Teoria da Amostragem

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5.1 Introdução 
 
Vários pesquisadores, desde Borel em 1897 até Nyquist em 1928, passando ainda por 
Kotelnikov, Whittaker, Raabe, Ogura, Someya e Weston, de alguma forma enunciaram ou 
demonstraram um teorema de extrema importância para o futuro das telecomunicações. 
O último a tratar deste teorema foi Claude Shannon (1916-2001), na sua tese “A 
Mathematical Theory of Communication” publicada no “Bell System Technical Journal” em 
1948. O texto de Shannon apareceu na hora certa, pois as telecomunicações tinham avançado 
muito durante a segunda grande guerra, e também no lugar certo, os laboratórios Bell 
inventaram o radar e a transmissão por microondas, durante a guerra, e tinham acabado de 
inventar o transistor, abrindo largo horizonte para a evolução da eletrônica, das 
telecomunicações e dos computadores. 
O objetivo deste capítulo é estudar esse teorema que , para não cometer injustiça a tantas que 
trabalharam nele, será chamado apenas de teorema da amostragem. 
5.2 Teorema da amostragem 
 
No final do capítulo 3 estudamos o trem delta, um sinal periódico, p(t), composto de 
impulsos, e calculamos sua série de Fourier 
 
ττδ
ω 1]k[P)nt()t(p
n
= →−= ∑+∞
−∞=
 0 SF, (5.1) 
 
Usando a (3.124) podemos determinar a transformada de Fourier do trem delta: 
 
( ) ( )∑+∞
−∞=
−=
k
0k
2P ωωδτ
πω (5.2) 
 
Imagine agora um sinal qualquer, x(t), cuja transformada é X(ω), e construa um novo sinal 
conforme abaixo: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ +∞
−∞=
+∞
−∞=
−=−==
nn
a ntnxnttxtptxtx τδττδ (5.3) 
 
A figura 5.1 ilustra a construção deste sinal. A multiplicação pelo trem delta anula x(t) em 
todos os pontos, exceto se τnt = . Dizemos então que o sinal foi amostrado, só restaram 
amostras do sinal nos instantes de tempo dados por τnt = . 
A operação executada na (5.3) foi a modulação de dois sinais, cuja transformada de Fourier 
pode ser calculada pela (4.50). 
O TEOREMA DA AMOSTRAGEM E 
A TECNOLOGIA DIGITAL 
100 PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS 
 
 
( ) ( ) ( )ωωπω PX2
1X a = (5.4) 
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )∑
∑
∞+
−∞=
+∞
−∞=
−=
−=
k
0a
k
0a
kX1X
kX1X
ωωτω
ωωδωτω
 (5.5) 
 
Chegamos ao seguinte par de Fourier: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑+∞
−∞=
+∞
−∞=
−=→−=
n k
0aa kX
1Xntnxtx ωωτωτδτ 
TF (5.6) 
 
No tempo obtivemos um sinal composto de amostras espaçadas de τ segundos, sendo 
interessante definir a freqüência de amostragem como sendo 
 
τ
πωω 20a == (5.7) 
 
O espectro do sinal amostrado, ( )ωaX , é composto pela soma do espectro do sinal original 
com seus deslocamentos de múltiplos da freqüência de amostragem. 
t 
t 
t 
x(t)
p(t) 
xa(t) 
Fig. 5.1. Amostragem de um sinal. 
O TEOREMA DA AMOSTRAGEM E A TECNOLOGIA DIGITAL 101 
 
 
A figura 5.2 mostra os efeitos da amostragem sobre um sinal x(t) cujo espectro de frequências 
é limitado à faixa WW ≤≤− ω , conforme mostrado em (a). Em (b) e (c) são mostrados 
alguns deslocamentos de ( )ωX para construir a TF do sinal amostrado, de acordo com a 
(5.6). Observe que em (c) foi escolhida uma freqüência de amostragem suficientemente 
grande, de modo que não há superposição dos espectros deslocados. Neste caso o desenho de ( )ωaX é o próprio desenho mostrado em (c). 
Na situação (b) é preciso somar os espectros na faixa de superposição para chegar-se ao 
desenho de ( )ωaX . 
Vamos analisar com atenção a figura 5.2(c). Em primeiro lugar a superposição só pode ser 
evitada se escolhermos a frequência de amostragem de acordo com o critério abaixo: 
 
