Resistencia dos materiais 1 P3

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Forças externas podem ser aplicadas a um corpo como cargas de superfície, distribuídas ou concentradas ou como forças de corpo que agem em todo o volume do corpo. Cargas lineares distribuídas produzem uma força equivalente/resultante cujo valor é igual a área sob o diagrama de carga e cuja localização passa pelo centróide dessa área. Um apoio produz uma força em uma determinada direção sobre o elemento a ele acoplado se ele (não) impedir a translação do elemento naquela direção e produz um momento sobre o elemento se ele impedir a rotação. As equações de equilíbrio devem ser satisfeitas de modo a impedir translação ou rotação de um elemento. Ao aplicarmos as equações de equilíbrio é importante desenhar os diagramas de corpo livre de modo a considerar todos os termos necessários às equações. O método das seções é usado para a determinação das cargas resultantes internas que agem numa seção. Geralmente essas resultantes são: força normal, cisalhamento, momento torcer e momento fletor. 
Cisalhamento Duplo ocorre quando tem forças em direções opostas no mesmo objeto ou tensões cortantes(Conexão Parafusada em que o parafuso é carregado por cisalhamento duplo)
 Fator de Segurança: F.S = [ e rad] Fatores que Influencia o Fator de Segurança: Modificações nas propriedades do material, função do processo de fabricação, temperatura, etc. Número de vezes que a carga e aplicada: fadiga. A importância de um certo membro para a integridade de toda a estrutura, risco de vida ou de propriedade. A deterioração devido a falta de manutenção ou causas naturais. 
Cargas provocarão deformações em todos os corpos materiais e como resultado os pontos no corpo sofre um deslocamento ou mudança de posição. Deformação normal a medida de alongamento e contração de um pequeno segmento de reta no corpo, e a deformação por cisalhamento a medida de mudança que ocorre no ângulo entre dois segmentos de reta pequenos originalmente perpendiculares um ao outro. Deformação é a quantidade geométrica medida por técnica experimentais. Uma vez obtida, pode-se determinar a tensão no corpo pelas relações entre as propriedades do material.
Força axial pode ser de tração ou compressão Duas placa submetida a uma força axial é está junta presa por dois parafusos .Qual é o diâmetro exigido para os parafusos se a tensão de ruptura de cisalhamento a estes é 350 MPA e sabendo que o fator de segurança de cisalhamento de FS= 2,5. (tensão cisalhamento) τ ruptura = [. . 20kn 
 40kn 20kn 
diâmetro = → d= → d=0,013 mm . π* τ ruptura π* (tensão cisalhamento) τ ruptura = [n/=Pa] . 5kn 5kn 
 d=10 mm 
 10 kn τ ruptura = → τ rup=63,66 MPa . . 
(deformação normal= Ɛ) → Ɛ= → Ɛ= 
 B 2 mm B' = 3 mm 250mm . A B= 3mm A' (250 -2)=248mm 
 . 300mm
Vetor AB'= → → AB'=248,0181445 (não simplifica porque da erro) ƐAB= AB' - AB → ƐAB= 248,0181445 - 250 → ƐAB= -7,927X mm .. AB 250 mm
(deformação normal= Ɛ) → Ɛ= → Ɛ= é Cisalhamento γa=α+β .. 
 D C 2 mm 300mm β ρ . A B α 3mm 
 . 200mm 
1º Ângulos (colocar calculadora em Radianos(tecla mode → mode →2) e os números sempre entre parênteses para não gerar cálculos errados) β= (3 ÷ 300) → β = 9,99xradianos α= (2 ÷ 200) → α = 9,99xradianos ρ= → ρ = 9,99x→ ρ = 1,5508 radianos 2º Vetores (para achar AD=? e de DB=? Fazer os vetores BD' ; AD'; AB'; D'B') D (não simplifica porque da erro)
 B Vetor BD'= → BD'= → BD'= 360,55 mm D (não simplifica porque da erro)
 A Vetor AD'= → AD '= → AD '= 300,01499 mm A B (não simplifica porque da erro)
 Vetor AB'= → AB '= → AB '= 200,009999 mm Usar a Lei dos Cossenos = + -2*B*C*Cosseno ρ
 D'B'= 
D (não simplifica porque da erro)B Vetor D'B'= D'B'= 357,2301 mm
ƐDB= DB' - DB → ƐDB= 357,2301 - 360,55 → ƐDB= -9,2078X mm .. DB 360,55 mm
ƐAD= DB' - DB → ƐAD= 300,01499 - 300 → ƐAD= 4,9966X mm .. DB 300 mm 
Cisalhamento γa=α+β → γa=9,99x+ 9,99x→ γa= 0,01998 rad.
