Equações Diferenciais

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
295
As equações diferenciais e a modelagem matemática são assuntos estreitamente relacionados
entre si. Embora o primeiro termo tem um significado claro, o segundo termo, modelagem
matemática, não tem uma definição precisa para todos os cientistas. A modelagem não é uma
ciência exata e poucas são as situações da realidade que podem ser traduzi das de forma
suficientemente simples para um modelo matemático. O que ocorre frequentemente é que
modelos matemáticos são obtidos a partir de uma idealização simplificada de um problema
concreto. Resultados que parecem contrários à intuição indicam que são necessárias observações
e experimentações cuidadosas para verificar os resultados de um certo modelo.
Analisemos agora dois exemplos que conduzem a um mesmo tipo de resultados: o decaimento
natural e a lei de resfriamento de Newton.
EQUAÇÃO DE DECAIMENTO NATURAL
A palavra decaimento é usada para descrever o "decrescimento gradual" de qualquer processo (a
quantidade de uma substância, a temperatura de um objeto, etc). Um processo de decrescimento
natural é aquele no qual uma quantidade tem uma velocidade de crescimento relativa negativa
constante; esse é um conceito idealizado pois na prática a equação resultante deve ser
considerada como um modelo que pode ser (ou não) adequado para o problema estudado.
Por definição, a velocidade de variação absoluta de uma quantidade y (onde y depende de t), é
a derivada ?r. A velocidade de variação relativa da mesma quantidade y, é o quociente entre a
velocidade de variação absoluta e a própria quantidade y: ~ 1c.
Então se y tem um decrescimento natural, y deve verificar uma equação da forma
.L dy =-k
y dt
onde k é uma constante positiva. A equação diferencial do decaimento natural, é dada por
dy =_ky
dt
O que devemos fazer agora é determinar todas as funções diferenciáveis do tempo, y(t) , que
verificam essa equação. Como y representa uma quantidade positiva, a função y por ter
derivada negativa, é decrescente e portanto tem inversa e a equação diferencial pode ser reescrita
na forma
.JiL _~ ~
dy k Y
e esta última equação tem uma solução simples de determinar: t = f -1~dy = -lln([yJ) + C
ou, ln([yl) = -kt + kC ,onde C é uma constante arbitrária, e daí deduzimos que [y1= e-k1ekC,
ou equivalentemente
e se A denota a constante (também arbitrária) A = ± ekC, a função y passa a ter a forma
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y = Ae:".
Neste caso particular que estudamos, sendo que y(t) assume valores positivos, A > O.
Essa função foi obtida fazendo os cálculos descritos acima, mas para afirmar que é uma solução
da equação original, deve ser substituida na equação e verificar que os dois membros coincidem
para todo valor da variável t. Deixamos ao leitor essa verificação.
Um problema de valor inicial para a equação de decrescimento natural, consiste da equação
diferencial e uma condição adicional que indica o valor da função y para um valor determinado
da variável t que pode ser (em geral, mas não necessáriamente) t = O.
Se o problema de valor inicial fosse de determinar uma quantidade y com decrescimento natural
com velocidade de crescimento relativa -1, e tal que inicialmente tem 2 unidades dessa
quantidade, deveremos resolver o problema de valor inicial
dy =_y
dt
e y(O) = 2
As soluções da equação são as funções da forma y(t) = Ae-I
y = 2e-t.
Se perguntássemos em qual instante haverá metade da quantidade original, deveremos resolver a
equação y(t) = 1 , ou seja 2e-t = 1 ~ e' = 2 ~ t = In(2) ~ 0,693.
e 2 = y(O) = A ~
LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON
Newton observou experimentalmente que um corpo com temperatura uniforme perde calor a uma
taxa proporcional à diferença entre sua temperatura e a temperatura do meio ambiente onde se
encontra. Seja T(t) a temperatura do corpo no instante t e S a temperatura (fixa) do meio
ambiente, então a taxa de variação de T , -1; (pois T> S e diminui a medida que o tempo
passa), é um múltiplo de T - S com constante positiva, ou seja
- dT = k(T-S)
dt
Físicamente fica claro que se a temperatura do objeto e do meio ambiente coincidem, então T
não mudará com o tempo. Em termos matemáticos dizemos que a função constante T(t) = S V
t, é uma solução; as soluções constantes da equação são chamadas de soluções de equilibrio.
Neste exemplo, se definimos a temperatura "ajustada" y(t) como a diferença entre a temperatura
do objeto e a temperatura do meio ambiente, y(t) = T(t) - S observamos que a equação
diferencial é transformada em
dy =_ky
dt
e essa é a equação de decaimento natural.
A lei de resfriamento está baseada na observação, e observações experimentais nunca são 100%
precisas. A equação anterior não representa uma descrição do processo de resfriamento, mas de
um modelo matemático desse processo. Em certos casos essa lei pode ser mais precisa que em
outros.
A lei de Newton presupõe em parte que a temperatura do objeto é uniforme (temperatura igual
em todo lugar do objeto). E se a temperatura não fosse uniforme?
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Consideremos o uso dessa lei para estimar o momento da morte de um ser vivo.
Se medirmos a temperatura em dois instantes distintos e a temperatura do meio ambiente, então
podemos calcular o valor da constante k. O momento da morte poderia ser estimado como o
instante em que se alcança a temperatura do meio ambiente, mas aí aparecem algumas
dificuldades e a principal delas desde o ponto de vista da modelagem, é a hipótese que a
temperatura é uniforme.
Os seres vivos endoténnicos (de sangue quente), geram calor internamente para manter o corpo a
uma temperatura maior do que a temperatura ambiente. Se a temperatura interna é
aproximadamente de 37° graus e a do meio ambiente de 24° graus, a temperatura na pele está
entre esses dois valores. A transferência de calor do corpo ao meio tem lugar na pele de modo
que a diferença de calor com a pele é menor que a diferença com a temperatura interna e o meio.
Quando aplicamos a lei de Newton estamos supondo que a temperatura na pele é de 37° e como
essa suposição não é completamente correta, as conclusões que tiraremos podem ser
consideradas como uma aproximação daquilo que queremos deduzir da solução do problema. Se
quisermos conclusões melhores, deveremos usar um modelo de resfriamento mais sofisticado.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E SUAS SOLUÇÕES
Examinaremos algumas equações diferenciais com o objetivo de entender os princípios
matemáticos e as técnicas de solução dessas equações e a relação entre as equações diferenciais e
diversos problemas reais.
Além dos exemplos sobre decaimento natural, podemos mencionar outros como
• a equação de movimento de um projétil levando em consideração a resistência do ar
cf2r dr dr
dt2 + b 11 dt 11 dt + gk = O
onde r(t) denota a posição vetorial do projétil em todo instante.
• a equação de um oscilador linear (sistema massa-mola) para uma vibração mecânica não
forçada com amortecimento
m cf2y + f3 dy + ky = O
dt2 dt .
onde y(t) é o afastamento da posição de equilibrio de uma massa na extremidade de
uma mola, m a massa, f3 o coeficiente de amortecimento e k é a constante da mola.
• a equação de um oscilador linear forçado (um circuito elétrico RLC)
LC d2v + RC dv + v = E(t)
dt? dt
onde v(t) é a diferença de potencial entre os extremos de um elemento do circuito, R a
resistência, L a indutância e C a capacitância e E(t) é a voltagem aplicada ao circuito.
• a equação da onda unidimensional
é}2u 2 é}2u--=c--
8t2 8x2
é uma equação diferencial parcial que descreve o movimento de uma onda que pode ser
uma onda oceânica, ou onda sonora, ou a onda que se desloca sobre uma corda vibrante;
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u(x, t) para uma corda vibrante é o deslocamento de um ponto da corda no instante t de
um ponto que se encontra a distância x de uma extremidade da corda e c depende da
tensão na corda e da densidade dela.
Uma equação diferencial que contém derivadas de uma função comrelação a uma variável, é
chamada ordinária; se aparecem derivadas em relação a mais de uma variável, a equação é
parcial. A ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivação que aparece na
equação.
Em geral, entendemos por solução de uma equação diferencial ordinária, uma função y(x)
definida em algum intervalo I finito ou infinito, aberto ou fechado ou semiaberto, tal que ela tem
derivadas de todas as ordens que aparecem na equação e quando essa função junto com essas
derivadas são substitui das na equação, ela se toma uma identidade para todo x no intervalo L
Em muitos casos, as soluções de uma equação podem conter uma ou mais constantes além da
variável que define a solução. Essas constantes são chamadas parâmetros da coleção das
soluções, como no exemplo do decaimento natural onde A denotava uma constante real não
nula.
As equações ordinárias de primeira ordem sempre podem ser escritas na forma geral
dy
F(x,y, dx) = O
Essa é a forma implícita da equação; em certos casos podemos escrever a equação na forma
i = j{x,y)
Essa é a forma explícita e essa última forma permite fazer uma interpretação geométrica do tipo
de soluções da equação. Suponhamos que f está definida em uma região do plano, então em
cada ponto de coordenadas (XI ,YI) podemos desenhar um pequeno segmento com inclinação
j{XI ,YI) que representa a inclinação da curva solução y(x) que passa por esse ponto.
Mais específicamente, determinamos todas curvas no plano com a característica que as
inclinações são constantes, ou seja, curvas no plano onde j{x,y) = constante, e traçamos em
vários pontos dessas curvas pequenos segmentos que representam as inclinações das curvas
solução da equação. Essas curvas de inclinação constante são as isóclinas. Desse modo estaremos
determinando o que é chamado de campo de direçoes das soluções; esse campo permite fazer
uma análise qualitativa das soluções.
EXEMPLO (13.1)
Para esboçar um gráfico aproximado de várias curvas solução da equação
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determinamos as curvas isóclinas; essas curvas estão definidas pelas equações x; y = k , onde
k é uma constante e são as retas paralelas y = x - 2k ; sobre a reta y = x - 2 (k = 1)
desenhamos vários segmentos (minitangentes) de inclinação 1; sobre a reta y = x - 4 (k = 2)
desenhamos várias minitangentes de inclinação 2, e assim por diante para diversos valores de k,
e por último desenhamos uma curva no plano que tangencie todas as minitangentes por onde ela
passa. Essa curva será o gráfico aproximado de uma solução. Repetimos o processo para outras
curvas e teremos finalmente em esboço aproximado de uma coleção de distintas curvas solução
da equação.D
EQUAÇÕES SEPARÁVEIS
Em certos casos é possível separar as variáveis em cada membro de uma equação diferencial;
isso ocorre quando a equação pode ser escrita na forma
y' = j{y)g(x)
Dizemos que a equação é separável e suas soluções são obtidas em muitos casos integrando cada
membro separadamente em relação à variável correspondente.
EXEMPLO (13.2)
Resolver a equação
A equação pode ser escrita separando as variáveis
1 + y2
1 + x2
dy
1 + y2
e o outro em relação a x,
-I -I
tg (y) = - tg (x) + C
e integrando o membro
da esquerda em relação a y
tg-I(y) + tg-\x) = C
Aplicando a função tangente a ambos os membros e usando a fórmula da tangente de uma soma,
obtemos
y+x-"--- = tg( C) = D
I -xy
Essa forma implícita das soluções pode ser simplificada para obter y explícitamente em termos
de x . Deixamos ao leitor a tarefa de verificar que as funções resultantes são soluções da
equação diferencial dada:
D-x Oy= l-Dx·
onde D é uma constante arbitrária.