W2
WW
a
a
≥
≥−
ω
ω
 (5.8) 
 
Em segundo lugar, a figura 5.2(c) mostra que o espectro do sinal original, ( )ωX , aparece 
intacto, podendo ser recuperado passando-se o sinal amostrado xa(t) por um filtro passa 
baixas com faixa de passagem WW ≤≤− ω . Veja a figura 5.3 
 
 
 
X(ω) 
W -W
ω(a) 
(b) 
(c) 
ω
ω
X(ω) X(ω−ωa) X(ω+ωa) 
ωa ωa-W −ωa 
X(ω) X(ω−ωa) X(ω+ωa) 
−ωa ωa W ωa-W 
Fig. 5.2 Transformada de Fourier de um sinal limitado em 
frequência. (a) TF do sinal antes da amostragem; (b) amostragem 
com frequência pequena, causando superposição; (c) amostragem 
com frequência grande, evitando a superposição. 
 filtro 
...passa baixas xa(t) x(t) 
h(t) 
Fig. 5.3. Recuperação do sinal original, 
limitado em freqüência, a partir de suas 
amostras. 
102 PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS 
 
Este resultado é simplesmente impressionante! Fizemos a amostragem do sinal x(t), isto é, 
perdemos a maior parte da informação (no tempo) sobre o sinal e ficamos somente com 
algumas amostras. Mesmo assim é possível recuperar o sinal x(t), exatamente como ele era, 
através do espectro do sinal amostrado xa(t), por que soubemos escolher a freqüência de 
amostragem adequadamente! 
 
Para deixar tudo bem claro vamos agora recuperar x(t) a partir de ( )ωaX . Conforme já 
mencionamos, basta passar o sinal amostrado, xa(t), por um filtro passa baixas, cuja faixa de 
passagem é WW ≤≤− ω . 
 
A resposta em freqüência do filtro que precisamos é simplesmente 
 
( )


>
≤=
W0
W
H ω
ωτω
 se
 se
 (5.9) 
 
Comparando com a (3.84), obtemos a transformada inversa imediatamente: 
 
( ) ( )
t
Wtsenth πτ= (5.10) 
 
Pela (4.21) a saída do filtro é obtida pela convolução de sua entrada com h(t): 
 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∑
∞+
∞−
∞+
−∞=


 −−=
∗=
dv
v
Wvsennvtnxtx
thtxtx
n
a
πττδτ
 (5.11) 
 
Para o cálculo da convolução pegamos a expressão de xa(t), dada por (5.6), e fizemos a troca 
de t por t-v. Invertendo a ordem das operações e usando propriedade do impulso: 
 
( ) ( ) ( ) ( )∑ ∫+∞
−∞=
+∞
∞−
−−=
n
dvnvt
v
Wvsennxtx τδπττ (5.12) 
 
Lembrando da propriedade de peneiramento do sinal impulso 
 
( ) ( ) ( )[ ]( )∑
+∞
−∞= −
−=
n nt
ntWsennxtx τπ
τττ (5.13) 
 
A expressão acima mostra claramente que o sinal x(t) pode ser obtido a partir de uma 
combinação linear das amostras ( )τnx . Para analisar a (5.13) de modo mais fácil 
suponhamos que foi usada a menor freqüência de amostragem possível 
 
τ
π
τ
πω
=
==
W
W22a
 (5.14) 
O TEOREMA DA AMOSTRAGEM E A TECNOLOGIA DIGITAL 103 
 
 
 
Neste caso a (5.13) reduz-se a 
 
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )∑
∑
∞+
−∞=
∞+
−∞=


 −=
−


 −
=
n
n
ntcsinnxtx
nt
ntsen
nxtx
τ
ττ
τ
τπ
τ
τπ
τ
 (5.15) 
 
Se t for um múltiplo de τ, τkt = , então a função sinc será nula para todos os valores de n, 
exceto para n=k, quando valerá 1. Para um valor qualquer de t todas as amostras contribuem 
para formar o valor de x(t). 
 
Um computador não consegue trabalhar com um sinal de tempo contínuo (composto de uma 
quantidade infinita de amostras) mas o teorema da amostragem abre a possibilidade de uso 
dos computadores, pois podemos trabalhar como sinal amostrado. 
Mas a coisa não é tão simples assim. A aritmética do computador é limitada e não permite 
representar qualquer valor de uma amostra, só é possível representar uma quantidade limitada 
de valores e isto exige outra providência, conforme veremos no próximo item. 
 