Um cilindro d= 150 mm e L=300 mm d= 150 mm → d=1,5 m L=300 mm → L= 3 m Área= (cilindro π*÷ 4) → A= (π*÷ 4 → A= O problema dará uma tabela com: Carga=Força e Contração= ΔL e deve ser calculado para cada um Tensão σ = F ou P é . A calculado para cada um a Deformação normal Ɛ= ΔL . . L σ1 = 0 N Ɛ1= 0 mm/mm σ2 = 25 N ÷ → σ2 = 1,4148 N Ɛ2= 0,015 mm ÷ 300 mm → Ɛ2 = 5 mm . mm σ3 = 47,5 N ÷ → σ3 = 2,6881 N Ɛ3= 0,030 mm ÷ 300 mm → Ɛ3 = 1 mm . mm
Com o grafico gerado localizar a área de deformação do material e aplicar na formula da Deformação Elástica (E) E= → Pegar a deformação inicial e anterior que estiver fora da linha linear de deformação , escolhendo assim dois pontos dentro do gráfico. E= 41,67 * 0 . → E=249 → E≡ 250 GPa . 16,67 * 0 (modulo de resilência) sr = [K joule/ ] → Sr 1= → Sr 1= joule/ Sr 2= → Sr 1= joule/
 10 n 30 n 10n 8n
 w= 5 n/m 8 n D.C.L 
 40n/m
 6 m 4 m Rva Rvb . 3 m 6 m 10m
↑(+)Σ Fy=0 30n+10n+8n=Rva+Rvb → Rva+Rvb =48kn 
 (+)Σ Ma=0 -30n*3m - 10n*6m - 8n*10m - 40n/m +Rva*0m +Rvb*6m =0 Rvb= 270 ÷ 6m → Rvb= 45 n então : Rva+45n =48n → Rva=48n - 45n→ Rva=3 n
1º Intervalo de 0 ≤ X < 6 onde X e a posição do carregamento(W) w= Para equação do cortante V(x)= - ∫ W(X) * dx V(x)= - ∫ 5 * dx → V(x)= - 5X + K devido a Rva=3 n assim: V(0 )= 3 n → V(0)= - 5(0) + K então K só pode se K= 3 ai a equação do cortante fica V(x)= -5X +3 com a equação fazer a cortante no inicio e fim do intervalo para construção do gráfico da cortante da viga. V(0)= 3 n V(0)= - 5(0) +3 V(0,6)= 0 n V(0,6)= - 5(0,6) +3 V(6)= -27n V(2)= - 5(6) +3 Para função do 1º GRAU O GRÁFICO e uma RETA (Negativo para baixo e + para cima) Para equação do momento fletor M(x)= ∫ V(X) * dx V(x)= -5X +3 M(x)= ∫ - 5(X) +3* dx → M(x)=+3X+K → M(x)= como no inicio da viga não tem nada provocando momento assim M(0)= 0 kn então K será K=0 kn a função do momento fletor no 1º intervalo é M(x)= M (0)= 0 n/m M(0)= M(0,6)= n/m M(0,6)= Lugar que a cortante corta o grafico. M (6)= -72 n/m M(2)= Para função do 2º GRAU O GRÁFICO e uma PARÁBOLA (Negativo Concavidade para baixo e + Concavidade para cima) 2º Intervalo de 6 ≤ X < 10 onde X e a posição do carregamento(W) w= então o cortante e o próprio carregamento pontual V(x)= 8 com a equação fazer a cortante no inicio e fim do intervalo para construção do gráfico da cortante da viga. V(6)= 8 n V(10)= 8 n Para função do 1º GRAU O GRÁFICO e uma RETA (Negativo para baixo e + para cima) nesse caso constante. 
