LIMITE

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III. LIMITE
Nosso objetivo é desenvolver uma linguagem que nos permita descrever o comportamento dos valores de uma função f nas proximidades de um ponto b.
Exemplo: Seja f(x) = 1 / x, temos:
	x
	0,0001
	0,001
	0,01
	0,1
	1
	10
	100
	1000
	10000
	100000
	
	1/x
	10.000
	1.000
	100
	10
	1
	0,1
	0,01
	0,001
	0,0001
	0,00001
	0
À medida que o valor de x vai aumentando, o valor de 1/x vai cada vez mais se aproximando de zero, indicamos esse fato por:
 = 0 (limite de 1/x quando x tende a mais infinito é zero).
+ (mais infinito) não é um número; é um símbolo usado para indicar que um valor cresce indefinidamente. Seja uma função real definida para todo numero real em algum intervalo aberto contendo, exceto possivelmente no próprio “a”. O limite de f(x) quando x tende a “a” será L, o que denotamos por se dado ξ>0, existe δ>0 tal que se |x-a|<δ então |f(x)-L|<ξ.
Graficamente:
 
Para uma grande parte das funções temos que 
 
Exemplo: 
Agora, se f(x) não está definida em x=a, fatoramos f(x) ou observamos os valores desta quando x se aproxima de “a”por valores menores que “a” e por valores maiores que “a”.
Exemplo: Seja Dom(f)=R- observando as tabelas 
	x
	0,9 0,99 0,999 0,9999
	 ( x<1)
	f(x)
	4,8 4,98 4,998 4,9998
	
 
	x
	1,1 1,01 1,001 1,0001
	 ( x>1)
	f(x)
	5,2 5,02 5,002 5,0002
	
Concluímos, tanto para x<1 como para x>1 que : 
 
Exemplo: Seja Dom(f)=R-
Fatorando f(x) obtemos:
No 1º exemplo calculamos o limite de uma função quando x tende a um certo valor “a” pela esquerda, que denotamos por
e quando x tende a “a” pela direita denotamos por
Estes limites recebem o nome de limites laterais e 
	
 se e só se ==L
 
Exemplo: Considere a função sgn(x)= 
	
	
 