5.3 Quantização das amostras 
 
Os computadores trabalham com um número limitado de bits e por esta razão só são capazes 
de representar uma quantidade limitada de números. 
Na representação chamada de “ponto fixo” um computador de 8 bits é capaz de representar 
25628 = números inteiros positivos, de 0 a 255, por exemplo. Outra possibilidade é 
representar números inteiros relativos, de -127 a +128, por exemplo. 
A representação chamada de “ponto flutuante” é usada para números reais escritos na forma 
científica ( E10M ×± ). No computador de 32 bits os bits de 0 a 22 formam os algarismos 
significativos do número (mantissa) e os bits de 23 a 30 indicam o expoente. O bit 31 dá o 
sinal do número. 
 
O fato importante é que o valor da amostra que entregamos ao computador será representado 
por ele com um certo erro, devido à sua limitação de quantidade finita de bits. 
Para assumirmos o controle deste erro podemos, após a amostragem, executar o processo 
chamado de quantização: dividimos o intervalo de variação do sinal original x(t) em n2 
intervalos e arredondamos cada amostra, que cai dentro de um dado intervalo, para seu valor 
médio. Assim as amostras poderão ser representadas, a menos de uma constante, por n2 
números inteiros. 
Claro que estaremos cometendo um erro, chamado erro de quantização. Para uma grande 
quantidade de amostras é de se esperar que os erros cometidos estejam uniformemente 
distribuídos dentro do intervalo. 
 
Definindo o erro de quantização como 
 
intervalo do médio valor - amostra da realvalor =EQ (5.16) 
104 PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS 
 
 
e, associando valores inteiros ao valor médio dos intervalos, podemos supor que sua 
densidade de probabilidade é representada pela figura 5.4. 
 
 
A média do erro de quantização é dada por 
 
( ) 0dxxxpm 5,0
5,0
== ∫+
−
 (5.17) 
 
a variância e o desvio padrão por 
 
( ) ( )
2887,0
12
1
12
1
3
xdxxpmx
5,0
5,0
35,0
5,0
22
==
=

=−=
+
−
+
−
∫
σ
σ
 (5.18) 
 
É preciso lembrar que a variância dá a potência do sinal aleatório e o desvio padrão 
representa seu valor eficaz (valor rms). 
 
O cálculo acima foi feito supondo largura unitária para os intervalos de quantização. Se a 
largura do intervalo (em volt ou ampère) for L então os limites de integração acima passam 
para L5,0± e a densidade de probabilidade para ( ) L/1xp = , produzindo os resultados 
abaixo 
 
L2887,0
12
L
12
L22
==
=
σ
σ
 (5.19) 
 
 
O exemplo abaixo mostra os efeitos da quantização sobre um sinal. 
 
 
 
x
p(x) 
+0,5 -0,5 
Fig. 5.4 Densidade de probabilidade do erro de 
quantização. 
1
O TEOREMA DA AMOSTRAGEM E A TECNOLOGIA DIGITAL 105 
 
 
 Exemplo 5.1 Um sinal x(t), cuja faixa de valores estende-se de 0 até 10V, foi 
convenientemente amostrado. Sabendo-se que o sinal já contém ruído térmico com valor 
eficaz de 10mV, pede-se estimar as conseqüências da quantização com 8 e 12 bits. 
 
Com 8 bits temos 255 intervalos de largura 
 
mV2,39V0392,0
255
V10L === (5.20) 
 
resultando no seguinte valor para o valor eficaz do ruído de quantização: 
 
mV3,11mV
12
2,39
12
L ===σ (5.21) 
 
A combinação dos dois ruídos aleatórios (térmico e quantização) é feita somando-se suas 
variâncias. O ruído total terá o seguinte valor eficaz: 
 
mV09,153,1110 22tot =+=σ (5.22) 
 
Um aumento maior que 50%. 
Repetindo os cálculos para 12 bits: 
 
mV024,1070,010
mV70,0
12
44,2
mV44,2
4096
V10L
22
tot =+=
==
==
σ
σ (5.23) 
 
A quantização com 12 bits praticamente não acrescenta ruído ao sinal original, o acréscimo 
foi de apenas 0,24%. 
 
A escolha da quantidade adequada de bits depende de quanto ruído a mais o sinal tolera. 
 
 
 
5.4 A tecnologia digital 
 
Após a amostragem e a quantização dizemos que o sinal foi transformado para a forma 
digital, por que os valores de suas amostras podem ser codificados através de um número 
finito de dígitos binários, isto é, bits. 
Genericamente podemos realizar três tipos de tarefas com o sinal digital. 
 
• Processamento 
 
Neste caso o sinal digital é dado de entrada para um software que realizará algum 
processamento, com o objetivo de modificá-lo. Uma aplicação comum é a compressão do 
sinal. Um bom exemplo é o processamento de sinal de música através do MP3. 
106 PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS 
 
Uma comparação entre as características do funcionamento do ouvido humano e as do sinal 
musical revela que este possui muitos atributos que aquele não consegue perceber. O que o 
MP3 faz é processar o sinal de música para retirar as partes que o ouvido não percebe. Deste 
modo obtemos um novo sinal que ocupa menor espaço para armazenamento, que gasta menos 
tempo para ser transmitido, mas que funciona para nosso ouvido exatamente como o sinal 
original. 
 
• Armazenamento 
 
Os meios comuns de armazenamento são magnéticos (disco rígido, fita magnética) ou ópticos 
(CD, DVD). Em ambos pode ser feita a gravação usando apenas dois estados. Mo meio 
magnético pode ser gravado um campo magnético apontando para cima ou para baixo. Basta 
associar um dos sentidos ao bit 1 e o outro ao bit zero. O valor do campo é irrelevante, só 
interessa seu sentido. Mesmo que com o envelhecimento do meio a intensidade de campo 
diminua, a gravação continua perfeita. 
No antigo processo de gravação analógica o valor do campo estava associado à intensidade 
do sinal e portanto o envelhecimento deteriorava a gravação. 
Nos meios ópticos os pontos correspondentes a um dado bit são queimados por laser e ao 
outro bit não. 
 
• Transmissão 
 
A transmissão do sinal digital entre pontos distante é feita através de sua transformação em 
um trem de pulsos correspondente à sua codificação em bits. Para a codificação com 8 bits a 
amostra correspondente ao intervalo de quantização 149 é codificada como 10010101. A 
figura 5.5(a) mostra o correspondente trem de pulsos a ser transmitido. Em (b) está mostrado 
o trem de pulsos recebido na outra ponta do sistema, deformado por ruído adquirido durante a 
transmissão. Uma grande vantagem da tecnologia digital torna-se evidente agora: observe a 
reta média, traçada na figura 5.5(b). Onde há sinal acima dela nós sabemos que o correto é o 
valor correspondente ao bit 1. Se o sinal estiver abaixo dela, o correto é o valor do bit zero. 
Em suma, o sinal chega sujo mas pode ser passado a limpo. A qualidade da transmissão 
digital é muito superior à analógica, pois nesta não há como passar o sinal a limpo! 
 
Um pequeno desajuste mecânico na posição do laser pode causar um erro de gravação, assim 
como uma interferência muito forte pode trocar um bit do trem de pulsos que está sendo 
1 
0 0 0 0
1 1 1 
(a)
(b)
Fig. 5.5 Recuperação perfeita de um sinal digital, mesmo 
tendo sido contaminado por ruído. 
O TEOREMA DA AMOSTRAGEM E A TECNOLOGIA DIGITAL 107 
 
 
transmitido. Mesmo assim a tecnologia digital pode recuperaro valor correto do sinal. 
Existem poderosos códigos, que utilizam mais bits que o mínimo necessário, capazes de 
detectar qual bit foi trocado e corrigi-lo. 
 
5.5 Conversor analógico-digital (CAD) 
 
Dado um sinal analógico qualquer, voz, música ou imagem, a sua transformação em sinal 
digital é feita através de um conjunto de circuitos denominado conversor analógico-digital, 
que realiza as tarefas de filtragem, amostragem e quantização, conforme mostrado na figura 
abaixo. 
 
 
A primeira observação sobre a figura 5.6 é que o filtro passa baixas, responsável por evitar a 
superposição do espectro do sinal amostrado, deverá ser construído com tecnologia 
analógica, pois o sinal ainda é analógico. Teremos à frente um capítulo sobre filtros. 
 
Ao demonstrarmos o teorema da amostragem usamos um trem delta que funciona muito bem, 
do ponto de vista matemático, mas que não existe no mundo real. A possibilidade prática é 
substituir o trem delta por um trem de pulsos estreitos o suficiente para pegar essencialmente 
o valor do sinal no instante de amostragem. Mas ainda resta um problema, o circuito de 
quantização precisa de tempo para realizar sua tarefa, sendo conveniente que o valor da 
amostra fique na sua entrada durante todo o intervalo entre duas amostragens. 
 
 
5.6 Conversor digital-analógico(CDA) 
 
Depois de processado o sinal digital deve ser reconvertido em analógico através de um 
conversor digital-analógico, como o da figura 5.7. 
 
 
Para o circuito do conversor funcionar as amostras do sinal digital não podem ter duração 
nula, como acontece com a amostragem pelo trem delta. A solução largamente adotada é 
manter o valor da amostra até que a próxima chegue. Isto é feito pelo retentor de ordem zero, 
ilustrado na figura 5.7. O nome do retentor deriva do fato de que ele interliga as amostras 
usando um polinômio de grau zero, isto é, uma constante. Há retentores de ordem um, dois... 
 
 filtro passa 
......baixas 
amostragem
.e retenção 
 
quantização sinal analógico 
x(t) xa(t) sinal 
digital 
Fig. 5.6 Esquema do conversor analógico-digital. 
 
.....retentor de 
.....ordem zero 
......filtro 
reconstrutor 
sinal 
digital 
sinal 
analógico 
Fig. 5.7 Diagrama de blocos do conversor digital-
analógico. 
108 PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS 
 
Matematicamente a operação de retenção é feita através de convolução, conforme mostrado 
na figura 5.8. 
 
 
De acordo com a (5.6) o sinal amostrado é dado por 
 
( ) ( ) ( )∑+∞
−∞=
−=
n
a ntnxtx τδτ (5.24) 
 
e a janela de retenção, mostrada na figura 5.8 vale 
 
( )

 ≤≤=
contrário caso
 se
0
t01
tr
τ
 (5.25) 
 
A convolução dos dois nos dá 
 
xa(t) 
t 
r(t) 
t
1
τ 0
t 
 
Fig. 5.8 Esquema para o retentor de ordem 
zero. 
xar(t) 
O TEOREMA DA AMOSTRAGEM E A TECNOLOGIA DIGITAL 109 
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )ττ
τδττ
τδτ
τδτ
ntrnxtx
dvnvtntrnxtx
dvnvtvrnxtx
dvnvtnxvrtx
dvvtxvrtx
n
ar
n
ar
n
ar
n
ar
aar
−=
−−−=
−−=


 −−=
−=
∑
∫∑
∫∑
∫ ∑
∫
∞+
−∞=
∞+
∞−
∞+
−∞=
∞+
∞−
∞+
−∞=
∞+
∞−
∞+
−∞=
+∞
∞−
 (5.26) 
 
O leitor poderá comparar o resultado da (5.26) com a figura 5.8 para se convencer de que a 
convolução produz a retenção das amostras. 
 
Problema velho resolvido, problema novo criado. A retenção tem um efeito indesejado em 
freqüência. A TF da janela de retenção é 
 
( ) ( )
( )
( ) 2j
a
2
j
2
j
2
jj
0
tjtj
ecsinR
2
j2
eee
j
1eR
dtedtetrR
ωτ
ωτωτ
ωτωτ
τ
ωω
ω
ωτω
ωττωω
ω
−
−
−−
−
+∞
∞−
−



=
−=−
−=
== ∫∫
 
 (5.27) 
 
Com a convolução o espectro do sinal mudou de ( )ωaX para ( )ωarX . 
 
( ) ( ) 2
a
aar ecsinXX
ωτ
ω
ωτωω −


= (5.28) 
 
Depois da retenção basta passar o sinal por um filtro passa baixas para recuperar o sinal 
analógico. Este filtro é chamado de reconstrutor e tem que ser implementado analogicamente, 
pois seu sinal de entrada, ( )txar , é de tempo contínuo. Um requisito obrigatório do filtro 
reconstrutor é que sua faixa de passagem não pode ser plana, ela deve ter formato adequado 
para compensar a distorção introduzida na retenção, conforme nos mostra a (5.28). 
 
 
 
 
110 PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS 
 
5.7 Mudança da freqüência de amostragem 
 
O progresso da tecnologia digital e o avanço da eletrônica possibilitam variações 
interessantes no processamento de sinal mostrado nas seções acima. 
 
Vamos ilustrar o que estamos dizendo com um exemplo. Nossa tarefa é projetar um 
gravador/reprodutor de voz, com tecnologia digital, que tenha “qualidade telefônica”, isto é, 
que funcione bem na faixa de zero a 3400Hz. 
Na figura 5.9 temos os diagramas de blocos do gravador e do reprodutor. 
 
 
A freqüência de amostragem escolhida foi kHz8fa = , por ser tradicional em telefonia. Esta 
escolha dificulta o projeto do filtro anti-superposição, pois ele deve ser razoavelmente plano 
até 3400Hz e apresentar grande atenuação em 4kHz. Para cair muitos dB em apenas 600Hz o 
circuito do filtro deverá ser bastante elaborado, com muitos componentes, volumoso e caro. 
 
• Superamostragem 
 
Não custa nada tentar alguma coisa diferente. Mudemos a freqüência de amostragem para um 
valor muito acima do mínimo exigido pelo teorema da amostragem, por exemplo, 
kHz64fa = . Este exagero tem o nome de superamostragem. 
O filtro precisa ter alta atenuação em 32kHz, para evitar a superposição de espectro, e ser 
plano abaixo de 3400Hz. A faixa de transição entre estes dois valores é larga o suficiente para 
permitir que um simples circuito RC seja um filtro adequado. 
 
Ótimo, simplificamos bastante o hardware! Mas o sinal na saída do filtro certamente 
apresentará componentes indesejados na faixa de transição, que estarão presentes no sinal 
amostrado. Felizmente isto tem solução simples: depois da superamostragem passamos o 
sinal amostrado por um filtro digital (software) com as mesmas características do filtro 
analógico original. 
 
 - plano até 3400Hz 
 - grande atenuação a partir de 4kHz 
 
Veremos no capítulo sobre filtros que, ao contrário do filtro analógico, o filtro digital acima é 
facilmente obtido. 
 
 
.........FPB 
......3400Hz 
....amostr/ret 
........8kHz 
 
..quantização 
 
.armazenamento 
voz 
 
......leitura 
 
......retentor 
.......FPB 
....3400Hz 
 
..reprodução 
memória 
Fig. 5.9 Diagrama de blocos do gravador/reprodutor de voz. 
O TEOREMA DA AMOSTRAGEM E A TECNOLOGIA DIGITAL 111 
 
 
• Decimação 
 
Nosso projeto está indo muito bem. O sinal já está amostrado e limpo a partir de 3400Hz. A 
próxima etapa é armazenar as amostras na memória. 
A memória original foi dimensionada supondo amostragem em 8kHz, oito mil amostras por 
segundo. Temos então que aumentar a memória 8 vezes, por que obtivemos 64000 
amostras/seg? 
A resposta é não. A solução é a decimação: de cada 8 amostras armazene a primeira e jogue 
as outras sete fora. Este processo, implementado em software, corresponde a dividir a 
freqüência de amostragem por 8, a armazenar amostras obtidas com freqüência de 
amostragem de 8kHz, exatamente como antes. 
E não penseque a decimação vai causar alguma distorção no sinal. Lembre-se de que o filtro 
digital usado antes limitou o espectro a 4kHz. O sinal já estava preparado para ser amostrado 
em 8kHz. 
 
Acabamos de construir o gravador com menos hardware e mais software. Certamente 
diminuímos custo, volume e peso. Veja como ficou: 
 
 
 
Do lado do reprodutor de voz podemos deixar tudo como está ou também tentar a troca de 
hardware por software. Vamos tentar. 
Primeiro retiramos da memória as amostras obtidas à taxa de 8kHz. É importante lembrar que 
o espectro do sinal amostrado é uma repetição periódica do espectro do sinal de tempo 
contínuo original, conforme esquematizado abaixo: 
 
 
 
...FPB RC 
...3400Hz 
superamostr. 
.....64kHz 
..FPB digital 
.....3400Hz 
 
...decimação 
 
.armazenamento
Fig. 5.10 Diagrama de blocos do gravador, 
usando superamostragem e decimação. 
voz
Xa(ω) 
f(kHz) 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 
Fig. 5.11 Espectro do sinal analógico, após amostragem em 
8kHz 
112 PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS 
 
• Interpolação 
 
Interpolação é uma técnica que, no fundo, não faz absolutamente nada, mas causa uma 
grande diferença. 
As amostras devem ser lidas na memória na cadência de 8kHz, conforme figura 5.12(a). 
 
 
Suponha que você esteja usando um relógio na cadência de 64kHz. No primeito tic do relógio 
a primeira amostra é lida, no segundo tic você não faz nada, nem no terceiro... só no nono tic 
é que a segunda amostra vai ser lida. 
Não fazer nada nos tics intermediários é equivalente a informar que o valor da amostra é 
zero. 
Como nada foi feito, o espectro do sinal amostrado continua o mesmo da figura 5.11. Mas, 
como a quantidade de amostras agora (contando os zeros) é oito vezes maior, a freqüência de 
amostragem mudou para 64kHz. 
A interpolação é isto, o sinal amostrado continua o mesmo, mas a freqüência de amostragem 
muda. 
Os próximos passos são a retenção e a filtragem reconstrutora. Conforme já sabemos, a 
retenção introduz uma distorção que precisa ser compensada na filtragem. 
 
O filtro ficou muito complicado por que além da correção ele terá que preservar o espectro 
representado na figura 5.11, na faixa de zero a 3400Hz, e eliminar tudo a partir de 4kHz. 
É simples, usaremos um filtro digital para fazer a limpeza. Em seguida adicionamos um 
simples filtro RC para recuperar o sinal analógico original. 
t 
t 
(a)
(b)
Fig. 5.12. (a) amostras na cadência de 8kHz. (b) 
interpolação de zeros, criando a taxa de 64kHz. 
FPB digital 
...3400Hz 
Fig. 5.13 Diagrama de blocos do reprodutor de voz. 
.....FPB RC 
.....3400Hz 
voz 
 
..interpolação 
 
....retenção 
memória
O TEOREMA DA AMOSTRAGEM E A TECNOLOGIA DIGITAL 113 
 
 
5.8 Conclusão 
 
Como regra geral os processos naturais ou criados pelo homem dão origem a sinais 
analógicos (de tempo contínuo), para os quais a TF e a SF são ferramentas poderosas de 
análise. 
O teorema da amostragem abriu as portas para o nascimento da tecnologia digital que 
trabalha com amostras, ou seja, sinais de tempo discreto. 
É natural que tenhamos interesse em desenvolver ferramentas adequadas para este novo tipo 
de sinal. Este será o assunto do próximo capítulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
114 PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Use seu computador para plotar 24 períodos do sinal ( ) tsentx ω= , com f2πω = e 
Hz12f = . 
 Faça a amostragem do sinal com Hz5,12fa = e plote as amostras no mesmo gráfico. 
a) As amostras sugerem uma senóide de freqüência diferente de 12Hz. Qual? 
b) Explique o fato acima à luz do teorema da amostragem. (em inglês diz-se que a 
freqüência assumiu um valor falso – codinome – ou alias, cuja pronúncia é êi-li-as. A 
superposição é chamada de aliasing). 
 
2) Responda às questões abaixo sobre o sinal ( ) ( )
t
tsentx π
π= . 
a) Qual sua TF? 
b) Qual a menor freqüência de amostragem, aω , que satisfaz ao teorema da 
amostragem? 
c) Esboce o espectro do sinal amostrado com 2/1=τ e 5/6=τ . 
 
3) Qual a menor freqüência, aω , que pode ser usada para amostrar o sinal abaixo? 
 ( ) ( ) ( )
t
btsenatcostx = . 
4) Queremos projetar um estetoscópio digital, alimentado pela rede elétrica, para que o 
médico possa visualizar as batidas do coração em um monitor. Sabe-se que a cadência 
máxima das batidas é 180/min. 
a) Qual a mínima freqüência de amostragem a ser usada? 
b) A tensão da rede elétrica tem freqüência de 60Hz. Suponha que no projeto não foi 
colocado o FPB que evita a superposição (filtro anti-aliasing). O sinal da rede vai 
aparecer no monitor? Se não, explique por que. Se sim, em qual freqüência? 
5) Um sinal que varia entre +5V e -5V foi quantizado em 2n níveis. Qual o valor de n para 
que o valor rms do ruído de quantização seja menor que 1µV?