ESCOAMENTO EM CONDUTOS FORÇADOS

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6. ESCOAMENTO EM CONDUTOS FORÇADOS 
 
6.1 Considerações Gerais 
 
Tendo em vista a pressão de funcionamento, os condutos hidráulicos podem se 
classificar em: 
 
a) Condutos forçados: nos quais a pressão interna é diferente da pressão atmosférica. 
Nesse tipo de conduto, as seções transversais são sempre fechadas e o fluido 
circulante as enche completamente. O movimento pode se efetuar em qualquer sentido 
do conduto; 
 
b) Condutos livres: nestes, o líquido escoante apresenta superfície livre, na qual atua a 
pressão atmosférica. A seção não necessariamente apresenta perímetro fechado e 
quando isto ocorre, para satisfazer a condição de superfície livre, a seção transversal 
funciona parcialmente cheia. O movimento se faz no sentido decrescente das cotas 
topográficas. 
 
6.1.1 Equação de Bernoulli aplicada aos fluidos reais 
 
Na dedução deste teorema, fundamentada na Equação de Euler, foram 
consideradas as seguintes hipóteses: 
 
a) o fluido não tem viscosidade; 
b) o movimento é permanente; 
c) o escoamento se dá ao longo de um tubo de fluxo; e 
d) o fluido é incompressível. 
 
A experiência mostra que, em condições reais, o escoamento se afasta do 
escoamento ideal. A viscosidade dá origem a tensões de cisalhamento e, portanto, 
interfere no processo de escoamento. Em conseqüência, o fluxo só se realiza mediante 
uma “perda” de energia, que nada mais é que a transformação de energia mecânica 
em calor e trabalho. 
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A equação de Bernoulli, quando aplicada a seções distintas da canalização, 
fornece a carga total em cada seção. Se o líquido é ideal, a carga ou energia total 
permanece constante em todas as seções. Porém, se o líquido é real, para ele se 
deslocar da seção 1 para a seção 2 (Figura 71), o mesmo irá consumir energia para 
vencer as resistências ao escoamento entre as seções 1 e 2. Portanto, a carga total em 
2 será menor do que em 1 e esta diferença é a energia dissipada sob forma de calor. 
Como a energia calorífica não tem utilidade no escoamento do líquido, diz-se que esta 
parcela é a “perda” de carga ou “perda” de energia, simbolizada comumente por fh . É 
possível observar na Figura 71 que, independente da forma como a tubulação se 
encontra instalada, sempre haverá dissipação de energia quando o líquido estiver em 
movimento. 
 Analisando as Figuras, além do plano de referência, é possível identificar três 
planos: 
 
- PCE � Plano de carga efetivo: é a linha que demarca a continuidade da altura da 
carga inicial, através das sucessivas seções de escoamento; 
- LP � Linha piezométrica: é aquela que une as extremidades das colunas 
piezométricas. Fica acima do conduto de uma distância igual à pressão existente, e é 
expressa em altura do líquido. É chamada também de gradiente hidráulico; e 
- LE � Linha de energia: é a linha que representa a energia total do fluido. Fica, 
portanto, acima da linha piezométrica de uma distância correspondente à energia de 
velocidade e se o conduto tiver seção uniforme, ela é paralela à piezométrica. A linha 
piezométrica pode subir ou descer, em seções de descontinuidade. A linha de energia 
somente desce. 
 
Nas Figuras, f21 hEE =− ou f21 hEE += 
Como zp
g2
vE
2
+
γ
+= , tem-se que: f22
2
2
1
1
2
1 hzp
g2
v
z
p
g2
v
++
γ
+=+
γ
+ 
que é a equação de Bernoulli aplicada em duas seções quaisquer de um escoamento 
de fluido real. 
 
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a 
 
 
b 
 
 
c 
 
Figura 71 - Escoamento de um líquido real em um conduto forçado, mostrando a carga 
total em duas seções de escoamento: a) tubulação em nível; b) tubulação 
em aclive; c) tubulação em declive. 
 
g2
v21
 
γ
1P
z2 
z1 
γ
2P
 
g2
v22
 
hf1-2 
PCE
 
LE
 
LP
 
z2 
γ
1P
hf1-2 
z1 
g2
v21
 
γ
2P
 
g2
v22
 
PCE
 
LE
 
LP
 
g2
v21
 
γ
1P
z2 z1 
γ
2P
 
g2
v22
 
hf1-2 
PCE
 
LE
 
LP
 
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Quando existem peças especiais e trechos com diâmetros diferentes, as linhas de 
carga e piezométrica vão se alterar ao longo do conduto. Para traçá-las, basta 
conhecer as cargas de posição, pressão e velocidade nos trechos onde há 
singularidades na canalização. A instalação esquematizada na Figura 72 ilustra esta 
situação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 72 – Perfil de uma canalização que alimenta o reservatório R2, a partir do 
reservatório R1, com uma redução de diâmetro. 
 
Do reservatório R1 para R2 existe uma perda de carga global “ht”, igual à 
diferença de nível entre os mesmos. Esta perda de carga é devida à: 
 
ha1 - perda localizada de carga na entrada da canalização; 
hf1 - perda contínua de carga no conduto 1 de maior diâmetro; 
ha2 - perda localizada de carga na redução do conduto, representada pela 
descontinuidade da linha de carga; 
hf2 - perda contínua de carga no trecho de diâmetro D2; 
ha3 - perda de carga na entrada do reservatório. 
 
 Para traçar esta linha de carga é necessário calcular as cargas logo após a 
entrada da canalização, imediatamente antes e após a redução de diâmetro e na 
entrada do reservatório. Em seguida, bastas traçar estes pontos por retas. 
 
g2
V21
 
g2
V22
 
ha1 
ha2 
ha3 
hf1 
hf2 D1 
D2 
R1 
R2 
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Exercício: Qual a energia consumida para vencer as resistências ao escoamento em 
um trecho do conduto de 100 mm. A pressão no início é de 0,2 MPa e no final 0,15 
MPa. A velocidade média de escoamento é de 1,5 m/s. Tomando como referência a 
Figura 71 c, considere uma diferença de nível na tubulação de 1 m. Resposta: 6,0 mca 
 
6.1.2 Regimes de movimento 
 
Os hidráulicos do século XVIII já observavam que dependendo das condições 
de escoamento, a turbulência era maior ou menor, e consequentemente a perda de 
carga. Osborne Reynolds (1842 – 1912) fez uma experiência para tentar caracterizar o 
regime de escoamento, que a princípio ele imaginava depender da velocidade de 
escoamento (Figura 73). A experiência consistia em fazer o fluido escoar com 
diferentes velocidades, para que se pudesse distinguir a velocidade de mudança de 
comportamento dos fluidos em escoamento e caracterizar estes regimes. Para 
visualizar mudanças, era injetado na tubulação o corante permanganato de potássio, 
utilizado como contraste. 
 
 
 
Figura 73 – Esquema da experiência de Reynolds 
 
Inicialmente, usando pequenas velocidades, ele observou que o líquido escoava-se 
ordenadamente, como se lamínulas do líquido se deslizassem uma em relação às 
outras, e a este estado de movimento, ele denominou laminar. Logo que a velocidade 
foi sendo aumentada gradativamente, ele observou que o líquido passou a escoar de 
forma desordenada, com as trajetórias das partículas se cruzando, sem uma direção 
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definida. A este estado de movimento, ele chamou de turbulento ou desordenado. A 
Figura 74 apresenta os resultados de testes demonstrando a experiência de Reynolds. 
O material completo está disponível no endereço: 
http://www.escoladavida.eng.br/mecflubasica/Apostila/Unidade%203/Simulacao%20de
%20Reynolds%20un%203.pdf 
 
 
 
a b 
Figura 74 – Resultados obtidos em um teste de laboratório: (a) laminar e (b) turbulento. 
 
Tentando repetir a sua experiência, em sentido contrário, começando de uma 
velocidade maior (regime turbulento) e, gradativamente reduzindo a velocidade, ele 
observou que o fluido passou do regime turbulento para o laminar, porém a velocidade 
que ocorreu nesta passagem era menor que aquela em que o regime passou laminar a 
turbulento. Ficou, portanto, uma faixa de velocidade onde não se pôde definir com 
exatidão qual o regime de escoamento. A esta faixa, chamou de zona de transição. 
Ele distinguiu inicialmente também duas velocidades: 
• Velocidade crítica superior: é aquela onde ocorre a passagem do regime laminar 
para o turbulento. 
• Velocidade crítica inferior: é aquela onde ocorre a passagem do regime turbulento 
para o laminar. 
 
Repetiu-se a experiência de Reynolds fazendo-a para várias combinações de 
diâmetros e fluidos e concluiu-se que não só a velocidade é importante para 
caracterizar o regime de escoamento, mas também o diâmetro da canalização e o 
fluido escoante. Chegou-se a uma expressão que caracteriza o regime de escoamento: 
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ν
=
DVRe 
em que: 
 Re = é conhecido como número de Reynolds, adimensional; 
 V = a velocidade média de escoamento, m s-1; 
 D = o diâmetro da canalização, m; e 
 ν = a viscosidade cinética do fluido, m2 s-1 (ν água = 1,02 x 10-6 m2 s-1) 
 
Para definir o regime, basta calcular o número de Reynolds e caracterizá-lo 
pelos limites. 
Se eR ≤ 2.000 - regime laminar 
Se eR ≥ 4.000 - regime turbulento 
Se 2.000 < eR < 4.000 - zona de transição 
 
Na zona de transição não se pode determinar com precisão a perda nas canalizações. 
De modo geral, por causa da pequena viscosidade da água e pelo fato da 
velocidade de escoamento ser sempre superior a 0,4 ou 0,5 m s-1, o regime dos 
escoamentos, na prática, é turbulento. 
 
Exercício: Com os dados do exercício anterior, calcule o número de Reynolds 
do escoamento, considerando ν água = 1,02 x 10-6 m2 s-1. Resposta: 147.058,82 
 
 
6.1.3 Perda de carga 
 
 A princípio acreditava-se que a perda de energia ao escoamento era resultado 
do atrito da massa fluida com as paredes da tubulação. Todavia, essa conceituação é 
errônea, pois independente do tipo de escoamento, existe uma camada de velocidade 
igual a zero junto às paredes (camada limite), indicando que a massa fluida em 
escoamento não atrita com as paredes do conduto. Se chamarmos de ”β” a espessura 
dessa camada ou película, a mesma pode ser calculada pela fórmula de Prandtl: 
 
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fRe
D5,32
=β 
 
em que f é um fator de atrito e dependente do regime de escoamento e da rugosidade 
interna da parede do tubo (ε). Também deve-se definir como rugosidade relativa do 
material a razão entre ε e o diâmetro do tubo (
D
ε ). A Tabela 1 apresenta a rugosidade 
dos materiais mais comumente utilizados. 
 
Tabela 1 - Valores da rugosidade média (ε) dos materiais empregados em condutos 
forçados 
 
Tipo de material ε ( mm ) 
Ferro fundido novo 0,26 - 1 
Ferro fundido enferrujado 1 - 1,5 
Ferro fundido incrustado 1,5 - 3 
Ferro fundido asfaltado 0,12 - 0,26 
Aço laminado novo 0,0015 
Aço comercial 0,046 
Aço rebitado 0,092 - 9,2 
Aço asfaltado 0,04 
Aço galvanizado 0,15 
Aço soldado liso 0,1 
Aço muito corroído 2,0 
Aço rebitado, com cabeças cortadas 0,3 
Cobre ou vidro 0,0015 
Concreto centrifugado 0,07 
Cimento alisado 0,3 - 0,8 
Cimento bruto 1 - 3 
Madeira aplainada 0,2 - 0,9 
Madeira não aplainada 1,0 - 2,5 
Alvenaria de pedra bruta 8 - 15 
Tijolo 5 
Plástico 0,06 
Alvenaria de pedra regular 1 
 
