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AULA 10 PROBABILIDADES (PARTE 3) Profa. Marcela Moreira da Rocha Almeida ESTATÍSTICA Teorema da Probabilidade total Teorema de Bayes Probabilidades Probabilidades Lembrando da aula passada: Se A e B forem eventos independentes: P(A B) = P(A) + P(B) Senão: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) Probabilidade condicional: P(A B) = P(A) . P(B|A) P(A) B)P(A A)|P(B Vamos dividir (partir) o espaço amostral abaixo em vários pedaços S B1 B2 B3 B4 B5 Qual é o conjunto 21 BB ? Qual é o conjunto 54 BB ? Qual é o conjunto 51 BB ? Qual é o conjunto 53321 BBBBB ? Probabilidades 10.1 Teorema da probabilidade total Um conjunto de eventos {Bi}, i = 1,..., n constitui uma partição do espaço amostral E quando satisfaz as duas condições a seguir: Os eventos que compõem uma partição são: - Mutuamente exclusivos - Quando unidos, englobam todo o espaço amostral 1 1) , , 1,..., ( ) 2) i j n i i B B i j n i j B E Probabilidades 10.1 Teorema da probabilidade total Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então: P(A U B) = P(A) + P(B) P(E1 U E2 U ... U Ek) = P(E1) + P(E2) + ... + P(Ek) A B E1 E3 E2 E4 Probabilidades 10.1 Teorema da probabilidade total Como posso escrever P(B)? B = (A ∩ B) U (Ac ∩ B) P(B) = P(A).P(B│A) + P(Ac).P(B│Ac) Regra da probabilidade total para dois eventos quaisquer A e B P(B) = P(A ∩ B) + P(Ac ∩ B) S B A Ac A ∩ B Ac ∩ B Probabilidades 10.1 Teorema da probabilidade total Para uma situação representada pelo diagrama E2 E1 E3 Ek B ∩ E2 B ∩ E1 ... B ∩ Ek B P(B) = P(B│E1) .P(E1) + P(B│E2) .P(E2) + ... + P(B│Ek) .P(Ek) B evento de interesse E1, E2, ..., Ek prováveis causas ... Probabilidades 10.1 Teorema da probabilidade total A Ac F F ∩ Ac F ∩ A Na fabricação de semicondutores, seja 0,10 a probabilidade de que um chip que esteja sujeito a altos níveis de contaminação durante a fabricação cause uma falha no produto. A probabilidade é de 0,005 de um chip que não esteja sujeito a altos níveis de contaminação durante a fabricação, cause uma falha no produto. Em uma corrida particular de produção, 20% dos chips estão sujeitos a altos níveis de contaminação. Qual é a probabilidade de que um produto usando um desses chips venha a falhar? Faça F denotar o evento em que o produto falhe e faça A denotar o evento em que o chip está exposto a altos níveis de contaminação. Probabilidades 10.1 Teorema da probabilidade total Exercício 1 80% F evento em que o produto falhe; A evento em que o chip está exposto a altos níveis de contaminação; Ac evento em que o chip não está exposto a altos níveis de contaminação P (F│A) = 0,10 P (F│Ac) = 0,005 P (A) = 0,20 P (Ac) = 0,80 P(F) = P (F│A).P(A) + P (F│Ac).P(Ac) = 0,10 . 0,20 + 0,005 . 0,80 = 0,024 20% Probabilidades 10.1 Teorema da probabilidade total Exercício 1 Cada avanço por 1 ramo multiplicação Somam-se os resultados dos caminhos (avanços) Visualização do problema facilitada pelo uso do seu correspondente diagrama em árvore Probabilidades 10.1 Teorema da probabilidade total Exercício 1 Continuando com o exemplo da fabricação de semicondutores, considere que a probabilidade seja: - 0,1 de que um chip sujeito a níveis altos de contaminação durante a fabricação cause uma falha no produto; - 0,01 de que um chip sujeito a níveis médios de contaminação durante a fabricação cause uma falha no produto; - 0,001 de que um chip sujeito a níveis baixos de contaminação durante a fabricação cause uma falha no produto. Em corrida particular de produção, 20% dos chips estão sujeitos a níveis altos de contaminação, 30% a níveis médios de contaminação e 50% a níveis baixos de contaminação. Qual é a probabilidade de que um produto, usando um desses chips, falhe? H é o evento em que um chip seja exposto a níveis altos de contaminação; M é o evento em que um chip seja exposto a níveis médios de contaminação; L é o evento em que um chip seja exposto a níveis baixos de contaminação. P(F) = P(F│H).P(H) + P(F│M).P(M) + P(F│L).P(L) P(F) = 0,10.0,20 + 0,01.0,30 + 0,001.0,50 P(F) = 0,0235 Probabilidades 10.1 Teorema da probabilidade total Exercício 1 Thomas Bayes (1702-1761) No problema do semicondutor, podemos querer saber: se o chip semicondutor no produto falhar, qual a probabilidade de que ele tenha sido exposto a altos níveis de contaminação? Antes queríamos saber qual a probabilidade de falhar. Agora, falhando, queremos saber uma probabilidade associada a uma origem da falha procurando saber a causa. Probabilidades 10.2 Teorema de Bayes P(A) = P(A│B1) .P(B1) + P(A│B2) .P(B2) + ... + P(A│B6) .P(B6) 6 1k kk )P(B)B|P(A P(A) P(A) )B|P(A)P(B P(A) A)P(B P(A) )BP(A A)|P(B jjjj j m 1k kk jj j )P(B)B|P(A )P(B)B|P(A A)|P(B Probabilidades 10.2 Teorema de Bayes 1 ( | ). ( ) ( | ) 1,..., ( | ). ( ) j j j m k k k P A B P B P B A j m P A B P B Probabilidades a priori valor de probabilidade inicial originalmente obtido antes que seja obtida qualquer informação adicional Probabilidades a posteriori valor de probabilidade que foi revisto usando-se informação adicional obtida posteriormente Probabilidades 10.2 Teorema de Bayes Uma fábrica tem três máquinas, A, B e C, que respondem, respectivamente, por 40%, 35% e 25% de sua produção. A proporção de peças defeituosas na máquina A é de 2%, essa proporção é de 1% para a máquina B e de 3% para a máquina C. Toma-se uma peça ao acaso. É defeituosa. Qual a probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina B? Probabilidades 10.2 Teorema de Bayes Exercício 2 Chamemos de B o evento fabricado pela máquina B, e de d o evento defeituosa Queremos, dessa forma, a probabilidade P(B|d) E i i intacta i = d A B C d Probabilidades 10.2 Teorema de Bayes Exercício 2 E i A B C d A ∩ d B ∩ d C ∩ d Probabilidades 10.2 Teorema de Bayes Exercício 2 d ∩ A d ∩ B d ∩ C d = (d ∩ A)U(d ∩ B)U(d ∩ C) P(d) = P(d∩A)+P(d∩B)+P(d∩C) = = P(d|A).P(A)+P(d|B).P(B)+ + P(d|C).P(C) Por outro lado: P(d) P(B)B)P(d P(d) B)P(d P(d) d)P(B d)|P(B | P(C)C)P(dP(B)B)P(dP(A)A)P(d P(B)B)P(d d)|P(B ||| | Probabilidades 10.2 Teorema de Bayes Exercício 2 d ∩ A d ∩ B d ∩ C 18,4%0,184 0,030,250,010,350,020,40 0,010,35 d)|P(B Probabilidades 10.2 Teorema de Bayes Exercício 2 d A B C 0,40 0,35 0,25 i i i d d 0,02 0,98 0,01 0,99 0,03 0,97 Cada avanço por 1 ramo multiplicação Somam-se os resultados dos caminhos (avanços) 0,030,250,010,350,020,40 0,010,35 d)|P(B 0,030,250,010,350,020,40P(d) C)|P(dP(C)B)|P(dP(B)A)|P(dP(A)P(d) Probabilidades 10.2 Teorema de Bayes Exercício 2 Uma coisa interessante na fórmula do Teorema de Bayes: 0,030,250,010,350,020,40 0,010,35 d)|P(B Partiçãode interesse Somatório em todas as partições Probabilidades 10.2 Teorema de