300
A separação das variáveis permite a integração de cada membro como no exemplo anterior, e a
justificativa depende básicamente do método de integração por substituição:
Se a equação for escrita separando as variáveis
1 dy
j(y) dx = g(x)
levando en conta que y é uma função de x, y(x), temos
1 dy
j(y(x» dx = g(x)
e integrando ambos os membros em relação a x, vem que
f 1 dy fJCy(x» dx dx = g(x)dx
ou
f JCy~x» y'(x)dx = f g(x)dx
e fazendo a substituição u = y(x) e du = y'(x)dx, obtemos
f j(~) du = f g(x)dx
mas como a função u e a função y são equivalentes, mudamos a letra no membro da esquerda
e escrevemos
f h) = f g(x)dx
A integral na esquerda representa a primitiva de ~) o que na prática significa que estamos
integrando em relação à variável y e somente é necessário acrescentar uma constante de
integração no membro da direita, ou seja, quando as variáveis podem ser separadas em cada
membro da equação, integramos em cada membro em relação a cada variável como se as
variáveis não estivessem relacionadas entre si. Em geral este método determina as soluções y(x)
na forma implícita. Vejamos mais um exemplo:
EXEMPLO (13.3)
Determinar as soluções da equação
dy 1- y
dt = t+T
Reescrevemos a equação separando as variáveis
301
~ ~
l-y 1+1
Integrando cada membro em relação à variável que aparece, temos
f dy f dtl-y = t+T
- ln]l - yl = ln]' + 11+ C
ln]l - yl = -Inll + 11- C
e usando a propriedade da exponencial
11 ~- 1 -c- YI - Tt+1Te
+ -Cl-y=~
t + 1
e então
+ -Cy= 1-~
t + 1
Como C é arbitrária, ±e-c é igualmente arbitrária. Se denotamos essa constante por A,
obtemos
y=I---L
t + 1
Mas agora observemos que A não é completamente arbitrária pois e-c nunca se anula, ou seja
A =t= 0, mas a função y(/) == 1 é uma solução da equação que corresponde ao valor A = O.
Todas as funções da forma y = 1 - --LI são soluções embora a solução y(t) == 1 não resulta
l+
dessa coleção. Perdimos essa última solução porque quando separamos as variáveis estamos
dividindo por zero no caso de ser y = 1.O
De um modo geral en todos os problemas resolvidos por este método devemos ter cuidado com o
valor das constantes arbitrárias.
EXEMPLO (13.4)
Resolver a equação
dy = 1 _ y2
dt
Separamos as variáveis
dy = dt
1 - y2
302
(observar que o denominador se anula quando y = -1 e quando y = 1). Integramos em cada
membro e obtemos, decompondo 1 2 em frações parciais
l-y
1 ~ y2 = 1( 1 ~ y + 1 ~ y )
1.. f(_I- + _l_)dy = fdt
2 l+y l-y
1(ln]l +yl-Inll-yl) = t+C
ou seja,
i In (I ~~~I) = t + C
In(1 i~~I) = 2t + 2C
e calculando a exponencial de cada membro,
1 + y = Ae21
l-y
onde A = ±e2C ; a forma explícita das soluções é dada pela equação
Ae2t - 1
y = Ae" + 1
Essa coleção de funções são soluções para todo valor de A para o qual o denominador não é
nulo. Também observamos que essa fórmula não dá todas as soluções possíveis da equação pois
as funções constantes y(t) == -1 e y(t) == 1 são soluções de equilibrio mas nenhuma delas pode
ser obtida da fórmula acima com algum valor da constante A. Então a fórmula anterior com o
parâmetro A qualquer não fornece todas as soluções.D
Uma família de soluções de uma equação diferencial é chamada solução geral se essa família
inclui todas as soluções da equação. Uma solução que não faz parte de uma família, é uma
solução singular. As soluções y(t) == -1 e y(t) == 1 são soluções singulares no exemplo
anterior, e isso quer dizer que a fórmula
Ae2t - 1y=
Ae2t + 1
onde A = e2C , não é a solução geral da equação. Esse exemplo mostra que nem toda equação
diferencial tem uma solução geral.
EXEMPLO (13.5)
Resolver o problema de valor inicial
y' = eXy3 _ xexy3 y(O) = -1
Fatoramos, separamos as variáveis e integramos obtendo
303
dy = y3(l _ x)eX
dx
y-3dy = (1 - x)eXdx
Jy-3dy = J(1 - x)eXdx
- 1-y-2 = (2 - x)eX + C
2
Substituindo x = 0, obtemos _1- = 2 + C ~ C = _-.i
2 2
A fórmula define implícitamente a y com função de x na forma simplificada
y2 = 1
5 - 2(2 -x)eX
o segundo membro tem duas raízes : uma com sinal + e outra com - ; a escolha que temos
que fazer deve ser consistente com a condição inicial y(Q) = -1, portanto escolhemos a soluçãoy = _ 1
J5 - 2(2 - x)eX
A solução encontrada não está definida '\j x. A expressão 5 - 2(2 - x )eX é uma função
contínua de x e tem limite 5 quando x -+ -C(), logo a solução y está definida em un intervalo
tipo (-OO,XI) onde XI é a menor raiz de 5 - 2(2 - x)eX = O. Pode-se verificar com o
MAPLE que a primeira raiz é aproximadamente Xl ~ 0,533 e como para x -+ Xl - o
denominador tende a zero, limx~xly = -C(). Exiba o gráfico da solução para comprovar esse
comportamento.D
Uma classe importante de equações diferenciais, é formada pelas equações autônomas. Essas
equações tem a particularidade que podem ser escritas na forma
dy = j(y)
dt
onde o segundo membro não contém a variável independente t. Para uma equação dessas, o
campo de direções tem a propriedade que ao longo de qualquer reta horizontal no plano ty, as
inclinações são todas iguais pois nesses pontos o valor de y é fixo . Isto significa que se uma
curva no plano é o gráfico de uma solução, qualquer deslocamento horizontal dela é o gráfico de
outra solução.
EQUAÇÕES REDUTíVEIS À FORMA SEPARÁVEL
Alguma equações diferenciais não são separáveis mas em certros casos uma mudança de
variáveis adequada torna a equação separável. Este é o caso de equações que tem a forma
dy =J(Y)
dt t
Nesse caso se u denota a função de t da forma u = ~
substituindo na equação original obtemos
~ y=ut ~ y'=u't+ue
304
u't + u = j(u)
u't=j(u)-u
e essa equação é separável
u =1-
j(u) - u t
du dt
j(u) - u t
Se u(t) é uma solução dessa última equação, a função y(t) = u(t)t é solução da equação dada.
Outras mudanças de variáveis podem tornar separáveis certas equações. Nos problemas veremos
várias situações com essa característica.
