Demonstrações: direta e por absurdo

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Pré-Cálculo
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 2
13 de agosto de 2010
Aula 2 Pré-Cálculo 1
Problemas de organização e
erros frequentes
Aula 2 Pré-Cálculo 2
Problemas de organização e erros frequentes
Aula 2 Pré-Cálculo 3
Problemas de organização e erros frequentes
Aula 2 Pré-Cálculo 4
Problemas de organização e erros frequentes
Aula 2 Pré-Cálculo 5
Problemas de organização e erros frequentes
Aula 2 Pré-Cálculo 6
Problemas de organização e erros frequentes
Aula 2 Pré-Cálculo 7
Problemas de organização e erros frequentes
Aula 2 Pré-Cálculo 8
Se A, então B: notações
Aula 2 Pré-Cálculo 9
Se A, então B: notações
Notação Exemplo
Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.
A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.
A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.
A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.
B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.
Aula 2 Pré-Cálculo 10
Se A, então B: notações
Notação Exemplo
Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.
A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.
A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.
A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.
B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.
Aula 2 Pré-Cálculo 11
Se A, então B: notações
Notação Exemplo
Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.
A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.
A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.
A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.
B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.
Aula 2 Pré-Cálculo 12
Se A, então B: notações
Notação Exemplo
Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.
A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.
A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.
A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.
B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.
Aula 2 Pré-Cálculo 13
Se A, então B: notações
Notação Exemplo
Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.
A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.
A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.
A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.
B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.
Aula 2 Pré-Cálculo 14
Se A, então B: notações
Notação Exemplo
Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.
A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.
A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.
A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.
B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.
Aula 2 Pré-Cálculo 15
Se A, então B: notações
Notação Exemplo
Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.
A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.
A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.
A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.
B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.
Aula 2 Pré-Cálculo 16
Se A, então B: notações
Notação Exemplo
Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.
A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.
A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.
A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.
B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.
Aula 2 Pré-Cálculo 17
Se A, então B: notações
Notação Exemplo
Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.
A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.
A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.
A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.
B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.
Aula 2 Pré-Cálculo 18
Demonstrações: direta e por absurdo
Aula 2 Pré-Cálculo 19
Demonstração direta
Mostra-se que todas as situações que satisfazem a hipótese A também
satisfazem a tese B. Feito isto, segue-se que a sentença “se A, então B” é
verdadeira, pois ela não possui contraexemplos.
Demonstração direta
Aula 2 Pré-Cálculo 20
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,
m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Pré-Cálculo 21
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,
m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Pré-Cálculo 22
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,
m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Pré-Cálculo 23
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,
m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Pré-Cálculo 24
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,
m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Pré-Cálculo 25
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,
m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Pré-Cálculo 26
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,
m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Pré-Cálculo 27
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,
m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Pré-Cálculo 28
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,
m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Pré-Cálculo 29
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2,isto é,
m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Pré-Cálculo 30
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,
m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Pré-Cálculo 31
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,
m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Pré-Cálculo 32
Demonstração por absurdo
Se ao admitirmos que “se A, então B” possui o atributo falsa, chegamos à
conclusão que uma determinada sentença é verdadeira e falsa ao mesmo
tempo, estaremos contradizendo a regra que diz que uma sentença não pode
ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo. Logo, a premissa de que “se A,
então B” é falsa está errada e, portanto, podemos concluir a sentença “se A,
então B” é verdadeira.
Da mesma forma, se ao admitirmos que “se A, então B” possui o atributo
verdadeira, chegamos à conclusão que uma determinada sentença é
verdadeira e falsa ao mesmo tempo, estaremos contradizendo a regra que
diz que uma sentença não pode ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo.
Logo, a premissa de que “se A, então B” é verdadeira está errada e, portanto,
podemos concluir que a sentença “se A, então B” é falsa.
Demonstração por absurdo
Aula 2 Pré-Cálculo 33
Demonstração por absurdo
Se ao admitirmos que “se A, então B” possui o atributo falsa, chegamos à
conclusão que uma determinada sentença é verdadeira e falsa ao mesmo
tempo, estaremos contradizendo a regra que diz que uma sentença não pode
ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo. Logo, a premissa de que “se A,
então B” é falsa está errada e, portanto, podemos concluir a sentença “se A,
então B” é verdadeira.
