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AULA 10 
PROBABILIDADES (PARTE 3) 
Profa. Marcela Moreira da Rocha Almeida 
ESTATÍSTICA 
 Teorema da Probabilidade total 
 Teorema de Bayes 
Probabilidades 
 
Probabilidades 
 
 Lembrando da aula passada: 
 
 Se A e B forem eventos independentes: 
P(A  B) = P(A) + P(B) 
 
 Senão: 
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) 
 
 Probabilidade condicional: 
 
 
 
P(A  B) = P(A) . P(B|A) 
 
P(A)
B)P(A
 A)|P(B


 Vamos dividir (partir) o espaço amostral abaixo em vários pedaços 
S B1 
B2 
B3 
B4 
B5 
Qual é o 
conjunto 21 BB 
? 
Qual é o 
conjunto 54 BB 
? 
Qual é o 
conjunto 51 BB 
? 
Qual é o conjunto 
53321 BBBBB 
? 
Probabilidades 
10.1 Teorema da probabilidade total 
 Um conjunto de eventos {Bi}, i = 1,..., n constitui uma partição do espaço 
amostral E quando satisfaz as duas condições a seguir: 
 Os eventos que compõem uma partição são: 
 
 - Mutuamente exclusivos 
 - Quando unidos, englobam todo o espaço amostral 
1
1) , , 1,..., ( )
2) 

     

i j
n
i
i
B B i j n i j
B E
Probabilidades 
10.1 Teorema da probabilidade total 
Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então: 
 
P(A U B) = P(A) + P(B) 
 
P(E1 U E2 U ... U Ek) = P(E1) + P(E2) + ... + P(Ek) 
 
A 
B 
E1 
E3 
E2 
E4 
Probabilidades 
10.1 Teorema da probabilidade total 
Como posso escrever P(B)? 
B = (A ∩ B) U (Ac ∩ B) 
P(B) = P(A).P(B│A) + P(Ac).P(B│Ac) 
 Regra da probabilidade total para dois eventos quaisquer A e B 
P(B) = P(A ∩ B) + P(Ac ∩ B) 
S 
B 
A 
 
Ac 
A ∩ B 
Ac ∩ B 
Probabilidades 
10.1 Teorema da probabilidade total 
Para uma situação representada pelo diagrama 
E2 E1 E3 Ek 
B ∩ E2 
B ∩ E1 
... 
B ∩ Ek 
B 
P(B) = P(B│E1)
.P(E1) + P(B│E2)
.P(E2) + ... + P(B│Ek)
.P(Ek) 
B  evento de interesse 
E1, E2, ..., Ek prováveis causas 
... 
Probabilidades 
10.1 Teorema da probabilidade total 
A Ac 
F 
F ∩ Ac F ∩ A 
Na fabricação de semicondutores, seja 0,10 a probabilidade de que um chip que 
esteja sujeito a altos níveis de contaminação durante a fabricação cause uma falha 
no produto. A probabilidade é de 0,005 de um chip que não esteja sujeito a altos 
níveis de contaminação durante a fabricação, cause uma falha no produto. Em 
uma corrida particular de produção, 20% dos chips estão sujeitos a altos níveis de 
contaminação. Qual é a probabilidade de que um produto usando um desses chips 
venha a falhar? Faça F denotar o evento em que o produto falhe e faça A denotar 
o evento em que o chip está exposto a altos níveis de contaminação. 
Probabilidades 
10.1 Teorema da probabilidade total 
Exercício 1 
80% 
F evento em que o produto falhe; 
A evento em que o chip está exposto a altos níveis de contaminação; 
Ac evento em que o chip não está exposto a altos níveis de contaminação 
P (F│A) = 0,10 P (F│Ac) = 0,005 P (A) = 0,20 P (Ac) = 0,80 
P(F) = P (F│A).P(A) + P (F│Ac).P(Ac) = 0,10 . 0,20 + 0,005 . 0,80 = 0,024 
20% 
Probabilidades 
10.1 Teorema da probabilidade total 
Exercício 1 
Cada avanço por 1 ramo  
multiplicação 
Somam-se os resultados dos 
caminhos (avanços) 
Visualização do problema  facilitada pelo uso do seu 
correspondente diagrama em árvore 
Probabilidades 
10.1 Teorema da probabilidade total 
Exercício 1 
Continuando com o exemplo da fabricação de semicondutores, considere que a probabilidade seja: 
- 0,1 de que um chip sujeito a níveis altos de contaminação durante a fabricação cause uma falha no 
produto; 
- 0,01 de que um chip sujeito a níveis médios de contaminação durante a fabricação cause uma falha 
no produto; 
- 0,001 de que um chip sujeito a níveis baixos de contaminação durante a fabricação cause uma falha 
no produto. 
Em corrida particular de produção, 20% dos chips estão sujeitos a níveis altos de contaminação, 30% a 
níveis médios de contaminação e 50% a níveis baixos de contaminação. Qual é a probabilidade de que 
um produto, usando um desses chips, falhe? 
H é o evento em que um chip seja exposto a níveis altos de contaminação; 
M é o evento em que um chip seja exposto a níveis médios de contaminação; 
L é o evento em que um chip seja exposto a níveis baixos de contaminação. 
P(F) = P(F│H).P(H) + P(F│M).P(M) + P(F│L).P(L) 
 
