E-book Matemática, funções

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Caros estudantes, 
 
O presente texto foi organizado para servir de base à disciplina matemática aplicada 
às ciências sociais. A disciplina que faz parte do curso de bacharelado em Ciências 
Contábeis EAD contém parte do ferramental matemático para o entendimento de 
algumas funções econômicas. 
 
O material apresentado contém contribuições de Rodrigo Carlos de Lima, 
doutorando em Matemática Pura pela Universidade Federal do Rio de Janeiro, e 
diversos professores do Departamento de Matemática da UFBA que lecionaram ou 
lecionam a componente MAT013. 
 
Ao final do curso é esperado que o corpo discente seja capaz de utilizar recursos 
básicos de matemática superior para compreender e resolver questões ligadas à sua 
área de formação. 
 
Inicialmente, os estudantes devem ler a parte de funções que foi retirada das 
apostilas da disciplina MAT013, resolvendo a primeira lista de exercícios. Essa parte 
tem como principal objetivo revisar conceitos básicos que serão necessários para o 
prosseguimento do curso. Em seguida, devem estudar a parte introdutória de 
Funções Econômicas, bem como resolver a segunda lista de exercícios que envolve 
aplicação de funções básicas no tema da apostila. Após esta etapa do curso, o aluno 
deve se sentir mais à vontade com a abordagem matemática e, para continuar, deve 
seguir o que é apresentado no fluxograma (seção A deste documento), iniciando os 
estudos de limites e derivadas, com conceitos e exercícios retirados da apostila de 
autoria de Rodrigo Carlos Silva de Lima, o qual explora e generaliza, com exemplos, 
casos particulares de resoluções do cálculo. O texto possui vários exemplos de 
cálculos de limites (lembrando que aqui a teoria de existência e propriedades gerais 
não é explorada). 
 
No tocante às derivadas, o objetivo do texto também de autoria de Rodrigo Carlos 
Silva de Lima é calcular algumas derivadas de funções. Para aprofundamento sobre 
limites e derivadas, o que não é necessário aqui, o leitor deve procurar uma boa 
bibliografia de cálculo, como por exemplo, Hamilton Luiz Guidorizzi ou James 
Stewart, este último, muito bem recomendado. Após se familiarizar com as 
ferramentas iniciais de limites e derivadas o leitor deve partir imediatamente para 
utilizá-las na lista de exercícios 4, que abrange a parte de limites e derivadas 
aplicados às funções econômicas. Neste momento cumpre frisar que o conteúdo 
anterior deve estar bem fixado e para isso a resolução de variados exercícios é de 
suma importância. Dando continuidade ao curso, o aluno deve passar pelo estudo 
da apostila de Análise Marginal. Por fim, será estudado a apostila de Integrais, bem 
como suas aplicações. 
 
 
 
MINI CURRÍCULO DOS ORGANIZADORES 
 
ADRIANO PEDREIRA CATTAI 
Adriano Cattai possui graduação em Licenciatura em Matemática pela Universidade 
Estadual de Santa Cruz (2002) e Mestrado em Matemática pela Universidade 
Federal da Bahia (2005). Atualmente é professor Assistente na Universidade 
Estadual da Bahia (UNEB) e está cursando o Doutorado em Matemática na 
Universidade Federal da Bahia. Tem experiência na área de Matemática, com ênfase 
em educação de nível superior com Tecnologia Educacional. 
 
FELIPE GABRIEL ASSUNÇÃO CRUZ 
Felipe Assunção é graduando do Bacharelado em Matemática pela Universidade 
Federal da Bahia. Tem experiência na área de educação. Trabalhou como diretor 
geral e professor de matemática no Pré-Vest na UFBA nos anos de 2015 e 2016. 
 
EVANDRO CARLOS FERREIRA DOS SANTOS 
Evandro Santos é bacharel em Matemática pela Universidade Federal da Bahia 
(1996), mestre em Matemática pela Universidade Federal do Ceará (1998) e Doutor 
em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (2005). Atualmente é 
professor Associado do Departamento de Matemática-Universidade Federal da 
Bahia, é Diretor do Instituto de Matemática (2015-2019) Tem experiência na área 
de Matemática, com ênfase em Geometria Diferencial, atuando principalmente nos 
seguintes temas: Geometria de espaços homogêneos, Aplicações harmônicas e 
estruturas quase Hermitianas invariantes em espaços homogêneos. Mantém 
trabalhos em parceria com outros pesquisadores do Brasil e do exterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SEÇÃO A 
ROTEIRO DE ESTUDO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
 
 
 
 
FUNÇÕES 
 
I. Conceito de Função 
Considere A e B conjuntos não-vazios quaisquer, isto é, ambos possuem certa 
quantidade de elementos. Iremos representar os dois conjuntos utilizando o 
diagrama de Venn: 
 
 
 
 
 
 
 
Perceba que o conjunto A = {1,2,3,4} e B = {5, 6, 7, 8} são subconjuntos dos naturais. 
Veja que podemos relacionar os elementos do conjunto A com os elementos do 
conjunto B de alguma forma: 
 
 
 
 
 
 
 
Esta é apenas uma das muitas maneiras de relacionar os elementos dos conjuntos 
entre si. Algumas dessas relações recebem o nome de função, de forma que são 
definidas: 
Def: Dados A e B dois conjuntos não-vazios, uma relação f de A em B recebe o nome 
de função f de A em B se, e somente se, para todo x ∈ A existe um único y ∈ B tal que 
o par ordenado (x,y) ∈ f. 
 
Exemplo 1: 
f é função de A em B: todo elemento de A se relaciona com um único elemento de B. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: 
g é função de A em B: todo elemento de A se relaciona com um único elemento de B 
e, apesar de sobrar um elemento em B sem relação alguma com um elemento de A, 
perceba que o diagrama continua seguindo a definição dada anteriormente. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: 
h não é função de A em B: o elemento 3 se relaciona com dois elementos em B. Por 
esse motivo, g não pode ser considerada função pelo fato de um elemento de A não 
se ligar com um único elemento de B. 
 
 
 
 
 
 
II. Notação de Função 
Observe que se f é considerada uma função, então ela nada mais pode ser 
representada por um conjunto de pares ordenados. Para isso, podemos utilizar uma 
notação específica que generaliza f: 
Tomando y = f(x) uma sentença aberta que expressa a lei de formação de uma dada 
função, podemos escrever: 
f = {(x,y)|x ∈ A, y ∈ B e y = f(x)} 
 
Utilizando o exemplo I da seção anterior: 
 
 
 
 
 
 
É possível criar uma lei de formação que represente o diagrama acima. Veja que uma 
lei adequada para o exemplo acima é f(x) = x + 4. Dado que os elementos do 
conjunto A são correspondentes ao x e os elementos de B correspondentes ao y 
(visto que f(x) = y), de fato: 
f(1) = 1 + 4 = 5 
f(2) = 2 + 4 = 6 
f(3) = 3 + 4 = 7 
f(4) = 4 + 4 = 8 
 
Os elementos de A podem ser chamados de domínio da função f. Os elementos de B 
recebem o nome de contradomínio de f e, os valores que y assume quando aplicamos 
x na lei de formação, é a imagem da função. Ambos também são conjuntos. De forma 
mais simplificada e utilizando o exemplo acima: 
 
D(f) = {1,2,3,4} 
CD(f) = {5,6,7,8} 
Im(f) = {5,6,7,8} 
Note que, no exemplo, CD(f) = Im(f). Entretanto, isso nem sempre pode acontecer. 
Em casos que algum elemento de B não se relaciona com alguém de B, CD(f) será 
diferente de Im(f). 
 
III. Tipos de Função 
De acordo com a lei de formação de uma função teremos algumas funções 
específicas das quais serão importantes no decorrer do curso. As duas principais 
funções que iremos estudar nesta seção serão a função afim e a função quadrática. 
 
Função Afim 
Também chamada de função do primeiro grau, a função afim é toda função com lei 
de formação geral na forma: 
f(x) = ax + b, coma,b ∈ R e a ≠ 0 
Os coeficientes a e b são números reais e, obrigatoriamente, para ser uma função do 
primeiro grau, o coeficiente a tem que ser diferente de zero. Chamamos a de 
coeficiente angular e b de coeficiente linear. 
Uma função do primeiro grau se caracteriza como uma reta no plano cartesiano e, 
de acordo com o valor de seu coeficiente angular, essa reta pode ser crescente ou 
decrescente. 
 
 
 
 
 
 
 
Função Quadrática 
Também chamada de função do segundo grau, a função quadrática é toda função 
com lei de formação na forma: 
f(x) = ax² + bx + c, com a,b,c ∈ R e a ≠ 0 
Os coeficientes a e b são números reais e, obrigatoriamente, para ser uma função do 
segundo grau, o coeficiente a tem que ser diferente de zero, caso contrário, seria 
uma função afim. 
Uma função do segundo grau se caracteriza como uma parábola no plano cartesiano 
e, de acordo com o valor de seu coeficiente a, essa parabóla tem concavidade para 
baixo ou para cima. 
 
 
 
 
 
 
Vértice da Parábola 
Na figura acima, percebe-se alguns pontos destacados e denominados 𝑦𝑣. A cada 𝑦𝑣 
temos um 𝑥𝑣 associado. O par ordenado (𝑥𝑣, 𝑦𝑣) forma o vértice da parábola, que 
pode ser um ponto de máximo de uma função do segundo grau com concavidade da 
parábola voltada para baixo (caso a<0), ou um ponto de mínimo de uma função do 
segundo grau com concavidade da parábola voltada para cima (caso a>0). 
Para calcula o par (𝑥𝑣, 𝑦𝑣), é necessário olhar para a função associada, identificar os 
coeficientes ‘’a’’, ‘’b’’ e ‘’c’’ e, a partir dessa identificação, aplicá-los nas fórmulas 
abaixo: 
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
 
𝑦𝑣 = −
∆
4𝑎
; ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
 
 
 
 
 
 
 
O cálculo do vértice de uma parábola é extremamente importante para o estudo de 
problemas que envolvem funções econômicas. O vértice pode estar associado ao 
lucro máximo que uma empresa pode obter, a quantidade máxima de produtos a 
serem fabricados para se obter esse lucro máximo, rendimentos e entre outras 
informações importantes. 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS I 
 
1. Determinar o domínio e a imagem das seguintes funções e esboçar o gráfico: 
 
a) 
2)( xf
 
b) 
xxf )(
 
c) 
510)(  xxf
 
d) 
xxf 21)( 
 
e) 
4)( 2  xxf
 
f) 
32)( 2  xxxf
 
g) 
4)( xxf 
 
h) 
3)( xxf 
 
i) 
3)(  xxf
 
j) 
xxf  1)(
 
k) 
3)(  xxf
 
l) 
29)( xxf 
 
m) 
xxf 3)( 
 
n) 
xxf  2)(
 
o) 
xxf 3log)( 
 
p) 
xxf
2
1log)( 
 
q) 
tgxxf )(
 
 
 
 
r) 









86 ,10
62 ,168
2 ,3
)( 2
xx
xxx
x
xf
 
s) 









5 ,3
50 ,2
0 ,1
)(
3
x
xx
xx
xf 
t) 









83 ,6
31 ,
1 ,)3(
)(
2
xx
xx
xx
xf 
 
u) 









 24 ,2
20 ,
2 ,log
)( 3
2
x
xx
xx
xf
x
 
 
v) 









02 ,
0 ,cos
2 ,
)(
xtgx
xx
xsenx
xf



 
 
2. Se f e g são funções de 
R
 em 
R
 dadas por 
3)( xxf 
, 
xxg 23)( 
 e 






2 ,2
2 ,1
)(
2 xxx
xx
xh
 , obter: 
 
a) 
fg 
 b) 
gf 
 c) 
ff 
 d) 
2g
 e) 
))1(( fg
 
3. Dadas as funções reais 
73)(  xxf
 e 
139))(( 2  xxxgf
, determinar a lei de 
formação da função g. 
 
4. Dada a função 
3)1( 2  xxf
, determinar 
)2( xf
. 
 
5. Determinar o domínio das funções abaixo: 
 
a) 
44
123
2
4 2



xx
x
y
 
b) 
3 5 xy
 
c) 
5
32



x
x
y
 
d) 
562  xxy
 
e) 
6
2
3
x
x
y



 
f) 
8 2 4xxy 
 
 
g) 
3
24
x
x
y


 
h) 
x
x
y



4
32
 
i) 
)1(log )1( xy x  
 
j) 
)9(log 2)3(   xy x
 
k) 
29
2
ln
x
x
y



 
l) 
x
x
ey  1
 
 
6. Verificar se cada uma das funções abaixo é invertível. Em caso afirmativo, 
determinar a inversa: 
 
a) 
12)( ,:  xxfRRf
 
b) 
2)( ,: xxfRRf 
 
c) 
2)( ,: xxfRRf  
 
d) 
   
32
5
)( ,2123:



x
x
xfRRf
 
e) 
3)( ,: xxfRRf 
 
 
7. Determinar a equação da reta que satisfaça as condições dadas: 
 
a) passa pelos pontos (-3,0) e (0,4); 
b) passa pelo ponto (2,-3) e tem ângulo de inclinação de 45; 
c) passa pelo ponto (1,3) e tem ângulo de inclinação de 150; 
d) passa pelo ponto (1,4) e é paralela à reta de equação 
072  yx
; 
e) passa pelo ponto (-2,3) e é perpendicular à reta de equação 
0843  yx
; 
f) passa pelo ponto (-3,-4) e é paralela ao eixo 0x; 
g) passa pelo ponto (1,-7) e é paralela ao eixo 0y; 
h) passa pela origem e é perpendicular à reta de equação 
12  xy
; 
i) passa pelo ponto médio do segmento 
AB
, onde 
)3,6( A
 e 
)2,3(B
 
sendo perpendicular à reta de equação 
012  yx
; 
j) intercepta o eixo 0x no ponto de abscissa 4 e é paralela à reta de 
equação 
0232  yx
; 
k) passa pelo ponto (-2,-3) e é paralela à reta de equação 
1
34




yx
; 
l) passa no ponto de interseção das retas 
02:  yxs
 e 
0923:  yxt
 interceptando a reta 
05 y
 no ponto de abscissa 4; 
8. Dados os pontos 
)1,3(A
 e 
)5,5(B
, obter o ponto em que a reta 
AB
 intercepta: 
a) o eixo das abscissas 
b) o eixo das ordenadas 
c) a 1a bissetriz 
d) a 2a bissetriz 
 
9. Determinar qual a posição relativa entre as retas: 
 
a) 





0235:
0753:
xys
yxr b) 





05610:
0753:
xys
yxr 
c) 





0232:
032:
yxs
xyr d) 





0242024:
0656:
yxs
yxr 
 
10. Uma bola foi jogada de cima de um edifício. Sua altura (em metros), depois de t 
segundos, é dada pela função 
216256)( tth 
. 
 
a) Em que altura estará a bola depois de 2 s? 
b) Que distância a bola terá percorrido no 3o segundo? 
c) Qual a altura do edifício? 
d) Quando a bola atingirá o chão? 
 
11. Um operário que chega ao trabalho às 8 horas da manhã terá montado, t horas 
após, 
ttttf 156)( 23 
 rádios. Quantos rádios este operário terá montado: 
 
a) às 10h da manhã? 
b) entre 9 e 10 horas da manhã? 
 
12. Suponha que o custo total de fabricação de q unidades de uma certa mercadoria 
seja dado pela função 
20050030)( 23  qqqqc
. Calcular: 
 
a) o custo de fabricação de 10 unidades da mercadoria; 
b) o custo de fabricação da 10a unidade da mercadoria; 
 
13. Em uma fábrica o custo de fabricação (em reais) de q unidades é de 
900)( 2  qqqc
. Num dia normal de trabalho, durante as t primeiras horas de 
produção, são fabricadas 
ttq 25)( 
 unidades. 
 
a) Expressar o custo total da fabricação total como função de t; 
b) Quanto terá sido gasto em produção no final da 3a hora? 
14. Determinar o preço de equilíbrio se 
pqd 520 
 e 
82  pqo
 são 
respectivamente as equações das curvas de demanda e oferta. Esboce o gráfico 
de tais curvas. 
 
15. Determinar o ponto de nivelamento onde as funções de custo total e receita total 
são dadas respectivamente por 
53)(  qqCt
 e 
qqRt 4)( 
, onde q é a 
quantidade produzida? 
 
16. Dadas as funções de oferta e demanda pelas leis 
xy 35
 e 
124  xy
, 
respectivamente, verificar se o ponto de equilíbrio é significativo.17. As equações de demanda e oferta do mercado de carro são, respectivamente, 
02522  pq
 e 
022  pq
, onde p é o preço e 100q é a quantidade. 
Determine a quantidade e o preço de equilíbrio. 
 
18. Um professor, ao mimeografar apostilas para seus alunos, gastou $2.000,00 na 
datilografia das matrizes. Calculando o preço de custo de cada matriz (papel e 
álcool) em $40,00 e vendendo cada uma por $50,00, calcular as funções 
)( e)(),( qLqRqC ttt
 (custo, receita e lucro totais). Esboçar o gráfico de tais 
funções. 
 
19. O custo total para produzir q unidades por dia de um certo produto é 
)1520
2
$(
2
 q
q
RCt
 e o preço de venda de uma unidade é 
)30$( qRp 
. Dê 
as funções 
tt LR ,
 e demanda. 
 
20. Somente se o preço de uma determinada máquina supera R$250,00 
encontramos máquinas disponíveis no mercado. Entretanto se o preço é de 
R$350,00 então 200 máquinas estão disponíveis no mercado. Ache a equação da 
oferta supondo-a linear. 
 
 
21. Uma companhia de turismo tomou conhecimento de que quando o preço de 
visita a pontos turísticos é de R$600,00 a média de passagens vendidas por 
viagem é de 30 e quando o preço passa para $1.000,00 o número médio de 
passagens vendidas por viagem é somente 18. Supondo linear a equação da 
demanda, encontre-a e esboce seu gráfico. 
 
 
 
 
22. As funções lineares de oferta (r) e demanda (s) de um determinado bem de 
conveniência são dadas pelas seguintes características: r passa pelos pontos 
(4,5) e (0,1); s passa pelo ponto (2,3) e um decréscimo de 2 unidades no preço 
representa um aumento de 4 unidades de produção. 
 
a) Determine as funções de oferta e demanda. 
b) Verifique se o ponto de equilíbrio é economicamente significativo e 
determine-o. 
 
23. O custo unitário de produção de um bem é de R$500,0 e o custo fixo associado à 
produção é de R$3.000,00. Se o preço de venda do referido bem é de R4650,00, 
determinar: 
 
a) as funções custo total, receita total e lucro total; 
b) o ponto de nivelamento; 
c) o lucro obtido ao se fabricar 200 unidades; 
d) a produção necessária para se ter um lucro de R$12.000,00. 
 
24. O preço de venda de um bem de consumo é de R$800,00. A indústria está 
produzindo 1.200 unidades e o lucro pela venda da produção é de R$260.000,00. 
Se o custo fixo de produção é de R$196.000,00, calcule o custo unitário de 
produção. 
 
25. Paulo resolveu montar uma fábrica de bolsas. Calculou que teria uma despesa de 
R$400.000,00 com aluguel, manutenção de máquinas, etc., e que o preço de custo 
de cada bolsa seria de R$2.000,00. Resolveu então fixar o preço de R$2.500,00 
para a venda de cada bolsa. Determinar: 
a) as funções 
)( e)(),( qLqRqC ttt
; 
b) quantas bolsas o fabricante terá que fazer para que não tenha prejuízo; 
c) quantas bolsas Paulo precisa vender para obter um lucro de 
R$1.100.000,00. 
 
26. Um determinado produto é produzido ao custo unitário de R4200,00 e vendido 
ao preço de R$250,00. Se o ponto de nivelamento é atingido ao nível de produção 
de 2.500 unidades, deseja-se saber: 
a) o custo fixo associado; 
b) a produção necessária para se ter um lucro de R$600.000,00. 
 
27. Um fabricante vende um certo produto por R$110,00 a unidade. O custo total 
consiste de uma taxa fixa de R$7.500,00, somada ao custo de produção de 
R$60,00 por unidade. 
a) Quantas unidades o fabricante precisa vender para existir a ruptura? 
b) Se forem vendidas 100 unidades o fabricante terá lucro ou prejuízo? De 
quanto? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES ECONÔMICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES ECONÔMICAS 
 
I - Curvas de oferta e demanda 
 Uma das definições de "curva de demanda" (procura) é a seguinte: “A curva de 
demanda é uma construção teórica que nos diz quantas unidades de um 
determinado bem de consumo os consumidores estarão desejosos de comprar, 
durante um período de tempo, a todos os possíveis preços, presumindo-se que os 
gostos dos consumidores, os preços das outras mercadorias e as rendas dos 
consumidores se mantenham inalterados". Na mesma linha, "a curva de oferta" é 
uma construção teórica que nos diz quantas unidades os produtores de uma 
mercadoria em determinada indústria estão dispostos a vender em um certo 
período de tempo. 
Na prática, algumas curvas de oferta e demanda são aproximadamente lineares na 
faixa de valores que interessa; outras são não-lineares. No entanto, mesmo nesses 
casos, as equações lineares podem oferecer representações de oferta e demanda 
razoavelmente precisa dentro de uma faixa limitada. 
A figura (A) mostra uma representação mais geral de curvas de oferta e demanda, 
enquanto a figura (B) representa a oferta e a demanda como funções lineares. 
 
Deve-se observar, como é indicado nas figuras (A) e (B) que apenas as partes das 
curvas que estão no 1º quadrante interessam à análise econômica. Isto porque a 
oferta, o preço e a quantidade de demanda são, em geral, iguais a zero ou a um 
número positivo. Por exemplo, nas formas mais simples da análise econômica; 
(1) A oferta negativa significa que os artigos não estão disponíveis no mercado, 
porque eles não são produzidos ou porque eles são retidos até que um preço 
satisfatório seja oferecido por eles. 
 
(2) O preço negativo significa que são pagos preços aos compradores para a 
remoção de artigos do mercado. 
 
(3) A demanda negativa significa que o preço é tão alto que impede a atividade de 
mercado, até que os artigos sejam oferecidos a um preço satisfatório.] 
Os casos acima podem ocorrer mais sua incidência não é frequente, sendo 
examinada apenas em análises econômicas mais avançadas. 
Devemos compreender que a equação de uma reta não indica a faixa de valores de x 
(quantidade demandada ou ofertada) e y (preço) que deverá ser considerada 
quando ela é especificada, como no caso presente, onde interessam apenas os 
valores positivos ou nulos, ou seja, onde preços ou quantidades negativas não são 
significativas, a faixa de valores de x e y é restrita. Essas restrições baseiam-se na 
interpretação e no significado da equação para uma aplicação particular, elas não se 
baseiam nas suas propriedades matemáticas inerentes. Deve-se ter em mente esse 
fato, a fim de evitar interpretações errôneas, principalmente quando se consideram 
equações mais complicadas. 
 
No caso presente o domínio das funções de oferta e demanda será sempre R*+ ou R+ 
assim como o contradomínio dessas funções. 
Curvas de demanda lineares: 
Normalmente, a declividade de uma curva de demanda linear é negativa, isto é, à 
medida que o preço aumenta, a quantidade procurada diminui (e à medida que o 
preço diminui, a quantidade procurada aumenta), isto é, a função de demanda linear 
é geralmente decrescente. Em certos casos, a declividade de uma curva de demanda 
pode ser nula, isto é, o preço é constante, independentemente da demanda. Em 
outros casos, a declividade de uma curva de demanda pode ser indefinida, isto é, a 
procura é constante, independentemente do preço. Note que neste caso, a curva de 
demanda é uma reta paralela a 0y e logo, não é gráfico de função. (Observe as figuras 
a seguir) 
Observação: Dependendo das informações disponíveis, diferentes formas da reta 
podem, em cada caso, ser mais convenientes para se obter a função de demanda. 
Exemplos: 
1. 10.000 relógios são vendidos quando seu preço é R$ 60,00 e 20.000 relógios 
são vendidos quando seu preço é R$ 40,00. Qual é a equação da demanda, sabendo 
que ela é linear? Esboce o gráfico dessa função de demanda. 
 
2. Quando o preço é R$ 90,00 nenhum relógio é vendido; quando os relógios 
são liberados gratuitamente, 30.000 são procurados. Qual é a equaçãoda demanda 
sabendo que ela é linear? Esboce seu gráfico. 
 
3. Por serem considerados necessários à segurança nacional, são comprados 
anualmente 50 geradores de serviço pesado, independentemente do preço. Qual é a 
equação da demanda? 
 
4. O preço do leite foi congelado por 6 meses, no valor de R$ 400. Qual é a 
equação de demanda nesse período? Qual o gráfico da curva de demanda? 
 
 
5. Um certo produto tem equação de demanda 
06p4x2 
, onde p é o preço 
unitário e x o número de milhares de unidades. Determine o preço por unidade para 
uma demanda de 1000 unidades e determine a demanda se o produto for oferecido 
gratuitamente. 
 
Curvas de oferta lineares: 
Normalmente, a declividade de uma curva de oferta linear é positiva, isto é, à medida 
que o preço aumenta, a oferta aumenta e à medida que o preço diminui, a oferta 
diminui. Em certos casos, a declividade de uma curva de oferta linear pode ser zero, 
isto é, o preço é constante, independentemente da oferta (reta paralela a 0x). Em 
outros casos, a declividade pode ser indefinida, isto é, a oferta é constante, 
independentemente do preço (reta paralela a 0y). 
 
Exemplos: 
1. Quando o preço for de R$50,00, 50.000 máquinas fotográficas de um 
determinado tipo estão disponíveis no mercado; quando o preço for de R$75,00, 
100.000 máquinas estão disponíveis no mercado. Qual é a equação da oferta? Esboce 
o gráfico dessa curva de oferta sabendo que ela é linear. 
 
2. Quando o preço for de R$25,00 nenhuma bola de um determinado tipo está 
disponível no mercado, enquanto que para cada R$10,00 de aumento no preço, 
20.000 bolas a mais estão disponíveis. Qual é a equação da oferta, sabendo que a 
curva é linear? 
3. De acordo com os termos de contrato entre a Companhia A e a companhia 
telefônica, a Companhia A paga à companhia Telefônica R$1.000,00 por mês para 
chamadas a longa distância, com duração de tempo limitada. Qual é a equação da 
oferta? 
 
4. Dada a equação de oferta 
010p8x3 
, sendo x em centenas de unidades 
e p o preço unitário, qual o preço por unidade pelo qual 200 unidades são ofertadas? 
 
 
 
II - Equilíbrio do mercado 
Foi visto que no caso da função de demanda, uma elevação no preço corresponde 
(geralmente) a uma redução na quantidade demandada e no caso da função de 
oferta, uma elevação no preço corresponde a uma elevação na quantidade ofertada. 
Então, até que nível variará o preço se de um lado, o consumidor deseja preços 
sempre menores e de outro, o produtor interessa-se por preços sempre maiores? E 
a esse preço, quais serão as quantidades consumidas (demanda) e produzidas 
(oferta)? Haverá um preço que satisfará, em termos de quantidade, aos 
consumidores e produtores; é o chamado "preço de equilíbrio". O "equilíbrio de 
mercado" ocorre então num ponto no qual a quantidade de um artigo procurado é 
igual à quantidade oferecida. Portanto, supondo que as mesmas unidades para a 
quantidade demandada e a quantidade ofertada sejam usadas em ambas as 
equações (de oferta e demanda) , a quantidade de equilíbrio e o preço de equilíbrio 
correspondem às coordenadas do ponto de interseção das curvas de oferta e de 
demanda. Algebricamente, as coordenadas desse ponto são encontradas, 
resolvendo-se o sistema formado pelas equações de oferta e procura. 
Obs.: Em geral, para um equilíbrio ser significativo economicamente, as 
coordenadas do ponto de equilíbrio (interseção das curvas) devem ser positivas ou 
nulas, isto é, as curvas devem interceptar-se no 1º quadrante. 
Exemplos: 
1. Ache o ponto de equilíbrio para as seguintes equações de oferta e de 
demanda p = 10 - 2q e p = 
1q
2
3

. 
2. Ache o ponto de equilíbrio para as seguintes equações de oferta e de 
demanda p = 5 - 3q e p = 4q + 12 
 
Obs.: o nome Ponto de Equilíbrio dado ao ponto 
)ep,eq(P
 advém do seguinte: 
suponha que o bem esteja sendo oferecido a um preço 
ep1p 
. Traçando uma reta 
horizontal de ordenada 
1p
, determinaremos a quantidade demandada 
correspondente 
dq
 e a quantidade oferecida correspondente 
qo
 (figura abaixo). 
Como 
oqdq 
 há uma tendência de queda de preço. Um raciocínio semelhante 
indica que se o preço que o bem é oferecido é menor que 
pe
, então a quantidade 
demandada é maior que a oferecida, e o preço tende a subir. 
 
 
 
 
 
3. Sendo 
252p2x 
 e 
01xp 
 respectivamente equações de demanda e 
oferta de um bem, x em 1000 unidades e p o preço unitário, determine o preço de 
equilíbrio e a quantidade de equilíbrio. 
 
III - Função receita 
É diretamente proporcional à quantidade vendida. É entendida como sendo o 
produto entre o preço de venda (p), pela quantidade vendida (q). R = p.q 
 
Na atividade operacional de uma empresa, diversos fatores contribuem para a 
formação da receita proveniente do volume de vendas. Fatores como volume de 
produção e potencial de mercado não podem ser esquecidas na formação da receita, 
porém, em pequenos intervalos onde já foram consideradas as variáveis restritivas 
e considerando-se o preço constante nesse intervalo de produção, o rendimento 
total da empresa será função somente da quantidade vendida. 
 
Por exemplo, se for tomada uma produtora de caixas registradoras que são vendidas 
a R$ 80,00 cada, se não for vendida unidade alguma, a Receita será 0; se forem 
vendidas 100.000 unidades, o rendimento total (receita total) será 8 milhões de 
reais. Vê-se então que a função receita pode ser uma função linear cujo gráfico é uma 
reta que passa pela origem e tem como declividade o preço de venda (por unidade). 
No caso de a Receita ser uma função linear (preço constante), a equação que define 
a função é R(q) = p.q onde R é a receita total (rendimento total), p é o preço por 
unidade do produto e q é a quantidade vendida. Como p > 0, o gráfico é do tipo: 
 
 
 
 
 
Obs.1: Se p(preço) é fixo, R é uma função linear da quantidade vendida. Porém se o 
preço é dado pela equação de demanda de um bem a equação da receita não será 
linear. Nesse caso R(q) = f(q).q, onde p=f(q) é a função preço de demanda. 
Obs.2: A função Receita Média é a função que a cada q associa 
q
)q(R
, ou seja, a função 
Receita Média coincide com a função preço de demanda. 
 
 
 
Exemplo: 
1. Um certo bem tem por equação de demanda 
025002x2p 
, onde p é o 
preço e x a quantidade demandada. Determine a função receita e a função receita 
média com seus respectivos domínios. Qual a receita e a receita média se a 
quantidade demandada é 40 unidades? 
 
IV - A função custo 
Os custos de empresas são classificados em duas categorias: fixos (CF) e variáveis 
(CV). Os custos fixos permanecem constantes em todos os níveis de produção e 
incluem comumente fatores tais como aluguel, instalação, equipamentos, etc. Ele 
permanece constante, independentemente de volume de produção ou de venda. Os 
custos variáveis são aqueles que variam com a produção e que incluem fatores tais 
como mão-de-obra, matéria prima utilizada, gastos promocionais, etc. 
O custo total (C) em qualquer nível de produção é a soma do custo fixo e do custo 
variável nesse nível de produção. 
Sendo c o custo variável unitário de produção de determinado bem e q a quantidade 
produzida, o custo variável é dado por CV =c.q (nesse caso, o custo variável é função 
linear da quantidade produzida e seu gráfico é a equação de uma reta que passa pela 
origem e tem declividade (c) positiva). 
O custo total (C) pela produção de q unidades do referido bem é dado, então, pela 
equação C=c.q + CF, onde c é o custo variável unitário de produção do bem e CF é o 
custo fixo. 
Nesse caso,o custo total é uma função (afim) da quantidade produzida e seu gráfico 
é uma reta com declividade positiva (c). 
 
 
 
 
 
 
Obs.: A função Custo Médio é a função que a cada q associa 
q
)q(C
. 
 
 
 
V - Ponto de ruptura 
(Break Even Point) - (ou ponto de nivelamento) 
O ponto P de interseção das curvas C (Custo Total) e R (Receita) refere-se ao nível 
de atividade da empresa em que ela não obtém nem Lucro nem Prejuízo, ou seja, a 
receita é igual ao custo total. Ele representa também a quantidade na qual o 
produtor está para romper o equilíbrio - isto é, a quantidade para a qual existe um 
rendimento suficiente apenas para cobrir os custos. A empresa fará, certamente, 
todo o esforço necessário para ultrapassar esse ponto, gerando, consequentemente, 
uma parcela de lucro, rompendo essa situação. 
Para se obter as coordenadas de PR, basta achar a interseção das curvas R e C. No 
caso de funções lineares (retas), o ponto PR delimita duas regiões: uma à esquerda, 
representando o Prejuízo (pois para cada q<qR, o custo total é maior que a receita) 
e uma à direita, representando o Lucro (pois para cada q>qR, o custo total é menor 
que a receita). 
A abcissa qmax representa a quantidade máxima de produção da empresa, ou seu 
nível de atividade máxima (Unidades fabricadas e/ou vendidas) para a estrutura de 
custo considerada. 
É importante notar que quanto mais próximo PR estiver da origem, menor será a 
quantidade a ser fabricada (ou vendida) para que a empresa passe a operar com 
lucro. 
 
 
 
 
 
VI - A função lucro 
A função lucro é definida por L = R - C, onde R é a função receita e C a função custo 
total. 
No caso de funções lineares, L = (p - c)q – CF, onde p é o preço de venda por unidade, 
c é o custo variável unitário do produto e Cf é o custo fixo. Então, nesse caso, o lucro 
é uma função (afim) da quantidade vendida (ou fabricada). 
(Note que o ponto de ruptura é obtido fazendo L = 0) 
 
 
 
 
Exemplos: 
1. O custo unitário de produção de um bem é R$ 5,00 e o custo associado à 
produção é R$ 30,00. Se o preço da venda do referido bem é R$ 6,50 determinar: 
a) A função custo total; 
b) A função receita; 
c) A função lucro; 
d) O ponto de ruptura; 
e) A produção necessária para um lucro de R$ 120,00. 
 
2. Um fabricante vende seu produto a R$ 25,00 por unidade. Os seus custos 
fixos estimados em R$ 13.000,00 e os custos variáveis em 40% do rendimento total. 
Sua capacidade média de produção é 5.000 unidades/mês. Determinar: 
a) A equação do custo variável; 
b) A função receita; 
c) A função custo total; 
d) A função lucro; 
e) O ponto de ruptura; 
f) Qual o lucro obtido na produção e venda de sua capacidade máxima? 
 
Observação: É fácil compreender que o comportamento de uma grandeza e suas 
variações, bem como a relação entre as variáveis, nem sempre é linear. Sabe-se, por 
exemplo, que entre a receita obtida e a quantidade vendida existe uma relação e 
pode-se estabelecer um modelo que interprete a relação funcional entre as variáveis 
que certamente não poderá ser linear, pois, de acordo com as restrições de mercado, 
crescimento populacional, etc., a receita não poderá crescer indefinidamente. Outras 
funções, além de lineares, são utilizadas para representar situações que ocorrem na 
prática. 
 
Exemplos: 
 
1. Dadas às equações p = 1/q e p = q + 3/2, pede-se: 
a) Determinar qual equação representa uma curva de demanda e qual 
representa uma curva de oferta; 
b) Determinar algebricamente a quantidade e o preço de equilíbrio de 
mercado. 
 
2. Seja q = 20 - p a equação da demanda de um bem e C = 2q + 17 a equação 
do custo total associado. Pede-se: 
a) Determinar a função receita e seu gráfico; 
b) Determine o ponto de ruptura; 
c) Determine a função lucro e seu gráfico; 
d) Determinar o valor de q para que L seja máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES ECONÔMICAS 
LISTA DE EXERCÍCIOS II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS II 
 
1. Um comerciante verificou que a demanda de certo produto depende de seu 
 preço de acordo com a seguinte tabela: 
 
p q 
4 80 
6 70 
8 60 
10 50 
 
a) Faça o gráfico cartesiano da função demanda. 
b) Determine a expressão matemática da função na forma p = f(q). 
 
2. Numa sapataria, 120 sandálias de um determinado tipo eram vendidas por 
semana quando o seu preço era R$ 10,00. Hoje que o preço é R$ 15,00 são vendidas 
apenas 80 sandálias por semana. Qual é a equação de demanda, admitindo-a linear? 
3. O preço de uma garrafa de vinho era R$ 20,00. A esse preço eram vendidas 50 
unidades por dia. Tendo o preço baixado para R$ 15,00, o número de unidades 
vendidas por dia passou para 75. Admitindo linear a curva de demanda, obtenha a 
sua equação e faça seu gráfico cartesiano. 
4. Numa relojoaria, quando o preço é R$ 100,00, nenhum relógio de pulso é vendido, 
mas 20 relógios de pulso são vendidos quando o seu preço é R$60,00. Qual é a 
equação de demanda, admitindo-a linear? 
5. Por serem considerados necessários à segurança nacional, são comprados 
anualmente 50 geradores de serviço pesado, independentemente do preço. Qual é a 
equação de demanda? Faça o seu gráfico cartesiano. 
 
6. Quando o preço de certo produto agrícola era R$ 180,00 a tonelada eram 
ofertadas 50 toneladas no mercado. Atualmente, que o preço é de R$ 200,00, são 
ofertadas 300 toneladas. Determine a equação de oferta admitindo-a linear. Faça o 
seu gráfico cartesiano. 
7. Quando o preço de R$ 25,00, nenhuma máquina fotográfica de um determinado 
tipo está disponível no mercado; para cada R$ 10,00 de aumento no preço, 20 
máquinas fotográficas a mais estão disponíveis no mercado. Qual é a equação de 
oferta? Faça o gráfico cartesiano. 
8. De acordo com os termos de contrato entre a Companhia A e a Companhia 
Telefônica, a Companhia A paga à Companhia Telefônica 500,00 por mês para 
chamadas à longa distância, com duração de tempo ilimitada. Qual é a equação de 
oferta? Faça o gráfico cartesiano. 
9. Dadas as funções q = 4p - 3 e q = 
10+
120
p
 - 5, respectivamente, oferta e demanda 
para certo produto, determine o ponto de equilíbrio. 
 
10. As funções oferta (q = p-10) e procura (q = 5600/p). 
 
a) Calcule o preço de equilíbrio e o número correspondente de unidades em 
oferta e procura. 
b) Construa os gráficos das funções em questão no mesmo par de eixos. 
c) Onde a função oferta cruza o eixo p? Qual o significado econômico deste 
ponto? 
 
11. Um produtor verificou que o custo unitário (ou custo médio) de fabricação de 
um produto variava com a quantidade, sendo tanto maior quanto menor era a 
quantidade fabricada. A função pode ser expressa na forma: 
Cme= 
20+
120
q
 
a) Calcule Cme( 1 ) , Cme ( 10 ), Cme( 20 ), Cme( 30 ), Cme( 40 ) e Cme( 100 ), faça 
uma tabela e o gráfico da função. 
b) A função tem limite inferior? Qual? 
 
12. A produção de uma fábrica de motores é função linear do tempo. No 1º ano ela 
produziu 2600 motores e no 8º ano de funcionamento esta produção foi de 
11000 motores. Em que ano a produção foi de 7400 motores? 
 
13. O custo de um produto é calculado pela fórmula C = 10 + 20 q, onde C indica o 
custo (em reais) e q a quantidade produzida (em unidades). Faça o gráfico de C 
em função de q. 
 
14. O custo total (Ct) pela produção de q unidades de um bem é dado por Ct = aq + 
b, onde a representa o custo unitário, sendo ‘aq’ o custo variável (Cv) e ‘b’ o custo 
fixo (Cf). Se a = 2 e b = 4, dê e represente graficamente a funçãocusto fixo (Cf), a 
função custo variável (Cv) e a função custo total (Ct) pela produção de q unidades. 
Calcule o número q de unidades produzidas do referido bem quando o custo total 
é de R$ 2400, 00. 
15. A equação de demanda de um bem é q = 20 - p e a do custo total associado é CT 
= 2q + 17, sendo p o preço de venda por unidade e q a respectiva quantidade 
vendida, determine: 
 
a) a equação da receita total, RT = p. q, e o seu gráfico; 
b) a quantidade q vendida para a qual a receita total (RT) é igual ao custo total 
(CT), isto é, o ponto de nivelamento (Break Even Point); 
c) a equação do lucro total, LT = RT - CT, e o seu gráfico; 
d) o valor de q que maximiza a receita total (RT) e a receita máxima 
correspondente; 
e) o valor de q que maximiza o lucro total (LT) e o lucro total máximo 
correspondente. 
 
16. Sabe-se que o custo C para produzir x unidade de um certo produto é dado por 
C = x2 - 80x + 3000. Nestas condições, calcule: 
a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo; 
b) o valor mínimo do custo 
 
17. Seja C= q2 -+10q + 375 a função custo de certo produto; colocado no mercado 
verificou-se que a demanda para esse produto era dada pela relação p = -2q + 100. 
a) Determine as funções receitas (R) e lucro (L) para esse produto. 
b) Calcule os pontos de Break - Even - point (Ponto de nivelamento, R = C) 
 c) Determine o valor de q que maximiza a Receita e a Receita máxima 
correspondente. 
d) Determine o valor de q que maximiza o lucro e o lucro máximo 
correspondente. 
e) Faça os gráficos das funções custo (C), receita (R) e lucro no mesmo sistema 
de eixos. 
f) Para que valores de q se tem L  0? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LIMITES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LIMITES 
Entender o conceito de limites e saber aplicá-los em casos práticos envolvendo a 
teoria de funções econômicas e da análise marginal é fundamental para o bom 
aproveitamento do curso. De antemão, iremos conhecer um pouco acerca dessa 
ferramenta com exercícios e exemplos diretos. Com isso, será mais agradável e 
natural utilizá-la sempre que necessário. A prática é muito importante para fixar as 
técnicas que aqui serão ensinadas. 
Para começar a entender do que se trata um limite, pense num quadrado de lado l 
inscrito numa circunferência de raio r. Sabe-se que é muito fácil encontrar a área do 
quadrado se seu lado é conhecido, porém, com apenas o raio da circunferência, não 
temos tanta precisão no resultado de sua área, visto que sempre faremos uma 
aproximação para 𝜋. Se o quadrado está inscrito na circunferência, é claro que 
sobrarão alguns espaços não preenchidos pela área do quadrado. 
A partir da situação descrita, se aumentarmos a quantidade de lados do polígono 
regular inscrito para 5, ou seja, temos agora um pentágono regular inscrito na 
circunferência, concorda que o espaço antes não preenchido pelo quadrado parece 
que é menor? Se continuarmos a aumentar os lados desse polígono regular para uma 
quantidade muito grande, tendendo ao infinito, esse espaço não preenchido é cada 
vez menor, fazendo assim com que a área do polígono inscrito se aproxime da área 
da circunferência. 
Veja abaixo a ilustração do problema: 
 
Esse problema apresentado é bem antigo no mundo da matemática. Os gregos o 
resolveram utilizando um método conhecido como ‘Método da Exaustão’, de forma 
que encontravam a área da circunferência aumentando exaustivamente a 
quantidade de lados do polígono regular nela inscrito. 
Pensando de forma grosseira, podemos pensar em ‘limites’ como um ponto do qual 
queremos chegar, o mais próximo possível, mas jamais iremos alcançá-lo. Vejamos 
alguns exemplos que nos remetem à ideia de limites: 
 
1. Ao assoprar uma bexiga de festa de aniversário, se a pessoa não parar de 
enchê-la, em algum momento ela irá estourar. Isso se deve à resistência do 
material e ao coeficiente de elasticidade da bexiga. Ambos possuem um limite 
capaz de suportar a pressão exercida pelo ar em seu interior. 
 
2. Uma ponte de madeira que passa em cima de um rio, projetada por um 
engenheiro civil, possui um limite de carga que pode passar por cima para 
que sua estrutura se mantenha intacta. 
 
3. Sempre que um voo comercial é estabelecido, a empresa responsável deve 
saber o limite mínimo de combustível necessário para que a viagem seja 
realizada de forma segura. 
 
I – Conceito de Limite 
Seja uma função f: RR definida como f(x) = x – 2. Vamos determinar o valor de f(x) 
quando pegamos x cada vez mais próximos de 2 pela esquerda (isto é, valores 
menores do que 2) e pela direita (isto é, valores maiores do que 2): 
 
x f(x) 
1 -1 
1,5 -0,5 
1,8 -0,2 
1,9 -0,1 
1,99 -0,01 
1,999 -0,001 
1,9999 -0,0001 
1,99999 -0,00001 
1,999999 -0,000001 
 
Perceba que em ambos os casos, o valor de f(x) se aproxima de zero. 
Em termos gráficos: 
 
x f(x) 
3 1 
2,5 0,5 
2,3 0,3 
2,1 0,1 
2,01 0,01 
2,001 0,001 
2,0001 0,0001 
2,00001 0,00001 
2,000001 0,000001 
Com o que foi observado acima, podemos denotar as informações na notação de 
limites: 
a) lim
x→2−
𝑓(𝑥) = 0 
A notação no caso nos diz que ‘‘limite da função f(x) com x tendendo a 2 pela 
esquerda (o sinal negativo implica no sentido) é igual a zero’’ 
b) lim
x→2∓
𝑓(𝑥) = 0 
A notação no caso nos diz que ‘‘limite da função f(x) com x tendendo a 2 pela direita 
(o sinal positivo implica no sentido) é igual a zero’’ 
𝑐) lim
x→2
𝑓(𝑥) = 0 
Como os casos das letras a e b deram iguais, isto é lim
x→2∓
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 0 (são 
denominados de ‘’limites laterais’’, temos que: ‘’limite da função f(x) com x 
tendendo a 2 é igual a zero’’. 
Observação: Se os limites laterais forem diferentes, o limite de f(x) tendendo a um 
ponto x0 não existe. 
Veremos nos exemplos e exercícios que o ponto x0 do qual a função se aproxima 
pode assumir pontos conhecidos, como no exemplo acima, como também pode 
tender ao infinito, seja ele positivo ou negativo. 
 
Exercício: 
1. O gráfico a seguir representa uma função 
f
 de 
]9 ,6[
 em 
R
. Determine: 
 
 
a) f(2) 
b) 
)(lim
2
xf
x 
 
c) 
)(lim
2
xf
x 
 
d) 
)(lim
2
xf
x
 
e) 
)2(f
 
f) 
)7(f
 
 
 
 
 
 
II - Cálculo de Limites (Fatoração) 
A partir dessa seção, iremos listar os mais variados casos de cálculos de limites que 
aparecem casualmente em exemplos práticos. É importante salientar que a prática 
é uma grande aliada à fixação do exercício. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III – Cálculo de Limites (Função Exponencial) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IV – Cálculo de Limites (Funções Logarítmicas) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DERIVADAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DERIVADAS 
Outro importante conceito para aprofundarmos o estudo das funções econômicas é 
o de derivadas. Considere uma função y = f(x), sua derivada num dado ponto x = x0 
assume o valor da tangente trigonométrica do ângulo gerado pela tangente 
geométrica à curva que representa y = f(x). Em outras palavras, a derivada nada 
mais é do que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto 
x0. 
 
Uma derivada de y = f(x) é representada usualmente por f’(x) ou 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 . 
Parao cálculo de derivadas de funções, é necessário identificar o melhor método a 
ser utilizado. Abaixo, selecionamos os principais métodos para o curso. É importante 
lembrar que a prática na resolução de exercícios será sua aliada para fixar as 
fórmulas e o aprendizado. 
I - Derivadas Básicas 
Considere a, b, c, n constantes e u, v funções com variável x. 
1. Derivada de uma constante: 
 
2. Derivada de uma potência 
 
 
3. Derivada da soma ou subtração de duas funções 
 
 
4. Derivada do produto de uma função por uma constante 
 
 
5. Derivada do produto de duas funções 
 
6. Derivada do quociente de duas funções 
 
 
7. Derivada da potência de uma função 
 
8. Regra da Cadeia 
Seja u o v uma função composta por u e v, para derivar essa função utilizamos 
a regra da cadeia: 
 
A notação acima é pouco usual, podendo ser escrita também na forma: 
 
9. Derivada do Logaritmo Natural 
 
 
10. Derivada de um logaritmo em qualquer base 
 
 
11. Derivadas de exponenciais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II – Principais definições e teoremas 
A partir dessa seção, iremos listar alguns exemplos, teoremas e definições, bem 
como suas demonstrações. É importante lembrar que a prática é uma aliada ao 
aprendizado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LIMITES E DERIVADAS 
LISTA DE EXERCÍCIOS III 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS III 
 
1. Para as funções abaixo, determine seus domínios e interseções com os eixos, 
intervalos de crescimento ou decrescimento, extremos relativos, pontos de inflexão, 
assíntotas e o esboço de seus gráficos: 
a) 
13 23  xxf(x)
 
b) 35 53 xx)x(f  
c) 43 xxf(x)  
d) 3232 /xxf(x)  
e) 
1
1


 x,
x
x
f(x)
 
f) 
22
4
1
2


 x,x,
x
f(x)
 
 
2. A derivada de uma certa função 
RRf  :
é f’(x) = x² - 4x 
a) Em que intervalos f é crescente? E decrescente? 
b) Em que intervalos o gráfico de f tem concavidade para cima? E para baixo? 
c) Calcule os extremos relativos e os pontos de inflexão. 
 
3. Sabe-se que 
32 )2()3)(4( ,:  xxx(x)fRRf
. Sabendo que 
c)(fb)(f,a)(f  2 e 34
, pede-se: 
a) os intervalos de crescimento ou decrescimento de f; 
b) os extremos relativos de f. 
 
4. Construa o gráfico de uma função que possua todas as propriedades abaixo 
relacionadas, ao mesmo tempo: 
a) Domínio: 
 1/  xRx
; f é uma função par; 
b) 
3
4
22
3
1
2
1
2
1
00  )(f)(f,)(f)(f,)(f
; 
c) 
01ou 1 se 0  xx,)x(f
e
1ou 1 se0 0  xx,)x(f
 
d) 
1ou 1 se 0  xx,)x(f
 e
 1 1- se 0  x,)x(f
 
 
5. Calcular a e b de modo que 
baxxf(x)  23
 tenha um extremo relativo 5 em 
1 x 
. 
6. Encontre as constantes a e b de modo que 
bxaxxf(x)  23
 tenha pontos 
críticos
3 e 2 21  xx
. Algum deles é de máximo? Algum é de mínimo? 
 
7. Sabendo-se que a derivada de uma função 
)x(fy 
 é uma função crescente que 
se anula para 
ax 
, pode-se afirmar que 
)a(f
 é um máximo ou um mínimo relativo de 
f? 
 
8. Determine os valores das constantes de modo que: 
a) 
cbxaxf(x)  2
 tenha um valor máximo relativo igual a 7 em 
1x
 e o 
gráfico de f passe no ponto 
),(P 22
. 
b) 
bxaxxf(x)  23
 tenha um extremo relativo em 
4x
 e um ponto de 
inflexão de abscissa 
1x
. 
 
9. Dada a função 
32 223  xnmxxy
, calcule m e n de modo que 
0x
 
seja abscissa de um extremo relativo y e 
2x
 abscissa de um ponto de inflexão do gráfico 
dessa função. 
 
10. Calcule o máximo e o mínimo absolutos (se existentes) da função dada no intervalo 
especificado: 
a) 
33 51232 23  x,xxxf(x)
 
b) 
30 1083 34  x,xxf(x)
 
c) 
1
2
1
 
1
2


 x,
x
x
f(x)
 
d) 
0 2
8
2  x,
x
xf(x)
 
e) 
0 ,5
75
3  x
x
xf(x)
 
 
11. Um fabricante produz objetos a R$20,00 cada. Estima-se que, se cada objeto for 
vendido por x reais os consumidores comprarão mensalmente 
x120
 objetos. Determine 
o preço com o qual o fabricante obterá maior lucro. 
 
12. Um fabricante de doces produz balas por $5,00 cada e estima que, se a bala for 
vendida por x reais, os consumidores comprarão aproximadamente xe 1,0.1000  balas por 
semana. Qual deverá ser o preço da bala para maximizar o lucro? 
 
13. A demanda de certo produto é
p-D(p) 2160
, onde p é o preço de venda do 
produto. Qual o preço que torna maior a despesa do consumidor, isto é, seu gasto? 
 
14. Suponha que o custo total em reais, pela fabricação de q unidades de um certo 
produto, seja dado por 
483 2  qqC(q)
: 
a) Expresse o custo médio de fabricação por unidade do produto como função de q. 
b) Para qual valor de q é menor o custo médio? 
 
15. Uma firma de produtos plásticos recebeu uma ordem de produção de 8.000 
unidades. A firma possui 10 máquinas, cada uma produzindo 30 unidades por hora. O gasto 
em eletricidade é de $20,00 por máquina e o custo de operação é de $4,80 por hora. 
a) Quantas máquinas devem ser utilizadas para minimizar o custo? 
b) Os intervalos em que a função custo cresce ou decresce. 
 
 
16. Suponha que a equação de demanda para uma certa mercadoria seja 
xp 0002,04
, onde x é o número de unidades produzidas semanalmente e p reais é o 
preço de cada unidade. O número do custo total da produção de x unidades é 
x3800 
. Se 
o lucro semanal deve ser o maior possível, encontre o número de unidades que serão 
produzidas por semana, o preço de cada unidade e o lucro semanal. 
 
 
 
17. Uma loja compra certos objetos a R$50,00 cada. Quando o preço de venda é de 
R$80,00, a loja vende mensalmente 40 objetos. Baixando R$5,00 no preço de cada objeto, 
espera-se vender mais 10 unidades por mês. Qual deverá ser o preço de venda do objeto 
para maximizar o lucro? 
 
18. Uma indústria está aumentando a produção de um artigo à razão de 200 unidades 
por semana. A função demanda semanal admite como modelo 
xp 
, onde p é 
o preço e x é o número de unidades produzidas em uma semana. Ache a taxa de variação da 
receita em relação ao tempo, quando a produção semanal é de 2.000 unidades. 
 
19. Uma indústria está aumentando a fabricação de um produto à razão de 25 unidades 
por semana. A função demanda e a função custo do produto são 
 440020 e 01050 2 xxCx,p
. Ache a taxa de variação do lucro em relação 
ao tempo quando as vendas semanais são de 800 unidades 
 
20. O custo anual (em milhões de dólares) para um departamento do governo 
apreender p % de droga ilegal é 
1000 ,
100
528
 p
-p
p
C(p)
. O objetivo do departamento é 
aumentar p 5% ao ano. Ache a taxa de variação do custo quando p=30%. : 53,88 milhões 
por ano. 
 
21. Numa certa fábrica, o custo total de fabricação de q unidades é 
90020 2  qq,C(q)
 reais. Sabe-se que, aproximadamente, 
t tq(t) 1002 
unidades 
produzidas as t primeiras horas de jornada de trabalho. Qual será a taxa de variação do 
custo total de fabricação, em relação ao tempo uma hora após o início dos trabalhos? : 
R$4.222,80 por hora 
 
22. Um Importador de café brasileiro calcula que consumidores locais comprarão 
aproximadamente 
2
4374
p
D(p) 
 quilogramas de café por semana, quando o preço 
brasileirofor de p dólares por quilograma. Estima-se que daqui a t semanas o preço do café 
brasileiro importado será 
 610020 2  t,t,p(t)
dólares por quilograma. Qual será a taxa 
de variação da demanda semanal de café daqui a 10 semanas 
23. Numa indústria automobilística, se C é o custo total da produção de s unidades, então 
10002
4
1
)( 2  sssC
 . Além disso, se s carros são produzidos durante t horas desde o 
início da produção,
50t3ts(t) então 2 
. Determine a taxa de variação de custo em relação 
ao tempo, 2 horas após o início da produção 
 
24. Estima-se que a receita anual de uma empresa seja de 
)xx,(R(x) 160350 2 
milhões de reais, quando 
x.0001
 produtos são vendidos. A quantidade atual de produtos 
vendidos é de 10.000 unidades e está crescendo a uma taxa de 2.000 por ano. Qual é a taxa 
de crescimento anual da receita? 
 
 
25. Estima-se que, aproximadamente, 
90052  ppN(p)
 pessoas são atendidas 
anualmente no pronto-socorro de um hospital, quando a população da comunidade é de 
p.0001
 habitantes. A população atual é de 20.000 habitantes e está crescendo a uma taxa 
de 1.200 habitantes por ano. Qual é a taxa de crescimento anual do atendimento à população 
no pronto-socorro? 
 
26. Suponha que num certo mercado p seja o preço de uma caixa de uvas, x o número 
de milhares de caixas ofertadas diariamente, sendo a equação de oferta dada implicitamente 
por 
0105320  xpp.x
. Se a oferta está decrescendo a uma taxa de 250 caixas por 
dia, como está variando o preço da caixa no instante em que a oferta é de 5.000 caixas? 
 
27. Estima-se que, daqui a t anos, a circulação de um jornal local será 
000.5400100)( 2  tttC
. Calcule o aumento sofrido pela circulação daqui a 6 meses. 
 
28. Estima-se que, daqui a t anos, a população de uma certa comunidade será de 
1
6
20)(


t
tp
 mil habitantes. Qual será o aumento aproximado da população durante os 
próximos 3 meses? 
 
29. A receita mensal de um fabricante é de 
205,0240)( qqqR 
 reais, quando a 
produção é de q unidades. Atualmente, o fabricante produz 80 unidades por mês e pretende 
aumenta este total em 0,65 unidades. Estime a variação que sofrerá a receita total mensal 
com esta aumento. 
 
30. O custo total de um fabricante é de 
2005005,01,0)( 23  qqqqC
 reais, 
quando a produção é de q unidades. A produção atual é de 4 unidades e o fabricante 
pretende diminuir este número para 3,9 unidades. Estime a variação resultante no custo 
total. 
 
31. O estudo da eficiência do turno da manhã de uma certa fábrica indica que um 
operário médio, chegando ao trabalho às 8 horas, montará 
xxxxf 156)( 23 
 rádios 
x horas depois. Quantos rádios o operário montará aproximadamente, entre 9 horas e 9 
horas e 15 minutos? 
32. Em certa fábrica, a produção diária é de 
2
1
600)( kkQ 
 unidades, onde k 
representa o investimento de capital medido em unidades de 1.000 reais. O investimento 
atual de capital é de R$900.000,00. Estime o efeito resultante na produção diária com um 
investimento de capital adicional de R$800,00. 
33. Em certa fábrica, a produção diária é de 
3
1
000.60)( LLQ 
 unidades, sendo L o 
número de operários-hora. Atualmente trabalham 1.000 operários-hora na fabrica, 
diariamente. Estime o efeito resultante na produção, quando apenas 940 operários-hora 
estiverem trabalhando. 
 
34. Suponha que 
 h(x)
unidades de fuzis sejam produzidas diariamente quando x 
máquinas são usadas, e 
 xxxh(x) 32402000 
. Usando diferencial, estime a variação 
na produção diária se o número de máquinas usadas for aumentado de 20 para 21. 
 
35. Suponha que 
 
x
xR(x)
2
300
2

 seja a receita total recebida da venda de x mesas. 
Determine a receita marginal quando 40 mesas são vendidas. Qual a receita efetiva da venda 
da 41ª mesa? 
36. Suponha que 
)(qC
 seja o custo total de fabricação de q livros, e 
20204110 q,qC(q) 
. 
a) Deduza a fórmula do Cmg. 
b) Estime o custo de fabricação do 101º livro. 
c) Qual o custo real de fabricação do 101º livro? 
 
37. Suponha que a receita total diária pela fabricação de cintos de couro é de 
qqR(q) 802 
, onde q é o número de cintos produzidos diariamente. O fabricante está 
produzindo 20 cintos por dia. 
 
a) Faça uma estimativa do ganho adicional produzido pelo 21º cinto usando análise 
marginal. 
b) Calcule a diferença entre o ganho real e o estimado produzido pelo 21º cinto. 
 
38. Seja 
 18002 2 qqR(q) 
 a função receita diária, para a fabricação de fogões, onde 
q é o número de unidades produzidas diariamente. Atualmente, o fabricante está 
produzindo 400 fogões por dia e pretende elevar este número para 401. 
 
a) Use análise marginal para estimar o ganho adicional produzido pelo 401º 
 fogão. 
b) Qual a diferença entre o ganho real e o aproximado calculando no item (a)? 
 
39. O ganho total diário pela fabricação de refrigeradores é de 
2050240 q,qR(q) 
 
reais, onde q é o número de unidades produzidas diariamente. Atualmente, o fabricante está 
produzindo 80 unidades por dia e pretende elevar este número de 1 unidade. 
 
a) Estime o ganho adicional produzido pela 81ª unidade. 
b) Calcule o ganho adicional real produzido pela 81ª unidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APLICAÇÃO DE LIMITES E DERIVADAS 
FUNÇÕES ECONÔMICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIO IV 
 
1. Um operário que chega ao trabalho às 8:00 horas da manhã terá montado, após t horas 
de trabalho, 
156)( 23  tttf
 rádios. Quantos rádios este operário terá montado: 
a) às 10:00 horas da manhã? 
b) entre 9:00 e 10:00 horas da manhã? 
 
2. Suponha que o custo total de fabricação (em reais) de q unidades é de 
20050030)( 23  qqqqC
. Calcular: 
a) o custo de fabricação de 10 unidades da mercadoria. 
b) o custo de fabricação da 10a unidade da mercadoria. 
 
3. Em uma fábrica o custo de fabricação (em reais) de q unidades é de 
900)( 2  qqqC
. Num dia normal de trabalho, durante as t primeiras horas de 
produção, são fabricadas 
ttq 25)( 
 unidades. 
a) Expressar o custo total de fabricação como função de t; 
b) Quanto terá sido gasto em produção no final da 3a hora de trabalho? 
 
4. Determinar o preço e a quantidade de equilíbrio se 
22 25 pq 
 e 
022  pq
 são 
respectivamente as equações das curvas de demanda e oferta, onde p é o preço e 100q 
é a quantidade. 
 
5. Um professor, ao preparar apostilas para seus alunos, gastou $2.000,00 na datilografia 
das matrizes. Calculando o preço de custo de cada matriz (papel e tinta) em $40,00 e 
vendendo cada uma por $50,00, determinar as funções custo, receita e lucro e esboçar 
seus gráficos num mesmo sistema de coordenadas cartesianas. 
 
6. O custo total para produzir q unidades por dia de um certo produto é 
1520
2
)(
2
 q
q
qC
 e o preço de venda de uma unidade é 
qp  30
. Determinar as 
funções lucro e demanda. 
 
7. Somente se o preço de uma certa máquina supera $250,00 encontramos máquinas 
disponíveis no mercado. Entretanto, se o preço é de $350,00 então 200 máquinas estão 
disponíveis no mercado. Ache a equação da oferta supondo-a linear e esboce seu gráfico. 
 
8. Uma companhia de turismo tomou conhecimento de que quando o preço de visita a 
pontos turísticos é de $600,00 a média de passagens vendidas por viagem é de 30 e 
quando o preço passa porá $1.000,00 o número médio de passagens vendidas por 
viagem é somente18. Supondo linear a equação da demanda, encontre-a e esboce seu 
gráfico. 
 
9. Precisando alugar um carro, consultamos duas locadoras. A primeira cobra $140,00 
mais $2,00 por quilômetro rodado. A segunda cobra $200,00 mais $1,00 por quilômetro 
rodado. Determine qual a melhor opção e represente graficamente. 
 
10. Um clube cobra dos sócios uma taxa anual de $320,00. Para utilizar a quadra de futebol 
um sócio paga uma taxa de $2,00 por hora e um não sócio paga uma taxa de utilização 
de $10,00 por hora. Se você estima que durante o ano jogará cerca de 60 partidas de 
uma hora cada, será mais vantajoso tornar-se sócio do clube ou não? 
 
11. As funções lineares de oferta (r) e demanda (s) de um determinado bem, de 
conveniência são dadas pelas seguintes características: r passa pelos pontos (4,5) e 
(0,1); s passa pelo ponto (2,3) e um decréscimo de 2 unidades no preço representa um 
aumento de 4 unidades de produção. Determine o ponto de equilíbrio. 
 
 
12. O custo unitário de produção de um bem é de $500,00 e o custo fixo associado à 
produção é de $3.000,00. Se o preço de venda do referido bem é de $650,00, determinar: 
a) as funções custo total, receita e lucro; 
b) o ponto de nivelamento; 
c) o lucro obtido ao se fabricar 200 unidades; 
d) a produção necessária para se ter um lucro de $12.000,00. 
 
13. O preço de venda de um bem de consumo é de $800,00. A indústria está produzindo 
1.200 unidades e o lucro pela venda da produção é de $260.000,00. Se o custo fixo de 
produção é de $196.000,00, calcule o custo unitário de produção. 
 
14. Uma pessoa resolveu montar uma fábrica de bolsas. Calculou que teria uma despesa de 
$4.000,00 com aluguel, manutenção de máquinas, etc., e que o custo unitário de 
produção de cada bolsa seria de $40,00. Resolveu fixar então o preço da bolsa em $50,00. 
Determinar: 
a) as funções custo total, receita e lucro; 
b) quantas bolsas o fabricante precisa vender para que não tenha prejuízo; 
c) quantas bolsas o ele precisa vender para ter um lucro de $1.100,00. 
 
15. Um determinado produto é produzido ao custo unitário de produção de $200,00 e 
vendido ao preço de $250,00. Se o ponto de nivelamento é atingido ao nível de produção 
de 2.500 unidades, determinar o custo fixo associado. 
 
16. A produção de milho é função do fertilizante utilizado dada por 
289 xxp 
 (x – 
quantidade do fertilizante, p – quantidade de milho produzido). 
a) Esboce o gráfico dessa função; 
b) Ao nível de 
2x
, qual o aumento que há na produção da quantidade do 
fertilizante for aumentada em 5%? 
c) Existe um valor de x para o qual a produção é máxima? Qual? 
 
17. Estima-se que, daqui a t anos, a população de um certo país será de 
te
tP
06,0.128
80
)(


 milhões de habitantes. 
 
a) Qual é a população atual? 
b) Qual será a população daqui a 50 anos? 
c) O que acontecerá à população, à medida que os anos forem passando? 
 
 
18. Um economista de certa fábrica construiu a seguinte tabela, que relaciona a produção 
dos operários com sua experiência: 
 
Experiência (meses) 0 6 
Produção (unidades por hora) 300 410 
 
O economista acredita que a produção Q se relacione à experiência t através da função 
tkeAtQ ..500)( 
. Determine uma função desse tipo que corresponda aos dados do 
problema. 
 
19. Uma fábrica vende seu produto por $25,00 a unidade. Os seus custos fixos estão 
estimados em $13.000,00 e os variáveis em 40% da receita total. Sua capacidade 
máxima de produção é de 5.000 unidades. Determine: 
 
a) as funções custo total, receita e lucro; 
b) o lucro obtido na produção e venda de sua capacidade máxima. 
 
20. Esboce o gráfico de 
f
, determine 
lim ( ), lim ( )
x a x a
f x f x




 
 e, caso exista, 
lim ( ):
x a
f x

 
 a)








,14
 ,2
,23
)(
x
x
xf
 
x
x
x



1
1
1
 (a = 1)
 b)









,1
,1
,1
)(
2
x
x
xf 
x x
x
x
 


1 2
2
1
 e 
 (a = 2)
 
 
 c)







,
,
)(
2
x
xx
xf
 
x
x


0
0
 
( )a  0
 d)
)2( ,
2
2
)( 


 a
x
x
xf
 
 
 
 
21. Determine, se possível, para que exista 
lim ( )
x xo
f x

, sendo: 
 a)








, 5
,3
,23
)(
xa
x
xf
 
x
x x
x
o
 
   
 
1
1 1
1
 ( )
 
 b)



 


,
,)2)(4(
)(
12
a
xx
xf
x
x


2
2
 
( )xo  2
 
 
22. Considere as funções Itens a, b, c e d do exercício 1. Verifique se 
f
 é contínua em 
x a 
23. Determine, se possível, cR de modo que 
f
 seja contínua em 
xo
, onde: 
 a)







,2
,23
)(
2
x
cx
xf
 
x
x


1
1
 (
xo  1
) 
 b)



 

,
,1
)(
2
2
c
cx
xf
 
x
x


1
1
 
( )xo 1
 
 c) 







,3
,2
)(
2
x
cx
xf
 
x
x


0
0
 
( )xo  0
 
24. Calcule os limites a seguir: 
 a) 
lim ( )
y
y y y

  
1
5 4 23 12 
 b) 
lim [ ( / ) , ]
x
x x x

  
4
3 2 4 0 5 
 
 c) 
lim (log ln )
w
w w


10
 
 d) 
lim ( )
x
xe x


1
3 4 
 
 e) 
lim
sen
cos/x
x
x  2 1
 
 f) 
)x.cos(
x
x
e
lim


 2
 
53
1
 
 g) 
lim
x
x
x

2
2 4
2
 
 h)
 
||2
5
lim
0 x
x
x


 
 i) 
lim
x
x
x

1
2 1
1
 
 j) 32
3 3
9
 lim










 x
x
x
 
a R
25. Calcule os seguintes limites: 
 a) 
lim ( )
x
x x

  2 4 35 2
 b) 
lim ( )
x
x x x

   4 2 53 2
 
 c) 
lim ( )
x
x x

   2 24 3
 d) 
lim ( )
x
xe

 5
 
 e) 
lim
log
( / )x x
x
 
 
1 2 3
 f) 
lim
/x x 
 
1
1 21
 
 g) 
lim ( ln )
x
x x
 

0
2 
 h) 
23
2
918
2542
 lim
xx
xx
x 


 
i) 
1
434
 lim
2
2


 x
xx
x
 j) 
x
xx
x 92
53
 lim
4



 
26. Calcule os seguintes limites: 
 a) 
lim
senx
x
x

0
2 1
 
 b) 
lim
x
x
x 

0
2
1
 
 
 c) 
lim
( )x
x
x

5
2
2
2 3
5
 
 d) 
lim
x
x
x x

 1 2
5
5 4
 
 
 e) 
lim
x
x
x

2
5 4
2
 
 f) 
2510
10
 lim
25 

 xx
x
x
 
 g) 
44
44
 lim
2
23
2 

 xx
xxx
x
 h) 
133
2
 lim
23
2
1 

 xxx
xx
x
 
27. Calcule os seguintes limites: 
a) 
lim
x
x
x

1
1
1
 
 b) 
lim
x
x
x

2
3 8
2
 
 c) 
52
13
 lim
2
1 

 x
xx
x
 d) 
lim
x
x
x x  0
 
 
e) 
13
12
 lim
24
3
1 

 xxx
xx
x
 f) 
lim
x
x
x

1
3 1
1
 
 g) 
1
12
 lim
2
1 

 x
xx
x
 
h) 
375
1222
 lim
23
234
1 

xxx
xxxx
x
 i) 
xx
xxx
x 23
24
 lim
2
23
0 


 j) 
lim
x
x
x
 
7 2
2 3
49
 
 
 
28. Determine as derivadas das funções a seguir: 
a) 
y x x x   2 3 34 2
 
b) 
3
)12(2 

x
y
 
c) 
x
xx
x
y
3
.2
4
3 3 2 
 
d) 
7
5



x
x
y
 
e) 
y
x
x



5
6 13
3 ln 
 
f) 
y x x 2 3 1 32 1/ /( )
 
g) 
y x x x sen cos
 
h) 
g x
x x
x x
( )
sen cos
sen cos



 
i) 
22
6
ba
bax
y



 
j) 
33 2 . xx
b
x
a
y 
 
k) 
xexxy x ln23.3
5 4 
 
l) 
xx
y
1
12
2



 
m) 
2
2
1
1
x
x
y



 
n) 
xe
x
y 
 
o) 
x
x
y
ln

 
p) 
xlog.alnxlogxlny a
 
q) 
xy x 3log.22.3 
 
r) 
x
x
y
ln
2

 
s) 
42)23( xy 
 
t) 3 2 1 xy 
u) 
567 )12.(40
1
)12.(24
1
)12.(56
3






xxx
y
 
v) 
xey x 2log.5 3 
 
w) 2
.5 xey 
 
x) 
xxy 22 10.
 
y) 
).2ln( 3xexy 
 
z) 
)
1
ln(
2


x
x
y
 
 
29. Para cada uma das funções, determinar a derivada indicada: 
a) 
f x e fx( ) , ( ) 1 0 
 
b) 
y x y ln( ) , ' '/1 2 1 3 
 
c) 
yxey x  ,
 
d) 
3
3
2 ,/1
dx
yd
xy 
 
e) 
)('' ,.)( 2 xfexxf x
 
f) 
)('' ,3)( 2 xfxf x
 
g) 
)('' ,23 xyxy 
 
h) 
dx
dy
yx ,843 
 
i) 
dx
dy
yx ,2522 
 
j) 
dx
dy
yxyx ,.33 
 
k) 
dx
dy
xxyy ,0132 22 
 
l) 
e xy e y Py p  , ' ' , ( , ) 0 1
 
 
 
30. Verificar se cada uma das funções abaixo satisfaz a equação diferencial indicada: 
a) 
0
48
''2 ;
2
53

x
y
x
y
 
b) 
0
10
2
 3 
ln
y.x);xlog(y
 
c) 
0  y'y)xxy();xyln(y
 
 
31. Determine uma equação da reta tangente a cada curva abaixo no ponto indicado: 
a) 
1 ;2)( 23  oxxxxxf
; 
b) 
ln y x y  2
 no ponto (-1,1); 
c) 
1 ;.2 3  oxey
; 
d) 
1 ;)( 3  oxxxf
; 
e) 
8 032  ox;yx
; 
f) 
1 71 0
3  x;x)yx(
; 
g) 
2 ;2.  oxyx
; 
h) 
y x x x  3 22 4
 nos pontos em que a reta tangente é horizontal 
i) 
x
xf
1
)( 
 nos pontos em que a reta tangente é paralela à 2ª bissetriz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE MARGINAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE MARGINAL 
I – Custo Marginal 
Em Economia a variação de uma quantidade em relação a outra pode ser descrita 
por qualquer dos dois conceitos: o de MÉDIA ou o de MARGINAL. O conceito de 
média expressa a variação de uma quantidade sobre um conjunto específico de 
valores de uma segunda quantidade, enquanto que o conceito de marginal é a 
mudança instantânea na primeira quantidade que resulta de uma mudança em 
unidades muito pequenas na segunda quantidade. 
Suponha que C(q) seja o custo total de produção de q unidades de um certo produto. 
A função C é chamada de Função Custo Total (como já vimos anteriormente). Em 
circunstâncias normais q e C(q) são positivas. Note que, como q representa o 
número de unidades de um produto, q tem que ser inteiro não negativo. Contudo, ao 
efetuarmos o cálculo vamos supor que q seja um número real não negativo, de modo 
que tenhamos as condições de continuidade para a função C. 
O custo médio da produção de cada unidade do produto é obtido dividindo-se o 
custo total pelo número de unidades produzidas, isto é, CM(q)=C(q)/q, onde CM é 
chamada Função Custo Médio. 
Suponhamos que o número de unidades de uma determinada produção seja q1, e 
que ela tenha sido alterada por Δq. Então a variação no custo total é dada por 
C(q1+Δq) - C(q1), e a variação média no custo total em relação a variação no 
número de unidades produzidas é dada por: 
[C(q1+ Δq) - C(q1 )]/Δq (1) 
Os Economistas usam o termo Custo Marginal para limite do quociente (1) quando 
Δq tende a zero, desde que o limite exista. Esse limite é a derivada de C em q1; 
portanto a definição de custo marginal será: 
 
 
Se C(q) é o custo de produção de q unidades de um certo produto, então o Custo 
Marginal, quando q= q1, é dado por C’(q1), caso exista. A função C’ é chamada Função 
Custo Marginal e frequentemente é uma boa aproximação do custo de produção de 
uma unidade adicional. 
 
 
Na definição acima, C’(q1) pode ser interpretada como a taxa de variação do custo 
total quando q1 unidades são produzidas. 
 
 
Exemplo 1: Suponha que o custo total ao se fabricar q quantidades de brinquedos 
seja de C(q)=3q2+5q+10. 
 
a) Deduza a fórmula do custo marginal. 
b) Qual é o custo marginal de 50 unidades produzidas? 
c) Qual é o custo real de produção do 51o brinquedo? 
 
Note que as respostas dos itens b e c diferem por R$3,00, isto é, o custo marginal é 
próximo do custo real de produção de uma unidade adicional. Isto ocorre por que o 
custo marginal é a taxa de variação instantânea de C(q) em relação a uma unidade 
de variação em q. Logo, C’(50) é o custo aproximado da produção do 51o brinquedo. 
Observe que o cálculo de C’(50) no exemplo 1 é mais simples do que o de C(51)-
C(50). Os economistas frequentemente aproximam o custo da produção de uma 
unidade adicional usando a função custo marginal. Mais claramente, C’(n) é o custo 
aproximado da (n+1) - ésima unidade que as n primeiras unidades tiverem sido 
produzidas. 
 
 
 
As respostas dos itens b e c do exemplo anterior são muito próximas por causa da 
proximidade dos pontos (50,C(50)) e (51,C(51)) e porque esses pontos pertencem 
a uma porção praticamente linear da curva de custo. Para tais pontos, o coeficiente 
angular da secante é uma boa aproximação do coeficiente angular da tangente. Como 
usualmente se obtém esta aproximação e sendo mais fácil, de maneira geral, calcula-
se o custo marginal como aproximação do custo real de produção de uma unidade 
adicional, como já dissemos acima. 
De maneira geral, em economia análise marginal de refere ao uso de derivadas de 
funções para estimar a variação ocorrida no valor da variável dependente quando 
há um acréscimo de 1 unidade no valor da variável independente. 
 
 
Exemplo 2: Suponha que C(q) seja o custo total da produção de q unidades de 
canetas, e C(q)=2q2+q+8. Determine as funções: 
 
a) custo médio 
b) custo marginal 
 
 
Exercícios: 
1. Suponha que o custo total de fabricação de q unidades de um certo produto seja 
C(q)=3q2+q+500. 
 
a) Use análise marginal para estimar o custo de fabricação da 41o unidade. 
b) Calcule o custo real de fabricação da 41o unidade. 
 
2. Suponha que C(q) seja o custo total de fabricação de q livros, e 
C(q)=110+4q+0,02q2. 
 
a) Deduza a fórmula do custo marginal. 
b) Estime o custo de fabricação do 101o livro. 
c) Qual o custo real de fabricação do 101o livro? 
 
II – Receita Marginal 
 
Se R(q) é a receita total obtida quando q unidades de um certo produto são 
demandadas, então a Receita Marginal, quando q= q1, é dado por R’(q1), caso exista. 
A função R’ é chamada Função Receite Marginal. 
 
 
R’(q1) pode ser positiva, negativa ou nula, e pode ser interpretada como a taxa de 
variação da receita total quandoq1 unidades são demandadas. Também R’(n) é a 
receita aproximada da venda da (n+1) - ésima unidade depois que as n primeiras 
unidades tiverem sido vendidas. 
Exemplo 3: O ganho total diário pela fabricação de refrigeradores 
R(q)=240q+0,05q2 reais, onde q é o número de unidades produzidas diariamente. 
Atualmente, o fabricante está produzindo 80 unidades por dia e pretende elevar 
esse número em 1 unidade. 
a) Estime o ganho adicional produzido pela 81o unidade. 
b) Calcule o ganho adicional real produzido pela 81o unidade. 
 
Exemplo 4: Seja R(q)=-2q2+1800q a função receita diária, para a fabricação de 
fogões, onde q é o número de unidades produzidas diariamente. Atualmente, o 
fabricante está produzindo 400 fogões por dia e pretende elevar este número para 
401. 
a) Use análise marginal para estimar o ganho adicional produzido pelo 401o 
fogão. 
b) Qual a diferença entre o ganho real e o aproximado calculado no item a? 
 
Observe que a derivada da função receita assume valores diferentes em outros 
pontos, o que significa que, são diferentes os acréscimos em R correspondentes a 
acréscimos de uma unidade em q. Por exemplo se q=100, R’(100)=1400 e se 
q=600, R’(600)=-600(decréscimo). 
Este valor negativo é esperado, pois o gráfico de R é uma parábola, com concavidade 
voltada para baixo e a partir de q=450 a curva da receita começa a decrescer. 
Exercícios: 
3. Suponha que a receita total diária pela fabricação de cintos de couro é de 
R(q)=-q2+80q, onde q é o número de cintos produzidos diariamente. O 
fabricante está produzindo 20 cintos por dia. 
 
a) Faça uma estimativa do ganho adicional produzido pelo 21o cinto. 
b) Faça uma estimativa do ganho adicional produzido pelo 51o cinto. 
 
III – Problemas de Taxas Relacionadas (Regra da Cadeia, taxas de variação) 
 
Em muitas situações práticas, a quantidade em estudo é dada como função de uma 
variável que, por sua vez, é uma função de uma outra variável. Assim, suponha que 
em uma certa indústria C seja o custo total de produção de q unidades e C=f(q). 
Além disso, suponha que q unidades sejam produzidas durante as t horas desde o 
início da produção e q=g(t). Se conhecemos a taxa de variação do número de 
unidades produzidas em t horas (dq/dt) e conhecemos também a taxa de variação 
do custo em relação à produção (dC/dq), é evidente que poderíamos determinar a 
taxa de variação do custo total de produção naquele intervalo de tempo (dC/dT); 
pela Regra da Cadeia dC/dt=(dC/dq).(dq/dt). 
 
Há muitos problemas ligados à taxa de variação de duas ou mais variáveis 
relacionadas em relação ao tempo nos quais não é necessário expressar cada uma 
delas diretamente como função do tempo. Por exemplo, suponhamos uma equação 
envolvendo as variáveis x e y , sendo ambas funções de uma terceira variável t. 
Então, como as taxas de variação de x e y em relação a t são dadas por dx/dt e dy/dt, 
respectivamente, diferenciamos implicitamente em relação a t, como no exemplo 
abaixo. 
 
Exemplo 5: Numa indústria automobilística, se C é o custo total da produção de s 
unidades, então D(s) = (1/4)s2+2s+1000. Além disso, se s carros são produzidos 
durante t horas desde o início da produção, então s(t)=3t2+50t. Determine a taxa 
de variação do custo em relação ao tempo, 2 horas após o início da produção. 
Exemplo 6: Estima-se que a receita anual de uma empresa seja de 
160350 2  xx,)x(R
mil reais, quando 1.000x produtos são vendidos. A 
quantidade atual de produtos vendidos é de 10.000 unidades e está crescendo a uma 
taxa de 2000 por ano. Qual é a taxa de crescimento anual da receita? R. 26.000 
reais/ano 
Exemplo 7: Estima-se que, aproximadamente, 
90052  pp)p(N
 pessoas 
são atendidas anualmente no pronto-socorro de um hospital, quando a população 
da comunidade é de 1000p habitantes. A população atual é de 20.000 habitantes e 
está crescendo numa taxa de 1.200 habitantes por ano. Qual é a taxa de crescimento 
anual do atendimento à população no pronto-socorro? R. 54 hab./ano 
Exemplo 8: Suponha que num certo mercado p seja o preço de uma caixa de uvas, x 
o número de milhares de caixas ofertadas diariamente, sendo a equação de oferta 
0105320  xpx.p
. Se a oferta está decrescendo a uma taxa de 250 caixas 
por dia, como está variando o preço da caixa no instante em que a oferta é de 5.000 
caixas? R. decrescendo a uma taxa de 0,05 reais/dia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTEGRAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTEGRAIS 
O Cálculo Diferencial lida com o problema de se determinar a taxa de variação de 
uma quantidade com relação a outra. Iniciaremos o estudo de uma outra parte do 
cálculo, conhecida como Cálculo Integral. Aqui estamos interessados precisamente 
no problema oposto: 
Se conhecemos a taxa de variação de uma quantidade em relação a outra, podemos determinar a 
relação entre essas quantidades? 
A ferramenta principal utilizada no estudo do cálculo integral é a antiderivada de 
uma função, e desenvolvemos regras para a antiderivação, ou integração, como é 
chamado o processo de encontrar a antiderivada ou integral indefinida. A derivada 
foi motivada por problemas de determinação do coeficiente angular de uma reta 
tangente e definição de velocidade. A integral definida, como veremos, surge de 
modo natural quando consideramos o problema da determinação da área de uma 
região curvilínea. Esta é, entretanto, apenas uma das aplicações. 
 
Veremos que no conceito de integral, que é formado totalmente independente do 
conceito de derivada, guarda com este uma relação muito importante. Esta relação 
entre os dois conceitos foi estabelecida por Newton e Leibniz no século XVII, sendo 
hoje conhecida como o Teorema Fundamental do Cálculo. 
 
Assim, além de introduzirmos técnicas de integração (antidiferenciação), o conceito 
de integral e tratarmos das propriedades e de suas relações com a derivada, 
apresentaremos algumas aplicações do cálculo de comprimentos, áreas, volumes e 
equações diferenciáveis com variáveis separáveis. 
 
I – Antidiferenciação: A integral indefinida 
Em estudos anteriores resolvemos problemas do tipo: Dada uma função f , 
determinar sua derivada f ′. Estudare- mos agora um problema relacionado: Dada 
uma função f , achar uma função F tal que F′ = f . Ou seja, a operação inversa da 
derivada. 
 
Definição. Uma função F será chamada de antiderivada ou primitiva de uma função 
f num intervalo I se F ‘(x) = f (x) para todo x no intervalo I. 
 
Exemplo: Se F for definida por F(x) = x2, então F ‘(x) = 2x. Assim, se f for a função 
definida por f (x) = 2x, então f é a derivada de F e F é uma antiderivada, ou primitiva, 
de f . Note que, se G for a função definida por G(x) = x2 + 3 então, G também será 
uma primitiva de f , pois G′(x) = 2x. Na verdade, há uma infinidade de primitivas 
para 2x. De modo geral, se K é uma constante arbitrária, então x2 + K é uma primitiva 
de 2x, do fato em que a derivada de uma constante é zero, ou seja 
Dx(x2 + K) = 2x + 0 = 2x. 
 
Assim, existe uma família de antiderivadas de 2x. Resumimos nos seguintes 
Toremas: 
 
Teorema. Seja F uma antiderivada de f num intervalo I. Se G é uma outra 
antiderivada de f em I, então 
G(x) = F(x) + K 
para alguma constante arbitrária K e para todo x em I. 
 
Teorema. Seja F uma antiderivada particular de f num intervalo I. Então, toda 
antiderivada de f em I será da forma 
F(x) + K 
onde K é uma constante arbitrária e todas as antiderivadas de f em I poderão ser 
obtidas atribuindo-se certos valores a K. 
Definição (A Integral Indefinida). O processo de se determinar todas as 
antiderivadas de uma função é chamadode antidiferenciação ou integração. 
Usamos o símbolo 
 
, chamado de sinal da integral, para indicar que a operação de 
integração deve ser executada sobre uma função f . Assim 
 
nos diz que a integral indefinida de f é a família de funções dada por F(x) + K, onde 
F′(x) = f (x). A função f a ser integrada é chamada de integrando, e a constante K é 
chamada de constante de integração. 
 
Observação. A expressão dx que segue ao integrando f (x) lembra-nos de que a 
operação é executada com respeito a x. Se a variável independente é t, escrevemos 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, dizemos que tanto t quanto x são variáveis mudas. 
 
Prova: Seja H a função definida em I por H(x) = G(x) − F(x). Então, para todo x em I temos que H′(x) = G′(x) − F′(x). 
Mas, por hipótese, G′(x) = F′(x) para todo x em I, logo H′(x) = 0 para todo x em I. Portanto H é uma função constante, 
digamos H(x) = K, assim G(x) = F(x) + K, para todo x em I. 
Prova: Suponha que G represente qualquer antiderivada de f em I, então G′(x) = f (x), para todo x em I. 
Mas, F é uma antiderivada particular de f em I, então F′(x) = f (x) para todo x em I. Segue portanto que G′(x) = F′(x) 
para todo x em I. Logo, pelo teorema anterior, existe uma constante K, tal que G(x) = F(x) + K para todo x em I. Como 
G representa qualquer antiderivada de f em I, segue que toda antiderivada de f pode 
ser obtida de F(x) + K, onde K é uma constante arbitrária. 
Regras básicas de integração 
Acabamos de ver que ∫ 𝒇′(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒇(𝒙) + 𝑲. Isto permite usarmos qualquer 
fórmula de derivada para obter fórmula correspondente de integral indefinida, que 
chamamos de integral imediata, como na tabela a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
a) ∫ 𝑥3. 𝑥2𝑑𝑥 = ∫ 𝑥5𝑑𝑥 =
𝑥5+1
5+1
=
𝑥6
6
+ 𝐾 
 
b) ∫
1
𝑥2
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥−2𝑑𝑥 =
𝑥−2+1
−2+1
=
𝑥−1
−1
= −
1
𝑥
+ 𝐾 
 
c) ∫ √𝑦
3 𝑑𝑦 = 𝑦
1
3𝑑𝑦 =
𝑦
(
1
3
)+1
1
3
+1
=
3
4
𝑦
4
3 + 𝐾 
 
Prosseguindo, como na tabela anterior, temos as seguintes integrais imediatas: 
 
 
 
 
 
II – Antidiferenciação: A integral definida 
 
A definição da integral definida utiliza a soma de muitos termos. Assim, para 
expressar tais somas, introduzimos a notação grega, cujo símbolo é ∑ 𝑥, que 
correspondete à letra S para significar ‘’a soma de todos os termos’’. 
 
Por exemplo, ao invés de escrever 1+2+3+4+5+6 podemos escrever ∑ 𝑖6𝑖=1 , 
tomando a convenção de que i assume valores de 1 até 6, isto é: 
 
∑ 𝑖 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
6
𝑖=1
 
Soma dos seis primeiros termos positivos. 
 
Área da região limitada sob o gráfico de uma função 
 
Geometricamente, os fundamentais problemas do cálculo são o de encontrar a 
inclinação da tangente à uma curva e, a determinação da área de uma região limitada 
por curvas. A derivada está relacionada com a tangente e a integral definida com o 
cálculo de áreas de certas regiões doplano cartesiana. 
 
Sabemos que, a área de uma região limitada por retas é facilmente calculável 
empregando as fórmulas conhecidas. Por exemplo, a área de um retângulo é o 
produto do seu comprimento pela sua altura. A área de triângulo é o produto de uma 
base pela metade da altura correspondente. A área de um polígono pode ser obtida 
decompondo-o em triângulo. No cálculo de área de regiões delimitadas por gráficos 
de funções utilizamos a teoria de limite e métodos de cálculos algébricos. 
 
Para essa finalidade, consideramos uma região R em um plano coordenado, 
delimitada por duas retas verticais x = a e x = b e pelo gráfico de uma função f 
contínua e não negativa no intervalo fechado [a, b], conforme a figura abaixo. 
 
 
 
Como f (x) ≥ 0 para todo x em [a, b], o gráfico de f não tem parte alguma abaixo do 
eixo-x. Porconveniência tomamos a região R sob o gráfico de f de a a b. E 
consideramos um número A como a área da região R. Queremos definir a área A da 
região R. Para chegarmos a esta definição, dividimos a regiãoR em muitos retângulos 
de igual largura tal que cada retângulo esteja completamente inscrito no gráfico de 
f, e intercepte o gráfico em pelo menos um ponto, conforme ilustrtação abaixo. 
 
 
A fronteira formada pela totalidade desses retângulos é chamado de polígono 
retangular inscrito. Usaremos a notação APi para representar a área desse polígono. 
Se a largura dos retângulos na figura a cima é pequeno então parece que APi ≈ A. 
 
Essa idéia sugere fazermos a largura dos retângulos tender para zero e definir A 
como o limite da soma das áreas APi dos polígonos retângulos inscritos. 
 
Assim, se n é um inteiro positivo arbitrário, dividimos o intervalo [a, b] em n 
subintervalos do mesmo comprimento ∆𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑛
, tomando a = x0 e b = xn e ∆𝑥 = 
𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 no conjunto x0, x1, x2,..., xn de elementos de [a, b], com i = 1, 2, 3, ..., n. 
 
Note que x0 = a, x1 = a+ ∆𝑥, x2 = a+ 2∆𝑥, x3 = a+3∆𝑥, ... , xi = a + i∆𝑥, ... , xn = 
a+n∆𝑥 = b, Seja [xi-1, xi] o i-ésimo subintervalo de [a, b]. Como f é contínua em [a, 
b], então ela o é também em [xi-1, xi]. Daí, pelo teorema do valor extremo, existe um 
número ci em cada subintervalo para o qual f toma um valor mínimo–absoluto. 
 
Assim, para cada i construímos um retângulo de largura ∆𝑥 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 e altura 
𝑓(𝑐𝑖). Daí, a área do i-ésimo retângulo é 𝑓(𝑐𝑖) ∆𝑥 e a área APi do polígono retangular 
inscrito é a soma das área dos n retângulos. Isto é, 
 
APi = 𝑓(𝑐𝑖) = 𝑓(𝑐1)∆𝑥 + 𝑓(𝑐2)∆𝑥 + ⋯ + 𝑓(𝑐𝑛)∆𝑥 
 
 
ou seja, 
 
APi = ∑ 𝑓(𝑐𝑖)∆𝑥.
𝑛
𝑖=1
 
 
 
Onde f(ci) é o valor numérico de f em [xi-1, xi]. 
 
 
 
Com isso, temos a seguinte definição: 
 
 
 
 
 
III – O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTEGRAL 
MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS V 
 
1. Resolva as integrais abaixo pelo método da substituição: 
 
a) 


dx
x
x
21
 
b) 
 dxx
x 3)(ln
 
c) 
 xe
dx
3
 
d) 
  x
dx
25
 
e) 
  73x
dx
 
f) 
 



  dxxx 12
 
g) 


dx
x
x
32 2
 
h) 


dx
x
x
13
2 
i) 
 
dx
x
x
 

1
1ln
 
j) 
  dxxx
42 )1( 2
 
k) 
dx
x
e x

 
l) 
dxxa x 
2

 
m) 
  dxe x
22
 
n) 
dx
e
e
x
x

 2
2
2
 
o) 
dx
x
x

1
 
p) 
   31xx
dx
 
q) 
dxxx 12 
 
r) 
cx 
2
1 ln)2/1(
 
s) 
cx 4/)(ln4
 
t) 
ce x 3/3
 
u) 
c
e x


3
3 
v) 
cx  73 ln)3/1(
 
w) 
cx  25 ln)2/1(
 
x) 
cx  ])1[(
3
1 2/32
 
y) 
2
)32( 2
1
2 x 
z) 
cx  ])1(2[
3
1 2/13
 
aa) 
cx  )1(ln
2
1 2
 
bb) 
cx  )1(ln
2
1 2
 
cc) 
c
x


5
)1( 52
 
dd) 
ce
x
 2
 
ee) 
c
a
a x

ln2
2 
ff) 
c
e x

4
4 
gg) 
2
2 ln
2x
e 
hh) 
  cx  2/31 
3
4
 
ii) 
 
c
x



2
1
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXCEDENTES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXCEDENTES 
Excedente do Consumidor: 
Suponha que a função 
p f q ( )
, representada no gráfico na Figura 1, descreva a 
demanda de uma mercadoria e que , no instante considerado, o preço dessa 
mercadoria seja 
p0
, o que faz com que os consumidores a demandem numa 
quantidade 
q0
. Observe quep0
 não é o preço máximo que os consumidores estão 
dispostos a pagar por essa mercadoria, pois, para preços um pouco maiores que 
p0
, ainda há quantidades demandadas, embora menores que 
q0
. 
 
 
 
Então, a sobra do consumidor, pelo fato de o preço ser menor do que aquele que 
ainda pagaria pela mercadoria, é representada pela diferença entre o preço que seria 
capaz de pagar por uma quantidade menor para não ficar sem a mercadoria e o 
preço que paga pela quantidade que compra. Essa sobra, chamada Excedente do 
Consumidor, é representada pela área assinalada no gráfico, ou seja, pela expressão: 
( ( ) )f q p dq
q
 0
0
0 
Exemplo: Determine o excedente do consumidor de uma mercadoria cujo preço é 10 
e cuja demanda é descrita pela função 
p q 40 2
 
Excedente do Produtor: 
Da mesma forma que acontece com o consumidor, o produtor também tem uma 
sobra quando é fixado um preço 
p0
 para a mercadoria que oferece. Se ao preço 
p0
 
o produtor oferece uma quantidade 
q0
, a preços mais baixos ainda estaria 
interessado em oferecer uma quantidade, embora menor, dessa mercadoria. 
A diferença entre o preço ao qual o produtor oferece uma quantidade da mercadoria 
e aquele ao qual ainda estaria disposto a oferecê-la é também uma sobra ou uma 
renda econômica chamada Excedente do Produtor. Supondo-se que a função oferta 
é dada por 
p f q ( )
e que o preço da mercadoria está fixado em 
p0
, o excedente do 
produtor é representado pela área hachurada no gráfico da Figura 2, ou seja, pela 
expressão 
( ( ))p f q dq
q
0
0
0

. 
 
 
 
Exemplo: Determine o excedente do produtor de uma mercadoria cujo preço atual é 
50 e cuja oferta é descrita pela função 
p q 2 10
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APLICAÇÃO DE INTEGRAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APLICAÇÃO DE INTEGRAIS 
 
1. Calcule as seguintes integrais: 
 
a) 
 dxx 4
3 b) 
  dx)xx(
3
 c) 
  dx)
xx
x(
32
3
3
 d) 


dx
x
x
3
1
 
e) 
  dx)x
x(x
1
23
 f) 
 dxe
x2
 g) 
 dxe
x5
 h) 
 dxx
)xln( 4
 
i) 
  dx.xx 2
43
 j) 

 dxe x1
 k) 
 dxe.x
x2
 l) 
 dxx
xln
 
m) 
 
dx
x
x
1
 n) 
 
dx
x 12
1
 o) 
 dxxln.x
1
 p) 
 dx
x.e x
1
 
q) 
  dx.xx 1
 r) 
 dxex
x.
 s) 
 dxx.ln
 t) 
 dxxx .ln.
 
u) 
 dx.x
e xln v) 
 dx.xlnx
2
 w) 
 dxe.x
x2
 x) 
 dxe.x
x2
 
y)  
 dx.
x
e x
2
1 z) 
  dx.xx 1
2
 aa) 


dx
x
x
12
 bb) 
 dxe.
xx3
 
cc) 
  dx)ae(
xx 55
 
2. Dada a função custo marginal xe. 37 , determine a função custo total sabendo que 
o custo fixo é 3 
3. Dada a função receita marginal 21227 xx  , onde x é a quantidade demandada, 
determine a função receita e a equação da demanda 
 
4. Calcular o valor das integrais definidas abaixo: 
a)
 
1
0
32 18 dx.)x(x
 b) 
 
9
1
1
dx).
x
x(
 c) 

e
dx.
x
xln
1
 d) 

2
0
ln
x dx.e.x
 
5. Em certa fábrica, o custo marginal é de 
243 )q( 
 reais por unidade, quando a 
média de produção é de q unidades. De quanto o custo total de fabricação cresce, 
se a média de produção cresce de 6 para 10 unidades? 
 
6. O preço de revenda de certa máquina decresce num período de 10 anos, a uma 
taxa que varia com o tempo. Quando a máquina tem x anos de uso, a taxa de 
variação de seu valor é de 
)x( 10220 
 reais por ano. De quanto é a 
desvalorização da máquina durante o segundo ano? 
7. Os promotores de uma certa festividade estimam que, após t horas, do início às 
9:00 horas da manhã, os visitantes chegarão a uma taxa de 
23 25424 )t()t( 
 pessoas por hora. Quantas pessoas visitarão o local entre 
10 horas e meio dia? 
 
8. Estima-se que, daqui a t dias, a colheita de frutas aumentará a uma taxa de 
16030 2  t,t,
 frutas por dia. De quanto aumentará o valor da colheita durante 
os próximos 5 dias, se o preço do mercado permanecer constante, a R$3,00 por 
fruta? 
9. Seja 
2422  qqp
 a função demanda para certo produto. 
a) Esboce o gráfico da função demanda e assinale a área que representa o 
excedente do consumidor quando o preço do produto é 9 
b) Determine o excedente do consumidor quando o preço do produto é 9 
 
10. Seja 
1 qep
 a equação que representa a oferta para certo produto. 
a) Esboce o gráfico da função oferta e assinale a área que representa o 
excedente do produtor quando o preço do produto é 20. (Use que 
203 e
) 
b) Determine o excedente do produtor quando o preço do produto é 20 
11. Sejam 
72  qp
 e 
1
2
2

q
p
as funções demanda e oferta para certo produto. 
a) Esboce o gráfico das funções e determine o ponto de equilíbrio 
b) Determine o excedente do consumidor e do produtor quando o preço do 
produto é o de equilíbrio 
 
12. A quantidade vendida e o preço correspondente, num monopólio, são 
determinados pela função de demanda 
216 xy 
 e pelo custo marginal 
xy  6
, de modo que o lucro seja maximizado. Determine o excedente do 
consumidor correspondente 
 
13. Se a função de demanda é 
xy  9
 e 
5x
, ache o excedente do consumidor 
 
14. Num regime de monopólio, a quantidade demandada e o preço correspondente 
são determinados pela função de demanda 
xy 320 
 e a função custo total é 
182  xxyC
. Achar o excesso do consumidor para que o lucro seja 
maximizado 
 
 
 
 
 
 
Referências 
 
Guidorizzi, H. L. Um Curso de Cálculo: Volume I, 5ª edição. Editora LTC, 2007. 
 
Stewart, J. Cálculo: Volume I e II, 6ª edição. São Paulo: Cengage Learning, 2009. 
 
Cattai, Adriano. Integrais Definidas. Disponível em: 
http://www.alunospgmat.ufba.br/adrianocattai/ensino_arquivos/mat042--2006-
2/1a_uni_calc2_2006_2_3_integral_definida.pdf 
 
Lima, Rodrigo. Matemática Pura e Aplicada. Disponível em: 
https://bmpa.wordpress.com/2012/04/29/minhas-anotacoes 
 
Matemática I, MAT013. Disponível em: 
http://www.mat.ufba.br/disciplinas/matematica1/rosto.htm