Da mesma forma, se ao admitirmos que “se A, então B” possui o atributo
verdadeira, chegamos à conclusão que uma determinada sentença é
verdadeira e falsa ao mesmo tempo, estaremos contradizendo a regra que
diz que uma sentença não pode ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo.
Logo, a premissa de que “se A, então B” é verdadeira está errada e, portanto,
podemos concluir que a sentença “se A, então B” é falsa.
Demonstração por absurdo
Aula 2 Pré-Cálculo 34
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Então
ela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaz
a hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiro
e m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímpar
ao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa de
que a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que a
sentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Pré-Cálculo 35
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Então
ela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaz
a hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiro
e m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímpar
ao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa de
que a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que a
sentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Pré-Cálculo 36
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Então
ela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaz
a hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiro
e m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímpar
ao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa de
que a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que a
sentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Pré-Cálculo 37
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Então
ela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaz
a hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiro
e m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímpar
ao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa de
que a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que a
sentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Pré-Cálculo 38
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Então
ela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaz
a hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiro
e m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímpar
ao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa de
que a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que a
sentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Pré-Cálculo 39
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Então
ela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaz
a hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiro
e m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímpar
ao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa de
que a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que a
sentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Pré-Cálculo 40
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Então
ela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaz
a hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiro
e m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 =2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímpar
ao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa de
que a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que a
sentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Pré-Cálculo 41
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Então
ela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaz
a hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiro
e m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímpar
ao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa de
que a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que a
sentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Pré-Cálculo 42
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Então
ela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaz
a hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiro
e m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímpar
ao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa de
que a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que a
sentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Pré-Cálculo 43
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Então
ela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaz
a hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiro
e m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímpar
ao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa de
que a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que a
sentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Pré-Cálculo 44
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Então
ela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaz
a hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiro
e m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímpar
ao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa de
que a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que a
sentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Pré-Cálculo 45
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Então
ela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaz
a hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiro
e m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímpar
ao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa de
que a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que a
sentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Pré-Cálculo 46
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Então
ela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaz
a hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiro
e m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímpar
ao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa de
que a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que a
sentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Pré-Cálculo 47
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Então
ela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaz
a hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiro
e m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímpar
ao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa de
que a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que a
sentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Pré-Cálculo 48
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Então
ela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaz
a hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiro
e m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímpar
ao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa de
que a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que a
sentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Pré-Cálculo 49
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Então
ela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaz
a hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiro
e m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímpar
ao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa de
que a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que a
sentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Pré-Cálculo 50
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Então
ela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaz
a hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiro
e m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteironão pode ser par e ímpar
ao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa de
que a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que a
sentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Pré-Cálculo 51
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Então
ela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaz
a hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiro
e m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímpar
ao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa de
que a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que a
sentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Pré-Cálculo 52
A se, e somente se, B
Aula 2 Pré-Cálculo 53
A se, e somente se, B
Dizemos que uma sentença
A se, e somente se, B
é verdadeira quando as sentenças
“se A, então B” e “se B, então A”
são simultaneamente verdadeiras.
Regras do Jogo
Aula 2 Pré-Cálculo 54
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é um inteiro par.
A sentença é verdadeira, pois as duas sentenças
se m é um inteiro e m2 é par, então m é um inteiro par
e
m é um inteiro par, então m é um inteiro e m2 é par
são simultaneamente verdadeiras (justificativas já foram apresentadas
anteriormente).
Aula 2 Pré-Cálculo 55
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é um inteiro par.
A sentença é verdadeira, pois as duas sentenças
se m é um inteiro e m2 é par, então m é um inteiro par
e
m é um inteiro par, então m é um inteiro e m2 é par
são simultaneamente verdadeiras (justificativas já foram apresentadas
anteriormente).
Aula 2 Pré-Cálculo 56
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é um inteiro par.
A sentença é verdadeira, pois as duas sentenças
se m é um inteiro e m2 é par, então m é um inteiro par
e
m é um inteiro par, então m é um inteiro e m2 é par
são simultaneamente verdadeiras (justificativas já foram apresentadas
anteriormente).
Aula 2 Pré-Cálculo 57
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é um inteiro par.
A sentença é verdadeira, pois as duas sentenças
se m é um inteiro e m2 é par, então m é um inteiro par
e
m é um inteiro par, então m é um inteiro e m2 é par
são simultaneamente verdadeiras (justificativas já foram apresentadas
anteriormente).
Aula 2 Pré-Cálculo 58
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é um inteiro par.
A sentença é verdadeira, pois as duas sentenças
se m é um inteiro e m2 é par, então m é um inteiro par
e
m é um inteiro par, então m é um inteiro e m2 é par
são simultaneamente verdadeiras (justificativas já foram apresentadas
anteriormente).
Aula 2 Pré-Cálculo 59
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é um inteiro par.
A sentença é verdadeira, pois as duas sentenças
se m é um inteiro e m2 é par, então m é um inteiro par
e
m é um inteiro par, então m é um inteiro e m2 é par
são simultaneamente verdadeiras (justificativas já foram apresentadas
anteriormente).
Aula 2 Pré-Cálculo 60
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m e n são inteiros pares se, e somente se, o produto m · n é um inteiro par.
A sentença é falsa, pois a sentença
se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares
é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).
Aula 2 Pré-Cálculo 61
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m e n são inteiros pares se, e somente se, o produto m · n é um inteiro par.
A sentença é falsa, pois a sentença
se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares
é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).
Aula 2 Pré-Cálculo 62
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m e n são inteiros pares se, e somente se, o produto m · n é um inteiro par.
A sentença é falsa, pois a sentença
se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares
é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).
Aula 2 Pré-Cálculo 63
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m e n são inteiros pares se, e somente se, o produto m · n é um inteiro par.
A sentença é falsa, pois a sentença
se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares
é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).
Aula 2 Pré-Cálculo 64
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro múltiplo de 3 se, e somente se, m é um inteiro múltiplo de 9.
A sentença é falsa, pois a sentença
se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9
é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).
Aula 2 Pré-Cálculo 65
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro múltiplo de 3 se, e somente se, m é um inteiro múltiplo de 9.
A sentença é falsa, pois a sentença
se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9
é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).
Aula 2 Pré-Cálculo 66
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro múltiplo de 3 se, e somente se, m é um inteiro múltiplo de 9.
A sentença é falsa, pois a sentença
se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9
é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).
Aula 2 Pré-Cálculo 67
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro múltiplo de 3 se, e somente se, m é um inteiro múltiplo de 9.
A sentença é falsa, pois a sentença
se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9
é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).
Aula 2 Pré-Cálculo 68
A se, e somente se, B: notações
Notação Exemplo
A se, e somente se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é par.
A⇔ B. m é um inteiro e m2 é par⇔ m é par.
A se, e só se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e só se, m é par.
Outra notação:
A é condição necessária e suficiente para B.
Exemplo:
m ser um número inteiro e m2 ser um número par é condição necessária e suficiente
para que m seja par.
Aula 2 Pré-Cálculo 69
A se, e somente se, B: notações
Notação Exemplo
A se, e somente se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é par.
A⇔ B. m é um inteiro e m2 é par⇔ m é par.
A se, e só se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e só se, m é par.
Outra notação:
A é condição necessária e suficiente para B.
Exemplo:
m ser um número inteiro e m2 ser um número par é condição necessária e suficiente
para que m seja par.
Aula 2 Pré-Cálculo 70
A se, e somente se, B: notações
Notação Exemplo
A se, e somente se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é par.
A⇔ B. m é um inteiro e m2 é par⇔ m é par.
A se, e só se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e só se, m é par.
Outra notação:
A é condição necessária e suficiente para B.
Exemplo:
m ser um número inteiro e m2 ser um número par é condição necessária e suficiente
para que m seja par.
Aula 2 Pré-Cálculo 71
A se, e somente se, B: notações
Notação Exemplo
A se, e somente se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é par.
A⇔ B. m é um inteiro e m2 é par⇔ m é par.
A se, e só se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e só se, m é par.
Outra notação:
A é condição necessária e suficientepara B.
Exemplo:
m ser um número inteiro e m2 ser um número par é condição necessária e suficiente
para que m seja par.
Aula 2 Pré-Cálculo 72
A se, e somente se, B: notações
Notação Exemplo
A se, e somente se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é par.
A⇔ B. m é um inteiro e m2 é par⇔ m é par.
A se, e só se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e só se, m é par.
Outra notação:
A é condição necessária e suficiente para B.
Exemplo:
m ser um número inteiro e m2 ser um número par é condição necessária e suficiente
para que m seja par.
