953042 Aula 11

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AULA 11 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
Profa. Marcela Moreira da Rocha Almeida 
ESTATÍSTICA 
 Variáveis Aleatórias 
 
 Distribuição de Probabilidade 
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidade 
Variável aleatória 
É uma variável (normalmente representada por X) que 
tem um único valor numérico, determinado por acaso, 
para cada resultado de um experimento 
É um gráfico, uma tabela ou fórmula que dá a 
probabilidade para cada valor da variável aleatória 
Distribuição de probabilidade 
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidade 
Variável aleatória  Classificação 
Discreta 
Tem ou um no finito de valores, ou uma 
quantidade enumerável de valores, onde 
“enumerável” se refere ao fato de que podem 
existir infinitos valores, mas que podem ser 
associados a um processo de contagem 
Contínua 
Tem infinito valores , e esses valores podem 
ser associados com medidas em uma 
escala contínua, de modo que não há pulos 
ou interrupções 
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidade 
Exemplos 
Discreta 
Seja x o número de ovos que uma galinha põe em um dia  
VA discreta porque são possíveis apenas os valores 0, 1, 2, e 
assim por diante 
Contínua 
Seja x a quantidade de leite que uma vaca produz em um 
dia  VA contínua porque pode assumir qualquer valor em um 
intervalo contínuo 
 
Durante um único dia, uma vaca pode produzir uma 
quantidade de leite que pode ser qualquer valor entre 0 e 5 
litros. Seria possível obter 4,1234 litros, porque a vaca não é 
restrita a quantidades discretas de 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 litros. 
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidade 
Exemplos: 
 
1) Observar o sexo das crianças em famílias com três filhos. 
Ω={(MMM), (MMF), (MFM), (FMM), (MFF), (FMF), (FFM),(FFF)} 
Defina X: nº. de crianças do sexo masculino (M). Então X é uma v.a. 
discreta que assume valores no conjunto {0, 1, 2, 3}. 
 
2) Observar o tempo de reação a um certo medicamento. 
Defina X: tempo de reação ao medicamento. X é uma v.a. contínua que 
assume qualquer valor real positivo. 
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidade 
S 
 
E1 
 
E2 . 
. 
. 
 
X 
 
x1 
 
x2 . 
. 
. 
Eventos Números 
Se definirmos X = 
= “no de caras”, quais os valores 
que X pode assumir? 
Exemplo: lançamento de 2 
moedas 
Variável aleatória 
A cada evento do espaço 
amostral S  associamos um valor 
na variável X  variável aleatória X 
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidade 
S 
KC 
 
KK 
 
CK 
 
CC 
X 
 
1 
 
2 
 
1 
 
 
 
0 
Experimento: lançar 2 moedas e observar o resultado  
(K=cara e C=coroa) 
A VA associa cada elemento de S a um 
n° real 
 A cada resultado do experimento aleatório 
corresponderá apenas um único valor numérico 
da VA  CK corresponde ao no 1 somente 
 
 
 Entretanto, um valor numérico da VA poderá 
corresponder a um ou mais resultados de um 
experimento  o no 1 corresponde a KC e CK 
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidade 
S 
KK 
KC 
CK 
CC 
X: número de caras em 2 lances de moeda 
0 1 2 
X = 0  CC 
X = 1  KC  CK 
X = 2  KK 
imagem 
CK corresponde ao no 1 somente 
 
Entretanto , o no 1 corresponde a KC e CK 
Experimento: lançar 2 moedas e observar o resultado  
(K=cara e C=coroa) 
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidade 
S 
KC 
 
KK 
 
CK 
 
CC 
X=x 
 
1 
 
2 
 
1 
 
 
 
