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1. Vetores 1.1 Vetores Vetor: um vetor é um segmento de reta que possui módulo, direção e sentido. Módulo: o módulo é o comprimento do vetor e pode ser calculado pela fórmula 22|| bav . 1.2 Casos particulares de vetores Vetores paralelos: possuem a mesma direção. Vetores iguais: possuem mesmo módulo, direção e sentido. Vetor nulo: vetor de módulo igual a 0; qualquer ponto do espaço. Vetores opostos: vetores de mesmo módulo e direção, mas de sentidos contrários. Vetor unitário: vetor de módulo igual a 1. Vetores ortogonais: vetores que formam um ângulo reto. Vetores coplanares: vetores que estão no mesmo plano. 1.3 Inclinação de um vetor A inclinação de um vetor é a medida em relação à horizontal, no sentido anti-horário. || )(sen v b || )(cos v a a b )(tg A tabela a seguir apresenta os valores do seno, cosseno e tangente para os arcos notáveis correspondentes a 30°, 45° e 60° e será útil em muitos casos. 30° 45° 60° sen 2 1 2 2 2 3 cos 2 3 2 2 2 1 tg 3 3 1 3 2. Operações envolvendo vetores 2.1 Produto de um vetor por um escalar O produto de por v é o vetor v , onde 0 v , 0 , R . 2.2 Adição de vetores ACvu ou ACBCAB ou ACvu ou ACADAB 2.3 Subtração de vetores vuvu )( DBvu ou DBCBDC Observação: As diagonais de um paralelogramo de lados iguais a u e v correspondem a vu e vu . 2.4 Combinação linear de vetores Um vetor v é uma combinação linear dos vetores nvvv ,...,, 21 quando v é a soma dos múltiplos dos vetores nvvv ,...,, 21 : nnvvvv 2211 , onde Rn ,...,, 21 3. Vetores no plano cartesiano ortogonal R2 e no espaço tridimensional R3 3.1 Vetores no plano ortogonal R2 Vetor: jyixv ou ),( yxv Módulo e direção do vetor AB com ),( AA yxA e ),( BB yxB . Módulo: 22 )()(|| ABAB yyxxAB Direção: AB AB xx yy )(tg Componentes de um vetor AB : OAOBAB Produto de um vetor por um escalar: 21 ... vkvkvk onde ),( 21 vvv e Rk Produto escalar: 2121. yyxxvu onde jyixu 11 e jyixv 22 . Produto escalar: cos.||.||. vuvu , com 1800 3.2 Vetores no espaço tridimensional R3 Vetor: kzjyixv ou ),,( zyxv Módulo: 222|| zyxv Módulo do vetor AB : 222 )()()(|| ABABAB zzyyxxAB , com ),,( AAA zyxA e ),,( BBB zyxB . Produto de um vetor por um escalar: 321 .... vkvkvkvk onde ),,( 321 vvvv e Rk Produto escalar: 212121. zzyyxxvu onde kzjyixu 111 e kzjyixv 222 . Produto escalar: cos.||.||. vuvu , onde é o ângulo entre os vetores u e v e 1800 . Produto vetorial: Dados ),,( 321 aaaa e ),,( 321 bbbb , kbabajbabaibaba bbb aaa kji ba )()()( 122131132332 321 321 3.3 Vetores no Rn Adição de vetores: ),...,,( 2211 nn vuvuvuvu onde ),...,,( 21 nuuuu e ),...,,( 21 nvvvv Subtração de vetores: ),...,,( 2211 nn vuvuvuvu onde ),...,,( 21 nuuuu e ),...,,( 21 nvvvv Produto de um vetor por um escalar: nvkvkvkvk .... 21 onde ),...,,( 21 nvvvv e Rk Produto escalar: nn vuvuvuvu .... 2211 onde ),...,,( 21 nuuuu e ),...,,( 21 nvvvv 4. Retas 4.1 Equações da reta Equação cartesiana na forma reduzida: baxy onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. Equação cartesiana na forma ).( 00 xxmyy , onde AB AB xx yy m e ) ,() ,( 00 AA yxyx ou ) ,() ,( 00 BB yxyx . Equação cartesiana na forma geral: 0 cbyax Equação vetorial: )direçãovetor ()posiçãovetor ()( ttr , Rt Para retas em R2: ),.(),()( BBAA yxtyxtr Para retas em R3: ),,.(),,()( BBBAAA zyxtzyxtr Equações paramétricas da reta: Retas no R2: BA BA ytyy xtxx . . Retas no R3: BA BA BA ztzz ytyy xtxx . . . 4.2 Ângulo entre retas, paralelismo e perpendicularismo Ângulo entre duas retas: ||.|| |.| cos vu vu , com 2 0 Retas ortogonais: 0. 2121 vvrr onde 1v e 2v são as direções de 1r e 2r , respectivamente. Se 1r e 2r são concorrentes, então 1r e 2r são perpendiculares. Obs.: Duas retas são concorrentes quando há um ponto de intersecção entre elas. Retas paralelas: Duas retas são paralelas quando o ângulo entre elas é igual a 0. Intersecção de retas: Duas retas r1 e r2 possuem intersecção caso haja um ponto P comum às duas retas. 5. Planos 5.1 Equações do plano Equação geral do plano: 0 dczbyax onde a, b e c são as componentes do vetor normal n , 000 czbyaxd e 0. APn , PA, . Equação vetorial do plano: vtutAP 21 onde u e v são paralelos a , PA, e Rtt 21, . Equações paramétricas do plano: 22110 22110 22110 ctctzz btbtyy atatxx Produto misto: 123312231213132321 333 222 111 ).( zyxzyxzyxzyxzyxzyx zyx zyx zyx wvu onde ) , ,( 111 zyxu , ) , ,( 222 zyxv e ) , ,( 333 zyxw . Ângulo entre dois planos: 21 21 . . )cos( nn nn , com 900 . 6. Distâncias 6.1 Distância entre dois pontos No R2: 22 )()(||),( ABABBA yyxxABd No R3: 222 ),( )()()(|| ABABABBA zzyyxxABd 6.2 Distância entre ponto e reta || || ),( u vu d rP 22 00 ba cbyax d rP || ),( , P=(x0, y0) e r: ax+by+c=0. 6.3 Distância entre ponto e plano 222 000 cba dczbyax d P || ),( , P=(x0, y0, z0) e : ax+by+cz+d=0. 7. Cônicas Cônicas: parábola, elipse, circunferência ou hipérbole. Cônicas degeneradas: retas ou pontos. 7.1 Circunferência Equação reduzida: 22 0 2 0 Ryyxx )()( 7.2 Elipse Equação canônica: 1 )()( 2 2 0 2 2 0 b yy a xx 7.3 Hipérbole Equação canônica: 1 )()( 2 2 0 2 20 b yy a xx (ramos à esquerda e à direita) 1 )()( 2 2 0 2 2 0 b yy a xx (ramos acima e abaixo) 7.4 Parábola Parábola vertical: Equação geral: cbxaxy 2 Intersecções com o eixo x: a acbb x 2 42 Intersecção com o eixo y: (0, c) Vértice da parábola: a acb a b V 4 4 , 2 2 Parábola vertical: Equação geral: cbyayx 2 Intersecções com o eixo x: a acbb y 2 42 Intersecção com o eixo y: (0, c) Vértice da parábola: a b a acb V 2 , 4 42
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