EXISTÊNCIA E UNICIDADE DE SOLUÇÕES
Teorema (13.6)
Dado o problema de valor inicial (PVI)
dydt = j(t,y) y(to) = yo
onde f está definida em um retângulo R do plano e o ponto (tOyo) E ao
interior de R, se as funciones f e Z são contínuas em R, o PVI tem uma
única solução y(t) definida em um intervalo aberto I , tI < t < tz que
contém to .•
Algumas observações relativas ao teorema anterior:
a Geométricamente o teorema anterior afirma que por cada ponto no interior de R passa
uma única curva soluçaõ, ou seja, as curvas soluções da equação nunca se cortam no
interior de R.
b O intervalo I onde a solução está definida pode ser um intervalo pequeno que contém
to.
e Se f não é contínua em algum ponto R, então por essse ponto pode passar uma" única
solução, várias soluções distintas, ou nenhuma solução.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS
Em certos casos uma equação ordinária de 1a ordem pode ser escrita na forma diferencial
305
M(x,y)dx + N(x,y)dy = o
onde M e N são funções contínuas numa região R aberta (um retângulo por exemplo), quando
consideramos a derivada y' como se fosse um quociente de diferenciais dx' e multiplicamos
os dois membros por dx. A equação é chamada exata se existir uma função diferenciável de duas
variáveis u(x,y) com derivadas parciais de 2a ordem contínuas, e cuja diferencial du coincide
.. b d - d .- d d ou dx ou d tãcom o primeiro mem ro a equaçao em to a a regiao ; sen o que u = ox + oy y, en ao
necessariamente teremos
~~ = M(x,y) e ~~ = N(x,y) v (x,y) E R
mas oM = 02uoy õyôx
02U
õxõy a;: . A igualdade
oM oN
oy OX
é uma condição necessária para que a equação seja exata, e pode ser mostrado que é também
suficiente, ou seja, se vale que ~~ = ~~ então a equação é exata.
Nestas condições, a equação é transformada na equação du = O, mas isso significa que a função
u deve ser constante em R e consequentemente a solução y(x) é dada na forma implícita
u(x,y) = C onde C é uma constante arbitrária.
É interessante observar que a função u(x,y) pensada como função das duas variáveis
independentes x e y, tem como gráfico uma superficie no espaço tridimensional e as equações
u(x,y) = C são precisamente as curvas de nível no plano xy; essas curvas de nível determinam
implícitamente a variável y como função de x, e elas são as soluções da equação original.
Como podemos obter a função u quando a equação é exata?
Na equação ~~ = M(x,y) integramos em relação a x considerando y como constante e
obtemos
u(x,y) = f M(x,y)dx + C(y)
onde C(y) é a constante de integração que depende de y em geral pois no cálculo anterior y
foi mantido constante. Para determinar C(y) usamos o fato que ~~ = N(x,y) o que leva à
equação
N(x,y) = ~(J M(x,y)dx) + ~~
Integrando esta última equação em relação a y, obtemos a expressão de C(y) com outra
306
constante arbitrária C o que determina completamente a função u(x,y). Vejamos como
funciona o método no seguinte exemplo:
EXEMPLO (13.7)
Resolver a equação diferencial
2 dy
L_ + 2xln(y) = Oy dx
Neste caso reescrevemos na forma diferencial
2
2xln(y)dx + .Ldy = Oy
2
onde M(x,y) = 2x ln(y) e N(x,y) = ~ . Calculamos as derivadas parciais e obtemos
~~ = 37 e o:: = 37· Sendo a equação exata, obtemos
u(x,y) = J 2x ln(y)dx + C(y)
= x2In(y) + C(y)
Ou = N(x y) = K.. obtemosoy , y ,
K.. = -ª-(x2In(y) + C(y»
y oy
= K.. + C(y)
Y
então C' (y) = O ~ C é uma constante (arbitrária). Finalmente,
e da igualdade
u(x,y) = x2In(y) + C
onde C denota uma constante arbitrária. Logo as soluções da equação diferencial são da forma
u(x,y) = x2In(y) + C = C
x21n(y) = D
onde D é uma constante arbitrária. A forma explícita das soluções é obtida isolando y no
membro da esquerda
ln(y) =.J2. ou
x2
.J2.
y = e x2
Podemos observar que basta obter a expressão de u(x,y) tomando a constante C nula; a
307
equação u(x,y) = D tem as constantes necessárias para obter todas as soluções.U
EXEMPLO (13.8)
Resolver a equação
(ycos(x)+2xeY)dx+ (sen(x)+x2eY-l)dy = O
Fácilmente verificamos que
My = cos(x) + 2xeY = Nx
e então a equação é exata. Logo, existe uma função u(x,y) tal que
u, = ycos(x) + 2xeY e uy = sen(x) + x2eY - 1
Integramos a primeira dessas equações em relação a x e obtemos
u(x,y) = J(ycos(x) + 2xeY)dx + C(y)
= Y sen(x) + x2eY + C(y)
Derivando em relação a y temos
~ (y sen(x) + x2eY + C(y) = sen(x) + x2eY - 1
e daí vem que
então C(y) = -1 e C(y) = -y (aqui não é necessário manter uma constante de integração). A
função u é dada por u(x,y) = y sen(x) + x2eY - y e as soluções da equação diferencial são
dadas implícitamente na forma
y sen(x) +x2eY - y = C
onde C é uma constante arbitrária.D
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 1a ORDEM
Uma classe importante de equações diferenciais, é aquela formada pelas equações lineares de
primeira ordem. Essas equações podem ser escritas na forma
1: + yp(t) = q(t)
308
onde as funções p e q são funções contínuas da variável independente t que varia em um
intervalo aberto (tth).
Para encontrar as soluções resolvemos pnmeiro a equação diferencial homogênea, que é a
equação com 2° membro nulo
dy + yp(t) = O
dt
Essa equação é separável pois podemos separar as variáveis na forma
dy = -p(t)dty
e suas soluções têm a forma
InlYl = - Jp(t)dt + C
onde C é uma constante arbitrária; então usando as propriedades do logaritmo
lYl = (e-fP{I)d! )eC
e a constante eC é arbitrária e positiva
-Jp(t)dl
Y = ce
onde c = ±ec representa uma constante arbitrária não nula, mas como a equação tem a solução
de equilibrio y == O, podemos supor que c pode assumir o valor O portanto c denota agora
qualquer valor constante e real.
Agora usamos uma idéia muito interessante que permite obter a solução de qualquer equação
linear homogênea de qualquer ordem a partir da solução da equação homogênea correspondente:
o método chamado de variação dos parâmetros. Esse método consiste em buscar alguma solução
da equação original (com 2° membro q(t)), que tenha a forma
( ) ( )
-fp(tldtyt =vte
ou seja, trocamos a constante, ou parâmetro c na solução da equação homogênea, por uma
função v(t) (o parâmetro c "varia", éagora uma função).
A substituição dessa função y(t) na equação d: + yp(t) = q(t), mostra que a função v(t) deve
satisfazer
( ) d (-fP(I)dl) -Jp(l)dl dv () () -fp(t)d' ( )v t dt e + e di + P t v t e = q t
Mas,
1t (e -f P(t)dl) = e-f p(t)dt ( -p(t) )
e então a penúltima equação pode ser simplificada para obter
dv () fp(t)dl- = q te
dt
309
Logo integrando em relação a t no 2° membro, vem que
J (r p(i)d/'\v = q(t)e- )dt + c
e daí obtemos a forma da solução y(t)
() _ () -fp(l)dl _ -fP(I)dl{f( (.\ fP(I)dl)d }Y t - v t e - e q ,)e t + c
= ee-JP(t)dl +e-fP(t)dt J(q(t)eJp(t)dl)dt *
Examinando cuidadosamente nosso argumento, percebemos que qualquer solução da equação
linear original deve satisfazer a última equação, e como todos os passos são reversíveis, qualquer
função da forma *, é solução da equação linear original.
Desse modo determinamos a solução geral da equação linear e observamos também que as
soluções estão definidas em todo o intervalo onde p(t) e q(t) são contínuas.
Sugerimos ao leitor não memorizar a fórmula complicada * , mas usar o método de variação dos
parâmetros em cada caso.
EXEMPLO (13.9)
Resolver a equação
y' _ -Ly = [3
t
Trabalhamos em um intervalo onde as funções + e t3 são contínuas, por exemplo, o intervalo
(O,CX»). A equação homogênea y' - +y = ° é separável e tem a solução y = et, c constante
arbitrária. Consideramos a função y = v(t)t ; substituindo y na equação original, obtemos
v' = t2, então v(t) = ~ + c e a solução geral é y(t) = 13
4
+ et.
É instrutivo considerar a solução da equação linear desde um ponto de vista distinto.
Um método alternativo: fatores integrantes
o sucesso do método de variação dos parâmetros é devido principlamente a que a função v(t)
definida por v(t) = y(t)ef p(t)d/ é solução de uma equação
diferencial relativamente simples:
dv () f p(t)d/
- = q tedt
_ -fp(l)d' fp(t)dt ..
Entao como y = v(t)e , escrevemos v(t) = y(t)e e subtituimos na equação anterior.
- d ( f P(t)dt) f p(t)dt .Entao dt y(t)e = q(t)e , e calculando a denvada do membro da esquerda obtemos
Jp(t)dt { dy ( )} () Jp(t)dte di + yp t = q t e
310
e essa última equação coincide com a multiplicação membro a membro da equação original
~ + yp(t) = q(t) pelo fator não nulo ef p(t)dt que é chamado de "fator integrante".
Estes passos conduzem ao método geral seguinte:
Método
Para resolver a equação linear d: + yp(t) = q(t), multiplicar ambos os membros pelo fator
eJ=. O membro da esquerda pode ser reescrito como a derivada do produto de y(t) com o
fator integrante:
d (Jp(t)dt) Jp(t)dt ()
dt ye = e q t
e a solução y é obtida integrando os dois lados dessa última equação.
EXEMPLO (13.10)
Resolver a equação
dy _ 2y = t5
dt t
Vamos considerar o intervalo {x / x > O} onde as funções 7 e t5 são contínuas.
f(-1-)dt
O fator integrante é dado por e t = e-2In(t) = e1n(t-Z) = t-2. Multiplicando a equação
diferencial por esse fator, obtemos
r? (dy _ 2Y) = t3
dt t
ou seja,
.d. (yt-2) = t3
dt
(é recomendado derivar o membro da esquerda dessa última equação para ter certeza que
obtemos r2( : - 2i )). Agora integramos em relação a t e resulta
yr? = lt4 + C
4
onde c é uma constante arbitrária.
Propriedades das soluções de equações lineares homogêneas e não homogêneas
Deixamos ao leitor verificar as seguintes propriedades muito simples:
1. Se z(t) é uma soluçãonão trivial da equação homogênea (z(t) não é a função
idênticamente nula), então a solução geral da equação homogênea é da forma
Yh(t) = cz(t).
2. Se Yp(t) é uma solução particular da equação não homogênea e se Yh(t) é a solução
geral da homogênea, então a solução geral y(t) da equação não homogênea é da forma
Y = v« + YP
311
Em geral, o teorema de existência e unicidade para equações diferenciais pode ser enunciado
para equações lineares de Ia ordem da seguinte forma:
Teorema (13.11)
Dado o PVI
y' + p(t)y = q(t) , y(to) = yo
se as funções p e q são contínuas num intervalo aberto I= {t / a < t < b}
que contém o ponto to, então existe uma única solução y(t) do PVI definida
no intervalo I onde yo é um valor arbitrário .•
EXEMPLO (13.12)
Resolver o PVI
ty' + 2y = 4t2 y(l) = 2.
Essa é uma equação linear que reescrevemos na forma
y' + 7 y = 4t
Procuramos uma solução que esteja definida em um intervalo que contenha t = I. As funções
PCt) = 7 e q(t) = 4[ são contínuas em I = (0,00) e o problema tem uma solução. Para
determinar essa solução calculamos o fator integrante
f z.;e t = e2In(t) = [2
Multiplicamos a equação e obtemos
então
logo
ou
y = t2 + 12
[2
para [ > O. Se t = 1 => 2 = y(l) = 1 + C .. C = 1, então a função
yCt) = t2 + _1
[2
é a solução do PVI definida no intervalo infinito (O,OC!).
Se a condição inicial fosse mudada para y( 1) = 1, então C = ° e a solução do novo PVI
seria a função yCt) = [2 que está bem definida e é diferenciável em toda a reta real, inclusive no
312
ponto t = O. O teorema (13.11) afirma que a solução será contínua em (0,00), mas não afirma
que a solução deve ser descontínua em algum ponto onde p(t) ou q(t) são descontínuas. O
gráfico abaixo destaca as duas soluções com C = ° e C = 1, junto com outras curvas de nível
da função yt2 - t4 , inclusive para valores negativos da constante C
/ / /1 ;' .
,/ / i I /
I ! i x! .'
f í / .I i
1// /1
i ! í ! I! ( i ./ I
2
EXEMPLOS DE MODELAGEM
EXEMPLO (13.13) Evaporação de gotas de chuva
Existe um fenômeno denominado de "chuva fantasma" típico de regiões com clima árido, no
qual a chuva que cai se evapora antes de chegar ao solo. Para modelar a chuva fantasma, se
podem elaborar dois PVI' s diferentes
Suponhamos que uma gota de chuva tem inicialmente um diâmetro de 2 mm. Se a gota demora 4
seg para evaporar, determinar o volume da gota em função do tempo. Supomos que a gota tem
forma esférica.
A evaporação é um fenômeno que ocorre apenas na superfície da gota. Suponhamos que a
velocidade de evaporação é proporcional à área da gota, então se V é o volume da gota e A
denota a superfície, temos a seguinte equação diferencial
SOLUÇÃO
dV = -kA(l)
dI
onde k é uma constante positiva que depende das condições climáticas (umidade, temperatura,
pressão atmosférica, etc, que determinam quando a gota evapora totalmente). Para poder resolver
esse problema, relacionamos o volume e a superfície com o raio rU) da gota: V = j 1fr3 e
A = 41fr2, o que permite escrever
313
I 2
A = (36n) 3V3
Daí, a equação é escrita na forma
2
= -kl V3
e V(O) = i tt .Este problema pode ser resolvido como no primeiro exemplo de decaimento. No
entanto podemos transformar a equação em outra bem simples envolvendo a variável r:
dV = 4nr2 dr
dt dt
dr = -k r(O) = 1
dt '
ou seja, o raio tem uma velocidade de decaimento absoluto constante. A solução deste problema
é
r(t) = 1 - kt
e o valor da constante k é obtido da condição que a gota demora 4 seg para evaporar,
1'(4) = ° ~ k = 0,25, portanto
r(t) = 1 - 0, 25t
O volume V(t) está determinado pela fórmula
V(t) = i n(l- 0,25t)3
Se esboçãmos o gráfico de V(t), observamos q~e o volume se anula para t = 4 seg e é negativo
V t > 4. A equação diferencial somente representa o problema enquanto V 2: O. Para todo
t 2: 4, d); = ° ~ V(t) = O, logo para todo valor de t 2: O, a soluçaõ é
{
43n(l- 0,25t)3 se o s c-: 4
V(t) = ° se t » 4
É importante checar que a função V(t) satisfaz a equação diferencial V t : nos intervalos t < 4
e t > 4 a verificação é imediata, um cálculo simples mostra que a derivada V' (4) = ° logo,
a função é a solução da equação diferencial V t. A equação diferencial somente representa o
problema fisico até o instante t = 4.
EXEMPLO (13.14) Lançamento vertical de um objeto
Imaginemos vários individuos lançando cada um diversas bolas para cima, digamos uma bola de
golf, outra de basquete, outra de béisbol e outrade boliche. Um observador medirá a altura
máxima de cada bola a partir do solo para cada pessoa. Pretendemos construir um modelo para
prever qual será a altura máxima alcançada por cada individuo para cada tipo de bola
desprezando a massa da bola e qualquer resistência do ar.
314
Modelo 1
O modelo matemático pode ser descrito de seguinte forma: uma bola é lançada para cima desde
o solo com velocidade inicial ve e esse valor inicial é diferente para cada participante e cada
bola. Quando a bola é solta a única força agindo sobre ela é a força devida à aceleração da
gravidade g = 9,8 ~ ; essa força é dada por -mg onde m é a massa da bola, de acordo com
s
a 23 lei de Newton, e o sinal "-" significa que o sentido positivo é para cima (distâncias,
velocidades, forças). No modelo que aplicamos supomos que a força de resistência do ar é
desprezível e que as diversas alturas acima do solo alcançadas pelas bolas, são relativamente
pequenas o que permite supor que o valor de g é constante durante todo o percurso vertical. Se
y = y(t) denota a altura no instante t, a velocidade vem dada como v(t) = 1r e a aceleração é
a(t) = cP:;; a velocidade será positiva durante o intervalo de tempo no qual a bola sobe e
dt
negativa quando desce; a aceleração a(t) neste caso é negativa e constante para todo t,
a(t) = -g, então nosso modelo pode ser descrito pelas equações
cPy
dt2 = -g, y(O) = O e
dy
-(O) = vo
dt
Este problema é modelado por uma equação diferencial de 23 ordem com duas condições
iniciais. Se em lugar de trabalhar com a altura da bola em função do tempo y(t), consideramos a
velocidade em função da altura y, teremos a equação 1r = v e a primeira equação se reduz a
~~ = -g. Suponhamos que u(y) denota a velocidade em função da altura, então v(t) = u(y(t))
e
dv=dvdy
dt dy dt
= du u
dy
e o problema é agora modelado pelas equações
u ~; = -g, u(O) = Vo
Observar que neste modelo particular, estamos supondo que a aceleração dv = u du é
dt dy
constante (= -g) como função de t o que é uma suposição plausível somente se a altura
máxima alcançada não for muito grande (tipo um lançamento de uma bola por uma pessoa).
Se H denota a altura máxima da bola, teremos u(H) = O pois a velocidade é nula quando a
altura máxima é atingida.
Essa é uma equação diferencial de 1a ordem com uma condição inicial. Para resolver a equação
diferencial, observamos que t (~2 ) = U ~~ , então
t (~2) =-g
e daí vem que
2
],L = -gy+ C
2
315
e a condição inicial u(O) = vo permite calcular a constante de integração C ,substituindo y
pelo valor O
2
~ =C
2
resultando
logo,
u = ± Jvõ - 2gy
e no intervalo em que a bola está subindo, ou seja quando O :s y :s H,
u(y) = Jvõ - 2gy
Observar que o sinal da raiz corresponde à condição u ~ O. A altura máxima é calculada da
equação u(H) = O ~
2
H=~ 2g
Podemos perceber que neste modelo a altura máxima da bola independe da bola. Obviamente
esta conclusão não é correta pois um mesmo individuo lança uma bola de béisbol mais alto do
que uma de boliche. A massa m é uma característica da bola mas a velocidade inicial Vo
depende tanto da bola quanto da pessoa, portanto mudando a bola mudará m e vo , e então o
valor de H dado pela fórmula anterior não é simples de interpretar.
Este modelo poderia ser melhorado substituindo vo por outro valor que seja próprio da pessoa,
independente da massa da bola lançada, como no modelo seguinte:
Modelo 2
Suponhamos que o lançador pode imprimir um impulso inicial determinado à bola, independente
de seu tamanho; o impulso p é definido como o produto da massa e a velocidade inicial. Esse
impulso inicial será p = mvo e neste modelo vamos ter a mesma equação diferencial com a
condição inicial u(O) = ~.
SOLUÇÃO
A solução é dada por
2
e a altura máxima H resulta de u(H) = O ~ H = -p-2gm2 .
O que nos diz esta equação? Se a bola tem uma massa pequena (bola de béisbol) então a
velocidade inicial será grande pois o produto mve é a constante p, e então H será grande
(observar que m2 é pequeno e está no denominador de H). Se por outro lado a massa for grande
(bola de boliche), a velocidade inicial será pequena pois p é o mesmo, e como m2 é grande, H
deverá ser menor. Isso está mais de acordo com a situação real do que no modelo anterior.
316
Modelo 3
Nos dois modelos analisados foi ignorado o efeito de qualquer força de resistência do ar (atrito).
Vamos considerar um outro modelo onde a força de resistência é proporcional ao quadrado da
velocidade
Fr = -bu2
onde b > O ,e u denota a velocidade em função da altura como nos modelos anteriores; essa
força F, determina uma aceleração = - ~ u2.
SOLUÇÃO
O sinal" - " significa que a força se opõe ao movimento vertical para cima, e agora a aceleração
da bola é dada por
cf2y b 2
- =-g--udt2 m
Substituindo o primeiro membro pela função u(y) como nos modelos anteriores, vem que
u du = _(g + lLu2)
dy m
com a condição inicial u(O) = vo. Essa é uma equação separável
dy = -m u du
mg+ bu?
e no 2° membro fazemos a substituição w = mg + bu?
dy=-;b ~
dw = udu
2b
e integrando
y = - ~ lnlmg + bu21 + C
e da condição inicial obtemos
c = fb lnlmg+ bvõl
lnlmg + bu21 = 2J (C - y)
(observar que mg + bu? > O), e
u(y)=
2b
(mg + bvõ)e-mY - mg
b
Essa função descreve a velocidade u da bola desde o lançamento (y = O) até a altura máxima.
O valor de H é obtido novamente da equação u(H) = O
m I ( bvÕ)H = 2b n 1 + mg
Para o leitor interessado analisar o caso de uma bola de tênis, onde m = 0,06 kg e o
317
coeficiente de resistência ~ kgb = 0,00037 -, fazer um gráfico da altura máxima H em função
m
da velocidade inicial vo para valores de vo até 170 km (tenistas profissionais podem bater
h
serviços de até 195 km). Para efeitos de comparação, compare esse último gráfico com um
h
gráfico similar para o modelo 2 e observe se a resistência do ar é um dado significativo. Por
último, este modelo 3 deveria reduzir-se ao modelo 1 no caso de b = O ; verifique isso e
explique como fazer b = O nas fórmulas!!
Observação É interessante comparar o Modelo 1 descrito anteriormente com o Exemplo (6.7)
no Capítulo 6 . O leitor atento perceberá que a hipótese da aceleração que age
sobre o objeto ser constante, não se pode aplicar à questão da velocidade de
escape da terra, pois as equações no Modelo perdem seu sentido para alturas
significativamentes grandes.
EXEMPLO (13.12) Serviço no jogo de vôlei.
No jogo de vôlei, o jogador que faz o serviço no início de cada set, se encontra detrás da linha
final da quadra e do lado direito. A bola deve passar sobre a rede sem tocá-Ia. Se a bola cair fora
da quadra do outro lado da rede, é ponto para o time adversário. Suponha que o treinador observa
que seu time está perdendo muitos pontos devido ao número grande de serviços perdidos, como
ele deverá agir para corrigir este problema?
Um modelo preciso para o serviço no vôlei deveria levar en consideração os movimentos laterais
da bola quando é lançada inicialmente. Nesse caso a trajetória da bola deverá ser descrita pela
posição de um vetor tridimensional r(t). Para simplificar a análise, consideramos um modelo
que não leva em conta movimentos laterais.
Então escolhemos um sistema de coordenadas com a origem na linha de serviço e o eixo x
apontando para o lado onde está a rede e o eixo y apontando para cima.
Observe a figura seguinte
h F
o R
318
A quadra tem uma extensão DF de 18 m, com a rede no meio, (DR e RF medem 9 m ); a
altura H da rede pode variar da acordo com as regras de jogo; vamos supor que a altura do
serviço é de h metros. Essa altura depende obviamente do estilo e altura do jogador. A bola
inicia sua trajetória com uma velocidade inicial de vo ~ ,formando um ângulo de aO graus
S
com a horizontal; a bola deve passar pela rede em (9,H) e depois cair na quadra ou seja, antes
do ponto F.Para elaborar um modelo desta situação, supomos primeiramente que a resistência do ar pode ser
ignorada, e embora esta suposição não é completamente correta, simplifica muito o modelo
matemático.
Modelo 1
Descrição conceitual
A bola inicia seu vôo no ponto de coordenadas (O, h) com velocidade inicial vo com um ângulo
de elevação inicial de aO graus com o eixo x, a partir do instante t = O. A bola se desloca de tal
modo que apenas a força (constante) da gravidade está agindo sobre ela, sem nenhuma força de
amortecimento. Determinar a trajetória da bola.
Comentário:
Podemos separar o problema anterior em dois problemas com valores iniciais, pois as
coordenadas dos pontos da trajetória são (x,y) , então temos um problema para o movimento
horizontal na direção x e outro para o movimento vertical na direção y. O movimento
horizontal não tem aceleração pois não há forças agindo nessa direção; a única força que age
sobre a bola é na direção vertical devida à aceleração da gravidade -g. As condiçoes iniciais são
descritas no problema conceitual anterior. A velocidade inicial é dada por um vetor
"o = < v., Vy >
de duas componentes, uma horizontal Vx = Ilvollcos(a) e a outra vertical vy = IIvollsen(a); a
norma IIVo 11 = Vo representa a velocidade escalar inicial.
Descrição matemática
Resolver os dois PVI' s seguintes:
~; = O, : (O) = vo cos(a), x(O) = O
e
~; = -g, ~ (O) = vo sen(a), y(O) = h
para determinar a trajetória da bola. Determinar também as condiçoes necessárias para que o
serviço seja "bom" .
Os dois problemas são resolvidos fácilmente integrando diretamente cada equação duas vezes
seguidas:
319
x(t) = [vocos(a)]t
y(t) = h + [vo sen(a) Jt - 1gt2
Na Ia equação escrevemos em função de x obtendo,
t = _----"x"--_
vo cos(a)
e esse valor é substituido no lugar de t na 2a equação, resultando
gsec2(a)
y = h + tg(a) x - 2 2 x2
Vo
Essa trajetória é uma parábola e quando x = 9 , y > H para que a bola passe sem tocar a rede,
ou seja
h + 9 tg(a) _ 81 gsec2(a) > H
2V6
A manera de saber se o serviço é bom, é de resolver a equação y = O em termos de x e ver se
x < 18. Mas há uma forma mais simples que consiste em ver se y é negativo quando x = 18
como mostra a primeira figura do problema, pois isso indica que a trajetória vai cair dentro da
quadra antes de x = 18. Então se a bola passar por cima da rede, o serviço será bom se
h + 18 tg(a) _ 162 gsec2(a) < O
V6
Isto resolve o problema matemático; falta resolver a "engenharia" do problema, ou seja adotar
uma estratégia apropriada para o jogador que faz o serviço.
Problema - Descrição conceitual
o sucesso ou fracasso do serviço depende de 4 parâmetros : a altura H da rede, a altura h do
serviço, a velocidade e o ângulo de elevação do serviço. Desses parârnetros a altura da rede é
determinada pelas regras do jogo (assim como as dimensões da quadra). Um jogador pode
escolher então 3 parâmetros : a altura inicial h, e também as velocidades iniciais e ângulos de
elevação; ele não pode escolher esses valores com exatidão, mas pode tentar escolher valores
"alvo" e fazer o serviço com parâmetros próximos a esses valores alvo.
Comentário:
Se o jogador tem preferência por uma certa altura h, então ele pode escolher dois parâmetros : o
ângulo e a velocidade inicial. As duas desigualdades acima fornecem uma informação útil para
valores dados de h e H quando esboçamos um gráfico em um sistema de coordenadas
retangulares vo (na vertical) e a (na horizontal). Cada ponto nesse plano coordenado
corresponde a uma escolha de parâmetros para o serviço e podemos esboçar um gráfico que
mostre quais pontos do plano correspondem a um serviço bom.
Problema - Descrição matemática
320
Dados os valores de h e H, determinar a região do plano de coordenadas (a, vo), que
correspondem a serviços bons e identificar valores alvo para a e vo.
Nas duas desigualdades acima podemos isolar a expressão v6,
o < 81 gsec2(a)
2(h-H+9tg(a»)
< v6 < 162 gsec
2(a)
h+18tg(a)
Para o caso quando H = 2,43 m e h = 1m , mostramos no gráfico abaixo as curvas
Vo = e Vo =
162 gsec2(a)
h + 18 tg(a)2(h - H + 9 tg(a»)
25
muito longo
20
o o 60
5 muito curto
70 8
e podemos perceber pela análise anterior que os pontos entre as curvas correspondem a valores a
e vo que asseguram serviços bons, enquanto que para a região inferior o serviço será muito
curto (a bola não passa sobre a rede) e para a região superior o serviço será muito longo (a bola
não cai dentro da quadra). Também observamos no gráfico que o ângulo a não deve ser inferior
a uns 210 graus.
O problema do treinador será agora de imaginar uma estratégia para que o jogador possa escolher
de algum modo o "melhor" ponto entre as curvas.
Neste modelo, foi usado o valor h = 1 que corresponde a um serviço inicial na altura da cintura
do jogador; se ele preferir pular para lançar um serviço mais alto, tipo h = 2, podemos repetir
321
J
os gráficos anteriores e comparar para determinar se este caso é mais vantajoso que o anterior.
Para o leitor interessado : faça a comparação destas duas situações : qual altura inicial
recomendaria ?
Modelo 2
A inclusão da resistência do ar no estudo dos serviços para o jogo de vôlei, complica a equação
diferencial que agora terá a forma
cf2r dr dr
dt2 + b II dt II dt + gk O
onde b denota a constante de resistência da bola.
Separando a equação vetorial nas duas componentes r(t) = < x(t),y(t) > , obtemos um sistema
de 2 equações diferenciais (como no caso anterior) do tipo
x" + bsx' = O ~ (O) = Vo cos(a), x(O) = O
~ (O) = vo sen(a), y(O) = hy" + bsy' + g = O
onde s(t) denota a norma do vetar r(t)
s(t) = Jx'(t)2 + y'(t)2
A solução desse sistema não pode ser escrita de maneira fechada. Como o único que interessa
são as alturas da bola quando x = 9 e quando x = 18, o problema pode ser simplificado
fazendo uma mudança de variáveis para eliminar a variável t do sitema, o que leva a outro
sistema de 3 equações lineares com 3 condições iniciais que pode ser resolvido numéricamente
usando o valor de b ~ O,016 . Esse valor do coeficiente b é medido usando técnicas de
mecânica dos fluidos.
o gráfico correspondente para este caso ajustado para levar en conta a resistência do ar, mostra
que a região "boa" é significativamente maior que no caso sem resistência e por isso esse ajuste
não deve ser ignorado. Isso significa que a resistência do ar facilita um serviço bom devido
principalmente ao fato que o efeito de diminuir a velocidade da bola tem importância maior aos
18 111 do que aos 9 m.
322