[Cálculo] Limite de uma Função (Resumo)

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LIMITE DE UMA FUNÇÃO 
 
1. Função Contínua 
 
Def.: 𝑝 ∈ 𝐷𝑓em 𝑝 ∈ 𝐷𝑓 quando ∀𝜀 > 0, ∃δ > 0;  |𝑥 − 𝑝| < δ ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑝)| < 𝜀. 
Obs.: 𝑓 é contínua quando for contínua ∀p ∈ 𝐷𝑓. 
 
2. Limite de uma Função 
 
Def.: O limite de 𝒇 em 𝑝 ∈ 𝐷𝑓 (ou 𝑝 pertencente a um dos extremos dos intervalos que 
compõem 𝐷𝑓) é igual a 𝐿 quando ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0;  |𝑥 − 𝑝| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀. 
 
lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) = L 
 
• 𝑝 ∈ 𝐷𝑓 e 𝑝 ∈ 𝐷𝑓 ⇔ lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑝); 
• ∃𝑟 > 0; 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) para  |𝑥 − 𝑝| < 𝑟 e x ≠ 𝑝 ⇒ lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑝
𝑔(𝑥). 
 
 Propriedades 
 
i. lim
𝑥→𝑝
[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) ± lim
𝑥→𝑝
𝑔(𝑥); 
ii. lim
𝑥→𝑝
[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) ∙ lim
𝑥→𝑝
𝑔(𝑥); 
iii. lim
𝑥→𝑝
𝑘 ∙ 𝑓(𝑥) = k ∙ lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) 
iv. lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑝
𝑔(𝑥)
. 
 
 Limites Laterais 
 
Def.: 
i. Limite pela direita: lim
𝑥→𝑝+
𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0;  𝑝 < 𝑥 < 𝑝 + 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀; 
ii. Limite pela esquerda: lim
𝑥→𝑝−
𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0; 𝑝 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑝 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀. 
 
lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) = L ⇔ lim
𝑥→𝑝+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑝−
𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
Teorema do confronto: f(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥); lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑝
ℎ(𝑥) = 𝐿 ⇒ lim
𝑥→𝑝
𝑔(𝑥) = L. 
 
Ex.: 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 temos: 
→ lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 0 ⟶ lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = +∞ 
→ lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 0 ⟶ lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) = −∞ 
 
 Extensão do conceito de Limite 
 
Sejam lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑝
𝑔(𝑥) = +∞, lim
𝑥→𝑝
ℎ(𝑥) = lim
𝑥→𝑝
𝑖(𝑥) = −∞, lim
𝑥→𝑝
𝑘(𝑥) = a e 
lim
𝑥→𝑝
𝑙(𝑥) = 0, tem-se: 
 
i. lim
𝑥→𝑝
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = +∞; 
ii. lim
𝑥→𝑝
[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)] = +∞; 
iii. lim
𝑥→𝑝
[ℎ(𝑥) + 𝑖(𝑥)] = −∞; 
iv. lim
𝑥→𝑝
[𝑓(𝑥) ∙ ℎ(𝑥)] = −∞; 
v. lim
𝑥→𝑝
[𝑓(𝑥) ∙ 𝑘(𝑥)] = {
+∞,  se a > 0
−∞,  se a < 0
; 
vi. lim
x→p
[ℎ(𝑥) ∙ 𝑖(𝑥)] = +∞; 
vii. lim
𝑥→𝑝
[𝑙(𝑥) ∙ 𝑘(𝑥)] = 0 
viii. lim
𝑥→𝑝
𝑘(𝑥)
𝑙(𝑥)
= {
+∞,  se 
𝑘(𝑥)
𝑙(𝑥)
> 0
−∞,  se 
𝑘(𝑥)
𝑙(𝑥)
< 0
. 
 
 
 
Teorema do anulamento: 
 
Se 𝑓 é contínua em [𝑎, 𝑏], tal que, 𝑓(𝑎) e 
𝑓(𝑏) possuem sinais contrários, então 
existe ao menos um 𝑐 em [𝑎, 𝑏], tal que, 
𝑓(𝑐) = 0. 
 
Teorema do valor intermediário: 
 
Se 𝑓 é contínua em [𝑎, 𝑏], tal que, 𝑓(𝑎) <
𝛾 < 𝑓(𝑏), então existe ao menos um 𝑐 em 
[𝑎, 𝑏], tal que, 𝑓(𝑐) = 𝛾. 
 
 
 
Teorema de Weierstrass: 
 
Se 𝑓 é contínua em [𝑎, 𝑏], então ∃𝑥1, 𝑥2 ∈
[𝑎, 𝑏]; 𝑓(𝑥1) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥2), ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].