Algumas propriedades de limite:
Sendo e então:
• e •
• e •
Exemplos:
1) f ( x ) = .
 Assim, = 2 e =0.
2) f(x) = x2 
 4
 = ? = 4 e = 4 = 4
f(x) = .
 1 = ? = 1 e = 0 
 não existe
CONTINUIDADE
Intuitivamente, uma função é contínua em um ponto x = p, com p no domínio da função se o seu gráfico não apresenta “salto” ou “buracos” em x = p.
Exemplos: As funções f(x) = x2 e g(x) =têm gráficos como abaixo:
							 2
O gráfico de f(x) = x2 não apresenta “saltos” ou “buracos” em nenhum ponto. Isso ocorre, pois f é contínua em todo ponto do seu domínio. Já o gráfico da função g(x) apresenta “salto” em x = 2 (somente). Logo g não é contínua em x = 2, mas, a função g é contínua, nos demais pontos do seu domínio. 
Dizemos que uma função f é contínua no número real “a” se e somente se:
i) f(a) existe;
ii) existe;
iii) existe;
Além disso, se f e g são contínuas em um número “a” então:
i) fg também são contínuas em “a”.
ii) f.g também é contínua em “a”.
iii) também é contínua em “a”, desde que g(a)0.
Exemplo: f(x)=2x+3 é contínua para todo número real
Exemplo: f(x)=, não é contínua para x=1, pois f(1) não existe.
Daí f(x)==
Logo o gráfico de f(x) é a reta y=2x+3.
 “os gráficos das funções contínuas não
 apresentam saltos”
Observação:
 As funções lineares, quadráticas, polinomiais, constantes, módulos são contínuas. Logo para calcular o limite de qualquer uma dessas funções em b, basta calcular o valor da função no ponto b. Uma função só pode ser continua num ponto do seu domínio. Se o ponto não pertence ao domínio da função, tal função será descontínua nesse ponto, pois f não está definida neste ponto. 
Exemplos:
 x+2 = 1+2 = 3
 x4 +x-1 = 04 + 0 – 1= -1
 6 = 6			(limite de um número é o número)
-x+2 =-2+2 =0
Propriedades
 k = k		( k constante)			
 x n = p n					
(k. f(x)) = k. f(x) 
(f(x)g(x)) = f(x) g (x )
(f(x).g(x)) = f(x) . g (x )
= (se g(x) e g (x ) diferentes de zero)
7. (a . x + b) = a . p + b	
8. =
Caso particular: “”
Exemplos:
1. = = “” que é uma INDETERMINAÇÃO.
 Mas, esses limites podem ser resolvidos usando a simplificação de frações.
 = =(x+3) = 3+3 = 6.
2. = = “” INDETERMINAÇÃO
 = = (x+1) = 1=1 =2.
3. == “” INDETERMINAÇÃO
 == 5 = 5.
4. == “” INDETERMINAÇÃO
 = =2x = 2.(-2) =- 4.
LIMITES INFINITOS
Considere o seguinte limite:. 
Vamos calcular o valor da função para valores que se aproximam de 2 . Como x2+ então x é maior que 2 e está se aproximando de 2. Assim
 x = 3 =1
x = 2,5 ==2 
x = 2,1 = = 10
x = 2,0001 = = 10.000
x = 2, 0000001 = = 10.000.000
Observe que quanto mais x está próximo de 2, maior fica o número 1 / x-2. Assim, quando x2+ , isto é, quando x se aproxima de 2 pela direita, f(x) =1 / x-2 cresce muito rapidamente, superando qualquer valor fixado. Descrevemos esse comportamento por:
= +
(+) = mais infinito	(-) = menos infinito
Seja f(x)=, pensando nos valores de f(x) quando x se aproxima de zero é fácil concluir que: e =
Graficamente:
 
É fácil concluir também, que sendo r>0 um inteiro então = 
= , se r é par
 , se r é ímpar
Assim, podemos enunciar mais algumas propriedades sendo cR e e , com c≠0 então:
•Se c>0 e se f(x) tende a zero pela direita então .
•Se c>0 e se f(x) tende a zero pela esquerda então .
•Se c<0 e se f(x) tende a zero pela direita então .
•Se c<0 e se f(x) tende a zero pela esquerda então .
Exemplo: Seja f(x)=. Temos que
i)=2.1=2
ii) (assumindo valores negativos)
iii) (assumindo valores positivos)
De i) e ii) concluímos que 
De i) e iii) concluímos que . Logo, não existe .
Exemplo: Seja f(x)=
Observe que x²-2x-3=(x-(-1)).(x-3)=(x+1).(x-3) não pode ser “calculado por substituição”. Logo devemos estudar os limites laterais.
i)
ii) (assumindo valores negativos)
iii) (assumindo valores positivos)
 . Logo, não existe 
Na prática podemos proceder da seguinte maneira:
1.= = = ( ? ) 
x2+ x>2 x =2,1 = 10> 0. Portanto = + .
2. = = = ( ? ) 
x2- x<2 x =1,9 = -10< 0. Portanto = - .
Como temos que não existe.
3. = = = ( ? ) 
x3+ x>3 x = 3,1 = -20 < 0. Portanto = - .
4. = = = ( ? ) 
x3- x<3 x =2 = 2 0> 0. Portanto = + .
Como então não existe.
5. = = = ( ? ) 		
x0+ x>0 x =0,1 = - 200 < 0. Portanto = - 		
		
6. = = = ( ? ) 
x0- x<0 x = -0,1=- 200< 0. Portanto = - 
Como = , temos que =-.
Outras propriedades dos limites infinitos:
Se e então 
Se e então 
Se e então 
Se e então 
Se e então 
Se e então 
LIMITES NO INFINITO:
Calcule . Se x+ então o valor de x cresce arbitrariamente. 
x = 1.000==0,001; x = 1.000.000 = 0,000001; x = 1.000.000.000 = 0,000000001 0
Observe que quanto maior é o valor de x, menor é o valor de 1/x, se aproximando cada vez mais do zero (pela direita). Assim = 0.
Calcule . Se x-então x decresce arbitrariamente.
x=-1.000==-0,001; x=-1.000.000=-0,000001;x=-1.000.000.000=-0,000000001 0
Observe que quanto menor é o valor de x, menor é o valor de 1/x, se aproximando cada vez mais do zero (pela esquerda). Assim = 0.
Propriedades: (simbologia)
1. (+ ) + (+) = +			8. (- ) + (-) = -	
2. (+).(+ ) = +			9. (-).(-) = +
3. (+) + k = +				10. (-) + k = -
4. (+) – k = +				11. (-) – k = -
5. (+) .k =			12. (-) .k =	
6. (+)n = +				13. (-)n =	
7. (+) . (-) = -			14. 15.
Indeterminações
1) (+)- (+) = ?		2) (-) - (-) = ?	3) 0. = ? 			4) 00 = ?
1 = ?			6)0 = ?		7) = ?			8) =?
Exemplos
x 3 +3 x –1 = ( +)3 + 3. (+)-1 = (+) + (+)-1 = +
-2x = -2 (+) =-
 x 3 +3 x –1 = ( -)3 +3.(-)-1 = (-) + (-)-1 = -
-2x = -2( -) = +.
Caso particular “”
= = ??? INDETERMINAÇÃO
Mas, essa indeterminação pode ser eliminada através de um artifício:
Dividimos o numerador e o denominador pela maior potência de x, que aparece na função. Assim:
=== = == 0.
_____________________________________________________________
6. = = ???
= = = = = = 4.
= ???
=== == = +.
_________________________________________________________________
 8.. (dividindo o denominador e numerador por x)
___________________________________________________________________
9. . (dividindo o denominador e numerador por x³)
__________________________________________________________________
LIMITES INFINITOS NO INFINITO
São os limites do tipo:
 
 
Exemplo: Calcule 
 
Portanto 
Exemplos: Calcule, se existir, os seguintes limites:
a) 
b) 
c) 
d) 
 não existe 
e) 
f) onde 
g) e como acima
h) onde
não existe 
i) 
j) 
l) 
 Lista de exercícios – Cálculo Diferencial e Integral 1
1) Calcular os seguintes limites finitos:
		i) 			r) 
 			j) 		s)
			k) 		t) 
			l) 			u) 
			m) 			v) 
		n) 		w) 
		 	o) 		x) 
h) 			p)			y)
2) Calcular os seguintes limites infinitos:
a) 				h) 			
b)				i)		
c) 				j) 	
d) 				k) 		
e)				l) 		
f) 				m) 
g)				n) 
3) Calcular os seguintes limites no infinito:
a) 			f) 
b)			g) 		k)
c)			h) 	l)
d)			i)
e)			j) 
4) Verifique se as funções abaixo são contínuas:
a) 		d) 
b) 		e) 
c) 		f) 
5) Sendo, f(x) = 3x, f(x) = -x, f(x) = -x +1, f(x) = 2x+1, f(x) = -2x+3, f(x) = 3, f(x) = -2, , e , calcule .
6) Sendo calcule, se existir, .
7) Sendocalcule, se existir:
a) .
b) .
8) Sendocalcule, se existir:
a) .
b) .
9) Sendo calcule se existir .
10) Sendo calcule se existir .
11) Sendo calcule se existir .
12) Sendo calcule se existir .
13) Sendo calcule se existir .
14) Sendo calcule se existir .
15) Seja f(x) = , calcule se existir (dica: analise os limites laterais).
16) Seja f(x) = , calcule se existir f(x).
17) Calcule, se existir .
18) Calcule, se existir.