Pela equação anterior é possível verificar que quanto maior o Re, menor a 
espessura da camada limite. Se β for suficiente para cobrir as rugosidades (ε) o 
escoamento é dito turbulento de parede lisa. Se β for da mesma ordem de grandeza de 
ε, o escoamento passa a ser chamado de turbulento de parede intermediária ou 
turbulento de transição. Caso β seja menor que ε, o escoamento é dito turbulento de 
parede rugosa ou francamente turbulento. 
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 É interessante notar que β decresce com aumento de Re. Por isso um tubo pode 
se comportar como liso para um fluido e rugoso para outro. Ainda para o mesmo fluido, 
pode se comportar como liso nas baixas velocidades e rugoso nas altas velocidades. 
Concluindo, pode-se dizer que no regime laminar, a perda de carga deve-se 
unicamente à resistência oferecida pela camada mais lenta àquela mais rápida que lhe 
é adjacente, ou seja, a energia hidráulica é transformada em trabalho na anulação da 
resistência oferecida pelo fluido em escoamento em função da sua viscosidade. A 
resistência é função das tensões tangenciais que promovem a transferência da 
quantidade de movimento. 
No regime turbulento, além do fenômeno descrito acima, existe ainda perda de 
energia nos choques moleculares oriundos do movimento desordenado das partículas. 
A perda de carga está diretamente relacionada com a turbulência que ocorre 
no conduto. Com esta ponderação, é possível imaginar que, em uma tubulação 
retilínea, a perda de carga seja menor se comparada com uma tubulação semelhante, 
mas com uma série de peças especiais, tais como curvas, cotovelos, etc. As peças 
especiais provocam perdas localizadas pela maior turbulência na região da peça, pois 
alteram o paralelismo das linhas de corrente. 
Para efeito didático vamos separar as perdas localizadas da perda de carga ao 
longo de uma canalização retilínea, ou perda contínua de carga. 
 
 
6.2 Cálculos dos condutos forçados: perda contínua de carga 
 
Desde o século XVIII, os hidráulicos vêm estudando o comportamento dos 
fluidos em escoamento. Darcy, hidráulico suíço, e outros concluíram, naquela época, 
que a perda de carga ao longo das canalizações era: 
 
- diretamente proporcional ao comprimento do conduto; 
- proporcional a uma potência da velocidade; 
- inversamente proporcional a uma potência do diâmetro; 
- função da natureza das paredes, no caso de regime turbulento; 
- independente da pressão sob a qual o líquido escoa; e 
- independente da posição da tubulação e do sentido de escoamento. 
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Naquela época, surgiram numerosas fórmulas para o dimensionamento das 
canalizações. A maioria delas era específica para as condições de trabalho de uma 
dada região. Hoje, o número de fórmulas utilizadas é bem menor. Serão abordadas 
neste estudo as fórmulas de Hazen-Williams, Flamant e Darcy-Weisbach ou Universal. 
 
 
6.2.1 Fórmulas práticas 
 
a) Fórmula de Hazen-Williams 
 
 
Essa fórmula talvez seja a mais utilizada nos países de influência americana. 
Ela originou-se de um trabalho experimental com grande número de tratamentos 
(vários diâmetros, vazões e materiais) e repetições. Ela deveser utilizada para 
escoamento de água à temperatura ambiente, para tubulações com diâmetro maior ou 
igual a 2” ou 50 mm e para regime turbulento. Ela possui várias apresentações: 
 
54,063,0 J D C 355,0V = ou 54,063,2 J D C 279,0Q = ou 87,4852,1
852,1
D C
Q646,10J = ou 
L
D C
Q646,10hf 87,4852,1
852,1
= 
 
em que: 
V - velocidade, m s-1; 
D - diâmetro da canalização, m; 
Q - vazão, m3 s-1; 
hf – perda contínua de carga, m; 
J - perda de carga unitária, m m-1; 
C – coeficiente que depende da natureza das paredes e estado de 
conservação de suas paredes internas. A Tabela 2 apresenta alguns valores para o 
coeficiente C. 
 
b) Fórmula de Flamant 
 
 
A fórmula de Flamant deve ser aplicada também para água à temperatura 
ambiente, para instalações domiciliares e tubulações com diâmetro variando de 12,5 a 
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100 mm. Inicialmente foram desenvolvidas as equações para ferro fundido e aço 
galvanizado. Posteriormente, foi obtido o coeficiente para outros materiais 
75,4
75,1
D
QKeJ = ou L
D
QKehf 75,4
75,1
= 
 
em que “Ke” assume os seguintes valores: 
 
PVC Ferro fundido e 
aço novos 
Ferro fundido e 
aço usados 
Cimento 
amianto Chumbo 
0,000824 0,001133 0,0014 0,00095 0,00086 
 
 
Tabela 2 - Valores do coeficiente C da fórmula de Hazen-Williams 
 
Tipo de conduto C 
Aço corrugado 60 
Aço com juntas “loc-bar”, novas 130 
Aço galvanizado 125 
Aço rebitado, novo 110 
Aço rebitado, usado 85-90 
Aço soldado, novo 130 
Aço soldado, usado 90-100 
Aço soldado com revestimento especial 130 
Aço zincado 140-145 
Alumínio 140-145 
Cimento-amianto 130-140 
Concreto, com bom acabamento 130 
Concreto, com acabamento comum 120 
Ferro fundido, novo 130 
Ferro fundido, usado 90-100 
Plástico 140-145 
PVC rígido 145-150 
Vidro 140 
 
 
c) Fórmula de Darcy-Weisbach ou Universal 
 
Esta fórmula é de uso geral, podendo ser aplicada tanto para escoamento em 
regime turbulento quanto para o laminar, e é também utilizada para toda faixa de 
diâmetros. 
 
52
2
Dg
Qf8J
pi
= ou L
Dg
Qf8hf 52
2
pi
= 
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O coeficiente “f” depende do material e estado de conservação das paredes. Na 
hipótese de regime laminar, f é independente da rugosidade relativa e é unicamente 
função do número de Reynolds: 
Re
64f = 
 
No regime turbulento, o valor de f pode ser encontrado pela expressão de 
Colebrook e White: 
)
fRe
51,2
71,3
D(log2-
f
1
+
ε
= 
A equação anterior pode ser aplicada para três situações distintas: 
 
� escoamento turbulento de parede lisa (104 ≤ Re ≤ 3,6x106): nesta região f depende 
de Re e independe de 
D
ε
. Assim, pode-se desprezar da equação anterior o primeiro 
termo entre parênteses: 
 
 8,0-)f(Relog2
f
1
= 
 
� escoamento turbulento de parede intermediária (14 < 
D
ε Re f < 200): nesta região f 
depende de Re e de 
D
ε
. Assim, utiliza-se a fórmula completa de Colebrook e White. 
 
� escoamento de parede rugosa ou francamente turbulento: nesta região f depende de 
D
ε
 e independe de Re. Assim, pode-se desprezar da equação de Colebrook e White, o 
segundo termo entre parênteses: 
 
14,1)
D
e(log2
f
1
+= 
 
Para simplificar a solução das equações anteriores, Moody elaborou um 
diagrama que recebeu o seu nome (Diagrama de Moddy), conforme apresentado na 
Figura 75. 
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Figura 75 - Diagrama de Stanton, segundo Moody, para determinação de valores do 
coeficiente f, em função do número de Reynolds e da rugosidade relativa. 
 
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d) Análise complementar 
 
Em todas as equações apresentadas, a perda de carga é unitária, ou seja, é a 
perda de carga que ocorre em um metro de canalização retilínea. A perda de carga ao 
longo de toda a extensão da canalização é dada por: 
 
L.Jh f = 
em que L – comprimento total da canalização retilínea, m. 
 
Todas as equações têm muito em comum, principalmente se forem tomadas 
aquelas que são apresentadas com o parâmetro vazão. Para simplificar vamos 
generalizá-las por: 
m
n
D
Q
.J β= 
em que: 
87,4m
85,1n
C
641,10
85,1
=
=
=β
 Para equação de Hazen-Williams; 
 
75,4m
75,1n
000824,0
=
=
=β
 Para a equação de Flamant, para condutos de plástico; e 
 
5m
2n
g.
f.8
2
=
=
pi
=β
 Para a equação de Darcy-Weisbach. 
 
Exercícios: 
- Com base no esquema abaixo, determine a perda de carga na tubulação de 
ferro fundido novo, com 500 m de comprimento, diâmetro de 150 mm e que transporta 
uma vazão de 25,0 L s-1 (resolver pelas três equações). 
 
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Resposta: a) H-W ���� hf = 7,19 m; b) Flamant ���� hf = 7,30 m; c) D-W ���� hf = 8,5 m 
(considerando e = 0,3 mm) 
 
- Em um tubo de diâmetro constante igual a 100 mm, por onde escoa água, há 
dois medidores de pressão instalados, distanciados entre si de 125,0 m. Em um 
determinado instante, as leituras dos mesmos são iguais a 20 psi (esquerda) e 230 kPa 
(direita). Sabendo que o tubo é de ferro fundido (C = 130), determine a vazão que 
escoa nesta tubulação, considerando o esquema abaixo: 
 
 
 
Resposta: Q = 0,0199 m3 s-1. 
 
6.3 Cálculos de condutos forçados: perda localizada de carga 
 
A perda localizada de carga é aquela causada por acidentes colocados ou 
existentes ao longo da canalização, tais como as peças especiais. Em tubulações com 
longo comprimento e poucas peças a turbulência causada por essas passa a ser 
desprezível. Porém em condutos com muitas peças e menor comprimento, este tipo de 
perda tem uma importância muito grande, como no caso de instalações prediais. Pode-
se desconsiderar as perdas localizadas quando a velocidade da água é pequena, V < 1 
m/s, quando o comprimento é maior que 4.000 vezes o diâmetro, e quando existem 
poucas peças no conduto. 
3,0 m 
 
5,0 m
 
∆H = 30,0 m 
Fonte d´água 
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No projeto, as perdas localizadas devem ser somadas à contínua. Considerar 
ou não as perdas localizadas é uma atitude que o projetista irá tomar, em face das 
condições locais e da experiência do mesmo. 
 
a) Expressão de Borda-Belanger 
 
A expressão que calcula as perdas partiu do teorema de Borda-Berlanger. 
g2
VKha
2
= 
em que : 
ha - perda de carga causada por uma peça especial, m; 
K - coeficiente que depende de cada peça e diâmetro, (Tabela 3). 
 
Tabela 3 - Valor do coeficiente K, para cálculos das perdas de carga localizadas, em 
função do tipo de peça, segundo J. M. Azevedo Neto. 
 
Tipo da peça K 
Ampliação gradual 0, 30 
Bocais 2,75 
Crivo 0,75 
Curva de 90° 0,40 
Curva de 45° 0,20 
Entrada normal de canalização 0,50 
Junção 0,04 
Medidor Venturi 2,50 
Redução gradual 0,15 
Registro deângulo, aberto 5,00 
Registro de gaveta, aberto 0,20 
Registro de globo, aberto 10,00 
Saída de canalização 1,00 
Tê, passagem direita 0,60 
Tê, saída de lado 1,30 
Tê, saída bilateral 1,80 
Válvula de pé 1,75 
Válvula de retenção 2,50 
 O valor de K depende do regime de escoamento. Para escoamento plenamente 
turbulento, eR > 50.000, o valor de K para as peças especiais é praticamente 
constante, dependente apenas do tipo de peça. 
 
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b) Método dos comprimentos virtuais 
 
Ao se comparar a perda de carga que ocorre em uma peça especial, pode-se 
imaginar que esta perda também seria oriunda de um atrito ao longo de uma 
canalização retilínea. Pergunta-se: que comprimento de uma canalização provocaria a 
mesma perda? Para saber, basta igualar a equação de perda localizada de carga, com 
a perda contínua de carga. Portanto: 
Perda contínua: L
g2.D
V.fh
2
f = 
Perda localizada: 
g2
VKh
2
=∆ 
Como um se iguala ao outro, temos: 
 
g2
VKL
g2.D
V.fhh
22
f =→∆= 
Simplificando: D
f
KL = 
 
A Tabela 4 contém os valores do comprimento retilíneo, equivalentes a cada 
peça especial. 
Este método, portanto, consiste em adicionar ao trecho retilíneo real da 
canalização, um trecho retilíneo fictício (Lf), gerando um comprimento virtual maior que 
o real. Este comprimento virtual (Lv) é o que deve ser usado na fórmula de perda 
contínua de carga total. 
 
LLfLv += 
 
O valor de carga por este procedimento já inclui as perdas localizadas. 
 
 
c) Método dos diâmetros equivalentes 
 
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90
Este método é uma particularidade do método anterior. Observando-se o 
anterior, nota-se que o comprimento vai depender do diâmetro e de uma relação K/f. 
Esta razão depende do número de Reynolds, tal como K e f. Porém, em regimes 
plenamente turbulentos, K e f passam a ficar constantes com o número de Reynolds. 
 
 
Tabela 4 - Comprimento fictício em metros das principais peças especiais, para os 
diâmetros comerciais mais usados. 
 
Tipo de 
Peça 
Diâmetros comerciais (mm) 
50 63 75 100 125 150 200 250 300 350 
Curva 90 0,6 0,8 1,0 1,3 1,6 1,9 2,4 3,0 3,6 4,4 
Curva 45 0,4 0,5 0,6 0,7 0,9 1,1 1,5 1,8 2,2 2,5 
Entr.normal 0,7 0,9 1,1 1,6 2,0 2,5 3,5 4,5 5,5 6,2 
Entr. borda 1,5 1,9 2,2 3,2 4,0 5,0 6,0 7,5 9,0 11,0 
Reg. gav. ab. 0,4 0,4 0,5 0,7 0,9 1,1 1,4 1,7 2,1 2,4 
Reg. gl. ab. 17,0 21,0 26,0 34,0 43,0 51,0 67,0 85,0 102 120 
Tê pass. direta 1,1 1,3 1,6 2,1 2,7 3,4 4,3 5,5 6,1 7,3 
Tê saída de lado 3,5 4,3 5,2 6,7 8,4 10,0 13,0 16,0 19,0 22,0 
Tê saída bilater. 3,5 4,3 5,2 6,7 8,4 10,0 13,0 16,0 19,0 22,0 
Válv. pé/cr. 14,0 17,0 20,0 23,0 30,0 39,0 52,0 65,0 78,0 90,0 
Saída de canal. 1,5 1,9 2,2 3,2 4,0 5,0 6,0 7,5 9,0 11,0 
Válvula retenção 4,2 5,2 6,3 8,4 10,0 13,0 16,0 20,0 24,0 28,0 
 
 
Portanto a relação K/f fica dependente apenas da rugosidade de cada material. 
Em termos práticos e como as perdas localizadas são pequenas em relação às 
contínuas, pode-se considerar que K e f constantes. Por conseguinte, o comprimento 
fictício a ser adicionado ao comprimento real poderá ser expresso em um número de 
diâmetro: n
f
K
= (constante), ou seja, L = n.D, em que n expressa o comprimento 
fictício de cada peça em números de diâmetros (Tabela 5). 
Nos problemas de condutos forçados, são quatro os elementos hidráulicos: 
Q – vazão 
V – velocidade de escoamento 
J – perda de carga unitária 
D – diâmetro da canalização 
 
Na solução dos problemas, têm-se disponível duas equações : 
Equação da continuidade: 
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91
V.AQ = 
Equação genérica de perda de carga: 
m
n
D
QJ β= 
 
 
Tabela 5 - Diâmetros equivalentes das principais peças especiais 
 
Tipo da peça n° de diâmetros 
Ampliação gradual 12 
Curva de 90° 30 
Curva de 45° 15 
Entrada normal 17 
Entrada de Borda 35 
Junção 30 
Redução gradual 6 
Registro de gaveta, aberto 8 
Registro de globo, aberto 350 
Saída de canalização 35 
Tê, passagem direta 20 
Tê, saída bilateral 65 
Válvula de pé com crivo 250 
Válvula de retenção 100 
 
 
A existência de peças especiais, bem como o seu número, além do material 
constituinte da tubulação deverá ser de conhecimento prévio do projetista. Nos 
problemas práticos, a vazão Q é quase sempre um elemento conhecido. Se for água 
que vai ser conduzida, deve-se saber, a priori, a sua utilidade e seu valor. Normalmente 
o diâmetro é a variável desconhecida e seu valor deve ser minimizado, pois reflete 
diretamente nos custos da canalização. Por outro lado, se o escoamento não é por 
gravidade, um menor diâmetro provocará uma maior perda de carga que implicará em 
um maior consumo de energia. Valores práticos de velocidade existem e podem 
orientar o projetista na definição do melhor diâmetro. 
A literatura cita limites e valores de velocidade média recomendados para as 
mais diferentes situações: 
• água com material em suspensão..........................................V > 0,60 m/s 
• para instalações de recalque.......................................0,55 < V < 2,50 m/s 
 mais usual.......................................1,00 < V < 2,00 m/s 
 
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92
Exercícios: 
- Calcular a perda de carga total (continua + localizada) em um trecho de uma 
canalização de alumínio, que conduz 20,0 L s-1 numa extensão de 800 m. O diâmetro 
da canalização é de 150 mm e ao longo do trecho tem-se as seguintes peças 
especiais, com suas respectivas quantidades: 
 
Curva de 90o 4 
Curva de 45o 3 
Válvula de retenção 2 
Registro de gaveta 2 
 
Resposta: Perda contínua adotando H-W ���� hf = 6,63 m; 
Perda localizada ���� a) Borda-Belanger: ∆h = 0,496 m; 
 b) Comprimentos virtuais: ∆h = 0,314 m; 
 c) Diametros equivalentes: ∆h = 0,474 m 
 
- Calcule a perda localizada de carga provocada pelo registro parcialmente 
fechado, no esquema a seguir (h1 = 1,20 m; h2 = 1,05 m; h3 = 0,35 m; L1 = 1,0 m; L2 = 
1,9 m; L3 = 1,3 m). 
 
Resposta: ∆h = 0,22 m 
 
 
6.4 Condutos Equivalentes 
 
Conceito: Um conduto é equivalente a outro ou a outros quando escoa a mesma 
vazão sob a mesma perda de carga total. 
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93
Pode-se ter uma gama de condutos equivalentes, porém se apresentará os 
condutos equivalentes em série e em paralelo. 
 