P(F) = 0,10.0,20 + 0,01.0,30 + 0,001.0,50 
 
P(F) = 0,0235 
Probabilidades 
10.1 Teorema da probabilidade total 
Exercício 1 
Thomas Bayes (1702-1761) 
 No problema do semicondutor, podemos 
querer saber: se o chip semicondutor no 
produto falhar, qual a probabilidade de que 
ele tenha sido exposto a altos níveis de 
contaminação? 
 Antes queríamos saber qual a 
probabilidade de falhar. Agora, falhando, 
queremos saber uma probabilidade 
associada a uma origem da falha  
procurando saber a causa. 
Probabilidades 
10.2 Teorema de Bayes 
P(A) = P(A│B1)
.P(B1) + P(A│B2)
.P(B2) + ... + P(A│B6)
.P(B6) 



6
1k
kk )P(B)B|P(A P(A) P(A)
 )B|P(A)P(B
P(A)
A)P(B
P(A)
)BP(A
 A)|P(B
jjjj
j











m
1k
kk
jj
j
)P(B)B|P(A
)P(B)B|P(A
 A)|P(B
Probabilidades 
10.2 Teorema de Bayes 
1
( | ). ( )
( | ) 1,...,
( | ). ( ) 

 

j j
j m
k k
k
P A B P B
P B A j m
P A B P B
 Probabilidades a priori  valor de probabilidade inicial originalmente 
obtido antes que seja obtida qualquer informação adicional 
 Probabilidades a posteriori  valor de probabilidade que foi revisto 
usando-se informação adicional obtida posteriormente 
Probabilidades 
10.2 Teorema de Bayes 
Uma fábrica tem três máquinas, A, B e C, que respondem, 
respectivamente, por 40%, 35% e 25% de sua produção. 
 
A proporção de peças defeituosas na máquina A é de 2%, essa 
proporção é de 1% para a máquina B e de 3% para a máquina 
C. 
 
Toma-se uma peça ao acaso. É defeituosa. Qual a 
probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina B? 
Probabilidades 
10.2 Teorema de Bayes 
Exercício 2 
Chamemos de B o evento 
fabricado pela máquina B, e 
de d o evento defeituosa  
Queremos, dessa forma, a 
probabilidade P(B|d) 
E 
i 
i  intacta 
 
i = d 
A 
B 
C 
d 
Probabilidades 
10.2 Teorema de Bayes 
Exercício 2 
E 
i 
A 
B 
C 
d 
A ∩ d 
B ∩ d 
C ∩ d 
Probabilidades 
10.2 Teorema de Bayes 
Exercício 2 
d ∩ A 
d ∩ B 
d ∩ C 
d = (d ∩ A)U(d ∩ B)U(d ∩ C) 
P(d) = P(d∩A)+P(d∩B)+P(d∩C) = 
 = P(d|A).P(A)+P(d|B).P(B)+ 
 + P(d|C).P(C) 
Por outro lado: 
P(d)
P(B)B)P(d
P(d)
B)P(d
P(d)
d)P(B
 d)|P(B







|
P(C)C)P(dP(B)B)P(dP(A)A)P(d
P(B)B)P(d
 d)|P(B



|||
|
Probabilidades 
10.2 Teorema de Bayes 
Exercício 2 
d ∩ A 
d ∩ B 
d ∩ C 
18,4%0,184
0,030,250,010,350,020,40
0,010,35
d)|P(B 



Probabilidades 
10.2 Teorema de Bayes 
Exercício 2 
d 
A 
B 
C 
0,40 
0,35 
0,25 
i 
i 
i 
d 
d 
0,02 
0,98 
0,01 
0,99 
0,03 
0,97 
Cada avanço por 1 ramo  multiplicação 
Somam-se os resultados dos caminhos 
(avanços) 
0,030,250,010,350,020,40
0,010,35
d)|P(B
0,030,250,010,350,020,40P(d)
C)|P(dP(C)B)|P(dP(B)A)|P(dP(A)P(d)





Probabilidades 
10.2 Teorema de Bayes 
Exercício 2 
Uma coisa interessante na fórmula do Teorema de Bayes: 
0,030,250,010,350,020,40
0,010,35
d)|P(B



Partiçãode interesse 
Somatório em todas as partições 
Probabilidades 
10.2 Teorema de Bayes 
Sem o uso do diagrama, temos que reconhecer que queremos a 
probabilidade P(B|d): 
Reconhecer também que a peça defeituosa pode provir (origem do 
problema) de qualquer uma das três máquinas (e só de uma). 
 
Em seguida, aplica-se a fórmula do Teorema de Bayes: 
18,4%0,184
0,030,250,010,350,020,40
0,010,35
d)|P(B
0,0190,030,250,010,350,020,40P(d)
C)|P(dP(C)B)|P(dP(B)A)|P(dP(A)P(d)






P(d)
P(B)B)P(d
P(d)
B)P(d
P(d)
d)P(B
 d)|P(B






|
Probabilidades 
10.2 Teorema de Bayes 
Um transmissor de localização de emergência de uma aeronave (TLE) é um 
aparelho projetado para transmitir um sinal no caso de queda. A Altigauge 
Manufacturing Company faz 80% dos TLEs, a Bryant Company faz 15% 
deles, e a Chartair Company faz os outros 5%. Os TLEs feitos pela 
Altigauge têm taxa de defeituosos de 4%, os da Bryant têm taxa de 
defeituosos de 6%, e os da Chartair, taxa de 9% (o que ajuda a explicar por 
que a Chartair tem a menor fatia do mercado). 
 
(a) Se um TLE é selecionado aleatoriamente da população original de 
todos os TLEs, ache a probabilidade de que tenha sido fabricado pela 
Altigauge Manufacturing Company; 
 
(b) Se um TLE é selecionado aleatoriamente e testado e se verifica que é 
defeituoso, ache a probabilidade de ele ter sido fabricado pela Altigauge 
Manufacturing Company. 
Probabilidades 
10.2 Teorema de Bayes 
Exercício 3 
D 
D 
E 
A = TLE fabricado pela Altigauge  P(A) = 0,80 
B = TLE fabricado pela Bryant  P(B) = 0,15 
C = TLE fabricado pela Chartair  P(C) = 0,05 
D = TLE é defeituoso 
D = TLE não é defeituoso (ou é bom) 
A 
B 
C 
Probabilidades 
10.2 Teorema de Bayes 
Exercício 3 
b) Se sabemos agora que o TLE foi testado e é defeituoso, desejamos revisar 
a probabilidade da parte (a) de modo que a nova informação possa ser 
usada. Desejamos encontrar o valor de P(A│D), que é a probabilidade de que 
o TLE tenha sido fabricado pela Altigauge, dado que é defeituoso. Com base 
na informação dada, sabemos estas probabilidades. 
P(D│A) = 0,04 Taxa de defeituosos da Altigauge é de 4% 
P(D│B) = 0,06 Taxa de defeituosos da Bryant é de 6% 
P(D│C) = 0,09 Taxa de defeituosos da Chartair é de 9% 
a) Se um TLE é selecionado aleatoriamente da população geral de todos os 
TLEs, a probabilidade de ter sido fabricado pela Altiguage é 0,8 (porque a 
Altigauge fabrica 80% deles). 
Probabilidades 
10.2 Teorema de Bayes 
Exercício 3 
D|A 
A 
B 
C 
0,80 
0,15 
0,05 
D|B 
D|C 
0,04 
0,06 
0,09 
D|A 
D|B 
D|C 
0,8.0,04 = 0,032 
0,15.0,06 = 0,009 
0,05.0,09 = 0,0045 
P(D) = 0,0455 
0,703
0,0455
0,032
)CDP(P(C))BDP(P(B))ADP(P(A)
)ADP(P(A)
P(D)
)ADP(P(A)
)DAP( 





 Regra da adição 
E 
A 
B 
A ∩ B 
E 
A 
B 
Se A e B eventos mutuamente excludentes: P(A U B) = P(A) + P(B) 
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) 
Probabilidades 
10.3 Resumo 
 Regra da multiplicação 
 Probabilidade condicional 
P(A ∩ B) = P(A) . P(B) estatisticamente independentes 
A 
B 
A ∩ B E 
A 
B 
A ∩ B 
A faz o papel do espaço amostral 
P(A)
B)P(A
 A)|P(B