0 
X=x P(X=x) 
0 1/4 0,25 
1 1/2 0,50 
2 1/4 0,25 
P(X=x) 
 
0,50 
 
0,25 
 
0,50 
 
0,25 
Experimento: lançar 2 moedas e observar o resultado  
(K=cara e C=coroa) 
Passo seguinte  associar a cada valor da VA a sua 
probabilidade  distribuição de probabilidades 
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidade 
S 
KK 
KC 
CK 
CC 
X: número de caras em 2 lances de moeda 
0 1 2 imagem 
0,00 0,25 0,50 Imagem P(X) 
Experimento: lançar 2 moedas e observar o resultado  
(K=cara e C=coroa) 
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidade 
Experimento: lançar 2 moedas e observar o resultado  (K=cara 
e C=coroa) 
P (X=x) = pX(x)  função massa de probabilidades (FMP) e indica 
com que probabilidade a variável X assume o valor do argumento x 
P(X=1) = pX(1) = 50% 
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidade 
Experimento: lançar 2 moedas e observar o resultado  
(K=cara e C=coroa) 
Acumulando os valores de pX(x)  função acumulada de 
probabilidades (FAP) ou função de distribuição acumulada 
(FDA) 
PX(1) = 75% 
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidade 
Requisitos para que uma função seja uma FMP 
1) Podemos associar números a eventos de S  VA 
2) Para cada número podemos associar uma probabilidade tal 
que esta esteja entre zero e 1,0 
3) Soma de todas as probabilidades é 1 ou 100% 
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidade 
f(x) = x/3 (onde x pode ser 0, 1 ou 2 aleatoriamente) determina 
uma distribuição de probabilidade? 
f(0) = 0/3 = 0,0 
f(1) = 1/3 
f(2) = 2/3 13
3
3
2
3
1
3
0
 f(x) 
SIM 
Exercício 1 
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidade 
Exemplo 
 
O Departamento de Estatística é formado por 35 professores, 
sendo 21 homens e 14 mulheres. Uma comissão de 3 
professores será constituída sorteando, ao acaso, três membros 
do departamento. Qual é a probabilidade da comissão ser 
formada por pelo menos duas mulheres? 
 
 
Vamos definir a v.a. 
X: nº de mulheres na comissão 
Distribuição discreta de probabilidade 
Distribuição discreta de probabilidade 
Espaço amostral Probabilidade X 
HHH (21/35).(20/34).(19/33)=0,203 0 
HHM (21/35).(20/34).(14/33)=0,150 1 
HMH (21/35).(14/34).(20/33)=0,150 1 
MHH (14/35).(21/34).(20/33)=0,150 1 
HMM (21/35).(14/34).(13/33)=0,097 2 
MHM (14/35).(21/34).(13/33)=0,097 2 
MMH (14/35).(13/34).(21/33)=0,097 2 
MMM (14/35).(13/34).(12/33)=0,056 3 
x 0 1 2 3 
P(X=x) 0,203 0,450 0,291 0,056 
Assim, P(X≥2) = P(X=2) + P(X=3) = 0,291 + 0,056 = 0,347 
Uma distribuição discreta de probabilidade de uma VA X é uma 
relação dos distintos valores x de X juntamente com as 
probabilidades associadas P(X=x) 
 
onde P (X=x) = pX(x) 
Para que uma função qualquer f(x) seja uma distribuição de 
probabilidade, é necessário que 
 
f(x) ≥ 0 
∑f(x) = 1 
P(X=x) = f(x) 
Distribuição discreta de probabilidade 
Consideremos a soma dos pontos que aparecem na jogada 
de dois dados. Sabemos que os valores possíveis da soma X, 
com suas probabilidades associadas P(X = x) são: 
Exercício 2 
x 
f(x) 
2 3 
1/36 
4 5 
2/36 3/36 4/36 
6 7 
5/36 
8 9 
6/36 5/36 4/36 
10 11 12 
3/36 2/36 1/36 
Podemos calcular probabilidades do tipo P(X≤5);P(X>8);P(6 ≤X ≤8): 
1 2 3 4 10
( 5)
36 36 36 36 36
4 3 2 1 10
( 8) ( 9)
36 36 36 36 36
5 6 5 16
(6 8)
36 36 36 36
     
       
     
P X
P X P X
P X
 f(2) + f(3) + f(4) + f(5) 
 f(9) + f(10) + f(11) + f(12) 
 f(6) + f(7) + f(8) 
FMP 
FAP 
Distribuição discreta de probabilidade 
Calculam-se várias probabilidades como combinações 
das funções FMP e FAP. No exemplo apresentado: 
( 9) 1 ( 8)
(6 8) ( 8) ( 6) ( 8) ( 5)
   