 
6.4.1. Condutos em série ou misto 
 
São os condutos constituídos por trechos de tubulação, com mais de um 
diâmetro diferente, conforme ilustra a Figura 76. 
Desconsiderando as perdas localizadas: 
3f2f1ff hhhh ++= ... 
em que: 
fh = a perda de carga total no conduto 
1fh = a perda contínua de carga no trecho de diâmetro 1D e comprimento L1 ; 
2fh = idem para diâmetro D2 e comprimento L2 
3fh = idem para diâmetro 3D e comprimento 3L 
 
Figura 76 - Conduto misto com 2 diâmetros. 
 
Usando a fórmula genérica de perda de carga tem-se: 
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94
3m
3
n
32m
2
n
21m
1
n
1em
e
n
e
em
e
n
efe3m
3
n
3f2m
2
n
2f1m
1
n
1f
L
D
QL
D
QL
D
QL
D
Q
L
D
Qh;L
D
Qh;L
D
Qh;L
D
Qh 321
β+β+β=β
β=β=β=β=
 
Para uma condição de mesma rugosidade, 
321e β=β=β=β 
 
E como a vazão deve ser a mesma, condição de ser equivalente, a equação 
simplifica-se: 
 
m
3
3
m
2
2
m
1
1
m
e
e
D
L
D
L
D
L
D
L
++= 
 
que é a expressão que traduz a regra de Dupuit. 
 
A aplicação prática desta regra se faz presente no dimensionamento dos 
condutos, e normalmente são encontrados diâmetros não comerciais. Como, por 
exemplo, cita-se um caso: D = 133 mm. Se for escolhido o diâmetro comercial 125 mm, 
este não irá fornecer a vazão desejada ou a perda ultrapassará o limite de projeto. Se 
for escolhido 150 mm, que é o imediatamente superior, a vazão será maior que a de 
projeto ou a perda de carga será menor que a projetada. Nesse caso, o problema pode 
ser resolvido com a colocação de um registro para aumentar a perda de carga total e 
consequentemente reduzir a vazão até o projetado. Porém, esta saída não é a mais 
econômica, pois o custo das tubulações cresce exponencialmente com o diâmetro. 
Então, a melhor solução técnica e econômica é fazer uma associação em série, ou 
seja, colocar um trecho do conduto com o diâmetro comercial imediatamente superior, 
e um trecho com o diâmetro comercial imediatamente inferior, de tal forma que este 
conduto misto seja equivalente ao projetado. Porém, quais os comprimentos de cada 
diâmetro? Suponha que o comprimento total seja L e os comprimentos de cada trecho 
sejam 1L e 2L , de tal forma que: 
 
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95
21 LLL += ; 
e que 
2f1ff hhh += 
Como genericamente 
L.Jh f = 
Tem-se 
2211 L.JL.JL.J += 
Fazendo 
22211
2221
21
L.JL.JL.JL.J
L.J)LL(JL.J
LLL
+−=
+−=
−=
 
Rearranjando 
L)JJ(
)JJ(L)JJ(L)JJ(L
12
1
21122
−
−
=→−=− 
em que 
L2 = comprimento do trecho de diâmetro D2; 
 J = perda de carga unitária no conduto de diâmetro não comercial; 
J1 = perda de carga unitária no conduto de diâmetro comercial D1; 
J2 = perda de cara unitária no conduto de diâmetro comercial D2; e 
 L = o comprimento total da canalização. 
 
Exercícios: 
- Com base no esquema da Figura abaixo, considere todos os trechos da 
tubulação de mesmo material. Desprezando as perdas localizadas nas mudanças de 
diâmetro, pede-se: 
a) comprimento equivalente de uma rede de diâmetro único de 40 cm; 
b) o diâmetro equivalente para uma canalização de 3600 m de comprimento. 
 
 
 
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96
Respostas: a) L = 4.242,77 m; b) D = 0,3867 m 
 
- Calcule a diferença de nível H, sabendo que a vazão escoada é de 5,0 L s-1, a 
tubulação é de ferro fundido (C = 130), os diâmetros D1 e D2 são, respectivamente, 75 
e 50 mm, e os comprimentos L1 e L2 são, respectivamente, 30 m e 40 m. Considere 
comprimentos fictícios de 1,1 m (entrada de canalização); 0,4 m (redução) e 1,5 m 
(saída de canalização); 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: H = 7,05 m. 
 
 
6.4.2. Condutos em paralelos ou múltiplos 
 
São os condutos que têm as extremidades comuns, ou seja, a pressão no 
início de todos é a mesma. Também a pressão no final é comum a todos os condutos. 
Observa-se pela Figura 77 que no ponto A, a vazão total Q se divide nas 
vazões .QeQ,Q 321 Na extremidade final, ponto B, estas vazões voltam a se somar, 
voltando-se novamente à vazão Q, portanto: 
 
321 QQQQ ++= 
Pela equação genérica de perda de carga tem-se que: 
R1 
R2 
H 
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97
n
1
m
f
L.
D.hQ








β= 
 
Figura 77 - Esquema de três condutos em paralelo. 
 
Partindo-se desta equação: 
n
1
33
m
3fn
1
22
m
2fn
1
11
m
1fn
1
ee
m
ef
L.
D.h
L.
D.h
L.
D.h
L.
D.h








β+





β+





β=





β 
 
Considerando a mesma rugosidade para todos os condutos e como fh deve 
ser igual em todos, condição de ser equivalente, tem-se: 
n
1
3
n
m
3
n
1
2
n
m
2
n
1
1
n
m
1
n
1
e
n
m
e
L
D
L
D
L
D
L
D
++= 
 
Se todos os comprimentos forem iguais, a equação acima torna-se: 
 
n
m
3n
m
2n
m
1n
m
e DDDD ++= 
Generalizando: 
.DD
k
1i
n
m
in
m
e ∑
=
= 
Sendo K o número de condutos em paralelo. Se também os diâmetros forem iguais a 
D: 
D.KD
D.KD
m
n
e
n
m
n
m
e
=
=
 
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98
 
A aplicação prática deste tipo de conduto está na expansão de uma área ou de 
um projeto hidráulico. Se vai haver expansão, basta projetar o conduto para atender ao 
projeto global que deverá ficar em paralelo. 
 