Aula 2 Pré-Cálculo 73
A se, e somente se, B: notações
Notação Exemplo
A se, e somente se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é par.
A⇔ B. m é um inteiro e m2 é par⇔ m é par.
A se, e só se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e só se, m é par.
Outra notação:
A é condição necessária e suficiente para B.
Exemplo:
m ser um número inteiro e m2 ser um número par é condição necessária e suficiente
para que m seja par.
Aula 2 Pré-Cálculo 74
A se, e somente se, B: notações
Notação Exemplo
A se, e somente se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é par.
A⇔ B. m é um inteiro e m2 é par⇔ m é par.
A se, e só se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e só se, m é par.
Outra notação:
A é condição necessária e suficiente para B.
Exemplo:
m ser um número inteiro e m2 ser um número par é condição necessária e suficiente
para que m seja par.
Aula 2 Pré-Cálculo 75
Quatro observações
Aula 2 Pré-Cálculo 76
Observação 1
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. João não foi aprovado no vestibular.
Podemos então garantir que João não vai ganhar um carro novo de seu pai?
Resposta: não! O pai de João disse que se João passar no vestibular, então João vai
ganhar um carro novo. O pai de João não fez nenhuma promessa (nada afirmou) caso
João não fosse aprovado no vestibular. João pode ganhar ou não um carro novo de seu
pai. Nada podemos afirmar.
Aula 2 Pré-Cálculo 77
Observação 1
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. João não foi aprovado no vestibular.
Podemos então garantir que João não vai ganhar um carro novo de seu pai?
Resposta: não! O pai de João disse que se João passar no vestibular, então João vai
ganhar um carro novo. O pai de João não fez nenhuma promessa (nada afirmou) caso
João não fosse aprovado no vestibular. João pode ganhar ou não um carro novo de seu
pai. Nada podemos afirmar.
Aula 2 Pré-Cálculo 78
Observação 1
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. João não foi aprovado no vestibular.
Podemos então garantir que João não vai ganhar um carro novo de seu pai?
Resposta: não! O pai de João disse que se João passar no vestibular, então João vai
ganhar um carro novo. O pai de João não fez nenhuma promessa (nada afirmou) caso
João não fosse aprovado no vestibular. João pode ganhar ou não um carro novo de seu
pai. Nada podemos afirmar.
Aula 2 Pré-Cálculo 79
Observação 1
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. João não foi aprovado no vestibular.
Podemos então garantir que João não vai ganhar um carro novo de seu pai?
Resposta: não! O pai de João disse que se João passar no vestibular, então João vai
ganhar um carro novo. O pai de João não fez nenhuma promessa (nada afirmou) caso
João não fosse aprovado no vestibular. João pode ganhar ou não um carro novo de seu
pai. Nada podemos afirmar.
Aula 2 Pré-Cálculo 80
Observação 1
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. João não foi aprovado no vestibular.
Podemos então garantir que João não vai ganhar um carro novo de seu pai?
Resposta: não! O pai de João disse que se João passar no vestibular, então João vai
ganhar um carro novo. O pai de João não fez nenhuma promessa (nada afirmou) caso
João não fosse aprovado no vestibular. João pode ganhar ou não um carro novo de seu
pai. Nada podemos afirmar.
Aula 2 Pré-Cálculo 81
Observação 1
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. João não foi aprovado no vestibular.
Podemos então garantir que João não vai ganhar um carro novo de seu pai?
Resposta: não! O pai de João disse que se João passar no vestibular, então João vai
ganhar um carro novo. O pai de João não fez nenhuma promessa (nada afirmou) caso
João não fosse aprovado no vestibular. João pode ganhar ou não um carro novo de seu
pai. Nada podemos afirmar.
Aula 2 Pré-Cálculo 82
Observação 1
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. João não foi aprovado no vestibular.
Podemos então garantir que João não vai ganhar um carro novo de seu pai?
Resposta: não! O pai de João disse que se João passar no vestibular, então João vai
ganhar um carro novo. O pai de João não fez nenhuma promessa (nada afirmou) caso
João não fosse aprovado no vestibular. João pode ganhar ou não um carro novo de seu
pai. Nada podemos afirmar.
Aula 2 Pré-Cálculo 83
Observação 2
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x2 < 0, então x = log10 2.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois ela não possui contraexemplos uma vez que
não existe nenhum x que satisfaça a hipótese. Neste caso, dizemos que a sentença é
verdadeira por vacuidade.
Aula 2 Pré-Cálculo 84
Observação 2
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x2 < 0, então x = log10 2.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois ela não possui contraexemplos uma vez que
não existe nenhum x que satisfaça a hipótese. Neste caso, dizemos que a sentença é
verdadeira por vacuidade.
Aula 2 Pré-Cálculo 85
Observação 2
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x2 < 0, então x = log10 2.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois ela não possui contraexemplos uma vez que
não existe nenhum x que satisfaça a hipótese. Neste caso, dizemos que a sentença é
verdadeira por vacuidade.
Aula 2 Pré-Cálculo 86
Observação 2
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x2 < 0, então x = log10 2.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois ela não possui contraexemplos uma vez que
não existe nenhum x que satisfaça a hipótese. Neste caso, dizemos que a sentença é
verdadeira por vacuidade.
Aula 2 Pré-Cálculo 87
Observação 2
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x2 < 0, então x = log10 2.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois ela não possui contraexemplos uma vez que
não existe nenhum x que satisfaça a hipótese. Neste caso, dizemos que a sentença é
verdadeira por vacuidade.
Aula 2 Pré-Cálculo 88
Observação 3
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x2 − 5 · x + 6 = 0, então x = 2 ou x = 3 ou x = 5.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois todas as situações que satisfazem a hipótese
(no caso, os números x = 2 e x = 3) também satisfazem a tese.
Aula 2 Pré-Cálculo 89
Observação 3
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x2 − 5 · x + 6 = 0, então x = 2 ou x = 3 ou x = 5.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois todas as situações que satisfazem a hipótese
(no caso, os números x = 2 e x = 3) também satisfazem a tese.
Aula 2 Pré-Cálculo 90
Observação 3
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x2 − 5 · x + 6 = 0, entãox = 2 ou x = 3 ou x = 5.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois todas as situações que satisfazem a hipótese
(no caso, os números x = 2 e x = 3) também satisfazem a tese.
Aula 2 Pré-Cálculo 91
Observação 3
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x2 − 5 · x + 6 = 0, então x = 2 ou x = 3 ou x = 5.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois todas as situações que satisfazem a hipótese
(no caso, os números x = 2 e x = 3) também satisfazem a tese.
Aula 2 Pré-Cálculo 92
Observação 3
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x2 − 5 · x + 6 = 0, então x = 2 ou x = 3 ou x = 5.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois todas as situações que satisfazem a hipótese
(no caso, os números x = 2 e x = 3) também satisfazem a tese.
Aula 2 Pré-Cálculo 93
Observação 4
Proposição é sinônimo de sentença.
Um teorema é uma proposição que merece destaque e tem importância
central no desenvolvimento de uma determinada teoria.
Um lema é uma proposição auxiliar usada na demonstração de uma
outra proposição.
Um corolário é uma proposição que é consequência imediata de uma ou-
tra proposição.
Aula 2 Pré-Cálculo 94
Observação 4
Proposição é sinônimo de sentença.
Um teorema é uma proposição que merece destaque e tem importância
central no desenvolvimento de uma determinada teoria.
Um lema é uma proposição auxiliar usada na demonstração de uma
outra proposição.
Um corolário é uma proposição que é consequência imediata de uma ou-
tra proposição.
Aula 2 Pré-Cálculo 95
Observação 4
Proposição é sinônimo de sentença.
Um teorema é uma proposição que merece destaque e tem importância
central no desenvolvimento de uma determinada teoria.
Um lema é uma proposição auxiliar usada na demonstração de uma
outra proposição.
Um corolário é uma proposição que é consequência imediata de uma ou-
tra proposição.
Aula 2 Pré-Cálculo 96
Observação 4
Proposição é sinônimo de sentença.
Um teorema é uma proposição que merece destaque e tem importância
central no desenvolvimento de uma determinada teoria.
Um lema é uma proposição auxiliar usada na demonstração de uma
outra proposição.
Um corolário é uma proposição que é consequência imediata de uma ou-
tra proposição.
Aula 2 Pré-Cálculo 97
	Problemas de organização e erros frequentes
	Se A, então B: notações
	Demonstrações: direta e por absurdo
	A se, e somente se, B
	Quatro observações