Bayes Sem o uso do diagrama, temos que reconhecer que queremos a probabilidade P(B|d): Reconhecer também que a peça defeituosa pode provir (origem do problema) de qualquer uma das três máquinas (e só de uma). Em seguida, aplica-se a fórmula do Teorema de Bayes: 18,4%0,184 0,030,250,010,350,020,40 0,010,35 d)|P(B 0,0190,030,250,010,350,020,40P(d) C)|P(dP(C)B)|P(dP(B)A)|P(dP(A)P(d) P(d) P(B)B)P(d P(d) B)P(d P(d) d)P(B d)|P(B | Probabilidades 10.2 Teorema de Bayes Um transmissor de localização de emergência de uma aeronave (TLE) é um aparelho projetado para transmitir um sinal no caso de queda. A Altigauge Manufacturing Company faz 80% dos TLEs, a Bryant Company faz 15% deles, e a Chartair Company faz os outros 5%. Os TLEs feitos pela Altigauge têm taxa de defeituosos de 4%, os da Bryant têm taxa de defeituosos de 6%, e os da Chartair, taxa de 9% (o que ajuda a explicar por que a Chartair tem a menor fatia do mercado). (a) Se um TLE é selecionado aleatoriamente da população original de todos os TLEs, ache a probabilidade de que tenha sido fabricado pela Altigauge Manufacturing Company; (b) Se um TLE é selecionado aleatoriamente e testado e se verifica que é defeituoso, ache a probabilidade de ele ter sido fabricado pela Altigauge Manufacturing Company. Probabilidades 10.2 Teorema de Bayes Exercício 3 D D E A = TLE fabricado pela Altigauge P(A) = 0,80 B = TLE fabricado pela Bryant P(B) = 0,15 C = TLE fabricado pela Chartair P(C) = 0,05 D = TLE é defeituoso D = TLE não é defeituoso (ou é bom) A B C Probabilidades 10.2 Teorema de Bayes Exercício 3 b) Se sabemos agora que o TLE foi testado e é defeituoso, desejamos revisar a probabilidade da parte (a) de modo que a nova informação possa ser usada. Desejamos encontrar o valor de P(A│D), que é a probabilidade de que o TLE tenha sido fabricado pela Altigauge, dado que é defeituoso. Com base na informação dada, sabemos estas probabilidades. P(D│A) = 0,04 Taxa de defeituosos da Altigauge é de 4% P(D│B) = 0,06 Taxa de defeituosos da Bryant é de 6% P(D│C) = 0,09 Taxa de defeituosos da Chartair é de 9% a) Se um TLE é selecionado aleatoriamente da população geral de todos os TLEs, a probabilidade de ter sido fabricado pela Altiguage é 0,8 (porque a Altigauge fabrica 80% deles). Probabilidades 10.2 Teorema de Bayes Exercício 3 D|A A B C 0,80 0,15 0,05 D|B D|C 0,04 0,06 0,09 D|A D|B D|C 0,8.0,04 = 0,032 0,15.0,06 = 0,009 0,05.0,09 = 0,0045 P(D) = 0,0455 0,703 0,0455 0,032 )CDP(P(C))BDP(P(B))ADP(P(A) )ADP(P(A) P(D) )ADP(P(A) )DAP( Regra da adição E A B A ∩ B E A B Se A e B eventos mutuamente excludentes: P(A U B) = P(A) + P(B) P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) Probabilidades 10.3 Resumo Regra da multiplicação Probabilidade condicional P(A ∩ B) = P(A) . P(B) estatisticamente independentes A B A ∩ B E A B A ∩ B A faz o papel do espaço amostral P(A) B)P(A A)|P(B B faz o papel do espaço amostral P(B) B)P(A B)|P(A Probabilidades 10.3 Resumo Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes m 1k kk )P(B)B|P(A P(A) 1 1) , , 1,..., ( ) 2) i j n i i B B i j n i j B E A m 1k kk jj j )P(B)B|P(A )P(B)B|P(A A)|P(B P(Bj) > 0 para todo j. Seja A um evento com P(A) > 0 Partição do espaço amostral {Bj}, j = 1,..., m Probabilidades 10.3 Resumo Probabilidades Exercício 4 Determinado veículo pode ter problemas mecânicos