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Lista de Exerc´ıcios - Sequeˆncias e Se´ries
(Cap. 11 Stewart)
Disciplina: Ca´lculo A
Monitor: Marcos Okamura Rodrigues
Docente: Dr. Albo Carlos Cavalheiro
1. Avalie a convergeˆncia da sequeˆncia:
a) an = senh(n)
lim
n→∞
senh(n) = lim
n→∞
en − e−n
2
=∞
Portanto, a sequeˆncia e´ divergente.
b) an =
cos(n)
n
Como lim
n→∞
1
n
= 0 e cos(n) e´ uma func¸ao limitada, segue, pelo Teorema
do
Confronto, que:
lim
n→∞
cos(n)
n
= 0
Portanto, a sequeˆncia e´ convergente.
c) an =
ln(n)
en
Seja f(x) =
ln(x)
ex
a func¸a˜o real associada a sequeˆncia. Como ln(x) e ex
sa˜o diferencia´veis e
d
dx
ex 6= 0 temos uma indeterminac¸a˜o do tipo ∞/∞,
segue, pela Regra de L’Hoˆspital, que:
1
lim
x→∞
ln(x)
ex
= lim
x→∞
=
d
dx
ln(x)
d
dx
ex
= lim
x→∞
1
xex
= 0
Portanto, a sequeˆncia e´ convergente.
d) an =
cos (npi)
ln(n)
lim
n→∞
cos (npi)
ln(n)
= lim
n→∞
(−1)n
ln(n)
= 0
Portanto, a sequeˆncia e´ divergente.
2. Avalie a convergeˆncia da se´rie:
a)
∞∑
n=1
sen(n)
n2 + 1
Como sen(n) pode assumir valores negativos, verificaremos a convergeˆncia
absoluta da se´rie.
Assim:
| sen(n)|
n2 + 1
≤ 1
n2 + 1
≤ 1
n2
∞∑
n=1
1
n2
e´ uma p-se´rie convergente (p = 2 > 1).
Portanto, pelo Teste da Comparac¸a˜o, a se´rie e´ absolutamente convergente
e, consequentemente, convergente.
b)
∞∑
n=1
1
en + n
Utilizando a comparac¸a˜o:
1
en
≤ 1
en + n
Analisando a func¸a˜o f(x) = e−x associada a se´rie, temos que f(x) e´ pos-
itiva e decrescente, aplicando o Teste da Integral:
2
∫ ∞
1
e−x dx = lim
t→∞
−e−x
∣∣∣∣∞
1
= 0 + e−1 =
1
e
(convergente)
Portanto, pelo Teste da Comparac¸a˜o, a se´rie e´ convergente.
c)
∞∑
n=1
1
ln(n)
Utilizando a comparac¸a˜o:
1
ln(n)
≥ 1
n
, n > e
∞∑
n=1
1
n
e´ uma p-se´rie divergente (p = 1).
Portanto, pelo Teste da Comparac¸a˜o, a se´rie e´ divergente.
d)
∞∑
n=1
cos(npi)√
n
Transformando em uma se´rie alternada:
∞∑
n=1
cos(npi)√
n
=
(−1)n√
n
Analisando bn =
1√
n
, sabemos que e´ uma sequeˆncia decrescente e conver-
gente, pois:
lim
n→∞
bn = lim
n→∞
1√
n
= 0
Portanto, pelo Teste das Se´rie Alternada, a se´rie e´ convergente.
e)
∞∑
n=1
(
1 +
1
n
)n
Aplicando o Teste da Divergeˆncia:
lim
n→∞
=
(
1 +
1
n
)n
= e 6= 0
Portanto, a se´rie e´ divergente.
3
f)
∞∑
n=0
n!
1 · 3 · 5 · · · (2n+ 1)
Representando a se´rie somente por produto´rios:
∞∑
n=0
n!
1 · 3 · 5 · · · (2n+ 1) =
∞∑
n=0
n∏
i=1
i
n∏
i=1
2i+ 1
Aplicando o Teste da Raza˜o:
lim
n→∞
n+1∏
i=1
i
n+1∏
i=1
2i+ 1
n∏
i=1
2i+ 1
n∏
i=1
i
= lim
n→∞
n+ 1
2n+ 2
= lim
n→∞
1
2
=
1
2
< 1
Portanto, a se´rie e´ convergente.
3. Encontre a frac¸a˜o geratriz da d´ızima dada, desenvolvendo sua representac¸a˜o
em sequeˆncia e se´rie:
a) 0,1515...
Desenvolvendo a sequeˆncia e a se´rie:
an =
15
100n
∞∑
n=1
15
100n
Como a raza˜o da se´rie geome´trica e´ r =
1
100
< 1, a se´rie converge e podemos
calcular seu valor S:
S =
a
1− r =
15
100
1− 1
100
=
15
100− 1 =
15
99
=
5
33
Portanto,
5
33
e´ a frac¸a˜o geratriz da d´ızima dada.
4
b) 0,00333...
Desenvolvendo a sequeˆncia e a se´rie:
an =
3
100 · 10n =
3
10n+2
∞∑
n=1
3
10n+2
Como a raza˜o da se´rie geome´trica e´ r =
1
10
< 1, a se´rie converge e podemos
calcular seu valor S:
S =
a
1− r =
3
1000
1− 1
10
=
3
1000− 100 =
3
900
=
1
300
Portanto,
1
300
e´ a frac¸a˜o geratriz da d´ızima dada.
c) 12,3456456...
Desenvolvendo a sequeˆncia e a se´rie:
an =
456
10 · 1000n
∞∑
n=1
456
10 · 1000n
Como a raza˜o da se´rie geome´trica e´ r =
1
1000
< 1, a se´rie converge e pode-
mos calcular seu valor S:
S =
a
1− r =
456
10000
1− 1
1000
=
456
10000− 10 =
456
9990
=
76
1665
Assim:
12, 3456456... = 12, 3 + 0, 0456456 =
123
10
+
76
1665
=
40959 + 152
3330
=
41111
3330
Portanto,
41111
3330
e´ a frac¸a˜o geratriz da d´ızima dada.
5