aula 24 gabarito PFM-ECT

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Problema 1: 
Uma roda de , essencialmente um aro fino de de raio, está girando em 
torno de seu eixo de simetria a . Ela precisa ser parada em . (a) Qual 
o trabalho necessário para fazê-la parar? (b) Qual a potência média necessária? 
Solução: 
Do Teorema do Trabalho – Energia Cinética aplicado ao corpo rígido, temos 
 
 
onde é a energia cinética de spin (energia cinética de rotação em relação ao 
centro de massa) e ∫ ⃗ ⃗⃗⃗ 
 
 
 é o trabalho total do torque externo no 
intervalo [ ]. Como a roda gira em torno de seu eixo de simetria, temos 
 
 
 , onde é seu momento de inércia em relação ao eixo de rotação e é sua 
rapidez angular. 
a) De , o trabalho necessário para que a roda pare será 
 
 
 
 
 
 
onde é a rapidez angular inicial da roda. Como a roda pode ser aproximada 
por um aro de raio e massa , seu momento de inércia será dado por 
 . Então, o trabalho total do torque externo será 
 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
)
 
 
 
 
b) A potência média será 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Princípios e Fenômenos da Mecânica – 2012.2 
Escola de Ciências e Tecnologia – UFRN 
GABARITO DOS PROBLEMAS DA AULA 24 
Problema 2: 
O virabrequim de um automóvel transfere energia do motor para o eixo a uma taxa de 
 ( ) quando gira a . Qual é o torque (em unidades do 
SI) exercido pelo virabrequim? 
Solução: 
A taxa com que a energia cinética de spin varia é dada por 
 
 
 ⃗⃗⃗ ⃗ 
onde ⃗⃗⃗ é a velocidade angular e ⃗ é o torque externo total em relação ao centro de 
massa. Como a roda gira em torno de um eixo (principal) fixo, temos ⃗⃗⃗ ̂ e 
 ⃗⃗ ̂, com ̂ Então, 
 ⃗ ⃗⃗ ̇ ̂ ̂ 
onde é a componente de ⃗ na direção de ̂. Usando esses resultados em , 
temos 
 
 
 ⃗⃗⃗ ⃗ 
No presente caso, ̇ é exatamente a potência transferida ao virabrequim pelo 
motor de modo que o torque exercido pelo virabrequim é, de , 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 3: 
Um goleiro bate um “tiro de meta”, imprimindo uma rotação inicial à bola. Supondo 
que a única força externa sobre a bola é a força peso, qual a variação em sua rapidez 
angular de spin até ela atingir o solo? 
Solução: 
Como se deseja saber apenas a variação da rapidez angular , podemos considerar a 
energia cinética de rotação da bola, dada por 
 
 
 , sendo é seu momento de 
inércia. Na última equação consideramos que a bola gira em torno de um de seus eixos 
principais, ou ainda que a bola é uma esfera perfeita. Como a força peso não realiza 
torque em relação ao centro de massa, temos (da equação ) 
 
 
 
 
 
 
Logo, se apenas a força peso atuar na bola, sua rapidez angular de spin permanece 
constante durante todo o movimento. 
 
Problema 4: 
Um taco atinge uma bola de sinuca horizontalmente em um ponto a uma distância 
acima do centro da bola. Determine o valor de para o qual a bola rolará, sem deslizar, 
desde o início. Escreva sua resposta em termos do raio da bola. 
 
 
 
 
 
Solução: 
Como ilustrado na figura, após ser atingida com o taco a bola irá girar no sentido 
horário em relação a um eixo perpendicular ao plano e que passa pelo centro de 
massa. Logo, no sistema de eixos dados, podemos escrever o vetor velocidade angular 
como 
 ⃗⃗⃗ ̂ 
O sinal negativo vem do fato de que a rotação é feita no sentido horário quando “vista 
de cima”. Admitindo que a bola seja uma esfera homogênea, o eixo de rotação será um 
eixo principal, de modo que o momento angular ⃗⃗ em relação ao centro de massa será 
dado por 
 ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ̂ 
𝒋 
𝒊 
 
 ⃗ 
 
 
 ⃗ 
 
onde 
 
 é o momento de inércia em relação ao eixo de rotação que passa pelo 
centro de massa. Pela Segunda Lei de Newton para rotações, podemos escrever 
 ⃗⃗ 
 
 ⃗ 
onde ⃗ é o torque externo total em relação ao centro de massa. No momento do 
impacto do taco, as forças que atuam no sistema são a força peso ⃗⃗ que atua 
no centro de massa, a força normal ⃗⃗ que a tua no ponto e a força ⃗⃗ 
produzida pelo taco que atua no ponto . Logo, o torque externo total em relação ao 
centro de massa é dado por 
 ⃗ ⃗ 
 ⃗⃗ ⃗ 
 ⃗⃗ ( ) 
 ⃗ ̂ 
Combinando , e , temos 
 
 
( ̂) ̇ ̂ ̂ 
 
 
 
onde fizemos ̇. Por outro lado, pela Segunda Lei de Newton para a translação de 
um sistema de partículas, temos 
 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
Como o movimento do centro de massa ocorre apenas na direção horizontal, temos 
 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ e ⃗⃗ , de modo que a equação se resume a 
 
Usando o vínculo de que a bola rola sem deslizar, temos ainda que 
 
Combinado as equações , e , teremos enfim 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 5: 
O sistema da figura é solto do repouso quando o bloco de está a acima da 
prateleira. A polia é um disco uniforme de com um raio de . Justo antes 
de o bloco de atingir a prateleira, determine 
 
Solução: 
Consideremos o diagrama de corpo livre para cada bloco e para a polia, como 
mostrado na figura. As forças que atuam sobre o bloco de massa são a 
força peso ⃗⃗ (exercida pela Terra) a força de tração ⃗⃗ (exercida pelo fio). Sobre o 
bloco de massa atuam a força peso ⃗⃗ (exercida pela Terra) a força de 
tração ⃗⃗ (exercida pelo fio). Finalmente, sobre a polia de massa atuam a 
força peso ⃗⃗ (exercida pela Terra) as forças de tração ⃗⃗ e ⃗⃗ (exercidas pelo fio) 
de a força de contato ⃗⃗ exercida pelo teto onde está presa a polia. 
Como os blocos apenas realizam um movimento de translação (não possuem rotação 
em relação ao centro de massa) o Teorema do Trabalho – Energia Cinética aplicado a 
eles fornece 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde é a rapidez do bloco , é o trabalho da força peso ⃗⃗ , é o trabalho 
da força de tração ⃗⃗ e equivalentemente para o bloco na equação . Nas 
equações anteriores também consideramos que os blocos partem do repouso, de 
maneira que suas energias cinéticas iniciais são nulas. 
a) sua rapidez 
b) a rapidez angular da polia e 
c) a tensão nos fios. 
Obs.: Suponha que o fio seja ideal e que não 
deslize na polia. 
 
 ⃗⃗ 
 ⃗⃗ ⃗⃗ 
 ⃗⃗ ⃗⃗ 
 ⃗⃗ ⃗⃗ 
 ⃗⃗ 
𝒋 
𝒊 
Já no caso da polia, seu centro de massa permanece fixo, de modo que sua energia 
cinética de translação é nula durante todo o movimento. Contudo, como ela gira em 
relação ao seu centro de massa, possui energia cinética rotacional, e o Teorema do 
Trabalho – Energia Cinética aplicado a ela toma a forma 
 
 
 
 
 
onde 
 
 
 é o momento de inércia da polia em relação ao eixo perpendicular 
(principal) que passa pelo centro de massa, é a rapidez angular de rotação, é o 
trabalho do torque produzido por ⃗⃗ e é o trabalho do torque produzido por 
 ⃗⃗ . Note que as forças ⃗⃗ e ⃗⃗ não irão contribuir porque elas estão sobre a linha 
que passapelo centro de massa. Em usamos também o fato de que a rapidez 
angular inicial da polia é nula. Como o fio é ideal, temos 
 | ⃗⃗ | | ⃗⃗ | | ⃗⃗ | | ⃗⃗ | 
No sistema de eixos considerado, poderemos então escrever 
 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ̂ 
 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ 
 
onde ⃗ e ⃗ são os deslocamentos dos blocos 1 e 2, respectivamente. Os trabalhos 
das forças sobre os blocos serão 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ 
 
onde admitimos que e são constantes. Os torques sobre a polia serão 
 ⃗ ⃗ 
 ⃗⃗ ̂ 
 ⃗ ⃗ 
 ⃗⃗ ̂ 
 
Então, o trabalho total sobre a polia será 
 ∫ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
onde é a duração do movimento e é o arco total percorrido pela polia durante . 
Como a corda não desliza na polia, os vínculos 
 
devem ser satisfeitos. Usando esses vínculos em e , e usando 
 
 
 , as 
equações a tomam a forma, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Somando com e combinando o resultado com , teremos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 √
 
 
 √
 
 
 
 
 
b) A rapidez angular pode ser obtida usando-se : 
 
 
 
 
 
 
 
c) De , temos 
 ( 
 
 
) ( 
 
 
) 
De , temos 
 ( 
 
 
) ( 
 
 
) 
Note que , mesmo em se tratando de um fio ideal. Essa diferença se deve 
ao fato de que a polia não é ideal e, portanto, é necessário um torque para fazê-
la girar; é a diferença entre e que provê esse torque, como se pode inferir 
de .