V(x)= M(x)= ∫ * dx → M(x)=+K → para achar o valor de K no 1º intervalo achamos que M(6) = -72 n/m então M(6)=+K = -72 n/m → M(6)= k =-72 -48 então K= -120 e a equação do momento fica: M(x)=- 120 M(6)= M(6)=- 120 M(10)= M(10)=- 120 Para função do 1º GRAU O GRÁFICO e uma RETA (Negativo para baixo e + para cima) (V) (M) 0,9. 3 . 8 -40
 -27 - 72 V(x)= -5X +3 M(x)= V(0)= 3 ; V(0,6)= 0 ; V(6)= -27 M (0)= 0; M(0,6)= ; M (6)= -72 V(x)= 8 M(x)=- 120 V(6)= 8; V(10)= 8 M(6) =M(10) = 
 10cm=h=0,1m
 6cm=base=0,6m
(tensão cisalhamento máxima) τ max.= → → Ix = → Ix = → Ix = 0,00005 (localizado no gráfico do momento) τ max.= → τ max.= -72000 n/ → considerar o modulo τ max.= 720 MPa
 
 
 
 
 Diagrama Cortante (Viga ) 
 4,4kn 8 kn 8kn 2kn/m 
 -3,6kn . -5,1kn - 9,6kn Rva=4,4kn Rvb=17,6kn . 4 m 7m 10m 14m 4 m 7m 10m 14m . 
1º Intervalo de 0 ≤ X < 4 o cortante e o próprio carregamento pontual V(x)= 4,4 kn Para equação do cortante W(x)= ∂V → W(x)= 4,4 *0 → W(x)= 0 kn . ∂x 2º Intervalo de 4 ≤ X < 10 Pegar os dados do Próprio gráfico(como e uma parábola não tem como resolver por subtração de X e Y ira ter que gerar um sistema de equações) V(4) = -3,6kn V(7) = -5,1kn V(10) = -9,6kn V(x)= a+bX+c . 1º equação V(4) = a+b4+c =-3,6kn → -3,6 = 16ab*retirar o (c) por enquanto 2º equação V(7) = a+b7+c = -5,1kn → -5,1 = 49a+7b 3º equação V(10) = a+b10+c =-9,6kn → -9,6 = 10a+10b Substituir a (1º) na (2º) (-3,6 = 16ab) - (-5,1 = 49a+7b) → 1,5= -33a -3b Substituir a (2º) na (3º) (-5,1 = 49a+7b) - (-9,6 = 10a+10b)→ 4,5= -51a -3b Subtraindo (1º/2º) de (2º/3º) (1,5= -33a -3b) - (4,5= -51a -3b)→ - 3= 18a -0b - 3= 18a→ a= - 3 ÷ 18 (simplificando por 3) → a= - 1/6 Substituir valor de (a) em 4,5= -51a -3b → 4,5= -51(- 1/6) -3b → b= (4,5-8,5) ÷ - 3 → b= - 4 ÷ - 3 → b= 4/3 para achar o (c) voltar em -3,6 = 16ab+c →-3,6 = 16(- 1/6)+c → c= 3,6+16(- 1/6) → c= - 6,2667 Assim a equação do cortante fica V(x)= a+bX+c → V(x)= - 1/6 + 4/3 X - 6,2667 W(x)= - ∂V→ W(x)=- 1/6*2 + 4/3*1 - 6,2667*0 → W(x)= X/3 - 4/3 . ∂x W(4)=0 Kn (4)/3 - 4/3 W(10)=2 Kn (10)/3 - 4/3 3º Intervalo de 10 ≤ X < 14 onde X e a posição do carregamento(W) como e uma reta e uma equação do 1º grau V(x) = aX+b para achar (a) resolver por subtração de X e Y . x1 ; y1 . 10; 8 . . x2 ; y2 . 14; 0 a= y2-y1 → a= 0-8 → a= -8/4 → a= -2 . x2-x1 14-10 V(x) = - 2X+b para o (b) V(14)= 0 então 0=-2(14)+b→ b= 28 V(x) = - 2X+28 W(x)= - ∂V → W(x)=- 2*1 + 0*b → W(x)= 2 kn/m . ∂x 
Diagrama Momento (Viga ) 
 28,8 22,4 
 
 . 6 m 8m 10m 
Pegar os dados do Próprio gráfico, como e uma reta e uma equação do 1º grau M(x) = aX+b para achar (a) resolver por subtração de X e Y .x1 ; y1 . 6; 28,8 . . x2 ; y2 . 8; 28,8 a= y2-y1 → a= 22,4 - 28,8 → a= -3,2 . x2-x1 8 - 6 M(x) = - 3,2X+b para o (b) M(6)= 28,8 então 28,8=-3,2(6)+b→ b= 48 M(x) = - 3,2X+48 V(x)= ∂M → V(x)=- 3,2*1 + 0*48 → V(x)= -3,2 kn/m . ∂x 
 
 400mm=h=0,4m
 200cm=base=0,2m
(tensão cisalhamento máxima) τ max.= → → Ix = → Ix = → Ix = 1,066666667x (localizado no gráfico do momento) τ max.= → τ max.= 3299,999999 n/ → considerar o modulo τ max.= 3,299 MPa
O carregamento uniformemente distribuído. Determine a maior intensidade W de carga uniforme que pode ser aplicado a estrutura sem que a tensão normal média ou tensão de cisalhamento média na seção b-b ultrapasse tensão normal 10 MPa tensão cisalhamento 15 MPa. O elemento CB tem seção transversal quadrada de 30 mm de lado. B 1,125 Hb . B D.L.C B . b b W 3m Hc 3W . Ha C A Vc Va A Ha . 4m 1,125 ΣMc=0→ 4*Va-1,5*3W=0 → Va= 1,125W 1,5W ΣMb=0→ 1,5*3W-3*Ha=0 → Ha= 1,5W 1,125 ΣFx=Hb=Ha → Hb= 1,5W Vb-b Nb-b 
 ΣFx=0 → 1,5W - Vb-b=0 → Vb-b=1,5W ΣFY=0 → 1,125 - Nb-b=0 → Nb-b=1,125W (3÷4)= θ → θ=36,86º A=b*h → cos 36,86º = 30÷h → h= 30 ÷ 0,80 → h=37,5 → A=b*h → A=30*37,5 → A=112,5 σ = F → σ b-b = Nbb → σ b-b = 1,125 N → σ b-b = 10 MPa . A A 0,1125 τ = V → τ b-b = Vbb → τ b-b = 1,5 N → τ b-b = 13 MPa . A A 0,1125 
Um bloco de massa 1500kg é sustentado por dois cabos de seção transversal circular. sendo dados d1= 8 mm d2 = 12 mm, E1= 70 GPa , E2 = 120 GPa, calcule o ângulo sabendo que a σ1= σ2 e a tensão normal nas barras. F2 z 2 D.C.L
 1 θ F1 θ
 m P=m*g
ΣFx=0 → F2*sen θ - P=0 → F2= P ÷ sen θ ΣFY=0 → F1 - F2*cos θ=0 → F2= (P ÷ sen θ) * cos θ σ1= σ2 → F1 ÷ A1= F2 ÷ A2 ((P*cos θ) ÷ sen θ) ÷ (π*) = (P÷ sen θ) ÷ (π*) → cos θ ÷ 16 = 1÷ 36 → θ= (16÷36) → θ = 63,61º σ1= F1 = (P*cos θ) ÷ sen θ → σ1= (1500*9,81)*cos 63,61º . A1 (π*) sen 63,61º . π* → σ1= 145,2 N/ σ2= F2 = P÷ sen θ → σ2= (1500*9,81) → σ2= 145,2 N/ . A2 (π*) sen 63,61º . π* 
O diagrama de tensão deformação de cisalhamento para aço liga se um parafuso de 6 mm de diâmetro feito desse material foi utilizado em uma junta sobreposta, determine o módulo de elasticidade E a força P exigida para provocar o escoamento do material. Considere V = 0,3 σ = P → 350 = P → P =9,896 KN . . (π*÷ 4) (π*÷ 4) G= τ → G= 350x → G= 87,5 GPa . γ 0,004G= → = 2*(1+0,3)*87,5x) → 227,5 GPa . 2*(1+v) 
 
 FÓRMULAS (tensão normal) σ = [unidades é e rad] . (tensão cisalhamento) τ media = [ e rad ] 
(tensão cisalham. máx.)τ max.= onde é Ix = (Fator de Segurança) F.S = [ e rad]
(modulo de elasticidade) G OU E= ou G OU E = 
 (modulo de elasticidade) E = ou τ ou γ=E*Ɛ . (deformação cisalhante) Δs'= Δs (1+Ɛ) [ e rad]( não arredondar resultados) (deformação normal= Ɛ) → Ɛ= → Ɛ= (ΔL=Contração/Comprimento) (Cisalhamento) γ=α+β ou γ = 
(modulo de resilência) sr = [K joule/ ] (modulo de tenacidade) Mt = sr + Σ das áreas [K joule/ ]