B faz o papel do espaço amostral 
P(B)
B)P(A
 B)|P(A


Probabilidades 
10.3 Resumo 
 Teorema da probabilidade total 
 Teorema de Bayes 



m
1k
kk )P(B)B|P(A P(A)
1
1) , , 1,..., ( )
2) 

     

i j
n
i
i
B B i j n i j
B E A 





m
1k
kk
jj
j
)P(B)B|P(A
)P(B)B|P(A
 A)|P(B
P(Bj) > 0 para todo j. 
Seja A um evento com P(A) > 0 
Partição do espaço amostral 
{Bj}, j = 1,..., m 
Probabilidades 
10.3 Resumo 
Probabilidades 
Exercício 4 
Determinado veículo pode ter problemas mecânicos ou elétricos. Se ele 
tiver problemas mecânicos, não para, mas se tiver problema elétrico tem de 
parar imediatamente. A chance de esse veículo ter problemas mecânicos é 
de 0,2. Já a chance do mesmo veículo ter problemas elétricos é de 0,15 se 
não houve problema mecânico precedente, e de 0,25 se houve problema 
mecânico precedente. Agora, calcule: 
 
a) Qual é a probabilidade de o veículo parar em determinado dia? 
b) Se o veículo parou em certo dia, qual a chance de que tenha havido 
defeito mecânico? 
c) Qual é a probabilidade de que tenha havido defeito mecânico em 
determinado dia se o veículo não parou nesse dia? 
Probabilidades 
Exercício 4 
M = ter problema mecânico 
E = ter problema elétrico 
 
P(M) = 0,2 
P(E│M) = 0,15 
P(E│M) = 0,25 
a) O veículo somente vai parar se tiver problema elétrico. Então, precisamos 
calcular a Probabilidade Total de ocorrer defeito elétrico, 
independentemente de ter havido ou não defeito mecânico. 
 
P(E) = P(M).P(E│M) + P(M).P(E│M) 
P(E) = 0,2.0,25 + 0,8.0,15 = 0,17 
Probabilidades 
Exercício 4 
b) Devemos calcular a probabilidade de ter havido defeito mecânico 
condicionada ao fato de sabermos que o veículo parou (lembre-se que o 
veículo para quando há defeito elétrico). Isso é feito por meio do Teorema 
de Bayes. 
Probabilidades 
Exercício 4 
c) Mais uma vez, vamos utilizar o Teorema de Bayes para calcular a 
probabilidade de que tenha havido problema mecânico, dado que não houve 
defeito elétrico. 
A probabilidade de não haver defeito elétrico é dada pela propriedade do 
evento complementar: 
Probabilidades 
Exercício 5 
Agora vamos calcular a probabilidade de não haver defeito elétrico, dado 
que houve defeito mecânico. Considerando o espaço amostral de todos os 
eventos que podem ocorrer, dado que houve defeito mecânico, sabemos 
que a chance de haver defeito elétrico é P(E|M) = 0,25. A chance de não 
haver defeito elétrico será, portanto, o complementar do evento E em 
relação a este espaço amostral. 
Substituindo na expressão do Teorema de Bayes, temos: 
Probabilidades 
Exercício 5 
Alberto diz que pode prever o futuro das colheitas. A comunidade em que 
ele vive, interessadíssima nesses poderes, se mobilizou para verificar o fato. 
Foi averiguado que ele acerta 80% das vezes em que diz que os tomates 
não vão germinar e 90% das vezes em que diz que os tomates vão 
germinar. Os tomates não germinam em 10% das colheitas. Se Alberto 
anunciar a perda da colheita, qual é a probabilidade real de que eles não 
germinem? 
Probabilidades 
Exercício 5 
A maior dificuldade deste exercício é identificar os eventos relevantes. 
Sejam: A = haver previsão de perda B = haver perda real da colheita. O que 
queremos saber é a probabilidade de haver perda da colheita, dado que 
houve previsão de perda. Esse cálculo é feito pelo Teorema de Bayes: 
A probabilidade de haver previsão de perda da colheita, tendo de fato 
havido perda, nada mais é que a probabilidade de acertar previsão de 
perda. E este valor é fornecido no enunciado: 
A probabilidade de haver previsão de perda, independentemente de 
acertar ou não, é calculada pela Probabilidade Total. 
Probabilidades 
Exercício 5 
Atenção: é a probabilidade de haver previsão de perda, mas, na 
realidade, não haver perda real, ou seja, 0,1. 
 
Então, substituindo na expressão do Teorema de Bayes, temos: