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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Cieˆncias Exatas e Biolo´gicas
Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o a A´lgebra Linear
2o Semestre de 2009 – Exerc´ıcios
17/09/2009 – 13h30 - 15h10
Nome: No
Observac¸o˜es: Leia atentamente cada questa˜o. Resolva-as de forma clara e organizada. RESPOSTAS
SEM JUSTIFICATIVAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS. Boa avaliac¸a˜o e sucesso na carreira
escolhida.
Questa˜o 1: Sabendo que P e´ uma matriz 5× 5 e detP = 3, resolva os itens abaixo:
(a) Calcule detA, sabendo que A e´ obtida de P pela multiplicac¸a˜o de suas duas u´ltimas linhas por 4.
(b) detB, se B obtida de P pela permutac¸a˜o da primeira e u´ltima linhas.
(c) detC, se C = 2P .
Questa˜o 2: Dado o sistema linear:  3x+ 5y + 12z − w = −3x+ y + 4z − w = −62y + 2z + w = 5
(a) Discuta a soluc¸a˜o do sistema
(b) Acrescente a equac¸a˜o 2z + kw = 9 a este sistema e encontre um valor para k que torne o sistema
imposs´ıvel.
Questa˜o 3: Dada a matriz M =
 cos(θ) −sen(θ) 0sen(θ) cos(θ) 0
0 0 1
, calcule MMT .
Questa˜o 4: Classifique como verdadeiro ou falso cada um dos itens abaixo, justificando no caso em que o
item for verdadeiro e atrave´s de um contra-exemplo quando o item for falso. As matrizes dos itens abaixo
sa˜o quadradas.
(a) Se A e´ matriz triangular superior, enta˜o o determinante de A e´ o produto dos elementos da diagonal
principal.
(b) Se A e B sa˜o matrizes diagonais, enta˜o AB = BA.
(c) Se A = PBP−1, enta˜o detA = detB
(d) (A−B)2 = A2 − 2AB +B2 e (A+B)(A−B) = A2 −B2
Questa˜o 5: Os sistemas lineares seguintes possuem a mesma matriz A. Resolva-os usando a forma escalon-
ada reduzida. Observe que os dois sistemas podem ser resolvidos ao mesmo tempo escalonando a matriz
aumentada [A|B1|B2].
(a)
 x− 2y + z = 12x− 5y + z = −23x− 7y + 2z = −1 e (b)
 x− 2y + z = 22x− 5y + z = −13x− 7y + 2z = 2
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Introduc¸a˜o a A´lgebra Linear
2o Semestre de 2009 – 2a Avaliac¸a˜o
27/10/2009 – 13h30 - 15h10
Nome: No
Observac¸o˜es: Leia atentamente cada questa˜o. Resolva-as de forma clara e organizada.
RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS. Boa
avaliac¸a˜o e sucesso na carreira escolhida.
Questa˜o 1: (10 pts) Exprima o vetor (1, 3, 10) como combinac¸a˜o linear dos vetores u =
(1, 0, 0), v = (1, 1, 0) e w = (2,−3, 5).
Questa˜o 2: (10 pts) v = (1,−1, 2) ∈ 〈(1, 2, 3), (3, 2, 1)〉?
Questa˜o 3: (20 pts) Quais dos seguintes conjuntos sa˜o subespac¸os vetoriais?
a) Os vetores de (x, y) ∈ R2 tais que x2 + 3x = y2 + 3y.
b) As func¸o˜es ϕ ∈ C∞(R) tais ϕ′ + ϕ = 0.1
Questa˜o 4: (20 pts)Seja F = {(x, y, z, t) ∈ R4; x = z, y = t} subespac¸o vetorial de R4,
exiba uma base para F . Complete esta base de F a` uma base de R4.
Questa˜o 5: (40 pts) Dada a func¸a˜o f : R3 → R definida por f(x, y, z) = x − y + 2z,
verifique que f e´ uma transformac¸a˜o linear2. Exiba uma base B para ker(f). Verifique que
o vetor u = (−1, 1,−1) pertence ao nu´cleo de f , escreva as coordenadas de u na base B.
Prove que f e´ sobrejetiva.
Recorde-se que a nota final da disciplina e´ a soma das notas das provas divi-
dido por 30.
1C∞(R) e´ o conjunto das func¸o˜es reais com derivadas de todas as ordens
2 Obs.: um operador linear A : E → R e´ dito um funcional linear.
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Introduc¸a˜o a A´lgebra Linear
2o Semestre de 2009 – 3a Avaliac¸a˜o
08/12/2009 – 13h30 - 15h10
Nome: No
Observac¸o˜es: Leia atentamente cada questa˜o. Resolva-as de forma clara e organizada. RESPOSTAS
SEM JUSTIFICATIVAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS. Boa avaliac¸a˜o e sucesso na carreira es-
colhida.
ATENC¸A˜O: escolha quatro (04) das cinco questo˜es abaixo.
Questa˜o 1: Determine uma transformac¸a˜o linear T : R2 → R2 tal que 2 e -3 sa˜o autovalores de T ,
sendo os respectivos autovetores da forma (8x, 3x) e (x, x).
Questa˜o 2: As matrizes abaixo sa˜o diagonaliza´veis?
A =
 2 1 00 2 1
0 0 1
 e B =
 2 4 04 2 0
0 0 3