         
P X P X
P X P X P X P X P X
Exercício 2 
Distribuição discreta de probabilidade 
O Espaço amostral de um experimento aleatório é {a, b, c, d, e, f} e cada 
resultado é igualmente provável. Uma VA é definida como segue: 
Resultado a b c d e f 
x 0 0 1,5 1,52 3 
Resposta: 
 
fX(0) = P(X=0) = 1/6 + 1/6 = 1/3 
fX(1,5) = P(X=1,5) = 1/6 + 1/6 = 1/3 
fX(2) = P(X=2) = 1/6 
fX(3) = P(X=3) = 1/6 
Determine a função de probabilidade de X 
Exercício 3 
Distribuição discreta de probabilidade 
Use a função probabilidade do exemplo anterior para 
determinar as seguintes probabilidades: 
a) P(X = 1,5); 
b) P(0,5<X<2,7); 
c) P(X>3); 
d) P(0≤X<2); 
e) P(X = 0 ou X = 2). 
Resposta: 
a) P(X = 1,5) = 1/3 
b) P(0,5<X<2,7) = P(X = 1,5) + P(X = 2) = 1/6 + 1/3 = 1/2 
c) P(X>3) = 0 
d) P(0≤X<2) = P(X = 0) + P(X = 1,5) = 1/3 + 1/3 = 2/3 
e) P(X = 0 ou X = 2) = 1/3 + 1/6 = 1/2 
Exercício 4 
Distribuição discreta de probabilidade 
Gráficos como o apresentado abaixo são chamados histogramas de 
probabilidade 
Observe na figura que P(0≤X<2) = P(X = 0) + P(X = 1,5) = 1/3 + 1/3 = 2/3 
Trata-se de uma soma de áreas. 
O que isto tem haver com integral? Veremos adiante... 
11.2 Distribuição discreta de probabilidade 
Representação gráfica de uma distribuição de probabilidade 
0,6561
0,2916
0,0486
0,0036 0,0001
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
Pr
ob
ab
ili
da
de
 (%
)
X
Exemplo: 
 
P(X = 0) = 0,6561 
 
P(X = 1) = 0,2916 
 
P(X = 2) = 0,0486 
 
P(X = 3) = 0,0036 
 
P(X = 4) = 0,0001 
11.2 Distribuição discreta de probabilidade 
O espaço amostral de um experimento aleatório é {a, b, c, d, e, f} 
e cada resultado é igualmente provável. Uma variável aleatória é 
definida como se segue: 
Determine a função de probabilidade de X 
Resultado 
x 
a b c 
0 1,5 1,5 
d e 
2 
f 
2 2 
Exercício 5 
fX(0) = P(X=0) = 1/6 
fX(1,5) = P(X=1,5) = 1/6+1/6=1/3 
fX(2) = P(X=2) = 1/6+1/6+1/6=1/2 
11.2 Distribuição discreta de probabilidade 
a) P(X = 0) 
resultado 
x 
a b c 
0 1,5 1,5 
d e 
2 
f 
2 2 
b) P(0,7<X<1,7) 
c) P(0≤X<1,9) 
d) P(X = 0 ou X = 2) 
e) P(X = 3,5) 
f(0)=1/6 f(1,5)=1/3 f(2)=1/2 
a) P(X = 0) = f(0) = 1/6 
b) P(0,7<X<1,7) = P(X=1,5) = 1/3 
Único valor no intervalo 
Considerando a função de probabilidade do caso anterior, 
determine as seguintes probabilidades: 
Exercício 6 
11.2 Distribuição discreta de probabilidade 
Considerando a função de probabilidade do caso anterior, 
determine as seguintes probabilidades: 
a) P(X = 0) resultado 
x 
a b c 
0 1,5 1,5 
d e 
2 
f 
2 2 b) P(0,7<X<1,7) 
c) P(0≤X<1,9) 
d) P(X = 0 ou X = 2) 
e) P(X = 3,5) 
f(0)=1/6 f(1,5)=1/3 f(2)=1/2 
c) P(0≤X<1,9) = P(X=0)+ P(X=1,5) 
 = 1/6 + 1/3 = 1/2 
d) P(X = 0 ou X = 2) = P(X=0) + P(X=2) 
 = 1/6 + 1/2 = 2/3 
e) P(X=3,5) = 0 
Exercício 6 
11.2 Distribuição discreta de probabilidade 
 Até agora, temos lidado com distribuições discretas de 
probabilidade → S tem nº finito ou infinito contável de 
pontos 
 
 Se S contém um número infinito não-enumerável de pontos, 
temos de trabalhar com distribuições contínuas de 
probabilidade  VA contínuas → Distribuições contínuas 
Como calcular probabilidades com 
Distribuições para VA contínuas? 
11.3 Distribuição contínua de probabilidade 
0 
3 
6 
9 P (X = 3) = ? 
X = “Hora” 
¼ ou 25% 
Imagine um relógio 
que somente marque 
algumas horas 
11.3 Distribuição contínua de probabilidade 
E agora ? 
P (X = 3) = ? 
1/8 ou 12,5% 
0 
2 
3 
6 
4 
9 
8 
10 
Distribuição contínua de probabilidade 
0 
2 
3 
6 
4 
9 
8 
10 
P (X = 3) = ? 
P (X = 3) 0 
Agora imagine milhões de 
pontos! 
Distribuição contínua de probabilidade 
Refazendo a pergunta: Relógio Real 
P (0 < X < 3) = ? 
¼ ou 25% 
P (3 < X < 9) = ? 
½ ou 50% 
Distribuição contínua de probabilidade 
FIZEMOS O CÁLCULO OBSERVANDO A ÁREA! 
É ASSIM QUE FUNCIONA COM DISTRIBUIÇÕES 
CONTÍNUAS 
 VA discretas  atribuímos uma probabilidade a um 
determinado valor da variável 
 VA contínuas  podem assumir infinitos valores em um 
intervalo  pensamos na probabilidade de ocorrência 
associada a um intervalo 
Distribuição contínua de probabilidade 
Nomenclatura 
Distribuições 
de 
probabilidades 
distribuições discretas  FMP  P(X=x) 
= pX(x) 
 
distribuições contínuas função 
densidade de probabilidade (FDP)  
também fX(x) 
FDP 
FAP 
Distribuição contínua de probabilidade 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00
Altura dos alunos (m)
Todos os dados
Quase 50% dos dados
Quase 25% dos dados
Quase 10% dos dados
Polígonos de frequências relativas de alturas de alunos: todos  87 
/// 
Os polígonos convergem para alguma curva? 
Distribuição contínua de probabilidade 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00
Altura dos alunos (m)
Todos os dados
Quase 50% dos dados
Quase 25% dos dados
Quase 10% dos dados
Polígonos de frequências relativas de alturas de alunos: todos  87 
Os polígonos convergem para alguma curva? 
Será que para uma função? 
Se afirmativo, esta função 
representa o quê? 
Será que representa 
a população de onde 
os 87 dados foram 
retirados? 
Os valores das 
abscissas vêm de 
algum espaço 
amostral? 
Distribuição contínua de probabilidade 
FDP  caso limite de um polígono de frequências para uma 
amostra de tamanho infinito e, portanto, com as larguras dos 
intervalos de classe tendendo a zero 
A área (isto é, a integral) sob a função de densidade de 
probabilidade em um determinado intervalo fornece a 
probabilidade de ocorrência de um valor dentro desse 
intervalo 
X 
fX(x) 
a b 
P(a < X < b) 
Distribuição contínua de probabilidade 
A FDP é uma função que satisfaz: 
( ) 0f x 
( ) ( )
b
a
P a X b f x dx   
( ) 1f x dx



a) 
b) 
c) Área sob a curva f(x) de a a b para quaisquer a e b 
FDP  não fornece a prob. de X para o argumento x  
fornece a intensidade com que a probabilidade de não 
superação de x é alterada na vizinhança de x 
FDP 
FAP 
Distribuição contínua de probabilidade 
Da definição de densidade, segue que, para uma 
VA contínua, a probabilidade de um único ponto é 
zero, isto é: P(X = a) = 0 para qualquer número a 
X 
f(x) 
a b 
P(a < X < b) 
Distribuição contínua de probabilidade 
1 3
2 1
0
0
1 3
3 3
cx c
cx dx c    
Seja X uma variável aleatória contínua com espaço E = {x: 0 < x 
< 1}. Seja f(x) = cx2 para todo x ∈ E, onde c é uma constante a 
determinar. Qual o valor de c para que f(x) seja uma função de 
densidade de probabilidade? 
Logo c = 3 é a constante necessária para fazer de f(x) uma 
densidade em E, isto é, para fazer com que a densidade 
integre a um no intervalo (0,1) 
Exercício 7 
Distribuição contínua de probabilidade 
Faça a variável aleatória contínua X denotar a corrente em um fio 
delgado de cobre, medida em miliampéres. Suponha que a faixa de X 
seja [0, 20] e considere que a função densidade de probabilidade de 
X seja f(x) = 0,05 para 0 ≤ x ≤ 20. Qual é a probabilidade de que uma 
medida de corrente seja menor que 10 miliampéres? Qual é a 
probabilidade de uma medida de corrente ficar entre 5 e 15 
{P(5<X<15)}? 
f(x) = 0,05 
0,05 
0 20 x 
f(x) 
10 5 15 
50,0)010(05,0dx05,0dx)x(f)10X(P
10
0
10
0
 
50,0)515(05,0dx05,0dx)x(f)15X5(P
15
5
15
5

Exercício 8 
Distribuição contínua de probabilidade 
Faça a variável aleatória contínua X denotar o diâmetro de um orifício 
perfurado em uma placa com um componente metálico. O diâmetro que se 
quer atingir, o chamado diâmetro alvo, é 12,5 milímetros. A maioria dos 
distúrbios aleatórios no processo resulta em diâmetro maiores. Dados 
históricos mostram que a distribuição de X pode ser modelada por uma 
função densidade de probabilidade f(x) = 20 e-20(x-12,5), x ≥ 12,5. Se uma 
peça com diâmetro maior que 12,60 milímetros for descartada, qual será a 
proporção de peças descartadas? A função densidade e a probabilidade 
requerida são mostradas na figura abaixo. Uma peça é descartada se X > 
12,60. 
x 
f(x) 
12,5 12,6 
Exercício 9 
Distribuição contínua de probabilidade 
135,0edxe20dx)x(f)60,12X(P
6,126,12 6,12
)5,12x(20)5,12x(20 
 

 
865,0edxe20dx)x(f)60,12X5,12(P
6,12
5,12
6,12
5,12
6,12
5,12
)5,12x(20)5,12x(20   

865,0135,01)6,12X(P1)6,12X5,12(P 
x 
f(x) 
12,5 12,6 
Exercício 9 
Distribuição contínua de probabilidade 
FAP  Analogamente ao caso discreto, a função acumulada de 
probabilidades de uma VA contínua X, aqui representada por FX(x), fornece 
a prob. de não superação do argumento x  P (X ≤ x) ou P(X < x) 
FDP 
FAP 



x
XX (x)dxf(x)F
dx
(x)dF
(x)f XX 
Distribuição contínua de probabilidade 
A função densidade de probabilidade de uma variável 
contínua X pode ter uma grande variedade de formas 
Distribuição contínua de probabilidade 
Valor esperado de uma variável aleatória 
• O valor esperado (ou esperança matemática ou valor 
médio) tem haver com a tendência central dos valores. 
 
• Dada uma variável aleatória discreta X, assumindo os 
valores x1, x2,..., xn, o valor esperado, a esperança 
matemática de X, denotado por E(X) é definida por: 
 
 
 
se ∑ xi.p(xi) < ∞ (se a série convergir) 
 
Notação: E(X) = µ 
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidade 
Valor esperado de uma variável aleatória 
Exemplo 
• Considere a variável aleatória discreta X: 
 
 
 
 
 
• Temos que: 
 
 
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidade 
xi 0 1 2 
p(xi) 1/4 1/2 1/4 
Valor esperado de uma variável aleatória 
Exemplo 
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidade 
Valor esperado de uma variável aleatória 
Exemplo 
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidade 
Valor esperado de uma variável aleatória 
Exemplo 
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidade 
Valor esperado de uma variável aleatória 
Exemplo 
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidade 
Valor esperado de uma variável aleatória 
Exemplo 
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidade 
Valor esperado de uma variável aleatória 
• Seja X uma variável aleatória contínua com FDP f(x). O valor 
esperado ou esperança matemática de X é definido como: 
 
 
 
 
se, e somente se, 
 
 
Notação: E(X) = µ 
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidade 
Valor esperado de uma variável aleatória 
Exemplo 
• Considere a seguinte FDP: 
 
 
 
 
 
• Temos que: 
 
 
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidade 
Propriedades da esperança 
1) A média de uma constante é a própria constante. 
 
 
2) Multiplicando-se uma variável aleatória X por uma constante, sua média fica 
multiplicada por essa constante. 
 
 
 
 
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidade 
Propriedades da esperança 
 
3) A média da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias é, 
respectivamente, a soma ou diferença das médias. 
 
 
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidade