Aula 10

Matemática para Negócios

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ESTÁCIO

2

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Andreza Lais

27/09/2017

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Matemática para Negócios
André Brochi
Aula 10
*
Derivadas
Derivada de uma função é uma outra função que nos mostra o comportamento da função original.
Exemplos
5. Física (estudo do movimento) 
 Função posição → sua derivada é a função 
velocidade.
6. Administração
	Função custo total → sua derivada é o custo 
 marginal.
*
*
Exemplo 1
Considere o instante t = 0 h como o momento em que o móvel está na posição s = 0 km
Elaborado pelo professor
*
Gráf3
		0
		60
		90
		108
		120
		138
		150
		160
		161
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
Física
		0		0				0		120
		0.25		60				1		120
		0.5		90
		0.75		108				1		0
		1		120				1		120
		1.5		138
		2		150				0		160
		3		160				3		160
		3.2		161
								3		0
								3		160
		
								0		150
								2		150
		
								2		0
								2		150
Física
		
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
Adm
										1
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
		
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
		
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
		
*
Exemplo 1
	Posição no instante: t = 0 h → s = 0 km
				 t = 3 h → s = 160 km
	Velocidade média neste intervalo: 
Elaborado pelo professor
*
Gráf8
		0		160		0		0		1
		60		160		160		160
		90
		108
		120
		138
		150
		160
		161
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
Física
		0		0				0		120
		0.25		60				1		120
		0.5		90
		0.75		108				1		0
		1		120				1		120
		1.5		138
		2		150				0		160
		3		160				3		160
		3.2		161
								3		0
								3		160
		
								0		150
								2		150
		
								2		0
								2		150
Física
		
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
Adm
										1
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
		
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
		
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
		
*
Exemplo 1
 Posição no instante: t = 0 h → s = 0 km
			 t = 2 h → s = 150 km
 Velocidade média neste intervalo: 
Elaborado pelo professor
*
Gráf7
		0		150		0		0
		60		150		150		150
		90
		108
		120
		138
		150
		160
		161
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
Física
		0		0				0		120
		0.25		60				1		120
		0.5		90
		0.75		108				1		0
		1		120				1		120
		1.5		138
		2		150				0		160
		3		160				3		160
		3.2		161
								3		0
								3		160
		
								0		150
								2		150
		
								2		0
								2		150
Física
		
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
Adm
										1
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
		
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
		
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
		
*
Posição no instante: t = 0 h → s = 0 km
		 	 t = 1h → s = 120 km
Velocidade média neste intervalo: 
Exemplo 1
Elaborado pelo professor
*
Gráf9
		0		120		0		0
		60		120		120		120
		90
		108
		120
		138
		150
		160
		161
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
Física
		0		0				0		120
		0.25		60				1		120
		0.5		90
		0.75		108				1		0
		1		120				1		120
		1.5		138
		2		150				0		160
		3		160				3		160
		3.2		161
								3		0
								3		160
		
								0		150
								2		150
		
								2		0
								2		150
Física
		
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
Adm
										1
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
		
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
		
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
		
*
A função acima fornece o custo total (CT) referente à produção de Q unidades do produto 
Exemplo 2
Elaborado pelo professor
*
Gráf12
		1000
		2350
		3100
		3600
		4000
		4550
		4700
		4750
		4800
Quantidade
Custo Total (R$)
Função Custo Total (CT)
Física
		0		0				0		120
		0.25		60				1		120
		0.5		90
		0.75		108				1		0
		1		120				1		120
		1.5		138
		2		150				0		160
		3		160				3		160
		3.2		161
								3		0
								3		160
		
								0		150
								2		150
		
								2		0
								2		150
Física
		
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
Adm
										1
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
		
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
		
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
		0		1000				0		4000
		25		2350				100		4000
		50		3100
		75		3600				100		0
		100		4000				100		4000
		150		4550
		200		4700				0		4800
		250		4750				300		4800
		300		4800
								300		0
								300		4800
		
								0		4700
								200		4700
		0		1000
		100		1000				200		0
		200		1000				200		4700
		300		1000
		
Quantidade
Custo Total (R$)
Função Custo Total (CT)
		
Quantidade
Custo Total (R$)
Função Custo Total (CT)
		
Quantidade
Custo Total (R$)
Função Custo Total (CT)
		
Quantidade
Custo Total (R$)
Função Custo Total (CT)
*
			 Para Q = 0 → CT = 1.000 reais
 Para Q = 300 → CT = 4.800 reais
 Custo médio por unidade: 
Exemplo 2
Elaborado pelo professor
*
Gráf13
		1000		4800		1000		0		1000
		2350		4800		4800		4800		1000
		3100
		3600
		4000
		4550
		4700
		4750
		4800
Quantidade
Custo Total (R$)
Função Custo Total (CT)
Física
		0		0				0		120
		0.25		60				1		120
		0.5		90
		0.75		108				1		0
		1		120				1		120
		1.5		138
		2		150				0		160
		3		160				3		160
		3.2		161
								3		0
								3		160
		
								0		150
								2		150
		
								2		0
								2		150
Física
		
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
Adm
										1
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
		
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
		
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
		0		1000				0		4000
		25		2350				100		4000
		50		3100
		75		3600				100		0
		100		4000				100		4000
		150		4550
		200		4700				0		4800
		250		4750				300		4800
		300		4800
								300		0
								300		4800
		
								0		4700
								200		4700
		0		1000
		100		1000				200		0
		200		1000				200		4700
		300		1000
		
Quantidade
Custo Total (R$)
Função Custo Total (CT)
		
Quantidade
Custo Total (R$)
Função Custo Total (CT)
		
Quantidade
Custo Total (R$)
Função Custo Total (CT)
		
Quantidade
Custo Total (R$)
Função Custo Total (CT)
*
Para Q = 0 → CT = 1.000 reais
 Para Q = 200 → CT = 4.700 reais
 Custo médio por unidade: 
Exemplo 2
Elaborado pelo professor
*
Gráf14
		1000		4700		1000		0		1000
		2350		4700		4700		4700		1000
		3100
		3600
		4000
		4550
4700
		4750
		4800
Quantidade
Custo Total (R$)
Função Custo Total (CT)
Física
		0		0				0		120
		0.25		60				1		120
		0.5		90
		0.75		108				1		0
		1		120				1		120
		1.5		138
		2		150				0		160
		3		160				3		160
		3.2		161
								3		0
								3		160
		
								0		150
								2		150
		
								2		0
								2		150
Física
		
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
Adm
										1
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
		
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
		
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
		0		1000				0		4000
		25		2350				100		4000
		50		3100
		75		3600				100		0
		100		4000				100		4000
		150		4550
		200		4700				0		4800
		250		4750				300		4800
		300		4800
								300		0
								300		4800
		
								0		4700
								200		4700
		0		1000
		100		1000				200		0
		200		1000				200		4700
		300		1000
		
Quantidade
Custo Total (R$)
Função Custo Total (CT)
		
Quantidade
Custo Total (R$)
Função Custo Total (CT)
		
Quantidade
Custo Total (R$)
Função Custo Total (CT)
		
Quantidade
Custo Total (R$)
Função Custo Total (CT)
*
 Para Q = 0 → CT = 1.000 reais
Para Q = 100 → CT = 4.000 reais
 Custo médio por unidade: 
Exemplo 2
Elaborado pelo professor
*
Gráf15
		1000		4000		1000		0		1000
		2350		4000		4000		4000		1000
		3100
		3600
		4000
		4550
		4700
		4750
		4800
Quantidade
Custo Total (R$)
Função Custo Total (CT)
Física
		0		0				0		120
		0.25		60				1		120
		0.5		90
		0.75		108				1		0
		1		120				1		120
		1.5		138
		2		150				0		160
		3		160				3		160
		3.2		161
								3		0
								3		160
		