Exercício: A perda de carga entre os pontos A e D no sistema da figura abaixo é de 
50,0 m. Sabendo que a vazão no trecho AB é de 25,0 L s-1, e adotando-se a fórmula de 
Hazen-Williams, com C = 120 para todos os trechos, calcular: a) as vazões nos trechos 
2 e 3; b) o(s) diâmetro(s) comercial(is) e o(s) comprimento(s) correspondente(s) da 
tubulação 3, sabendo que os diâmetros disponíveis no mercado são 75, 100, 150, 200 
mm. (desprezar as perdas localizadas). 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 a) Q2 = 0,020 m3 s-1 e Q3 = 0,005 m3 s-1 
 b) D3 = 0,110 m (não comercial) ���� L1 = 1.011 m (150 mm) e 
 L2 = 1.369 m (100 mm) 
 
 
6.5 Sifão 
 
 É um conduto fechado que levanta o líquido a uma cota mais alta que aquela da 
superfície livre e o descarrega numa cota mais baixa. Para que o sifão funcione é 
necessário que se proceda a escorva do mesmo, ou seja, que o ar de seu interior seja 
substituído pelo fluido. 
 Uma vez que no ponto ”b” (Figura 78) ocorre pressão absoluta inferior à 
atmosférica, percebe-se que o sifão tem seu funcionamento limitado. Com a diminuição 
da pressão em ”b” (maior altura do ponto “b” em relação ao ponto “a”) o fluxo tende a 
diminuir. 
 
L1 = 4050 m 
D1 = 200 mm 
L2 = 3395 m 
D2 = 200 mm 
L3 = 2380 m 
D3 = ? 
L4 = 1450 m 
D4 = 150 mm 
A D B C 
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99
 
A 
 
B 
Figura 78 – Sifão trabalhando livre (A) e afogado (B). 
 
 Teoricamente, a diferença de nível entre “a” e “b” poderia corresponder ao 
valor local da pressão atmosférica; todavia, a pressão de vaporização e as perdas de 
energia fazem com que esta altura, na prática, seja inferior à pressão barométrica. 
 Admitindo-se o caso normal de funcionamento do sifão, em que o tubo esteja 
completamente cheio de líquido, formando uma coluna contínua, a aplicação da 
equação da energia entre o nível d´água no canal (a) e a saída da tubulação fornece: 
g2
V
D
Lf
g2
VK
g2
Vh
222
++=ou )
D
LfK1(
g2
Vh
2
++= 
 
Resolvida a equação anterior, pode-se calcular o valor da pressão em b pela 
aplicação da equação da energia entre os pontos a e b: 
 
 
g2
V
D
´Lf
g2
V
´KhP
g2
V0
22
b
b
2
+++
γ
+= ou 
)
D
´Lf´K1(
g2
VhP
2
b
b ++−−=
γ
 
onde L´ é a extensão da tubulação até b. 
 
hb 
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100
 Observa-se que a pressão efetiva é negativa e diminui com o aumento da altura 
hb e da velocidade do escoamento. Se a equação anterior fornecer uma pressão 
inferior à pressão de vapor do líquido, evidencia-se a vaporização do mesmo e a vazão 
obtida pela equação não corresponde à realidade. 
 Os tubos utilizados como sifões são geralmente de alumínio, ferro ou plástico, 
com diâmetros que variam de ½ a 12 polegadas. 
 A vazão no sifão depende do diâmetro, do comprimento, do material que 
constitui o tubo e da carga sob a qual o sifão está trabalhando. Uma vez escolhido o 
tipo de sifão, a vazão dependerá exclusivamente da carga hidraúlica, que deve ser 
considerada na condição de descarga livre ou afogada (“h” da Figura 78). A escolha do 
diâmetro vai depender da vazão que se deseja medir. A Tabela 6 apresenta a vazão 
média de sifões com ¾, 1, 1 ½ , 1 ¾ e 2 polegadas de diâmetro operando sob cargas 
que variam de 5 a 50 cm, para sifões de plástico com 1,5 m de comprimento. 
 A Figura 79 ilustra uma aplicação do sifão no fornecimento de água para os 
sulcos de irrigação. 
 
 
Figura 79 – Aplicação de sifão na irrigação por sulcos. 
 
Exercício: A Figura seguinte representa um sifão que conduz água do reservatório R1 
até o ponto B, onde atua a pressão atmosférica. Determinar a vazão escoada e a 
pressão no seu ponto mais alto sabendo que a tubulação é de PVC (f = 0,032) e tem 
diâmetro de 150 mm. Considere que a ponta da tubulação esteja 0,5 m dentro do 
reservatório R1. 
 
Respostas: a) Q = 0,065 m3.s-1; b) P = - 6,92 mca 
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101
 
 
 
Tabela 6 - Vazão (L s-1) e altura de carga (cm) para diferentes diâmetros de sifão 
 
Carga h 
(cm) 
Vazão (L/s) de sifão com diâmetro de 
2” 1 ¾ ” 1 ½ ” 1 ” ¾ ” 
4 1,12 0,62 0,48 0,24 0,10 
6 1,38 0,77 0,60 0,29 0,13 
8 1,59 0,89 0,69 0,34 0,15 
10 1,78 1,00 0,78 0,38 0,18 
12 1,95 1,10 0,85 0,42 0,20 
14 2,11 1,19 0,93 0,45 0,22 
16 2,26 1,28 0,99 0,48 0,23 
18 2,40 1,36 1,05 0,51 0,25 
20 2,53 1,44 1,11 0,54 0,27 
22 2,65 1,51 1,17 0,57 0,28 
26 2,89 1,65 1,27 0,62 0,31 
28 3,00 1,71 1,32 0,64 0,33 
30 3,10 1,78 1,37 0,66 0,34 
32 3,21 1,84 1,42 0,68 0,35 
34 3,31 1,90 1,46 0,71 0,36 
36 3,40 1,95 1,51 0,72 0,38 
40 3,59 2,06 1,59 0,77 0,40 
42 3,68 2,12 1,63 0,78 0,41 
44 3,77 2,17 1,67 0,80 0,43 
46 3,85 2,22 1,71 0,82 0,44 
48 3,93 2,27 1,75 0,84 0,45 
50 4,02 2,32 1,79 0,86 0,46 
 
 
 
 
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102
6.6 Perfis de encanamentos 
 
 A posição do encanamento em relação à linha de carga tem influência decisiva 
no seu funcionamento. No caso geral de escoamento de líquidos, são considerados 
dois planos de carga estático: (PCE), referente ao nível de montante e que na Figura 
80 coincide com o nível de água do reservatório R1, e o da carga absoluta (PCA) 
situado acima do anterior, da altura representativa da pressão atmosférica. 
 Tendo em vista a posição relativa enunciada, podem ocorrer os casos 
apresentados a seguir: 
 
1o Caso - A tubulação AB está inteiramente abaixo da linha de carga efetiva: 
 
 
Figura 80 – Linhas e planos de carga em uma tubulação. 
 
