Extremos Locais e Globais

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12 ORIGINAt DA PASTA
. EXTREMOS LOCAIS E GLOBAIS
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A determinação de máximos e mínimos locais e globais de uma função de várias variáveis, é,
como no caso de uma variável, uma das aplicações importantes da teoria.
Analisaremos apenas o caso de 2 variáveis que poderá ser considerado como um modelo de
discussão para os outros casos de mais variáveis.
Definição (12.1)
Seja f uma função definida em um domínio D e (XO,yo) um ponto interior.
Dizemos que f tem um máximo local em (XO,yo) se existe um disco (aberto ou
fechado) D c D com centro nesse ponto, tal que j(x,y) < j(XO,yo) V (x,y) E
D. Podemos usar alternativamente retângulos (abertos ou fechados) centrados no
ponto em lugar de discos.
Trocando "<" por ">" na definição obtemos a definição de mínimo local em
(XO,Yo).
Dizemos que uma função tem extremos locais em determinados pontos, se tiver
ou um máximo local ou um mínimo local nesses pontos.
Nos pontos onde uma função tem extremos locais, se existir o plano tangente, ele é horizontal.
Observação Extremos locais são definidos apenas para pontos interiores do domínio de uma
função, pois é necessário podermos aproximar o ponto ao longo de qualquer
direção.
Definição (12.2)
Seja f uma função definida em um domínio D. Se existir um ponto (x, ,YI) tal
que j(XI ,YI) ?. j(x,y) V (x,y) E D, dizemos que (x. ,YI) é um máximo
absoluto de f em D. Se existir um ponto (X2,Y2) tal que j(X2,Y2) ~ j(x,y) V
(x,y) E D, dizemos que (X2,Y2) é um mínimo absoluto de f em D.
Máximos ou mínimos absolutos são chamados extremos absolutos ou globais da
função.
o seguinte teorema é enunciado sem demontração e caracteriza a existência de extremos globais
para funções de várias variáveis :
Teorema (12.3)
Seja f uma função contínua em um dominio D fechado e limitado. Então f
possui um máximo e um mínimo global em D.
Observação Dependendo da função e do domínio, podem existir (ou não existir), extremos
locais e/ou globais de uma função.
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Como procuramos extremos locais e/ou globais de uma função?
CONDiÇÃO NECESSÁRIA PARA EXISTÊNCIA DE EXTREMOS LOCAIS
Se (XO,yo) é um extremo local de f e as derivadas parciais existem no ponto, então o vetor
gradiente \lJCXO,yo) = 0, ou seja, ambas derivadas parciais são nulas nesse ponto.
A justificativa para essa afirmação decorre de observar que se o gradiente não fosse nulo, ele
estaria apontando na direção de crescimento máximo da função, então indo nessa direção a
função aumentaria enquanto que indo na direção oposta ao gradiente, f tería que diminuir e
então nesse ponto não poderia haver um extremo local.
Definição (12.4)
Um ponto estacionário de uma função é um ponto onde o gradiente é nulo.
Os pontos críticos são todos os pontos estacionários e todos os pontos interiores
onde pelo menos alguma derivada parcial não existe.
EXEMPLO (12.5)
Vamos determinar os pontos críticos da função JCx,y) = x3 + y3 - 3xy + 4.
Esta função tem derivadas parciais contínuas em todo o plano ~ 2. Os pontos críticos são
determinados resolvendo o sistema
Ji(x,y) = 3x2 - 3y = °
h(x,y) = 3y2 - 3x = °
As soluções desse sistema são (x,y) = (0,0) e (x,y) = (1,1), e vemos que as derivadas
parciais existem em todo ponto do domínio IR? 2, logo existem 2 pontos estacionários que são
todos os críticos. Podemos concluir também que se f tivesse algum extremo local, ele deve
ocorrer apenas em algum desses dois pontos.
Vamos estabelecer agora condições suficientes para a existência de extremos locais. Para isso
usaremos da Fórmula de Taylor para funções de duas variáveis.
Lembremos dessa fórmula para funções de uma variável, em particular quando f tem derivadas
até ordem 3 contínuas em todo um intervalo contendo um ponto Xo :
JCx) = JCxo) + .11);;°) (x - xo) + .f2)~;O) (x - xO)2 + R(x)
R(x)
onde o resto R(x) tem a propriedade que limx_xo 2 = O. Quando a função tem um
(x - xo)
extremo local em xn , .fJ)(xo) = ° e a fórmula tem a forma
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f2l(xO) 2
J(X) =J(xo) + 2! (X-XO) +R(x)
e observamos que se x está numa pequena vizinhança do ponto xo, a função tem um
comportamento similar ao polinômio quadrático q(x) do segundo membro
J(x) :::::a + b(x - xO)2
com a = fCxo) e b = f2li~o), cujo gráfico é uma parábola; daí obtemos essencialmente o
Teste da derivada segunda para a existência de extremos locais: se b > 0, a função tem um
mínimo local e se b < 0, a função tem um máximo local.
Para funções de duas variáveis temos uma fórmula semelhante que enunciamos também para o
caso particular em que I tem derivadas parciais até ordem 3 contínuas em todo um disco
centrado no ponto (XO,yo):
J( ) J( ) I1 (XO,Yo) ( ) !2(XO,Yo) (y )X,y = xO,yo + I! x - Xo + I! - yo +
+ i! [fI I(XO,yo)(x - xO)2 + 2/I2Cxo,yo)(x - xo)(y - yo) +122(XO,Yo)(Y - YO)2 ] + R(x,y»
d t R( ) t . d d lim R(x,y) °011 e o res o x,y em a propne a e que = ,e como
x~xo,y-+Yo (J(x _ xO)2 + (y _ YO)2 ) 2
no caso anterior, se a função tiver um extremo local no ponto (XO,yo), em uma pequena
vizinhança desse ponto, I terá um comportamento similar ao polinômio quadrático Q(x,y)
onde -J( ) b - 111(xo,yo) =I: ( ) d - 122(XO,YO)a - xO,yo, - 2 ' c - 12 xO,yo e - 2 .
Vamos supor que as constantes b, c e d não são todas nulas.
Qual é o comportamento do polinômio Q(x,y)? Para simplificar a notação vamos supor
também que (XO,Yo) = (O,O) e então
Q(x,y) = a + bx2 + cxy + dy?
Supondo que b > O e completando quadrados podemos reescrever Q na forma
Q(x y) = a + b[X2 + .f..xy + (~) 2y2 - Ly2 + ..rl..y2 ]
' b 2b 4b2 b
= a + b[ (x + ~y) 2 + 4bd - c2 y2 ]
2b 4b2
Denotemos a expressão 4bd - c2 por /1 (/1 é chamado de discriminante do polinômio Q).
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Suponhamos que f.. > O. Então podem ocorrer duas possibilidades:
• Se b > O, o colchete é sempre positivo e portanto Q(x,y) > a V (x,y) o que mostra
que Q(x,y) tem um mínimo em (O,O).
• Se b < O, o colchete é sempre negativo e portanto Q(x,y) < a V (x,y) o que mostra
que Q(x,y) tem um máximo em (O,O).
Se f.. < O, então independente do sinal de b pode ser mostrado que em toda vizinhança de
(O,O), existem pontos onde Q > O e também pontos onde Q < o. Neste caso o polinômio Q
não tem nem máximo nem mínimo em (O,O). O ponto (O,O) com essa característica é chamado
de ponto de sela.
As mesmas conclusões podem ser obtidas quando d =1= o.
Das expressões de a, b, c e d, podemos deduzir o seguinte resultado que fornece condições
suficientes para extremos locais:
Teorema (12.6)
Suponhamos que 1tem em (XO,yo) um ponto estacionário e derivadas de
ordem até 3 contínuas, e seja
f.. = 111(xO,YO)/22(XO,YO) - C!ú(xO,YO»2
= 4bd- c2
então
a Se f.. > O e 111(XO,yo) > O (observarque /22(XO,YO) > 0),1 tem um mínimo
local em (XO,yo)
b Se f.. > O e 111(XO,yo) < O, (observar que /22 (XO,YO < O), 1 tem um máximo
local em (XO,yo)
c Se Ll < O f tem um ponto de sela em (xo,Yo).
o caso f.. = O não será analisado pois leva a uma discussão bastante complexa e nada se pode
afirmar conclusivamente, pois a função 1pode apresentar extremos locais ou pontos de sela.
Para verificar a afirmação c do teorema anterior exiba gráficos no
quadráticos do tipo x2 - y2, (x + 2y)2 - 2y2, (3x _ y)2 - 5y2
retângulos definidos por -2::; x ::; 2 e -2 ::;Y ::;2.
MAPLE de polinômios
ou outros similares em
Como podemos determinar os valores extermos globais?
Uma estratégia que podemos adotar quando a fronteira do domínio estiver formada por uma
coleção finita de curvas suaves, é de determinar os extremos locais no interior do domínio e
depois parametrizar cada curva da fronteira, e determinar os extremos da restrição da função a
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cada curva. Finalmente devem ser comparados todos os valores extremos entre si para determinar
os dois extremos globais.
EXEMPLO (12.7)
A função fCx,y) = xy é contínua no domínio D formado pelo interior e o bordo da elipse de
2 2
equação ~ + L = 1 com a e b positivos.
a2 b2Queremos determinar os valores extremos absolutos.
Primeiramente determinamos os extremos locais (se houver) :
fI (x,y) = x
h(x,y) = y
Concluimos que o único ponto estacionário é a origem (O, O) pois f tem derivadas em qualquer
ponto. Calculando as 3 derivadas de segunda ordem vemos que fv: (x,y) = 1, enquanto que
fI I = f22 = O em qualquer ponto. Daí concluimos que 11 = -1 e o ponto é um ponto de sela;
nesse ponto a função é nula.
O que ocorre na fronteira de D ?
A fronteira pode ser parametrizada pelas equações x(t) = acos(t), y(t) = b senfr) com
t e [0,2n).
A restrição de f á fronteira é dada por fCa cos(t), b sentr)) = a; sen(2t) e sendo a e b
positivos, o segundo membro é máximo quando sen(2t) = 1, que ocorre quando t = ~ ou
5; ,e é mínimo quando sen(2t) = -1, ou seja quando t = 3; ou 7;.
Então f assume o valor máximo absoluto = a{ nos pontos (r; a, r;b) e
e o valor mínimo absoluto = - a{ nos pontos ( - r; a, r; b) e
EXTREMOS COM VíNCULOS
Em muitos problemas é necessário determinar extremos absolutos de uma função f quando as
variáveis não são completamente independentes mas estão sujeitas à alguma restrição; essa
restrição é definida por uma ou várias equações ou às vezes por desigualdades, que vinculam as
variáveis do problema.
Um método geral para resolver este tipo de problemas é por meio dos chamados
multiplicadores de Lagrange.
O problema pode ser descrito matemáticamente da seguinte forma: determinar extremos de uma
função fCx,y) quando as variáveis x e y estão vinculadas por meio de uma equação do tipo
g(x,y) = c .
Vamos fazer algumas hipóteses básicas para poder resolver esse problema: tanto f quanto g
são funções com derivadas parciais de primeira ordem contínuas e a equação g(x,y) = c define
uma curva parametrizada regular, ou seja uma curva que pode ser decomposta em um número
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finito de partes onde a reta tangente varia contínuamente em cada palie, podendo haver no
máximo um número finito de pontos sem tangente.
Suponhamos que f tem um extremo sobre a curva em um ponto Po(XO,yo) dela onde existe reta
tangente. Seja
r(t) = x(t) i + y(t) j
uma representação paramétrica dessa curva e to o valor do parâmetro para o qual rUo) =
(XO,yo). Então a função composta h(t) = j(x(t),y(t)) é diferenciável e tem um extremo em to,
logo h(t) deve ter um ponto estacionário em to e daí obtemos h'(to) = O e de acordo com a
regra da cadéia
'V j(XO,yo) • r'(lo) = O
Isso quer dizer que o vetor gradiente 'Vj{XO,yo) é perpendicular à curva no ponto Pe, Por outro
lado sabemos também que se o vetor gradiente de g no mesmo ponto não é nulo, ele é
perpendicular ao vetor tangente r'(to) e então os vetores gradiente da f e g devem ser
paralelos: existe uma constante real À tal que
'V j(XO,yo) = À'V g(XO,yo)
Esse valor À é chamado de "multiplicador de Lagrange".
o método dos multiplicadores de Lagrange para calcular extremos absolutos de uma função f
com um vínculo definido pela equação g(x,y) = c, pode ser resumido assim:
Supondo que existem valores extremos de uma função f nas condições descritas acima sujeitos à
condição g(x,y) = c,
= determinar os valores de x, y e À tais que
'V j(x,y) = À 'V g(x,y) e g(x,y) = c
• calcular os valores de f em cada par (x,y) determinado na primeira parte; o maior
valor de todos e o menor valor de todos correspondem aos dois extremos absolutos da
função f
Quando queremos determinar os extremos de uma função contínua sobre todo um domínio
fechado e limitado cujo bordo é formado por uma curva regular, devemos determinar os
extremos locais no interior do domínio e posteriormente os extremos na fronteira do domínio. Na
primeira parte aplicamos se for possível o Teorema (12.6) sobre extremos locais e na fronteira
usamos multiplicadores de Lagrange. Finalmente comparamos os extremos no interior e na
fronteira: o menor valor será o mínimo absoluto e o maior o máximo absoluto no domínio.
Também é possível determinar os valores extremos de uma função cujas variáveis estão sujeitas
a 2 vínculos: g(x,y) = c e h(x,y) = d. Neste caso em lugar das equações anteriores,
devemos resolver as equações
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\1JCx,y) = Â \1 g(x,y) + fi \1 h(x,y) g(x,y) = c e h(x,y) = d
com dois multiplicadores  e fi e proceder como antes.
Resultados similares valem para funções de três ou mais variáveis.
EXEMPLO (12.8)
Determinar os valores extremos de
{(x,y) / x2 + y2 ::::16}
Primeiro analisamos a função no interior de D :
JCx,y) = 2X2 + 3y2 - 4x - 5 no domínio D
II (x,y) = 4x - 4 e f2(x,y) = 6y
cujas soluções são x = 1 e y = O. Observar que o ponto estacionário (1, O) pertence ao
interior de D. As derivadas de segunda ordem são 111(x,y) = 4, 122(x,y) = 6 e
112(x,y) = O, então o discrirninante no ponto (1,0) é 24 ( > O) e 111(1,0) = 4 ( > O),
portanto (1, O) é um ponto de mínimo local.
Falta analisar a função na fronteira que está definida pela equação g(x,y) = x2 + y2 = 16.
Usemos multiplicadores de Lagrange :
Precisamos determinar as soluções de
<4x-4,6y>=Â<2x,2y> e X2+y2 = 16
de onde vem x = -2, y = -2/3, y = 2/3 e  = 3 e também y = O, x = -4, e
 = ~ e y = O, x = 4 e  = - ~ .
Agora comparamos os valores JCl,O) = -7, JC-2,-2/3) = 47, JC-2,2/3) = 47,
fi -4, O) = 43 e JC4, O) = 16.
Então f tem o mínimo absoluto -7 em (1,0) e máximo absoluto 47 em (-2,-2/3) e em
(-2,2ft).
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