								0		150
								2		150
		
								2		0
								2		150
Física
		
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
Adm
										1
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
		
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
		
tempo (h)
posição (km)
Posição (s) em função do tempo (t)
		0		1000				0		4000
		25		2350				100		4000
		50		3100
		75		3600				100		0
		100		4000				100		4000
		150		4550
		200		4700				0		4800
		250		4750				300		4800
		300		4800
								300		0
								300		4800
		
								0		4700
								200		4700
		0		1000
		100		1000				200		0
		200		1000				200		4700
		300		1000
		
Quantidade
Custo Total (R$)
Função Custo Total (CT)
		
Quantidade
Custo Total (R$)
Função Custo Total (CT)
		
Quantidade
Custo Total (R$)
Função Custo Total (CT)
		
Quantidade
Custo Total (R$)
Função Custo Total (CT)
*
Coeficiente angular
Exemplo 3:
a) y = 5x + 2 → o valor de y aumenta 5 unidades para cada aumento de uma unidade em x.
b) y = – 3x + 2 → o valor de y decresce 3 unidades para cada aumento de uma unidade em x.
O coeficiente angular de uma reta indica a variação ocorrida na variável y para cada aumento de uma unidade que ocorre em x.
*
*
Função derivada
A função derivada (y´) de uma função y nos mostra a tendência de variação dessa função y provocada por uma variação muito pequena (infinitesimal) de x (Δx→0).
Notações: y´ ; f´(x) ; 	 ; Δxy 
*
*
Interpretação gráfica
O valor da derivada em um ponto (x,y) é igual ao do coeficiente angular da reta tangente à função neste ponto.
Elaborado pelo professor
0
20
40
60
80
100
120
140
0
2
4
6
8
10
x
y
*
*
O valor da derivada de uma função y em um ponto (x,y) mostra a tendência de crescimento dessa função no ponto em questão.
Se no ponto (x,y) a função for crescente, o valor da derivada será positivo.
Se no ponto (x,y) a função for decrescente, o valor da derivada será negativo.
*
Regras elementares 
de derivação
 
			
Exemplo 4:
a) y = x8  y´ = 8x8-1 = 8x7
b)
*
Exemplo 5:
a) y = 3x2  y´ = 32x = 6x
b) 
 
	
				
*
Exemplo 6:
a) y = 10.040  y´ = 0
b) 
	
 
*
Exemplo 7:
a)
 
b) 
	
	
	
 
 
*
Derivada do produto de funções
		
Exemplo 8:
	
*
Derivada do quociente de funções
Exemplo 9:
 
 
*
Temos:
	
*
*
Aplicação 
Se a demanda de determinado bem é dada pela equação y = 4.000 – 30x2 + x3 (y é a quantidade demandada e x é o preço), verifique se ela é crescente ou decrescente para os valores de preço x = 2, x = 10 e x = 20.
*
*
*
*
Bibliografia
DEMANA, Franklin et al. Pré-cálculo. Vol. único. 2ª Edição. Editora Pearson. São Paulo 2013.
 
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. v. 1. Rio de Janeiro: LTC, 1997. 
LEITHOLD, L. Matemática aplicada à economia e administração. Harbra, 2001. 
*
*
Bibliografia
IEZZI, Gelson et al. Fundamentos de Matemática Elementar. Vol. 1 – Conjuntos e Funções - Ed. Atual. São Paulo. 2013
 
SILVA, Sebasatião Medeiros da et al. Matemática Básica para Cursos Superiores. Ed. Atlas. São Paulo. 2002.
WEBER, J. E. Matemática para economia e administração. Harbra, 1988. 
*
Matemática para Negócios
André Brochi
Atividade 10
*
A função custo total de produção de determinado bem é dada por:
para q variando entre 0 e 575 unidades.
Calcule a taxa de crescimento do custo para as quantidades q = 0, q = 100 e q = 600.
Qual é a quantidade produzida para a qual a taxa de crescimento do custo se iguala a zero?
*
Atividade
*
*
*
*