Questa˜o 3: Sejam P2 o espac¸o vetorial dos polinoˆmios de grau menor ou igual a 2 e D : P2 → P2 o operador
derivada, isto e´ D(p(x)) = p′(x). Escreva a matriz de D em relac¸a˜o a base α = {1, x, x2}. D possui algum
autovetor?
Questa˜o 4: Resolva o sistema de equac¸o˜es diferenciais abaixo x
′(t) = −x+ 3y
y′(t) = 2x+ 4y
Tendo a soluc¸a˜o geral em ma˜os, encontre a soluc¸a˜o particular tal que x(0) = 0 e y(0) = 4.
Questa˜o 5: Seja T : R3 → R3 a transformac¸a˜o linear definida por
T (x, y, z) = (x, x− y, x+ y + z).
Sejam α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e β = {(1, 0, 0), (0, 0, 1), (0,−2, 1)} bases de R3. Deˆ as matrizes [T ]αα
e [T ]ββ .
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Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear - MTM112-52
2o. Semestre de 2009 – Exame Especial
INSTRUC¸O˜ES: alunos que desejam substituir a 1a avaliac¸a˜o devera˜o resolver as questo˜es 1, 2 e 3. Para
a 2a avaliac¸a˜o resolvam as questo˜es 4, 5 e 6. Para a 3a avaliac¸a˜o resolvam as questo˜es 7, 8 e 9. Ja´ os alunos
que desejam substituir a nota do semestre, devera˜o resolver as questo˜es 1, 6, 8 e 9. Na˜o se esquec¸a de
sinalizar a sua opc¸a˜o.
Questa˜o 1: Dado o sistema
{
6x+ ky = 9
2x− 7y = 1 , de inco´gnitas x e y determine:
(a) k para que o sistema seja imposs´ıvel.
(b) k tal que o sistema possua soluc¸a˜o u´nica.
Questa˜o 2: Considere a matriz
A =
 4 2 02 4 0
0 0 4
 .
Encontre valores λ ∈ R tais que o sistema linear (A − λI3)X = 0 possua soluc¸a˜o na˜o-trivial. Dentre as
soluc¸o˜es na˜o-triviais encontradas exiba treˆs vetores unita´rios e verifique que estes vetores sa˜o dois a dois
ortogonais. Seja P a matriz cujas colunas sa˜o os vetores unita´rios anteriormente calculados, verifique que P
e´ matriz ortogonal, isto e´ PP t = I3. Calcule D = P tAP .
Questa˜o 3: Calcule o determinante da matriz A sabendo que A ·
(
5 −4
3 4
)
=
(
4 6
3 11
)
Questa˜o 4: Quais dos seguintes conjuntos sa˜o subespac¸os vetoriais?
a) Os vetores de (x, y) ∈ R2 tais que x2 + 2x = y2 + 2y.
b) As func¸o˜es ϕ ∈ C∞(R) tais ϕ′′ − 3ϕ′ + 2ϕ = 0.1
Questa˜o 5: Sejam T (x, y, z) = (4x+2y, 2x+4y, 4z) e I(x, y, z) = (x, y, z) transformac¸o˜es lineares. Encontre
valores λ ∈ R tais que ker (A− λI) 6= {~0}. Para cada valor de λ encontrado exiba uma base de ker (A− λI).
Questa˜o 6: Seja F = {(x, y, z, t) ∈ R4; −x + 3z − 2t = 0} subespac¸o vetorial de R4, exiba uma base para
F . Qual e´ a dimensa˜o de F? Verifique que v = (−1, 3, 1, 1) ∈ F e escreva as coordenadas de v em relac¸a˜o a`
base encontrada. Complete esta base de F a` uma base de R4.
Questa˜o 7: Considere a matriz A da questa˜o 2. Encontre uma base ortonormal de R3 formada por au-
tovetores de A. Seja P a matriz cujas colunas sa˜o os vetores que formam a base ortonormal encontrada
anteriormente, verifique que P e´ matriz ortogonal, isto e´ PP t = I3. Calcule D = P tAP .
Questa˜o 8: Determinar os autovalores e autovetores do operador T : P2 → P2 definido por
T (p)(x) = p(x) + (3x+ 2)p′(x),
para todo p ∈ P2.
Questa˜o 9: Encontre os autovalores e os autovetores de T (x, y, z) = (2x+y, 3x+z, 2z). T e´ diagonaliza´vel?
Justifique.
1C∞(R) e´ o conjunto das func¸o˜es reais com derivadas de todas as ordens
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Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o a A´lgebra Linear
1o Semestre de 2010 – 1a Avaliac¸a˜o
25/03/2010 – 07h30 - 09h10
Nome: No
Observac¸o˜es: Leia atentamente cada questa˜o. Resolva-as de forma clara e organizada. RESPOSTAS
SEM JUSTIFICATIVAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS. Boa avaliac¸a˜o e sucesso na carreira
escolhida.
Questa˜o 1: Sabendo que P e´ uma matriz 6× 6 e detP = 5, resolva os itens abaixo:
(a) Calcule detA, sabendo que A e´ obtida de P pela multiplicac¸a˜o de suas quatro u´ltimas linhas por 3.
(b) detB, se B obtida de P pela permutac¸a˜o da primeira e u´ltima linhas.
(c) detC, se C = 2P .
Questa˜o 2: Dada a matriz 
5 2 0 0
−1 2 0 0
0 0 1 −3
0 0 5 3

Determine os valores de λ ∈ R tal que o sistema linear homogeˆneo (A − λI4)X = 0 admite soluc¸a˜o na˜o
trivial.
Questa˜o 3: Dada a matriz M =

3
5 − 45 0
4
5
3
5 0
0 0 1
, calcule MMT . Qual seria a expressa˜o de M−1?
Questa˜o 4: Classifique como verdadeiro ou falso cada um dos itens abaixo, justificando no caso em que o
item for verdadeiro e atrave´s de um contra-exemplo quando o item for falso. As matrizes dos itens abaixo
sa˜o quadradas.
(a) Se A e´ matriz ortogonal1, enta˜o o determinante de A e´ igual a` 1.
(b) Se A e B sa˜o matrizes diagonais, enta˜o AB = BA.
(c) Se A = PBP−1, enta˜o detA = detB
(d) Se A e B sa˜o matrizes quadradas tais que AB = I, enta˜o (A+B)3 = A3 +B3 + 3(A+B)
Questa˜o 5: Os sistemas lineares seguintes possuem a mesma matriz A. Resolva-os usando a forma escalon-
ada reduzida. Observe que os dois sistemas podem ser resolvidos ao mesmo tempo escalonando a matriz
aumentada [A|B1|B2].
(a)
 x− 2y + z = 12x− 5y + z = −23x− 7y + 2z = −1 e (b)
 x− 2y + z = 22x− 5y + z = −13x− 7y + 2z = 2
1A e´ matriz ortogonal se AAt = AtA = I.
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Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o a A´lgebra Linear
1o Semestre de 2010 – 2a Avaliac¸a˜o
11/05/2010 – 07h30 - 09h10
Nome: No
Observac¸o˜es: Leia atentamente cada questa˜o. Resolva-as de forma clara e organizada.
RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS. Boa
avaliac¸a˜o e sucesso na carreira escolhida.
Questa˜o 1: (10 pts) Exprima o vetor (1,−3, 10) como combinac¸a˜o linear dos vetores
u = (1, 0, 0), v = (1,−1, 0) e w = (2, 3, 5).
Questa˜o 2: (10 pts) v = (1,−1, 2) ∈ [(1,−2, 3), (3, 0, 1)]?
Questa˜o 3: (30 pts) Quais dos seguintes conjuntos sa˜o subespac¸os vetoriais?
a) Os vetores (x, y) ∈ R2 tais que x2 − 5x = y2 − 5y.
b) As func¸o˜es ϕ ∈ C∞(R) tais ϕ′′ − ϕ+ ϕ = 0.1
Questa˜o 4: (30 pts) Verifique que o subespac¸o vetoria de R4 definido por F = {(x, y, z, s) ∈
R4; x = −z, y = s}, possui dimensa˜o 2. Exiba uma base BF = {u, v} para F . Obtenha
vetores de w e t R4 tais que u ⊥ w, u ⊥ t, v ⊥ w e v ⊥ t. B = {u, v, w, t} e´ uma base para R4?
Questa˜o 5: (30 pts) Seja T uma transformac¸a˜o linear de R3 em R2 tal que
T (1,−1, 0) = (2, 2), T (1, 1, 0) = (3,−3) e T (0, 0, 1) = (1, 2).
Encontre a expressa˜o de T (a, b, c). Calcule T (2, 0,−2). Encontre uma base para ker(T ) e
Im(T ).
Recorde-se que a nota final da disciplina e´ a soma das notas das provas divi-
dido por 30.
1C∞(R) e´ o conjunto das func¸o˜es reais com derivadas de todas as ordens
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Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o a A´lgebra Linear
2o Semestre de 2009 – 3a Avaliac¸a˜o
08/12/2009 – 13h30 - 15h10
Nome: No
Observac¸o˜es: Leia atentamente cada questa˜o. Resolva-as de forma clara e organizada. RESPOSTAS
SEM JUSTIFICATIVAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS. Boa avaliac¸a˜o e sucesso na carreira es-
colhida.
ATENC¸A˜O: escolha cinco (05) das seis questo˜es abaixo.
Questa˜o 1: Determine uma transformac¸a˜o linear T : R2 → R2 tal que 1 e -1 sa˜o autovalores de T ,
sendo os respectivos autovetores da forma (2x, 3x) e (−3y, 2y).
Questa˜o 2: As matrizes abaixo sa˜o diagonaliza´veis?
A =

2 0 0 0
1 2 0 0
0 0 1 0
0 0 1 1
 e B =
 0 4 04 0 0
0 0 0

Questa˜o 3: Sejam P2 o espac¸o vetorial dos polinoˆmios de grau menor ou igual a 2 e D : P2 → P2 o operador
derivada, isto e´ D(p(x)) = p′(x). Escreva a matriz de D em relac¸a˜o a base α = {1, x, x2}. D possui algum
autovetor?
Questa˜o 4: Resolva o sistema de equac¸o˜es diferenciais abaixo x
′(t) = −x+ 3y
y′(t) = 2x+ 4y
Tendo a soluc¸a˜o geral em ma˜os, encontre a soluc¸a˜o particular tal que x(0) = 0 e y(0) = 4.
Questa˜o 5: Seja T a transformac¸a˜o linear definida por (x, y, z) 7→ (3x, 3y, x+y−2z2 ). Encontre a expressa˜o
da matriz de T em relac¸a˜o a` base canoˆnica de R4. Existe uma base B na qual a matriz T e´ diagonal? Caso
afirmativo exiba esta base e a matriz de T nessa base.
Questa˜o 6: Dada T (x, y, z) = (x+ y, ax+ y, 3z), resolva os itens abaixo;
(a) Para que valores de a o operador T na˜o e´ diagonaliza´vel?
(b) Para os valores de a em que T e´ diagonaliza´vel, exiba os autovetores de T em func¸a˜o de a. Qual seria a
expressa˜o da matriz de T nessa base?
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Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear - MTM112-54
1o. Semestre de 2010
Exame Especial Parcial (EEP) e Exame Especial Total (EET)
INSTRUC¸O˜ES: EEP1 , questo˜es 1 a` 3. EEP2 , questo˜es 4 a` 6. EEP3 , questo˜es 7 a` 9. EET , questo˜es
1, 6, 8 e 9.
Na˜o esquec¸a de sinalizar a sua opc¸a˜o.
Questa˜o 1: Dado o sistema
{
6x+ ky = 9
2x− 7y = 1 , de inco´gnitas x e y determine os valores de k tais que o
sistema seja imposs´ıvel. Para qual valor de k o sistem possui soluc¸a˜o u´nica?
Questa˜o 2: Considere a matriz
A =
 1 2 02 1 0
0 0 3
 .
Encontre valores λ ∈ R tais que o sistema linear (A − λI3)X = 0 possua soluc¸a˜o na˜o-trivial. Dentre as
soluc¸o˜es na˜o-triviais encontradas exiba treˆs vetores unita´rios e verifique que estes vetores sa˜o dois a dois
ortogonais. Seja P a matriz cujas colunas sa˜o os vetores unita´rios anteriormente calculados, verifique que P
e´ matriz ortogonal, isto e´ PP t = I3. Calcule D = P tAP .
Questa˜o 3: Calcule o determinante da matriz AB sabendo que A ·
(
5 −4
3 4
)
=
(
4 6
3 11
)
e
(
5 −4
3 4
)
= B ·
(
8 −7
3 15
)
Questa˜o 4: Quais dos seguintes conjuntos sa˜o subespac¸os vetoriais?
a) O conjunto P dos vetores de (x, y) ∈ R2 tais que x2 + y = −1.
b) O conjunto S das func¸o˜es ϕ ∈ C∞(R) tais ϕ′′(t) + ϕ(t) = et.1
c) o conjunto das matrizes X = (xij)2×3 tais que X ·A = 0, sendo A uma matriz fixa 3× 5 e 0 a matriz nula
2× 5.
Questa˜o 5: Sejam T (x, y, z) = (x+ 2y, 2x+ y, 3z) e I(x, y, z) = (x, y, z) transformac¸o˜es lineares. Encontre
valores λ ∈ R tais que ker (A− λI) 6= {~0}. Para cada valor de λ encontrado exiba uma base de ker (A− λI).
Questa˜o 6: Seja F = {(x, y, z, t) ∈ R4; −x + 3z − 2t = 0} subespac¸o vetorial de R4, exiba uma base para
F . Qual e´ a dimensa˜o de F? Verifique que v = (−1, 3, 1, 1) ∈ F e escreva as coordenadas de v em relac¸a˜o a`
base encontrada. Complete esta base de F a` uma base de R4.
Questa˜o 7: Considere a matriz A da questa˜o 2. Encontre uma base ortonormal de R3 formada por
autovetores de A. Seja P a matriz cujas colunas sa˜o os vetores que formam a base ortonormal encontrada
anteriormente, verifique que P e´ matriz ortogonal, isto e´ PP t = I3. Calcule D = P tAP .
Questa˜o 8: Determinar os autovalores e autovetores do operador T : P2 → P2 definido por
T (p)(x)
= p(x) + (3x+ 2)p′(x),
para todo p ∈ P2.
Questa˜o 9: Encontre os autovalores e os autovetores da matriz A =
 3 0 00 3 0
1
2
1
2 −1
 .
T e´ diagonaliza´vel? Justifique.
1C∞(R) e´ o conjunto das func¸o˜es reais com derivadas de todas as ordens
Provas anteriores/MTM112_73__Exame_Especial_2013.pdf
Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Cieˆncias Exatas e Biolo´gicas - Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear - MTM112-73
1o. Semestre de 2013 – Exame Especial Parcial (EEP) e Total
(EET)
INSTRUC¸O˜ES: EEP1 , questo˜es 1 a` 4. EEP2 , questo˜es 5 a` 7. EEP3 , questo˜es 8 a` 10.
EET , questo˜es 7 a` 9.
Na˜o esquec¸a de sinalizar a sua opc¸a˜o.
Questa˜o 1: A mecaˆnica de indentificac¸a˜o de uma conta corrente em determinado banco e´ a
seguinte: O nu´mero da inscric¸a˜o da conta corrente e´ constitu´ıdo de cinco d´ıgitos agrupados
e um d´ıgito verificador, (exemplo: 90218 − V ). O d´ıgito verificador V tem por finalidade
comprovar a validade do nu´mero da conta informada. Tal d´ıgito e´ obtido atrave´s da multi-
plicac¸a˜o de matrizes conforme descrito a seguir
Tomamos a matriz linha C constitu´ıda dos d´ıgitos da conta na ordem em que eles aparecem
e fazemos o seu produto com a matriz coluna D = (dij)5×1 tal que
Dt = [13 12 11 10 9].
A seguir tomamos o resto da divisa˜o inteira da u´nica entrada da matriz C ·D pelo nu´mero
13. Se o resto for estiver entre 0 e 9, o d´ıgito sera´ igual ao resto da divisa˜o. Caso o resto
seja 10, 11 ou 12 utilizamos os d´ıgitos X, Y e Z, respectivamente.
Com base no exposto calcule o d´ıgito verificador V da conta de nu´mero 90128− V.
Questa˜o 2: Uma industria produz treˆs produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo,
A e B. Para a manufatura de cada kg de X sa˜o utilizados 2 gramas do insumo A e 1 grama
do insumo B; para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 3 gramas de insumo B e, para cada
kg de Z, 3 gramas de A e 5 gramas de B. O prec¸o de venda do kg de cada um dos produtos
X, Y e Z e´ R$ 3,00, R$ 2,00 e R$ 4,00, respectivamente. Com a venda de toda a produc¸a˜o de
X, Y e Z manufaturada com 1,9 kg de A e 2,4 kg de B, essa indu´stria arrecadou R$ 2900,00.
Determine quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos.
Questa˜o 3: Determine os coeficientes a, b, c e d da func¸a˜o polinomial p(x) = ax3 + bx2 +
cx+ d, cujo gra´fico passa pelos pontos P1 = (0, 10), P2 = (1, 7), P3 = (3, 11) e P4 = (4, 14).
Questa˜o 4: (a) Sejam X1 e X2 soluc¸o˜es do sistema homogeˆneo AX = 0. Mostre que
aX1 + bX2 e´ soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo, para quaisquer escalares a e b.(b) Sejam X1
e X2 soluc¸o˜es do sistema AX = B. Mostre que se aX1 + bX2 e´ soluc¸a˜o, para quaisquer
escalares a e b, enta˜o B = 0.
Questa˜o 5: (a) Sejam X1 e X2 matrizes 2×1 LI e A uma matriz 2×2 tal que detA 6= 0. Ver-
ifique que AX1 e AX2 sa˜o matrizes 2× 1 LI.(b) Os vetores X1 = (1, 2, 2, 1), X2 = (2, 1, 1, 2)
e X3 = (3, 0, 0, 3) sa˜o LI? (c) Seja F o conjunto de vetores (x, y, z, t) ∈ R4 tais que x = z e
y = t. Verifique que F e´ um subespac¸o vetorial de R4, exiba uma base para F e em seguida
extenda esta base a` uma base de R4.
Questa˜o 6: Dadas as transformac¸o˜es lineares T (x, y) = (x + 2y, 2x + y) e I(x, y) = (x, y),
para λ ∈ R seja Tλ(x, y) = T (x, y) − λI(x, y). Determine os valores de λ para os quais
ker(Tλ) possui vetores na˜o triviais. Para os valores de λ encontrados, exiba uma base para
ker(Tλ).
Questa˜o 7: Seja T : R3 → R2 uma transformac¸a˜o linear tal que T (1, 1, 1) = (5, 0),
T (1, 1, 0) = (3,−1) e T (1, 0, 0) = (2, 2). Encontre a expressa˜o de T . Exiba uma base
para ker(T ) e uma base para Im(T ).
Questa˜o 8: (a) Dado o operador linear T (x, y) = (2x+ 2y, 2x+ 2y). Encontre o polinoˆmio
caracter´ıstico de T , os autovalores e os autovetores. T e´ diagonaliza´vel? (b) Seja S um
operador linear tal que −2 e 3 sa˜o autovalores, os autovetores associados a -2 sa˜o da forma
(x, 0,−x) e os autovetores associados a 3 sa˜o da forma (0, y, 0) e (z, 0, z). Encontre a ex-
pressa˜o de S. S e´ diagonaliza´vel?
Questa˜o 9: Encontre os autovalores e os autovetores da matriz A =
 5 0 00 5 0
1
2
1
2
−1
 .
T e´ diagonaliza´vel? Justifique.
Questa˜o 10: Seja T um operador linear cuja matriz na base canoˆnica e´
 3 0 0−3 3 2
4 0 −1
 .
Encontre uma base β = {v1, v2, v3} tal que a matriz de T e´
 2 0 2−2 3 0
5 0 1
.
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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Cieˆncias Exatas e Biolo´gicas - Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear - MTM112-73
1o. Semestre de 2013 – Primeira Avaliac¸a˜o
INSTRUC¸O˜ES:
Leia atentamente cada questa˜o. Resolva-as de forma clara e organizada. RESPOSTAS SEM JUSTIFICATI-
VAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS. Boa avaliac¸a˜o e sucesso na carreira escolhida.
Questa˜o 1: Justifique, sem calcular diretamente, a raza˜o pela qual cada uma das matrizes abaixo possui determi-
nante nulo.
a)

1 2 1 2
2 1 2 1
1 −2 1 −2
3 3 3 3
 b)

1 2 5 2
2 1 10 0
1 −2 5 0
3 3 15 0

Questa˜o 2: Considere a matriz
A =
 2 1 01 2 0
0 0 3
 .
Encontre valores λ ∈ R tais que o sistema linear (A − λI3)X = 0 possua soluc¸a˜o na˜o-trivial. Para cada valor λ
encontrado, exiba a matriz soluc¸a˜o do sistema associado.
Questa˜o 3: Calcule o determinante da matriz AB sabendo que A ·
(
5 −4
3 4
)
=
(
4 6
3 11
)
e
(
5 −4
3 4
)
= B ·
(
8 −7
3 15
)
Questa˜o 4: No mercado existem treˆs tipos de argamassa, fixada a mesma quantidade (1kg) verificou-se que:
(i) A argamassa I tem 1 unidade de cal, 3 de cimento e 4 de areia.
(ii) A argamassa II tem 2 unidades de cal, 3 de cimento e 5 de areia.
(iii) A argamassa III tem 3 unidade de cal, 3 de areia e na˜o tem cimento. Se para tocarmos certo projeto sa˜o
necessa´rias 11 unidades de cal, 9 cimento e 20 de areia, quais sa˜o todas as poss´ıveis quantidades de argamassas
I, II e III que fornecem a mistura desejada
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Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear - MTM112-73
1o. Semestre de 2013 – Segunda Avaliac¸a˜o
Leia atentamente cada questa˜o. Resolva-as de forma clara e organizada. RESPOSTAS SEM JUSTI-
FICATIVAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS. Boa avaliac¸a˜o e sucesso na carreira escolhida.
Questa˜o 1:(15 pts cada item) Resolva os itens abaixo:
a) Encontre uma transformac¸a˜o linear T : R3 → R2 tal que T (1, 2, 0) = (1, 2), T (0, 2, 1) = (2, 1) e T (0, 1, 0) = (0, 1).
Exiba uma base para ker(T ). Qual e´ a dimensa˜o da imagem de T?
b) Dados os vetores de R4 u1 = (1,−1, 0, 0), u2 = (0, 2,−2, 0) e u3 = (−3, 0, 3, 0) verifique se os vetores u =
(3, 1,−4, 0) e v = (1, 2, 3, 4) pertencem a` W = [u1, u2, u3].
Questa˜o 2:(30 pts) Considere a matriz
A =
 2 1 01 2 0
0 0 3
 .
e a transformac¸a˜o linear de TA : R3 → R3 induzida por A, cuja expressa˜o e´ TA(X) = A ·X, sendo X = [x y z]t.
Considere tambe´m a transformac¸a˜o linear I(X) = I3 ·X, induzida pela matriz identidade I3. Encontre os valores de
λ ∈ R tais que a transformac¸a˜o linear Tλ definida por Tλ(X) = TA(X)− λI(X) seja tal que dim(ker(Tλ))> 0. Para
cada valor λ encontrado, exiba uma base para ker(Tλ).
Questa˜o 3: (15 pts cada item) Resolva os itens abaixo:
a) O conjunto S formado pelas matrizes sime´tricas1 2× 2 e´ um subespac¸o vetorial de M2×2(R)?
b) Os vetores (1, 2,−1, 0), (0,−1, 2, 1), (1, 0, 0, 0) e (1, 1, 1, 1) sa˜o linearmente independentes?
Questa˜o 4:(30 pts) Um exemplo interessante do uso transformac¸o˜es lineares e´ o acontece quando trabalhamos com
o CPF (Cadastro
de Pessoas F´ısicas). O nu´mero de inscric¸a˜o do CPF e´ constitu´ıdo de nove d´ıgitos agrupados de
treˆs em treˆs, mais dois d´ıgitos verificadores, por exemplo: 140.402.809−XY. Os d´ıgitos verificadores X e Y teˆm por
finalidade comprovar a validade do nu´mero do CPF informado. Tais d´ıgitos sa˜o obtidos por uso de transformac¸o˜es
lineares conforme descrito a seguir
• O Ca´lculo do primeiro d´ıgito verificador.
Consideramos a transformac¸a˜o linear f : R9 → R cuja expressa˜o e´
f(x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9) = 10x1 + 9x2 + 8x3 + 7x4 + 6x5 + 5x6 + 4x7 + 3x8 + 2x9
construindo um vetor u = (y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8, y9) ∈ R9 cujas coordenadas sa˜o constitu´ıdas dos d´ıgitos
do CPF na ordem em que eles aparecem e, apo´s o ca´lculo de f(u) tomamos o resto da divisa˜o inteira de f(u)
pelo nu´mero 11. Se o resto for 0 ou 1 o primeiro d´ıgito verificador sera´ 0. Caso contra´rio (resto entre 2 e 10) o
primeiro d´ıgito verificador sera´ 11-resto.
• O Ca´lculo do segundo d´ıgito verificador.
Consideramos a transformac¸a˜o linear f : R10 → R cuja expressa˜o e´
f(x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10) = 11x1 + 10x2 + 9x3 + 8x4 + 7x5 + 6x6 + 5x7 + 4x8 + 3x9 + 2x10
construindo um vetor v = (y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8, y9, y10) ∈ R10 cujas coordenadas sa˜o constitu´ıdas dos
d´ıgitos do CPF, mais o primeiro d´ıgito verificador na ordem em que eles aparecem e, apo´s o ca´lculo de f(v)
tomamos o resto da divisa˜o inteira de f(v) pelo nu´mero 11. Se o resto for 0 ou 1 o segundo d´ıgito verificador
sera´ 0. Caso contra´rio (resto entre 2 e 10) o segundo d´ıgito verificador sera´ 11-resto.
Encontre os d´ıgitos verificadores do CPF.
140.402.809−XY.
1A e´ dita sime´trica se At = A.
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Instituto de Cieˆncias Exatas e Biolo´gicas - Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear - MTM112-73
1o. Semestre de 2013 – Segunda Avaliac¸a˜o
Leia atentamente cada questa˜o. Resolva-as de forma clara e organizada. RESPOSTAS SEM JUSTI-
FICATIVAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS. Boa avaliac¸a˜o e sucesso na carreira escolhida.
Questa˜o 1:(30 pts) Seja T : R4 → R4 o operador linear tal que
T (1, 1, 1, 1) = (2, 2, 2, 2),
T (1, 1, 1, 0) = (2, 2, 1, 1),
T (1, 1, 0, 0) = (2, 2, 0, 0),
T (1, 0, 0, 0) = (1, 1, 0, 0).
Existiria uma base de R4 em que a matriz de T e´ diagonal? Caso afirmativo, qual e´ a expressa˜o de T nessa base?
Questa˜o 2:(15 pts por item) Os operadores lineares abaixo sa˜o diagonaliza´veis? Por queˆ?
a) T (x, y, z) = (4x− 8z, 4y,−8x− 2z)
b) A(x, y, z, w) = (3x+ 2y, 3y + 2z, 2z + w, 2w)
Questa˜o 3: (30 pts) Determine uma transformac¸a˜o linear T : R4 → R4 tal que os autovetores associados ao autovalor
6 sejam da forma (3x, 0, 4x, 0) e (0, 4y, 0, 3y) e os autovetores associados ao autovalor -1 sejam da forma (0, 0, 0, x) e
(0, 0,−y, 0). T e´ diagonaliza´vel?
Questa˜o 4:(30 pts) Seja T : R3 → R3 o operador linear tal que a matriz de T na base canoˆnica de R3 seja 1 0 01 −1 0
1 1 1