Na Figura anterior: 
LCA = linha de carga absoluta; 
LCE = linha de carga efetiva; 
 
Para um ponto E, qualquer ao longo do eixo do conduto, definem-se: 
 
EE4 = carga estática absoluta; 
EE3 = carga dinâmica absoluta; 
EE2 = carga estática efetiva; 
EE1 = carga dinâmica efetiva; 
 
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103
 Tomando como origem das medidas de pressões atmosféricas, vemos que, em 
todos os pontos do conduto, tal como E, pE /γ > 0, ou seja, em um piezômetro instalado 
neste ponto, a água subiria à altura EE1. Em condutos como este, o escoamento será 
normal e podemos ter garantia de vazão para a qual foi calculado. Esta é a situação 
que o engenheiro deve preferir, conduzindo seus projetos, sempre que possível, para 
situações semelhantes. 
 
2o Caso - A tubulação AB tem seu desenvolvimento segundo a linha de carga MN, isto 
é, acompanha a linha de carga efetiva. 
 
Em qualquer ponto, p0 /γ = 0. A água não subirá em piezômetro instalado em 
qualquer ponto da tubulação. Mesmo tendo o contorno fechado, o funcionamento é de 
conduto livre (Figura 81). 
 
 
Figura 81 – Tubulação conforme segundo caso. 
 
3o Caso - É mostrado na Figura 82, onde vemos a tubulação AB com trecho EFG 
situado acima da linha de carga efetiva, porém abaixo da linha de carga absoluta. 
Nesta parte da tubulação, p
 
/γ < 0, ou seja, a pressão é inferior à atmosférica. A 
depressão reinante neste trecho torna o ambiente favorável ao desprendimento do ar 
em dissolução no fluido circulante e à formação de vapor. 
 
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104
 
Figura 82 – Tubulação conforme terceiro caso. 
 
A mistura do vapor com o ar tende a acumular-se em F, formando uma bolsa como a 
indicada na Figura 83. 
 
Figura 83 – Aparecimento da bolsa de ar na tubulação. 
 
Se esta bolsa gasosa não for removida, poderá crescer até que a pressão no 
interior do tubo se iguale à atmosférica. À medida que a bolha cresce, a vazão vai 
diminuindo até assumir o valor compatível com a situação criada. A partir deste 
momento, o trecho AEF, de comprimento L1, trabalhará cheio, transportando a vazão 
Q1 com perda de carga h1=J1L1, sendo MF a linha de carga correspondente (Figura 84). 
A partir de F, o fluido circulará à pressão atmosférica, no trecho de comprimento 
L2, sem encher o conduto, até o ponto G' , que obtemos traçando G'N paralelo a MF. 
Isto significa que, no trecho G', de comprimento L3, o conduto funcionará 
completamente cheio, transportando a mesma vazão Q1 com a perda total h3= J1L3. 
 
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Figura 84 – Mudança de comportamento da linha de carga. 
 
Em caso de adutoras enterradas, quando, no trecho EFG, a pressão for inferior à 
atmosférica, pode ocorrer contaminação da água que circula no interior do conduto, se 
houver defeitos nas juntas dos tubos. É um acidente possível nas redes de distribuição 
com funcionamento intermitente. 
Para contornar os inconvenientes causados por essa situação, podemos dividir o 
encanamento em dois trechos. O primeiro, AEF, de comprimento L1 e perda de carga 
total h1. O outro, FGB, de comprimento L - L1 e perda de carga total hf - h1. A linha de 
carga do primeiro trecho será MF e a do segundo, FN. Como as perdas totais em cada 
trecho são diferentes, os diâmetros serão também diferentes, podendo ser interligados 
por peça de redução. Em F, será adaptada uma ventosa para permitir a saída dos 
gases.4o Caso - A tubulação corta a linha de carga absoluta, mas fica abaixo do plano de 
carga efetivo. 
 
Esta situação é a anterior, em condições piores. A vazão, além de reduzida, é 
imprevisível. Os dois trechos, AEF e FGB, podem ser interligados por uma caixa de 
passagem localizada em F, com o objetivo de minimizar os inconvenientes decorrentes 
da situação. 
 
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Figura 85 – Tubulação conforme quarto caso. 
 
5o Caso - A tubulação tem o trecho EFG acima da linha de carga e do plano de cargas 
efetivas, mas abaixo da linha de carga absoluta (Figura 86). Nesta situação o 
escoamento só será possível se a tubulação for previamente escorvada e funcionará 
como sifão. No trecho EFG, a pressão efetiva é negativa e as condições de 
funcionamento são piores do que no caso anterior. 
 
 
Figura 86 – Tubulação conforme quinto caso. 
 
6o Caso - O trecho EFG do conduto está acima da linha de carga absoluta, mais 
abaixo do plano de carga absoluta. 
Trata-se de um sifão funcionando nas piores condições possíveis. 
 
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Figura 87 – Tubulação conforme sexto caso. 
 
7o Caso - Temos o trecho EFG acima do plano de carga absoluta. 
 
O escoamento pela ação da gravidade é impossível. A água somente circulará 
(Figura 88) se for instalada uma bomba capaz de impulsioná-la acima do ponto em que 
o conduto corta o plano de carga efetiva. No próximo capitulo será estudado o 
bombeamento ou recalque da água. 
 
Figura 88 – Tubulação conforme sétimo caso.