx2U = em que =x n.º de litros gás/dia e =y n.º Kw/hora. 
a) Identifique as diferentes combinações de x e y que permitem ao consumidor 
atingir o nível de utilidade de 2 e 4. Qual o conceito subjacente? 
x
1
y2yx22U 5,05,0 =⇔=⇔= 
x
4
y4yx24U 5,05,0 =⇔=⇔= 
O conceito aqui subjacente é o de curva de indiferença. 
b) Admita que este consumidor se encontra actualmente a consumir 5 litros de 
gás por dia e 0,2 Kw/hora. Qual a quantidade de electricidade que teria de 
sacrificar, se quisesse consumir um litro adicional de gás, de forma a manter o 
mesmo nível de satisfação? 
( ) 22,052U2,0;5 5,05,0 =××=⇒ 
61yy622 5,05,0 =⇔××= 
 
 
 
 
 14 
 
A.2.8. O António tem uma função de utilidade yxU = . 
a) Suponha que inicialmente consome 4 unidades do bem x e 12 unidades do bem 
y. Se passar a consumir 8 unidades do bem y, quantas unidades terá de 
consumir do bem x de modo a que a sua utilidade de mantenha constante? 
( ) ( ) 48124U12,4y,x =×=⇒= 
6xx848 =⇔= 
b) Calcule a y,xTMS . O que acontece ao valor desta taxa quando o António 
aumenta o consumo do bem x? 
0
x
TMS
y
x
xUmg
yUmg
TMS y,xy,x >∂
∂→== 
c) Responda novamente às alínea a) e b) admitindo que as preferências do 
António são descritas por ylnxU += . 
( ) ( ) 48,612ln4U12,4y,x ≈+=⇒= 
41,4x8lnx48,6 ≈⇔+= 
0
x
TMS
y
1
1
y1
xUmg
yUmg
TMS
1
2,1
y,x =∂
∂→=== 
O consumo do bem x não influencia a taxa a que o António se dispõe a trocar os 
bens. 
d) De entre os seus amigos, quem tem as mesmas preferências que o António? 
Considere o quadro abaixo e a função utilidade inicial. 
Ana xy1000V = 
Filipa xyW = 
Sofia ( )1xy/1Z +−= 
Margarida 10000xyF −= 
Teresa y/xG = 
Bernardo ( )1yxH += 
 
Ana 
y
x
y1000
x1000
TMS y,x == 
Filipa 
y
x
TMS y,x = 
Sofia 
( )
( ) y
x
yxy1
yxx1
TMS
2
2
y,x =−
−= −
−
 
Margarida 
y
x
TMS y,x = 
Teresa 
y
x
y1
yx
TMS
2
y,x −=−= 
Bernardo 
1y
x
TMS 1,2 += 
A Teresa e o Bernardo não têm as mesmas preferências do António. 
 
 15 
 
A.2.9. Comente as seguintes afirmações: 
a) Não é possível que duas curvas de indiferença «bem comportadas» se cruzem. 
A frase é verdadeira. Para prová-lo assumamos que a frase é falsa ou seja que 
duas curvas de indiferença bem comportadas se podem cruzar, conforme 
mostrado na figura. 
A
B=D
C
U1
U0
 
Por definição, diferentes curvas de indiferença representam diferentes níveis de 
utilidade. E uma curva de indiferença bem comportada é aquela que respeita, 
entre outros, o axioma da transitividade e a hipótese da monoticidade. Se, no 
gráfico, as preferências não violarem o axioma da monoticidade, então C será 
preferido a A porque tem o mesmo de um dos bens, mas mais do outro. Como C e 
B estão na mesma curva de indiferença são, por definição, indiferentes entre si. 
Então B deveria, sendo as preferências transitivas, ser preferível a A. Mas B e A 
estão sobre a mesma curva de indiferença, significando isso que são indiferentes. 
Ou seja, duas curvas de indiferença que se intersectem violam o axioma da 
transitividade e a hipótese da monotocidade, logo não podem ser bem 
comportadas. 
b) Se as preferências forem monotónicas, então a linha diagonal (no espaço dos 
bens) que passa pela origem cruza cada curva de indiferença apenas 1 vez. 
Consideremos que a frase é falsa. Se é falsa é porque a linha diagonal (no espaço 
dos bens) que passa pela origem pode cruzar cada curva de indiferença mais que 
1 vez. Vamos admitir que a cruza em dois pontos distintos, A e B. Se A e B estão 
sobre a diagonal, então um destes pontos tem de estar acima e à direita do outro. 
Mas se está acima e à direita, então representa um cabaz com mais de ambos os 
bens o que, pela hipótese da monotocidade, implica uma utilidade superior. Mas 
se tem utilidade superior não pode, por definição, estar sobre a mesma curva de 
indiferença. Então, a frase tem de ser verdadeira. 
c) Se dois bens forem substitutos perfeitos então a taxa marginal de substituição 
ou é igual a zero ou é infinito. 
Se dois bens são substitutos perfeitos, então a utilidade marginal associada a cada 
um deles é constante. Logo, também é constante a taxa marginal de substituição. 
 16 
 
Se esta for zero ou infinito é porque uma das utilidades marginais é zero ou 
infinito. Mas isso não faz sentido. Portanto, a frase é falsa. 
d) A convexidade estrita das preferências pode ser entendida como uma 
expressão formal de uma preferência dos consumidores por diversificação. 
A convexidade das curvas de indiferença decorre da hipótese de taxa marginal de 
substituição (TMS) decrescente. Esta hipótese estabelece que, ao longo de 
qualquer curva de indiferença, quanto maior a quantidade de um bem um 
consumidor possuir, tanto mais exige receber desse bem, para renunciar a uma 
unidade do outro bem. Ou seja, os consumidores estão, geralmente, dispostos a 
prescindir de bens que já possuem em grande quantidade, para obterem mais 
unidades daqueles que, naquele momento, detêm em menor quantidade. Mas isso 
significa uma preferência dos consumidores por diversificação. 
e) Para que a taxa marginal de substituição no consumo seja decrescente, é 
preciso que a utilidade marginal seja decrescente. 
Frase falsa como facilmente se constata pela análise do seguinte contra-exemplo. 
yUmg
xUmgTMS x,y = . Se x tiver uma utilidade marginal constante, para que a taxa 
marginal de substituição seja decrescente a utilidade marginal de y terá de ser 
crescente. 
 
 17 
 
A.3. A ESCOLHA ÓPTIMA DO CONSUMIDOR 
A.3.1. Para cada um dos consumidores 
i. deduza as funções procura de ambos os bens; 
ii. determine a escolha óptima; 
iii. calcule o nível de satisfação; e 
iv. avalie a taxa marginal de substituição no ponto óptimo. 
a) Consumidor A: 5,05,0 yx5U = ; 2Px = ; 10Py = ; 100m = 
FUNÇÕES PROCURA 
( )yPxPmy5x
myPxP.a.s
yx5Umax
yx
5,00,5
yx
5,05,0
y,x −−λ+=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
 
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
λ=
λ=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−−
=λ−×
=λ−×
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
−
−
−
−
myPxP
Pyx5,2
Pyx5,2
0yPxPm
0Pyx5,05
0Pyx5,05
0
0y
0x
yx
y
5,05,0
x
5,05,0
yx
y
5,05,0
x
5,05,0
 
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ
λ=−
−
myPxP
x
P
P
y
myPxP
P
P
x
y
myPxP
P
P
yx5,2
yx5,2
yx
y
x
yx
y
x
yx
y
x
5,05,0
5,05,0
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
x
y
xx
y
x
y
x
yx
y
x
P
m5,0
x
P
m5,0
y
mxPxP
x
P
P
y
mx
P
P
PxP
x
P
P
y
 
ESCOLHA ÓPTIMA 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=×=
=×=
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
25
2
1005,0
x
5
10
1005,0
y
100m
10P
2P
y
x
 
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 
9,555255U 5,05,0 ≈××= 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 
( ) ( )
2,0
25
5
yUmg
xUmg
TMS
5;25
5;25x,y
=== 
b) Consumidor B: 6,04,0 yx2U = ; 1Px = ; 6Py = ; 50m = 
FUNÇÕES PROCURA 
( )yPxPmy2x
myPxP.a.s
yx2Umax
yx
6,00,4
yx
6,04,0
y,x −−λ+=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
 
 18 
 
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
λ=
λ=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−−
=λ−×
=λ−×
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
−
−
−
−
myPxP
Pyx2,1
Pyx8,0
0yPxPm
0Pyx6,02
0Pyx4,02
0
0y
0x
yx
y
4,04,0
x
6,06,0
yx
y
4,04,0
x
6,06,0
 
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ
λ=−
−
myPxP
x
P
P
5,1y
myPxP
P
P
x3
y2
myPxP
P
P
yx2,1
yx8,0
yx
y
x
yx
y
x
yx
y
x
4,04,0
6,06,0
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
x
y
xx
y
x
y
x
yx
y
x
P
m4,0
x
P
m6,0
y
mxP5,1xP
x
P
P
5,1y
mx
P
P
5,1PxP
x
P
P
5,1y
 
ESCOLHA ÓPTIMA 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=×=
=×=
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
20
1
504,0
x
5
6
506,0
y
50m
6P
1P
y
x
 
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 
4,175202U 6,04,0 ≈××= 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 
( ) ( ) 6
1
203
52
yUmg
xUmg
TMS
5;20
5;20x,y
=×
×== 
c) Consumidor C: 23yxU = ; 5,1Px = ; 4Py = ; 45m = 
FUNÇÕES PROCURA 
( )yPxPmyx
myPxP.a.s
yxUmax
yx
23
yx
23
y,x −−λ+=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
 
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
λ=
λ=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−−
=λ−
=λ−
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
myPxP
Pyx2
Pyx3
0yPxPm
0Pyx2
0Pyx3
0
0y
0x
yx
y
3
x
22
yx
y
3
x
22
 
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ
λ=
myPxP
x
P3
P2
y
myPxP
P
P
x2
y3
myPxP
P
P
yx2
yx3
yx
y
x
yx
y
x
yx
y
x
3
22
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
x
y
xx
y
x
y
x
yx
y
x
P
m6,0
x
P
m4,0
y
mxp
3
2
xP
x
P3
P2
y
mx
P3
P2
pxP
x
P3
P2
y
 
ESCOLHA ÓPTIMA 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=×=
=×=
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
18
5,1
456,0
x
5,4
4
454,0
y
45m
4P
5,1P
y
x
 
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 
1180985,418U 23 =×= 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 
 19 
 
( ) ( )
375,0
182
5,43
yUmg
xUmg
TMS
5,4;18
5,4;18x,y
=×
×== 
d) Consumidor E: y3x2U += ; 1Px = ; 4Py = ; 60m = 
FUNÇÕES PROCURA 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
<
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
>
=
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
<
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
>
=→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
+=
y
x
y
y
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
x
x
yx
y,x
P
P
3
2
P
m
P
P
3
2
P
m
;0
P
P
3
2
0
y
P
P
3
2
0
P
P
3
2
P
m
;0
P
P
3
2
P
m
x
myPxP.a.s
y3x2Umax
ESCOLHA ÓPTIMA 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==⇒=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
0y
60
1
60
x
25,0
P
P
60m
4P
1P
y
x
y
x
 
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 
12003602U =×+×= 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 
( ) ( ) 3
2
yUmg
xUmg
TMS
0;60
0;60x,y
== 
e) Consumidor F: y2x5U += ; 3Px = ; 1Py = ; 12m = 
FUNÇÕES PROCURA 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
<
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
>
=
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
<
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
>
=→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
+=
y
x
y
y
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
x
x
yx
y,x
P
P
2
5
P
m
P
P
2
5
P
m
;0
P
P
2
5
0
y
P
P
2
5
0
P
P
2
5
P
m
;0
P
P
2
5
P
m
x
myPxP.a.s
y2x5Umax
ESCOLHA ÓPTIMA 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=
⇒=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
12
1
12
y
0x
3
P
P
12m
1P
3P
y
x
y
x
 
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 
2412205U =×+×= 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 
( ) ( ) 2
5
yUmg
xUmg
TMS
12;0
12;0x,y
== 
f) Consumidor G: y4x3U += ; 6Px = ; 8Py = ; 150m = 
FUNÇÕES PROCURA