Encontre uma base β = {v1, v2, v3} de R3 tal que a matriz de T na base β seja 1 0 0−1 −1 0
2 1 1
 .
Provas anteriores/MTM112_77__Exame_Especial_2013.pdf
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Instituto de Cieˆncias Exatas e Biolo´gicas - Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear - MTM112-77
1o. Semestre de 2013 – Exame Especial Parcial (EEP) e Total
(EET)
INSTRUC¸O˜ES: EEP1 , questo˜es 1 a` 4. EEP2 , questo˜es 5 a` 7. EEP3 , questo˜es 8 a` 10.
EET , questo˜es 7 a` 9.
Na˜o esquec¸a de sinalizar a sua opc¸a˜o.
Questa˜o 1: A mecaˆnica de indentificac¸a˜o de uma conta corrente em determinado banco e´ a
seguinte: O nu´mero da inscric¸a˜o da conta corrente e´ constitu´ıdo de cinco d´ıgitos agrupados
e um d´ıgito verificador, (exemplo: 90128 − V ). O d´ıgito verificador V tem por finalidade
comprovar a validade do nu´mero da conta informada. Tal d´ıgito e´ obtido atrave´s da multi-
plicac¸a˜o de matrizes conforme descrito a seguir
Tomamos a matriz linha C constitu´ıda dos d´ıgitos da conta na ordem em que eles aparecem
e fazemos o seu produto com a matriz coluna D = (dij)5×1 tal que
Dt = [13 12 11 10 9].
A seguir tomamos o resto da divisa˜o inteira da u´nica entrada da matriz C ·D pelo nu´mero
13. Se o resto for estiver entre 0 e 9, o d´ıgito sera´ igual ao resto da divisa˜o. Caso o resto
seja 10, 11 ou 12 utilizamos os d´ıgitos X, Y e Z, respectivamente.
Com base no exposto calcule o d´ıgito verificador V da conta de nu´mero 90128− V.
Questa˜o 2: Uma industria produz treˆs produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo,
A e B. Para a manufatura de cada kg de X sa˜o utilizados 2 gramas do insumo A e 1 grama
do insumo B; para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 3 gramas de insumo B e, para cada
kg de Z, 3 gramas de A e 5 gramas de B. O prec¸o de venda do kg de cada um dos produtos
X, Y e Z e´ R$ 3,00, R$ 2,00 e R$ 4,00, respectivamente. Com a venda de toda a produc¸a˜o de
X, Y e Z manufaturada com 1,9 kg de A e 2,4 kg de B, essa indu´stria arrecadou R$ 2900,00.
Determine quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos.
Questa˜o 3: Determine os coeficientes a, b, c e d da func¸a˜o polinomial p(x) = ax3 + bx2 +
cx+ d, cujo gra´fico passa pelos pontos P1 = (0, 10), P2 = (1, 7), P3 = (3, 11) e P4 = (4, 14).
Questa˜o 4: (a) Sejam X1 e X2 soluc¸o˜es do sistema homogeˆneo AX = 0. Mostre que
aX1 + bX2 e´ soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo, para quaisquer escalares a e b.(b) Sejam X1
e X2 soluc¸o˜es do sistema AX = B. Mostre que se aX1 + bX2 e´ soluc¸a˜o, para quaisquer
escalares a e b, enta˜o B = 0.
Questa˜o 5: (a) Sejam X1 e X2 matrizes 2×1 LI e A uma matriz 2×2 tal que detA 6= 0. Ver-
ifique que AX1 e AX2 sa˜o matrizes 2× 1 LI.(b) Os vetores X1 = (1, 2, 2, 1), X2 = (2, 1, 1, 2)
e X3 = (3, 0, 0, 3) sa˜o LI? (c) Seja F o conjunto de vetores (x, y, z, t) ∈ R4 tais que x = z e
y = t. Verifique que F e´ um subespac¸o vetorial de R4, exiba uma base para F e em seguida
extenda esta base a` uma base de R4.
Questa˜o 6: Dadas as transformac¸o˜es lineares T (x, y) = (x + 2y, 2x + y) e I(x, y) = (x, y),
para λ ∈ R seja Tλ(x, y) = T (x, y) − λI(x, y). Determine os valores de λ para os quais
ker(Tλ) possui vetores na˜o triviais. Para os valores de λ encontrados, exiba uma base para
ker(Tλ).
Questa˜o 7: Seja T : R3 → R2 uma transformac¸a˜o linear tal que T (1, 1, 1) = (6, 0),
T (1, 1, 0) = (4,−2) e T (1, 0, 0) = (3, 1). Encontre a expressa˜o de T . Exiba uma base
para ker(T ) e uma base para Im(T ).
Questa˜o 8: (a) Dado o operador linear T (x, y) = (2x+ 2y, 2x+ 2y). Encontre o polinoˆmio
caracter´ıstico de T , os autovalores e os autovetores. T e´ diagonaliza´vel? (b) Seja S um
operador linear tal que −2 e 3 sa˜o autovalores, os autovetores associados a -2 sa˜o da forma
(x, 0,−x) e os autovetores associados a 3 sa˜o da forma (0, y, 0) e (z, 0, z). Encontre a ex-
pressa˜o de S. S e´ diagonaliza´vel?
Questa˜o 9: Encontre os autovalores e os autovetores da matriz A =
 3 0 00 3 0
1
2
1
2
−1
 .
T e´ diagonaliza´vel? Justifique.
Questa˜o 10: Seja T um operador linear cuja matriz na base canoˆnica e´
 3 0 0−3 3 2
4 0 −1
 .
Encontre uma base β = {v1, v2, v3} tal que a matriz de T e´
 2 0 2−2 3 0
5 0 1
.
Provas anteriores/MTM112_77__Prova1_01_2013.pdf
Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Cieˆncias Exatas e Biolo´gicas - Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear - MTM112-77
1o. Semestre de 2013 – Primeira Avaliac¸a˜o
INSTRUC¸O˜ES:
Leia atentamente cada questa˜o. Resolva-as de forma clara e organizada. RESPOSTAS SEM JUSTIFICATI-
VAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS. Boa avaliac¸a˜o e sucesso na carreira escolhida.
Questa˜o 1: Dado o sistema
{
6x+ ky = 9
2x− 7y = 1 , de inco´gnitas x e y determine:
(a) k para que o sistema seja imposs´ıvel.
(b) k tal que o sistema possua soluc¸a˜o u´nica.
Questa˜o 2: Considere a matriz
A =
 4 2 02 4 0
0 0 4
 .
Encontre valores λ ∈ R tais que o sistema linear (A− λI3)X = 0 possua soluc¸a˜o na˜o-trivial.
Questa˜o 3: Calcule o determinante da matriz A sabendo que A ·
(
5 −4
3 4
)
=
(
4 6
3 11
)
Questa˜o 4: Um exemplo simples e interessante do uso de matrizes e´ o acontece quando trabalhamos com o CPF
(Cadastro de Pessoas F´ısicas). O nu´mero de inscric¸a˜o do CPF e´ constitu´ıdo de nove d´ıgitos agrupados de treˆs em
treˆs, mais dois d´ıgitos verificadores, por exemplo
313.402.809−XY.
Os d´ıgitos verificadores X e Y teˆm por finalidade comprovar a validade do nu´mero do CPF informado. Tais d´ıgitos
sa˜o obtidos por multiplicac¸a˜o de matrizes.
• O Ca´lculo do primeiro d´ıgito verificador.
Tomamos a matriz linha A = (aij)9×1 constitu´ıda dos d´ıgitos do CPF na ordem em que eles aparecem e fazemos
o seu produto com a matriz coluna B = (bij)1×9 em que
Bt = [10 9 8 7 6 5 4 3 2].
A seguir tomamos o resto da divisa˜o inteira da u´nica entrada da matriz A ·B pelo nu´mero 11. Se o resto for 0
ou 1 o primeiro d´ıgito verificador sera´ 0. Caso contra´rio (resto entre 2 e 10) o primeiro d´ıgito verificador sera´
11-resto.
• O Ca´lculo do segundo d´ıgito verificador.
Tomamos a matriz linha C = (cij)10×1 constitu´ıda dos d´ıgitos do CPF mais o primeiro d´ıgito verificador na
ordem em que eles aparecem e fazemos o seu produto com a matriz coluna D = (dij)1×10 em que
Dt = [11 10 9 8 7 6 5 4 3 2].
A seguir tomamos o resto da divisa˜o inteira da u´nica entrada da matriz C ·D pelo nu´mero 11 Se o resto for 0
ou 1 o segundo d´ıgito verificador sera´ 0. Caso contra´rio (resto entre 2 e 10) o segundo d´ıgito verificador sera´
11-resto.
Encontre os d´ıgitos verificadores do CPF.
313.402.809−XY.
Provas anteriores/MTM112_77__Prova2_01_2013.pdf
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Instituto de Cieˆncias Exatas e Biolo´gicas - Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear - MTM112-77
1o. Semestre de 2013 – Segunda Avaliac¸a˜o
Leia atentamente cada questa˜o. Resolva-as de forma clara e organizada. RESPOSTAS SEM JUSTI-
FICATIVAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS. Boa avaliac¸a˜o e sucesso na carreira escolhida.
Questa˜o 1: Resolva os itens abaixo:
a) Determine k para que os vetores (6, 2) e (k,−7) sejam L.I. Qual deve ser o valor de k para que esses vetores
sejam L.D?
b) Exiba uma transformac¸a˜o linear T : R2 → R3 tal que T (3, 4) = (5, 5,−1) e T (4, 3) = (1, 4, 4). Calcule T (1, 0).
Questa˜o 2: Considere a matriz
A =
 4 2 02 4 0
0 0 4

e a transformac¸a˜o linear de TA : R3 → R3 induzida por A, cuja expressa˜o e´ TA(X) = A ·X, sendo X = [x y z]t.
Considere tambe´m a transformac¸a˜o linear I(X) = I3 ·X, induzida pela matriz identidade I3. Encontre os valores de
λ ∈ R tais que a transformac¸a˜o linear Tλ definida por Tλ(X) = TA(X)− λI(X) seja tal que ker(Tλ) possua vetores
na˜o-nulos.
Questa˜o 3: Resolva os itens abaixo:
a) O conjunto das matrizes antissime´tricas1 2× 2 e´ um subespac¸o vetorial de M2×2(R)?
b) Os vetores (1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (1, 0,−1, 1) e (3, 1,−1, 3) fornecem uma base para R4?
Questa˜o 4: Um exemplo interessante do uso transformac¸o˜es lineares e´ o acontece quando trabalhamos com o CPF
(Cadastro de Pessoas F´ısicas). O nu´mero de inscric¸a˜o do CPF e´ constitu´ıdo de nove d´ıgitos agrupados de treˆs em
treˆs, mais dois d´ıgitos verificadores, por exemplo: 104.042.089−XY. Os d´ıgitos verificadores X e Y teˆm por finalidade
comprovar a validade do nu´mero do CPF informado. Tais d´ıgitos sa˜o obtidos por uso de transformac¸o˜es lineares
conforme descrito a seguir
• O Ca´lculo do primeiro d´ıgito verificador.
Consideramos a transformac¸a˜o linear f : R9 → R cuja expressa˜o e´
f(x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9) = 10x1 + 9x2 + 8x3 + 7x4 + 6x5 + 5x6 + 4x7 + 3x8 + 2x9
construindo um vetor u = (y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8, y9) ∈ R9 cujas coordenadas sa˜o constitu´ıdas dos d´ıgitos
do CPF na ordem em que eles aparecem e, apo´s o ca´lculo de f(u) tomamos o resto da divisa˜o inteira de f(u)
pelo nu´mero 11. Se o resto for 0 ou 1 o primeiro d´ıgito verificador sera´ 0. Caso contra´rio (resto entre 2 e 10) o
primeiro d´ıgito verificador sera´ 11-resto.
• O Ca´lculo do segundo d´ıgito verificador.
Consideramos a transformac¸a˜o linear f : R10 → R cuja expressa˜o e´
f(x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10) = 11x1 + 10x2 + 9x3 + 8x4 + 7x5 + 6x6 + 5x7 + 4x8 + 3x9 + 2x10
construindo um vetor v = (y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8, y9, y10) ∈ R10 cujas coordenadas sa˜o constitu´ıdas dos
d´ıgitos do CPF, mais o primeiro d´ıgito verificador na ordem em que eles aparecem e, apo´s o ca´lculo de f(v)
tomamos o resto da divisa˜o inteira de f(v) pelo nu´mero 11. Se o resto for 0 ou 1 o segundo d´ıgito verificador
sera´ 0. Caso contra´rio (resto entre 2 e 10) o segundo d´ıgito verificador sera´ 11-resto.
Encontre os d´ıgitos verificadores do CPF.
104.042.089−XY.
1A e´ antissime´trica se At = −A
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Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear - MTM112-77
1o. Semestre de 2013 – 3a Avaliac¸a˜o
Observac¸o˜es: Leia atentamente cada questa˜o. Resolva-as de forma clara e organizada. RESPOSTAS
SEM JUSTIFICATIVAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS. Boa avaliac¸a˜o e sucesso na carreira
escolhida.
Questa˜o 1: Determine uma transformac¸a˜o linear T : R2 → R2 tal que 6 e -1 sejam autovalores de T e os
respectivos autovetores sejam da forma (3x, 4x) e (4x, 3x).
Questa˜o 2: Os operadores lineares abaixo sa˜o diagonaliza´veis? Por queˆ?
a) T (x, y, z) = (3x−√7z, 3y,−√7x+ 5z)
b) A(x, y, z, w) = (3x+ y, 3y + z, 2z + w, 2w) Questa˜o 3: Seja T : R4 → R4 o operador linear tal que
T (1, 1, 1, 1) = (4, 4, 4, 4),
T (1, 1, 1, 0) = (4, 4, 2, 2),
T (1, 1, 0, 0) = (4, 4, 0, 0),
T (1, 0, 0, 0) = (2, 2, 0, 0).
Existiria uma base de R4 em que a matriz de T e´ diagonal? Caso afirmativo, qual e´ a expressa˜o de T nessa
base?
Questa˜o 4: Seja T : R3 → R3 o operador linear tal que a matriz de T na base canoˆnica de R3 seja 1 0 01 −1 0
1 1 1

Encontre uma base β = {v1, v2, v3} de R3 tal que a matriz de T na base β seja 1 0 0−1 −1 0
2 1 1
 .
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Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear - MTM112-81
2o. Semestre de 2013 – Primeira Avaliac¸a˜o
INSTRUC¸O˜ES:
Leia atentamente cada questa˜o. Resolva-as de forma clara e organizada. RESPOSTAS SEM JUSTIFICATI-
VAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS. Boa avaliac¸a˜o e sucesso na carreira escolhida.
Questa˜o 1: (20 pts) Utilize o me´todo da inversa para obter a soluc¸a˜o do sistema x + 2y + z = 5x− y + z = 2
3x− 2y + 2z = 3
.
Questa˜o 2: (20 pts) Um nutricionista esta´ elaborando uma refeic¸a˜o que contenha os alimentos A, B e C. Cada
grama do alimento A conte´m 2 unidades de prote´ına, 3 unidades de gordura e 4 unidades de carboidrato. Cada
grama do alimento B conte´m 3 unidades de prote´ına, 2 unidades de gordura e 1 unidade de carboidrato. Ja´ no
alimento C encontramos 3 unidades de prote´ına, 3 unidades de gordura e 2 unidades de carboidrato. Se a refeic¸a˜o
deve fornecer exatamente 25 unidades de prote´ına, 24 unidades de gordura e 21 unidades de carboidrato, quantos
gramas de cada tipo de alimento devem ser utilizados?
Questa˜o 3: (20 pts) Calcule o determinante da matriz

1 2 3 5 0
0 −1 3 1 5
2 4 9 28 2
3 6 18 24 1
1 2 6 14 −1

Questa˜o 4: (15 pts) A mecaˆnica de indentificac¸a˜o de uma conta corrente em determinado banco e´ a seguinte: O
nu´mero da conta corrente e´ constitu´ıdo de cinco d´ıgitos agrupados e um d´ıgito verificador. O d´ıgito verificador V
tem por finalidade comprovar a validade do nu´mero da conta informada. Tal d´ıgito e´ obtido atrave´s da multiplicac¸a˜o
de matrizes conforme descrito a seguir:
Tomamos a matriz linha C constitu´ıda dos d´ıgitos da conta na ordem em que eles aparecem e fazemos o seu
produto com a matriz coluna D = (dij)5×1 tal que
Dt = [13 12 11 10 9].
A seguir tomamos o resto da divisa˜o inteira da u´nica entrada da matriz C · D pelo nu´mero 13. Se o resto estiver
entre 0 e 9, o d´ıgito sera´ igual ao resto da divisa˜o. Caso o resto seja 10, 11 ou 12 utilizamos os d´ıgitos X, Y e Z,
respectivamente.
Com base no exposto calcule o d´ıgito verificador V da conta de nu´mero 90128 − V.
Questa˜o 5: Dado o sistema linear  2x + 3y − z = 3
x− 4y + 5z = 7
(a)(10 pts) Utilize o Ca´lculo Hipote´tico Universal Te´cnico Estimativo (C.H.U.T.E) para obter uma soluc¸a˜o Y t =[
x1 y1 z1
]
do sistema.
(b)(10 pts) Resolva o sistema linear homogeˆneo associado 2x + 3y − z = 0
x− 4y + 5z = 0
(c)(5 pts) Seja Y a soluc¸a˜o obtida em (a) e X0 uma soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo obtido em (b), verifique que
Y + X0 e´ uma soluc¸a˜o do sistema linear do item (a)
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INSTRUC¸O˜ES:
Leia atentamente cada questa˜o. Resolva-as de forma clara e organizada. RESPOSTAS SEM JUSTIFICATI-
VAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS. Boa avaliac¸a˜o e sucesso na carreira escolhida.
Questa˜o 1: Resolva os itens abaixo:
a) (15 pts) O nu´cleo de uma transformac¸a˜o linear T : Rn → Rm e´ um conjunto formado por todos os vetores
u ∈ Rn tais que T (u) = 0. Encontre a expressa˜o dos vetores pertencentes ao nu´cleo da transformac¸a˜o linear
T (x, y, z) = (2x+ 3y − z, x− 4y + 5z).
b) (10 pts) Considerando a transformac¸a˜o linear T do item anterior, exiba um vetor (a, b, c) tal que T (a, b, c) = (3, 7).
c) (5 pts)E´ correto afirmar que o nu´cleo de um operador linear injetor, T : R3 → R3, possui apenas o vetor
(0, 0, 0)? Justifique.
Questa˜o 2: Dado um operador linear injetor T : Rn → Rn, a inversa de T e´ o operador linear T−1 tal que
[T ] · [T−1] = In. Considerando o operador linear T (x, y, z) = (2x + 3y + 3z, 3x + 2y + 3z, 4x + y + 2z), resolva os
itens abaixo:
a) (10 pts) Exiba a matriz canoˆnica de T .
b) (20 pts)T e´ injetora? T possui uma inversa? Caso afirmativo exiba esta inversa.
c) (10 pts)Exiba um vetor de R3 tal que T (x, y, z) = (25, 24, 21)
Questa˜o 3: (20 pts) Mostre que a imagem de T (x, y, z) = (x − 2y + z, 5x − y + 3z, 4x + y + 2z) na˜o e´ todo o R3
exibindo um vetor que na˜o pertenc¸a a` imagem de T .
Questa˜o 4: (10 pts) Encontre a expressa˜o do operador linear T : R2 → R2 sabendo que a matriz canoˆnica de T e´
[T ] = (tij)2×2 em que
tij = 2i+ j, se i 6= j e tij = 2j − i2 se i = j
Questa˜o 5: (10 pts) Dada a matriz
A =
 2 2 22 2 2
2 2 2
 ,
encontre valores λ ∈ R tais que o sistema linear homogeˆneo (A− λI3)X = 0 admita soluc¸a˜o na˜o-trivial.
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INSTRUC¸O˜ES:
Leia atentamente cada questa˜o. Resolva-as de forma clara e organizada. RESPOSTAS SEM JUSTIFICATI-
VAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS. Boa avaliac¸a˜o e sucesso na carreira escolhida.
Questa˜o 1: (25 pts) Considere a matriz
A =
 2 2 02 2 0
0 0 1
 .
Encontre valores λ ∈ R tais que o sistema linear (A − λI3)X = 0 possua soluc¸a˜o na˜o-trivial. Para cada valor λ
encontrado, exiba a matriz soluc¸a˜o do sistema associado.
Questa˜o 2: Resolva os itens abaixo:
(a)(15 pts) Determine os valores de A, B, C e D tais que
4x3 + 3x2 − 10x+ 1
(x+ 1)2(x2 + 1)
=
A
x+ 1
+
B
(x+ 1)2
+
Cx+D
x2 + 1
(b)(15 pts) Uma refinaria de petro´leo processa dois tipos de petro´leo: com alto teor de enxofre e com baixo teor de
enxofre. Cada tonelada de petro´leo de baixo teor necessita de 5 minutos no setor de mistura e 4 minutos no setor de
refinaria; ja´ o petro´leo com alto teor sa˜o necessa´rios 4 minutos no setor de mistura e 2 minutos no setor de refinaria.
Se o setor de mistura esta´ dispon´ıvel por 3 horas, e o setor de refinaria por 2 horas, quantas toneladas de cada tipo
de combust´ıvel devem ser processadas de modo que os dois setores na˜o fiquem ociosos?
Questa˜o 3: (20 pts) Calcule o determinante da matriz

1 2 3 5 0
0 −1 3 1 5
2 4 9 28 2
3 6 18 24 1
−1 −2 0 4 −1

Questa˜o 4: Dado o sistema linear  x+ 3y − z = 4
x− 4y + 5z = 3
(a) (10 pts) Utilize o Ca´lculo Hipote´tico Universal Te´cnico Estimativo (C.H.U.T.E) para obter uma soluc¸a˜o Y t =[
x1 y1 z1
]
do sistema.
(b)(10 pts) Resolva o sistema linear homogeˆneo associado x+ 3y − z = 0
x− 4y + 5z = 0
(c)(5 pts) Seja Y a soluc¸a˜o obtida em (a) e X0 uma soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo obtido em (b), verifique que
Y +X0 e´ uma soluc¸a˜o do sistema linear do item (a)
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Leia atentamente cada questa˜o. Resolva-as de forma clara e organizada. RESPOSTAS SEM JUSTIFICATI-
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Questa˜o 1: Seja T o operador linear cuja matriz canoˆnica e´ 1 1 01 1 0
0 0 2
 .
Com base nessa informac¸a˜o, resolva os itens abaixo:
a) (15 pts) Defina o operador linear Tλ(x, y, z) = T (x, y, z)−λI(x, y, z), em que I e´ o operador identidade. Encontre
valores reais de λ tais que o operador Tλ na˜o seja injetor.
b) (15 pts) O nu´cleo de uma transformac¸a˜o linear S : Rn → Rm e´ um conjunto formado por todos os vetores
u ∈ Rn tais que S(u) = 0. Para cada valor de λ obtido no item anterior, encontre a expressa˜o dos vetores perten-
centes ao nu´cleo do operador linear Tλ.
Questa˜o 2:(25 pts) Dada a transformac¸a˜o linear T (x, y, z) = (2x+ y, 3x+ 5y,−x+ 2y), exiba a matriz canoˆnica de
T e decida se os vetores u = (3, 8, 2), v = (5, 11, 4) e w = (1, 2, 3) pertencem a` imagem de T .
Questa˜o 3: Sobre o operador linear T (x, y, z, t) = (x+ y + z + t, x− y + z − t, x+ z, z + t) responda a`s questo˜es a
seguir:
(a) (10 pts) T e´ injetor? Justifique!
(b) (10 pts) E´ poss´ıvel encontrar um vetor (a, b, c, d) que na˜o esteja na imagem de T? Justifique!
(c) (10 pts) Encontre um vetor de R3 tal que T (x, y, z, t) = (5, 5, 5, 1).
Questa˜o 4: (10 pts) Encontre um vetor de R2 tal que T (x, y) = (−3, 8), sendo T o operador linear T : R2 → R2
cuja matriz canoˆnica e´ [T ] = (tij)2×2 em que
tij = i
2 + j2, se i 6= j e tij = 2i− j se i = j.
Questa˜o 5: (10 pts) Exiba a matriz canoˆnica de T (x, y, z) = (2x+ 3y − z, x− y − z).
Questa˜o 6: (5 pts) O nu´cleo de um operador linear injetor possui apenas o vetor nulo. Justifique!