ou elétricos. Se ele tiver problemas mecânicos, não para, mas se tiver problema elétrico tem de parar imediatamente. A chance de esse veículo ter problemas mecânicos é de 0,2. Já a chance do mesmo veículo ter problemas elétricos é de 0,15 se não houve problema mecânico precedente, e de 0,25 se houve problema mecânico precedente. Agora, calcule: a) Qual é a probabilidade de o veículo parar em determinado dia? b) Se o veículo parou em certo dia, qual a chance de que tenha havido defeito mecânico? c) Qual é a probabilidade de que tenha havido defeito mecânico em determinado dia se o veículo não parou nesse dia? Probabilidades Exercício 4 M = ter problema mecânico E = ter problema elétrico P(M) = 0,2 P(E│M) = 0,15 P(E│M) = 0,25 a) O veículo somente vai parar se tiver problema elétrico. Então, precisamos calcular a Probabilidade Total de ocorrer defeito elétrico, independentemente de ter havido ou não defeito mecânico. P(E) = P(M).P(E│M) + P(M).P(E│M) P(E) = 0,2.0,25 + 0,8.0,15 = 0,17 Probabilidades Exercício 4 b) Devemos calcular a probabilidade de ter havido defeito mecânico condicionada ao fato de sabermos que o veículo parou (lembre-se que o veículo para quando há defeito elétrico). Isso é feito por meio do Teorema de Bayes. Probabilidades Exercício 4 c) Mais uma vez, vamos utilizar o Teorema de Bayes para calcular a probabilidade de que tenha havido problema mecânico, dado que não houve defeito elétrico. A probabilidade de não haver defeito elétrico é dada pela propriedade do evento complementar: Probabilidades Exercício 5 Agora vamos calcular a probabilidade de não haver defeito elétrico, dado que houve defeito mecânico. Considerando o espaço amostral de todos os eventos que podem ocorrer, dado que houve defeito mecânico, sabemos que a chance de haver defeito elétrico é P(E|M) = 0,25. A chance de não haver defeito elétrico será, portanto, o complementar do evento E em relação a este espaço amostral. Substituindo na expressão do Teorema de Bayes, temos: Probabilidades Exercício 5 Alberto diz que pode prever o futuro das colheitas. A comunidade em que ele vive, interessadíssima nesses poderes, se mobilizou para verificar o fato. Foi averiguado que ele acerta 80% das vezes em que diz que os tomates não vão germinar e 90% das vezes em que diz que os tomates vão germinar. Os tomates não germinam em 10% das colheitas. Se Alberto anunciar a perda da colheita, qual é a probabilidade real de que eles não germinem? Probabilidades Exercício 5 A maior dificuldade deste exercício é identificar os eventos relevantes. Sejam: A = haver previsão de perda B = haver perda real da colheita. O que queremos saber é a probabilidade de haver perda da colheita, dado que houve previsão de perda. Esse cálculo é feito pelo Teorema de Bayes: A probabilidade de haver previsão de perda da colheita, tendo de fato havido perda, nada mais é que a probabilidade de acertar previsão de perda. E este valor é fornecido no enunciado: A probabilidade de haver previsão de perda, independentemente de acertar ou não, é calculada pela Probabilidade Total. Probabilidades Exercício 5 Atenção: é a probabilidade de haver previsão de perda, mas, na realidade, não haver perda real, ou seja, 0,1. Então, substituindo na expressão do Teorema de Bayes, temos:
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