Aula 1 - Escoamento em Conduto Forçado (2)

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ESCOAMENTO EM CONDUTOS FORÇADOS 
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http://www.ufrrj.br/institutos/it/deng/leonardo/downloads/APOSTILA IT 503 – FUNDAMENTOS DE HIDRÁULICA DO PROF. DANIEL FONSECA DE CARVALHO 
1 - ESCOAMENTO EM CONDUTOS FORÇADOS
1.1. Considerações Gerais
Tendo em vista a pressão de funcionamento, os condutos hidráulicos podem se classificar em:
a) Condutos forçados: nos quais a pressão interna é diferente da pressão atmosférica. Nesse tipo de conduto, as seções transversais são sempre fechadas e o fluido circulante as enche completamente. O movimento pode se efetuar em qualquer sentido do conduto; e
b) Condutos livres: nestes, o líquido escoante apresenta superfície livre, na qual atua a pressão atmosférica. A seção não necessariamente apresenta perímetro fechado e quando isto ocorre, para satisfazer a condição de superfície livre, a seção transversal funciona parcialmente cheia. O movimento se faz no sentido decrescente das cotas topográficas.
1.2 – HIDRODINÂMICA
	1.2.1. Fundamentos do escoamento dos fluidos
	As leis teóricas da Hidrodinâmica são formuladas admitindo-se que os fluidos sejam ideais, isto é, que não possuam viscosidade, coesão, elasticidade, etc. de modo que não haja tensão de cisalhamento em qualquer ponto da massa fluida. Durante a movimentação, as partículas fluidas deslocam-se de um ponto a outro continuamente, sem que a massa do fluido sofra desintegração, permanecendo sempre contínua, sem vazios ou solução de continuidade.
	1.2.2. Vazão
	Cortando-se o tubo de fluxo, por um plano normal às linhas de fluxo, essa seção é atravessada no instante t, por um volume de fluido dado por:
QA v dA m/s x m2 = m3/s
		Sendo Q a vazão, isto é, o volume escoado com velocidade “v” na seção de área “A” e na unidade de tempo.
Tubo de fluxo
	A superfície do tubo de corrente pode estar em contato com uma parede sólida, como no caso dos condutos forçados ou sobre pressão ou pode estar em contato com outro fluido, como nos canais, onde o líquido tem uma superfície em contato com a atmosfera.
	1.2.3. Pressão (Manometria)
	As pressões são grandezas físicas muito importantes no trabalho com fluidos, haja vista a equação fundamental da Estática dos fluidos, que é expressa em termos de pressões e esforços.
	No século XVII Torricelli executou sua conhecida e célebre experiência ao nível do mar, quando, ao emborcar uma proveta cheia de mercúrio em uma cuba, o líquido fluiu da proveta para a cuba permanecendo apenas uma coluna de 762 milímetros de altura. A conclusão lógica era de que o ar atmosférico tinha peso, por conseguinte exercia pressão. Esta pressão, medida ao nível do mar, correspondia a uma coluna de mercúrio de 762 mm de altura. Este valor de pressão foi chamado de "uma atmosfera Física". Como o peso específico do mercúrio é 13.600 kgf/m3, vem:
Como a densidade do mercúrio é 13,6, a mesma pressão atmosférica equilibraria uma coluna de água de: 
Na prática da hidráulica se utiliza a atmosfera "técnica" que vale 735 mm Hg.
735 mmHg = 10 mca = 10.000 kgf/m2 = 1,0 kgf/cm2 = 1,034 atm.
	
Exemplo: A Figura abaixo reproduz a experiência de Torricelli em uma certa localidade, quando foi utilizado o mercúrio como líquido manométrico. Se, ao invés de mercúrio, tivesse sido utilizado um óleo com densidade de 0,85, qual teria sido a altura da coluna de óleo? 
Torricelli encontrou (segundo o desenho) uma pressão referente a 70 cmHg = 700 mmHg = 93.325,66 Pa
	A pressão atmosférica é medida por barômetros ou por barógrafos, que são barômetros registradores. A pressão atmosférica varia com a altitude; para cada 100 metros de elevação de altitude ocorre um decréscimo na pressão atmosférica de 0,012 atm (0,12 mca); desta forma, em um local de altitude igual a 920 metros, a pressão é:
patm = 1,034 atm - (0,012 . 9,2) = 1,034 - 0,110 = 0,92 atm
1.2.3.1 Tipos de pressão
	A um fluido com pressão atmosférica pode-se “acrescentar” ou "retirar” pressão. Tais pressões são denominadas “efetivas" ou manométricas, por que são medidas por manômetros e podem ser positivas ou negativas.
	Imaginem uma vasilha hermeticamente fechada contendo ar à pressão atmosférica local. Ligando-se o compressor indicado pelo sinal (+), mais ar será injetado dentro do recipiente e a pressão irá subindo concomitantemente, o que será mostrado pelo manômetro. O ponteiro girará para a direita (área positiva) partindo do valor zero.
	Suponha que o compressor tenha sido desligado quando a pressão manométrica era de 1,2 kgf cm-2. Em seguida, ligando-se a bomba de vácuo, ilustrada com o sinal (-), a pressão irá caindo (o ar esta sendo retirado) voltando ao valor inicial (zero). Neste ponto a pressão reinante no interior do recipiente é somente a pressão atmosférica, a qual não é acusada por manômetros.
	Com a continuação do processo, a pressão passará a ser negativa, com o ponteiro do manômetro girando para a esquerda; estará ocorrendo o que denomina-se "vácuo" ou depressão. Desligando-se o conjunto, o manômetro estará marcando uma pressão negativa (efetiva) de, por exemplo, -0,2 kgf cm-2.
	Praticamente um fluido está sujeito, portanto, a dois tipos de pressão: a atmosférica e a efetiva. A somatória dos valores das duas pressões dará o que denomina-se pressão absoluta. 
OBS: Pressão efetiva = Pressão manométrica = Pressão relativa
No exemplo considerado, sendo por hipótese a pressão igual a 0,9 atm, as pressões absolutas serão:
a) para pressão efetiva nula (ar à pressão atmosférica no interior do recipiente)
pabs = patm + pef = 0,9 + 0,0 = 0,9 atm → pabs = patm
b) para pressão efetiva de 1,2 atm
pabs = patm + pef = 0,9 + 1,2 = 2,1 atm
c) para pressão efetiva de -0,2 atm
pabs = patm + pef = 0,9 + (-0,2) = 0,7 atm
Pode-se verificar que na situação do caso c, a pressão absoluta é menor que a pressão atmosférica local. Logo, há depressão ou vácuo, no interior do recipiente. Como já mencionado a pressão efetiva é medida por manômetros. Vacuômetro é o manômetro que mede pressões efetivas negativas.
1.2.4. Conservação da Massa Equação da continuidade
ou
	A equação da continuidade é a equação da conservação da massa expressa para fluidos incompressíveis (massa específica constante).
Em um tubo de corrente de dimensões finitas, a quantidade de fluido com massa específica ρ1 que passa pela seção A1, com velocidade média v1, na unidade de tempo é: 
	Por analogia, na seção 2 tem-se: 
	Em se tratando de regime permanente a massa contida no interior do tubo é invariável, logo:
	Esta é a equação da conservação da massa. Tratando-se de líquidos, que são praticamente incompressíveis, ρ1 é igual a ρ2. Então:
v1 A1 = v2 A2 = vn An ou = v A
	A equação da continuidade mostra que, no regime permanente, o volume de líquido que, na unidade de tempo, atravessa todas as seções da corrente é sempre o mesmo.
	Vazão em peso é o peso de fluido que escoa através de uma certa seção em um intervalo de tempo.
	Como a F = m.a G = m x g, assim temos:
	1.2.5. Equação de Bernoulli ou Equação da Conservação da Energia
Daniel Bernoulli, mediante considerações de energia aplicada ao escoamento de fluidos, conseguiu estabelecer a equação fundamental da Hidrodinâmica. Tal equação é uma relação entre a pressão, a velocidade e a altura em pontos de uma linha de corrente. Sendo assim, a equação de energia resulta da aplicação do princípio de conservação de energia ao escoamento. A energia que um fluido em escoamento possui é composta das energias devidas à pressão, à velocidade e à posição.
Considerando duas secções retas de áreas A1 e A2 num tubo de corrente, sejam p1 e p2 as pressões nessas secções. A massa específica é “ρ” e as velocidades de escoamento valem, respectivamente, v1 e v2. Sejam F1 e F2 as forças de pressão exercidas pelo fluido restante sobre o fluido contido no tubo. 
A soma algébrica dos trabalhos realizados pelas forças e é igual à soma das variações das energias cinética e potencial entre as secções (1) e (2). 
Como
Mas
Portanto temos:
Dividindo todos os termos por V temos:Isolando os termos:
Se o tubo for horizontal, então h1 = h2 e a equação fica simplificada para: 
Sendo assim, a equação de Bernoulli é definida como:
Aplicando-se a equação de Euler (equações gerais do movimento) aos líquidos em movimento permanente, sob a ação da força gravitacional, e em dois pontos de uma tubulação, por exemplo, tem-se:
Os fluidos manométricos mais utilizados são água ou mercúrio. Portanto temos:
m = m.c.a = metros de coluna de água ou m = mHg = metros de mercúrio
Este é o teorema de Bernoulli, que se anuncia: “Ao longo de qualquer linha de corrente, é constante a somatória das energias cinética (v2/2g), de pressão ou piezométrica (P/γ) e potencial (z)”. É importante notar que cada um desses termos pode ser expresso em unidade linear (m.c.a), constituindo o que denomina-se “carga” ou altura ou energia por unidade de peso.
Os fluidos manométricos mais utilizados são água ou mercúrio. Portanto temos:
m = m.c.a = metros de coluna de água ou m = mHg = metros de mercúrio
Explicando:
 	
Perceba que a teoria afirma que as parcelas são dadas em unidade linear (m.c) e que essa unidade corresponde à energia por unidade de peso. Portanto temos:
Portanto:
Em 1875, Froude apresentou importantes experiências sobre o teorema de Bernoulli. Uma delas consiste numa canalização horizontal e de diâmetro variável, conectada a um reservatório de nível constante. De acordo com a figura abaixo, instalando-se piezômetros nas diversas seções, verifica-se que a água sobe à alturas diferentes; nas seções de menor diâmetro, a velocidade é maior e, portanto, também é maior a carga cinética, resultando menor carga de pressão. Como as seções são conhecidas, podem-se verificar a distribuição e a constância da carga total (soma das alturas).
Exercício1: Um líquido incompressível de massa específica igual a 800 kg m-3 escoa pelo duto representado na figura abaixo com vazão de 10 L s-1. Admitindo o escoamento como ideal e em regime permanente, calcule a diferença de pressão entre as seções 1 e 2.
	
Dados: A1 = 20 cm2 = 0,002 m2	A2 = 10 cm2 = 0,001 m2
	Qv = 10 l/s = 0,01 m3/s
Da Lei da Conservação da Massa temos:
v1 A1 = v2 A2 = vn An ou = v A
Logo:
Da Lei da Conservação da Energia (Bernoulli) temos:
Como a Energia Potencial é a mesma ao longo de uma linha de corrente, temos:
Exercício 2) Determinar a velocidade do jato do líquido no orifício do tanque de grandes dimensões da figura. Considerar o fluido como ideal.
Exercício 3) A pressão no ponto S do sifão da figura não deve cair abaixo de 25 kPa (abs). Desprezando as perdas, determinar:
a) A velocidade do fluido;
b) A máxima altura do ponto S em relação ao ponto (A);
Patm = 100 kPa; γ = 104 N/m3.
Exercício 4) Dado o dispositivo da figura, calcular a vazão do escoamento da água no conduto. Dados: γH2O = 104 N/m3; γm = 6 x 104 N/m3; p2 = 20 kPa; A = 10-2 m2; g = 10 m/s2. Desprezar as perdas e considerar o diagrama de velocidade uniforme.
Exercício 5) No conduto da figura, o fluido é considerado ideal. 
Dados: H1 = 16 m; p1 = 52 kPa; γ =104 N/m3; D1 = D3 = 10 cm. Determinar:
a) A vazão em peso;
b) A altura h1 no manômetro;
c) O diâmetro da seção (2).
Exercício 6) Um dos métodos para se produzir vácuo numa câmara é descarregar água por um tubo convergente-divergente, como mostrado na figura. Qual deve ser a vazão em massa de água pelo convergente-divergente, para produzir uma depressão de 22 cm de mercúrio na câmara da figura?
Dados: γH2O = 104 N/m3; γHg = 1,36 x 105 N/m3; g = 10 m/s2; D1 = 72 mm e D2 = 36 mm.
1.3. Regime de Escoamento
- Regime Laminar: a trajetória da partícula é bem definida
- Regime Turbulento: as partículas se deslocam desordenadamente
- Regime de Transição: instável
1.3.1. Experimento de Reynolds:
1.3.2 Caracterização: Nº de Reynolds (NR)
Em que:
NR – Nº de Reynolds (adimensional)
V – velocidade (m/s);
D – diâmetro (m);
μ – viscosidade dinâmica (N.s/m2 ou Pa.s)
 - viscosidade cinemática (m2/s)
ρ – massa específica (kg/m3)
Sendo assim, com base no NR temos:
- Regime Laminar: NR ≤ 2.000
- Regime Turbulento: NR ≥ 4.000
- Transição: 2.000 < NR < 4.000
Na zona de transição não se pode determinar com precisão a perda nas canalizações. De modo geral, por causa da pequena viscosidade da água e pelo fato da velocidade de escoamento ser sempre superior a 0,4 ou 0,5 m s-1, o regime dos escoamentos, na prática, é turbulento.
Exercício 7) Determine o regime de escoamento sabendo que o tudo tem um diâmetro de 75 mm e transporta água ( = 10-6 m2/s) com uma vazão de 20 m3/h.
Exercício 8) Calcular o NR e identificar se o escoamento é laminar ou turbulento sabendo-se que em uma tubulação com diâmetro de 4 cm escoa água com uma velocidade de 0,05 m/s.
Exercício 9) A água escoa em um trecho do conduto de 100 mm. A velocidade média de escoamento é do 1,5 m s-1. Determine a viscosidade cinemática da água sabendo-se que o NR = 147.058,82.
Exercício 10) Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N.s/m2 e densidade igual a 0,91 escoando num tubo de 25mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2,6 m/s, determine o valor do número de Reynolds.
O número de Reynolds é definido como
1.4. Escoamento Real
A experiência mostra que, em condições reais, o escoamento se afasta do escoamento ideal. A viscosidade dá origem a tensões de cisalhamento e, portanto, interfere no processo de escoamento. Em consequência, o fluxo só se realiza com uma “perda” de energia, que nada mais é que a transformação de energia mecânica em calor e trabalho.
A equação de Bernoulli, quando aplicada a seções distintas da canalização, fornece a carga total em cada seção. Se o líquido é ideal, sem viscosidade, a carga ou energia total permanece constante em todas as seções. Porém, se o líquido é real, o seu deslocamento da seção 1 para a seção 2 (Figura abaixo) ocorrerá mediante uma dissipação de energia, necessária para vencer as resistências ao escoamento entre as seções. Portanto, a carga total em 2 será menor do que em 1 e esta diferença é a energia dissipada sob forma de calor. 
Como a energia calorífica não tem utilidade no escoamento do líquido, diz-se que esta parcela é a perda de carga ou perda de energia, simbolizada comumente por hf. É possível observar na Figura que, independente da forma como a tubulação se encontra instalada, sempre haverá dissipação de energia quando o líquido estiver em movimento.
Escoamento de um líquido real em um conduto forçado, 
mostrando a carga total em duas seções de escoamento:
a) tubulação em nível; b) tubulação em aclive; c) tubulação em declive.
Analisando as Figuras, além do plano de referência, é possível identificar três planos:
- PCE Plano de carga efetiva: é a linha que demarca a continuidade da altura da carga inicial, através das sucessivas seções de escoamento;
- LP Linha piezométrica: é aquela que une as extremidades das colunas piezométricas. Fica acima do conduto de uma distância igual à pressão existente, e é expressa em altura do líquido. É chamada também de gradiente hidráulico; e
- LE Linha de energia: é a linha que representa a energia total do fluido. Fica, portanto, acima da linha piezométrica de uma distância correspondente à energia de velocidade e se o conduto tiver seção uniforme, ela é paralela à piezométrica. A linha piezométrica pode subir ou descer, em seções de descontinuidade. A linha de energia somente desce.
Nas Figuras, E1 E2 hf ou E1 E2 hf
que é a equação de Bernoulli aplicada em duas seções quaisquer de um escoamento de fluido real.
Quando existem peças especiais e trechos com diâmetros diferentes, as linhas de carga e piezométrica vão se alterar ao longo do conduto. Para traça-las, basta conhecer as cargas de posição, pressão e velocidade nos trechos onde há singularidades na canalização. A instalação esquematizada na Figura abaixo ilustra esta situação.
Perfil de uma canalização que alimenta o reservatório R2, a partir do reservatório R1, com uma redução dediâmetro.
Do reservatório R1 para R2 existe uma perda de carga total “ht”, igual à diferença de nível entre os mesmos. Esta perda de carga é devida à:
h1 - perda localizada de carga na entrada da canalização;
hf1 - perda contínua de carga no conduto de diâmetro D1;
h2 - perda localizada de carga na redução do conduto, representada pela descontinuidade da linha de carga;
hf2 - perda contínua de carga no trecho de diâmetro D2; e
h3 - perda de carga na entrada do reservatório.
Para traçar esta linha de carga é necessário calcular as cargas logo após a entrada da canalização, imediatamente antes e após a redução de diâmetro e na entrada do reservatório.
Exercício 11) No esquema a seguir, a água flui do reservatório para o aspersor. O aspersor funciona com uma pressão de 3 kgf/cm2 e vazão de 5 m3/h. A tubulação tem 25 mm de diâmetro. Determine a perda de energia entre os pontos A e B. 
Dado: 1 kgf/cm2 = 10 mca
Exercício 12) Determine a diferença de altura entre 1 e 2.
Hf1-2 = 2 m.c.a; P1/γ = 10 m.c.a; P2/γ = 13 m.c.a.
Exercício 13) Qual a energia consumida para vencer as resistências ao escoamento em um trecho do conduto de 100 mm. A pressão no início é de 0,2 MPa e no final 0,15 MPa. A velocidade média de escoamento é de 1,5 m s-1.Tomando como referência a figura abaixo, considere uma diferença de nível na tubulação de 1 m.
1.5. Perda de carga
Todo fluido real possui viscosidade. As observações experimentais mostram que quando um fluido escoa, paralelamente a uma superfície, as moléculas do fluido em contato com a superfície aderem a esta. É como se a viscosidade tivesse o mesmo efeito de uma cola. A velocidade relativa do fluido na superfície da placa é zero. As moléculas do fluido aderidas à superfície exercem sobre as demais um efeito de frenagem que diminui, à medida que se aproxima do centro da tubulação. Desta forma, percebe-se que não há atrito da massa fluida com as paredes da tubulação, devido à existência de uma camada de velocidade igual a zero junto às paredes, denominada de camada limite. 
Portanto, no regime laminar, a perda de carga deve-se unicamente à resistência oferecida pela camada mais lenta àquela mais rápida que lhe é adjacente, ou seja, a energia hidráulica é transformada em trabalho na anulação da resistência oferecida pelo fluido em escoamento em função da sua viscosidade. A resistência é função das tensões tangenciais que promovem a transferência da quantidade de movimento.
No regime turbulento, além do fenômeno descrito acima, existe ainda perda de energia nos choques moleculares oriundos do movimento desordenado das partículas.
A perda de carga está diretamente relacionada com a turbulência que ocorre no conduto. Com esta ponderação, é possível imaginar que, em uma tubulação retilínea, a perda de carga seja menor se comparada com uma tubulação semelhante, mas com uma série de peças especiais, tais como curvas, cotovelos, etc. As peças especiais provocam perdas localizadas pela maior turbulência na região da peça, pois alteram o paralelismo das linhas de corrente.
Para efeito didático vamos separar as perdas localizadas da perda de carga ao longo de uma canalização retilínea, ou perda contínua de carga.
1.5.1. Cálculos dos condutos forçados: perda contínua de carga (hf)
Desde o século XVIII, os hidráulicos vêm estudando o comportamento dos fluidos em escoamento. Darcy, hidráulico suíço, e outros concluíram, naquela época, que a perda de carga ao longo das canalizações era:
- diretamente proporcional ao comprimento do conduto;
- proporcional a uma potência da velocidade;
- inversamente proporcional a uma potência do diâmetro;
- função da natureza das paredes, no caso de regime turbulento;
- independente da pressão sob a qual o líquido escoa; e
- independente da posição da tubulação e do sentido de escoamento.
Naquela época, surgiram numerosas fórmulas para o dimensionamento das canalizações. A maioria delas era específica para as condições de trabalho de uma dada região. Independente disso, todas as equações seguiam as pressuposições apresentadas anteriormente, fazendo com que genericamente pudessem ser representadas por:
sendo os valores de β, n e m próprios de cada equação.
1.5.1.1. Fórmulas práticas
a) Fórmula de Hazen-Williams
Essa fórmula talvez seja a mais utilizada nos países de influência americana. Ela originou-se de um trabalho experimental com grande número de tratamentos (vários diâmetros, vazões e materiais) e repetições. Ela deve ser utilizada para escoamento de água à temperatura ambiente, para tubulações com diâmetro maior ou igual a 2” ou 50 mm e para regime turbulento. Ela possui várias apresentações:
em que:
V - velocidade, m s-1;
D - diâmetro da canalização, m;
Q - vazão, m3 s-1;
hf – perda contínua de carga, m;
J - perda unitária de carga, m m-1; e
C - coeficiente que depende da natureza das paredes e estado de conservação de suas paredes internas (Tabela 1).
O J é a perda de carga unitária, ou seja, é a perda de carga que ocorre em um metro de canalização retilínea. A perda de carga ao longo de toda a extensão da canalização é dada por:
hf = J L → em que “L” é o comprimento total da canalização retilínea, m.
b) Fórmula de Flamant
A fórmula de Flamant deve ser aplicada também para água à temperatura ambiente, para instalações domiciliares e tubulações com diâmetro variando de 12,5 a 100 mm. Inicialmente foram desenvolvidas as equações para ferro fundido e aço galvanizado. Posteriormente, foi obtido o coeficiente para outros materiais.
em que “Ke” assume os seguintes valores:
c) Fórmula de Fair-Whipple-Hsiao: 
em que: hf - Perda de carga (m.c.a); Q - Vazão (m³ s-1); D – diâmetro interno da tubulação (m) e L – comprimento da tubulação (m)
d) Fórmula de Darcy-Weisbach ou Universal
Esta fórmula é de uso geral, tanto serve para escoamento em regime turbulento, quanto para laminar, e é também utilizada para toda a gama de diâmetros.
em que f é um coeficiente que depende do material e estado de conservação das paredes, e pode ser determinado no diagrama de Moody ou através de equações apropriadas. Sendo assim, qual será o valor de f a ser utilizado?
Existem três respostas para esta questão:
a) Na hipótese de regime laminar, ou seja, Re ≤ 2.000, o f é independente da rugosidade relativa (e/D) e é unicamente função do número de Reynolds:
b) No regime turbulento, ou seja, Re 4.000, o valor de f é dependente do número de Reynolds e da rugosidade relativa (e/D). No regime turbulento pleno, o número de Reynolds não tem influência, mas apenas a rugosidade relativa. A rugosidade relativa é a relação entre a rugosidade do material e seu diâmetro. A Tabela 2 fornece a rugosidade dos materiais mais comumente utilizados.
	NOTA: Quando o escoamento é turbulento, o f pode ser encontrado utilizando-se o Diagrama de Moody, plotando-se o Re e a rugosidade relativa (e/D) e buscando-se o f associado a estes valores.
c) Equações para o cálculo do fator de atrito (f).
IMPORTANTE: A equação acima só é válida para: 
5 x 103 ≤ Re ≤ 108 e 10-6 ≤ (e/D) ≤ 10-2
Ou
1.6. Diagrama de Moody
O diagrama de Moody é a representação gráfica em escala duplamente logarítmica do fator de atrito em função do número de Reynolds e a rugosidade relativa de uma tubulação.
O Diagrama de Moody mostra que o fator de atrito diminui com o Número de Reynolds. Em uma tubulação horizontal de diâmetro constante, isso significa que o fator de atrito diminui com o aumento da velocidade, tanto para escoamento laminar quanto para escoamento turbulento. No primeiro caso, entretanto, o fator de atrito independe da rugosidade do material; no segundo caso, o fator de atrito depende tanto da rugosidade quanto do Número de Reynolds. Para valores muito grandes da velocidade, a tendência é que o fator de atrito dependa quase que apenas da rugosidade.
O Diagrama de Moody também mostra que, na transição do escoamento laminar para o turbulento, o fator de atrito, que vinha diminuindo com a velocidade, aumenta bruscamente, voltando a diminuircom o aumento da velocidade a partir daí.
Como a perda de carga é proporcional também ao quadrado da velocidade média, o resultado é que ela aumenta com o aumento da velocidade.
Exercício 14) Com base no esquema abaixo, determine a perda de carga na tubulação de ferro fundido novo (rugosidade média igual a 0,3 mm), com 500 m de comprimento, diâmetro de 150 mm e que transporta uma vazão de 25,0 L s-1 (resolver pelas três equações).
hf = ?; C = ferro fundido novo = 130; L = 500 m; D = 150 mm = 0,15 m; 
Q = 25 l/s = 0,025 m3/s; Ke = ferro fundido novo = 0,001133; e = 0,3 mm
Fórmula de Hazen-Williams
Fórmula de Flamant
Fórmula de Darcy-Weisbach ou Universal
Necessitamos do f, que é em função do Re e de e/D, logo temos:
Com os valores de Re e de e/D encontramos no Diagrama de Moody f = 0,025
Ou pelo método do cálculo de f, através da fórmula:
A perda de carga com a fórmula Universal será:
Exercício 15) Determinar hf, sabendo que: Q = 221,76 m3/h; L = 100 m; D = 200 mm); Tubulação de Ferro Fundido (e = 0,25 mm); Água na Temperatura de 20ºC e = 10-6 m2/s.
Com os valores obtidos buscamos no Diagrama de Moody o valor de f:
	f = 0,021, logo temos:
Exercício 16) Determinar o diâmetro, sabendo que: Q = 42,12 m3/h; L = 100 m; Tubulação de PVC (C = 150); Perda de carga admissível = 2 mca
Exercício 17) Determinar a perda de carga por km de comprimento de uma tubulação de aço de seção circular de diâmetro de 45 cm. O fluido é o óleo com viscosidade cinemática igual a 1,06 x 10-5 m2/s e a vazão igual a 190 L/s.
Dados:	Se o escoamento for laminar o f = 64/Re
	 	Se o escoamento for turbulento o f = 0,021
	 	A aceleração da gravidade é igual a 10 m/s2
A perda de carga por km será de 3,3 m.c.a
Exercício 18) Calcular a vazão de água num conduto de ferro fundido, sendo dados D = 10 cm, = 0,7 x10-6 m2/s e sabendo-se que os dois manômetros instalados a uma distância de 10 m indicam respectivamente, 0,15 MPa e 0,145 MPa.
(γH20 = 104 N/m3)
O balanço de energia será:
H1 = H2 + hf 1-2
No trecho 1-2 só existe perda distribuída, logo:
Mas v1 = v2 e z1 = z2
Para o cálculo da vazão temos: Q = v.A
Nota-se que para determinar a velocidade é necessário determinar o valor de f, que, no entanto é função da velocidade através do número de Reynolds. Mas o produto , existe no diagrama de Moody-Rouse. Logo temos:
No diagrama de Moody-Rouse encontramos o K para o ferro fundido.
K = 2,59 x 10-4 m, logo temos: 
f = f(4,5 x 104; 385) encontramos f no diagrama de Moody-Rouse
Simplificação do diagrama de Moody-Rouse
Portanto o f = 0,027
Poderia ter-se optado pela obtenção de Re no diagrama em vez de f. 
Neste caso Re = 2,8 x105
O primeiro caso é mais exato pela escala utilizada em f. Calcula-se a vazão por:
Exercício 19) Dada a tubulação da figura, cuja seção (2) está aberta à atmosfera, calcular:
a) A perda de carga entre (1) e (2);
b) A vazão em volume.
Dados: γ = 9.000 N/m3; ν = 0,5 x 10-3 m2/s; L1,2 = 30m; D = 15 cm; p1 = 38 kPa.
Sabe-se que o escoamento é laminar
H1 = H2 + h1-2
Mas v1 = v2; z1 = z2 e p2 = pressão efetiva = 0
1.7. Cálculos de condutos forçados: perda localizada de carga (h ou ha)
A perda localizada de carga é aquela causada por acidentes colocados ou existentes ao longo da canalização, tais como as peças especiais. Em tubulações com longo comprimento e poucas peças a turbulência causada por essas passa a ser desprezível. Porém em condutos com muitas peças e menor comprimento, este tipo de perda tem uma importância muito grande, como no caso de instalações prediais. Podem-se desconsiderar as perdas localizadas quando a velocidade da água é pequena (v < 1,0 m s-1), quando o comprimento é maior que 4.000 vezes o diâmetro e quando existem poucas peças no conduto.
No projeto, as perdas localizadas devem ser somadas à contínua.
Considerar ou não as perdas localizadas é uma atitude que o projetista irá tomar, em face das condições locais e da experiência do mesmo.
a) Expressão de Borda-Belanger
A expressão que calcula as perdas partiu do teorema de Borda-Berlanger e é apresentada como:
em que:
h - perda de carga causada por uma peça especial, m;
K - coeficiente que depende de cada peça e diâmetro, obtido experimentalmente.
O valor de K depende do regime de escoamento. Para escoamento plenamente turbulento, Re > 50.000, o valor de K para as peças especiais é praticamente constante, e são os valores encontrados nas tabelas e ábacos.
b) Método dos comprimentos virtuais
Ao se comparar à perda de carga que ocorre em uma peça especial, pode-se imaginar que esta perda também seria oriunda de um atrito ao longo de uma canalização retilínea. Pergunta-se: Que comprimento de uma canalização provocaria a mesma perda? Para saber, basta igualar a equação de perda localizada de carga, com a perda contínua de carga. Portanto:
Este método, portanto consiste em adicionar ao trecho retilíneo real da canalização, um trecho retilíneo fictício, gerando um comprimento virtual maior que o real. Este comprimento virtual é o que deve ser usado na fórmula de perda contínua de carga total. O valor de carga por este procedimento já inclui as perdas localizadas.
c) Método dos diâmetros equivalentes
Este método é uma particularidade do método anterior. Observando-se o anterior, nota-se que o comprimento vai depender do diâmetro e de uma relação K/f. Esta razão depende do número de Reynolds, K e f dependem dele. Porém, em regimes plenamente turbulentos, K e f passam a ficarem constantes com o número de Reynolds. Portanto a relação K/f fica dependente apenas da rugosidade de cada material. Em termos práticos, e como as perdas localizadas são pequenas em relação às contínuas, pode-se considerar que K e f são constantes. Por conseguinte, o comprimento fictício a ser adicionado ao comprimento real poderá ser expresso em um número de diâmetro:
Em que n expressa o comprimento fictício de cada peça em números de diâmetros (Tabela 5).
Nos problemas de condutos forçados, são quatro os elementos hidráulicos: Q, V, J ou hf, e D.
Na solução dos problemas, têm-se disponíveis duas equações:
- equação da continuidade: Q = A V
- equação genérica de perda de carga:
Isto significa que para um sistema ser determinado é necessário conhecer 2 dos 4 elementos hidráulicos.
A existência de peças especiais, além do material constituinte da tubulação, deverá ser de conhecimento prévio do projetista. Nos problemas práticos, a vazão Q é quase sempre um elemento conhecido. Se for água que vai ser conduzida, deve-se saber, a priori, a sua utilidade e seu valor.
Normalmente o diâmetro é um elemento incógnito e seu valor deve ser minimizado, pois reflete diretamente nos custos da canalização. Por outro lado, se o escoamento não é por gravidade, um menor diâmetro provocará uma maior perda de carga que implicará em um maior consumo de energia. Valores práticos de velocidade existem e podem orientar o projetista na definição do melhor diâmetro.
A literatura cita limites e valores recomendados de velocidade média para as mais diferentes situações:
- água com material em suspensão..........................................v > 0,60 m/s
- para instalações de recalque.......................................0,55 < v < 2,40 m/s
Exercício 19) Calcular a perda de carga total (continua + localizada) em um trecho de uma canalização de alumínio, que conduz 20,0 L s-1 numa extensão de 800 m.
O diâmetro da canalização é de 150 mm e ao longo do trecho têm-se as seguintes peças especiais, com suas respectivas quantidades:
Para perda contínua utiliza-se a Fórmula de Hazen-Williams, pois ela é utilizada para escoamento de água à temperatura ambiente, para tubulações com diâmetro maior ou igual a 2” ou 50 mm e para regime turbulento. Ela possui valores “C” para alumínio (140 a 145). Utilizaremos 140. 
Perda de carga localizada pela Expressão de Borda-Belanger
4 Curvas 90º → K = 0,40
3 Curvas 45º → K = 0,20
2 Registros de Gaveta → K = 0,20
2 Válvulasde Retenção → K = 2,50
Perda de carga localizada pelo Método dos Comprimentos Virtuais
4 Curvas 90º → Lfictício = 1,9
3 Curvas 45º → Lfictício = 1,1
2 Registros de Gaveta → Lfictício = 1,1
2 Válvulas de Retenção → Lfictício = 13,0
Perda de carga localizada pelo Método dos diâmetros equivalentes
4 Curvas 90º → n = 30 → Lfictício = n.D = 30 x 0,150 = 4,5
3 Curvas 45º → n = 30 → Lfictício = n.D = 15 x 0,150 = 2,25
2 Registros de Gaveta → n = 30 → Lfictício = n.D = 8 x 0,150 = 1,2
2 Válvulas de Retenção → n = 30 → Lfictício = n.D = 100 x 0,150 = 15
Exercício 20) Calcule a perda localizada de carga provocada pelo registro parcialmente fechado, no esquema a seguir (h1 = 1,20 m; h2 = 1,05 m; h3 = 0,35 m; L1 = 1,0 m; L2 = 1,9 m; L3 = 1,3 m).
A perda de carga contínua no trecho 1-2 pode ser calculada por:
Mas v1 = v2 e z1 = z2, sendo assim temos:
A distância de 1→2 é igual a L1 = 1,0 m. Portanto na tubulação temos uma perda de carga contínua de 0,15 m.c.a por m de comprimento.
Dado L2 + L3 = 1,9 m + 1,3 m = 3,2 m. Podemos concluir que a perda de carga contínua no trecho 2→3 será de:
	hf		L
	0,15m		1m
	X		3,2m
Portanto hf2→3 = 0,48m (regra de 3)
Mas v1 = v2 e z1 = z2, sendo assim temos:
1.7.1. Condutos Equivalentes
Conceito: Um conduto é equivalente a outro ou a outros quando escoa a mesma vazão sob a mesma perda de carga total.
Pode-se ter uma gama de condutos equivalentes, porém serão apresentados os condutos equivalentes em série e em paralelo.
1.7.1.1. Condutos em série ou misto
São os condutos constituídos por trechos de tubulação, com mais de um diâmetro diferente, conforme ilustra a figura abaixo.
Desconsiderando as perdas secundárias ou localizadas:
hf = hf1 + hf2 + hf3 ...
em que :
hf = a perda de carga total no conduto;
hf1 = a perda contínua de carga no trecho de diâmetro D1 e comprimento L1 ;
hf2 = idem para diâmetro D2 e comprimento L2; e
hf3 = idem para diâmetro D3 e comprimento L3 .
Usando a fórmula genérica de perda de carga tem-se:
Para uma condição de mesma rugosidade,
E como a vazão deve ser a mesma, condição de ser equivalente, a equação simplifica-se:
que é a expressão que traduz a regra de Dupuit.
Normalmente, no dimensionamento de condutos, são encontrados diâmetros não comerciais (veja exercício anterior). Como, por exemplo, cita-se um caso: D = 133 mm. Se for escolhido o diâmetro comercial 125 mm, este não irá fornecer a vazão desejada ou a perda ultrapassará o limite de projeto. Se for escolhido 150 mm, que é o imediatamente superior, a vazão será maior que a de projeto ou a perda de carga será menor que a projetada. Nesse caso, o problema pode ser resolvido com a colocação de um registro para aumentar a perda de carga total e consequentemente reduzir a vazão até o projetado. Porém, esta saída não é a mais econômica, pois o custo das tubulações cresce exponencialmente com o diâmetro. Então, a melhor solução técnica e econômica é fazer uma associação em série, ou seja, colocar um trecho do conduto com o diâmetro comercial imediatamente superior, e um trecho com o diâmetro comercial imediatamente inferior, de tal forma que este conduto misto seja equivalente ao projetado. Porém, quais os comprimentos de cada diâmetro?
Suponha que o comprimento total seja L e os comprimentos de cada trecho seja L1 e L2 , de tal forma que:
L = L1 + L2 e que hf = hf1 + hf2
Como genericamente hf = J L, tem-se:
J L = J1 L1 + J2 L2
Fazendo:
Rearranjando
em que:
L2 = comprimento do trecho de diâmetro D2;
J = perda de carga unitária no conduto de diâmetro não comercial;
J1 = perda de carga unitária no conduto de diâmetro comercial D1;
J2 = perda de cara unitária no conduto de diâmetro comercial D2; e
L = o comprimento total da canalização.
Exercícios 21) Calcule a diferença de nível H, sabendo que a vazão escoada é de 5,0 L s-1, a tubulação é de ferro fundido (C = 130), os diâmetros D1 e D2 são, respectivamente, 75 e 50 mm, e os comprimentos L1 e L2 são, respectivamente, 30 m e 40 m. Considere comprimentos fictícios de 1,1 m (entrada de canalização); 0,4 m (redução) e 1,5 m (saída de canalização);
A altura H é igual a soma de todas as formas de perda de carga.
Portanto:
Exercício 22) Com base no esquema da Figura abaixo, considere todos os trechos da tubulação de mesmo material. Desprezando as perdas localizadas nas mudanças de diâmetro, pede-se:
a) comprimento equivalente de uma rede de diâmetro único de 40 cm;
b) o diâmetro equivalente para uma canalização de 3600 m de comprimento.
L = L1 + L2 + L3			hf = hf1 + hf2 + hf3		hf = J x L
J x L = J1 x L1 + J2 x L2 + J3 x L3
Como não foi fornecida a vazão e o tipo de material do tubo, adota-se:
Portanto, têm-se:
a) comprimento equivalente de uma rede de diâmetro único de 40 cm;
b) o diâmetro equivalente para uma canalização de 3600 m de comprimento.
1.7.2. Condutos em paralelos ou múltiplos
São os condutos que têm as extremidades comuns, ou seja, a pressão no início de todos é a mesma. Também a pressão no final é comum a todos os condutos.
Observa-se pela figura abaixo que no ponto A, a vazão total Q se bifurca nas vazões Q1,Q2 e Q3. Na extremidade final, ponto B, estas vazões voltam a se somar, voltando-se novamente à vazão Q, portanto:
Q = Q1 + Q2 + Q3
Pela equação genérica de perda de carga tem-se que:
Esquema de três condutos em paralelo.
Partindo-se desta equação:
Considerando a mesma rugosidade para todos os condutos e como hf deve ser igual em todos, condição de ser equivalente, tem-se:
Se todos os comprimentos forem iguais, a equação acima simplifica-se:
Generalizando:
Sendo K o número de condutos em paralelo.
A aplicação prática deste tipo de conduto está na expansão de uma área ou de um projeto hidráulico, Por exemplo. Se houver expansão, basta projetar o conduto para atender ao projeto global que deverá ficar em paralelo.
Exercício 23): A perda de carga entre os pontos A e D no sistema da figura abaixo é de 50 mca. Sabendo que a vazão no trecho AB é de 25 L s-1, e adotando-se a fórmula de Hazen-Williams, com C = 120 para todos os trechos, calcular: a) as vazões nos trechos 2 e 3; b) o(s) diâmetro(s) comercial(is) e o(s) comprimento(s) correspondente(s) da tubulação 3, sabendo que os diâmetros disponíveis no mercado são 75, 100, 150, 200 mm. (desprezar as perdas localizadas).
Respostas:
a) Q2 = 0,020 m3 s-1 e Q3 = 0,005 m3 s-1
b) D3 = 0,110 m (não comercial) _ L1 = 1.011 m (150 mm) e L2 = 1.369 m (100 mm)
EXERCÍCIOS ADICIONAIS
1) Determinar hf, sabendo que: Q = 221,76 m3/h; L = 100 m; D = 200 mm); Tubulação de Ferro Fundido (ε = 0,25 mm); Água na Temperatura de 20ºC ; = 10-6 m2/s
Diagrama de Moody (NR = 3,92.105; ε/D = 0,00125): f = 0,021
2) Determinar o diâmetro, sabendo que: Q = 42,12 m3/h; L = 100 m; Tubulação de PVC (C = 150); Perda de carga admissível = 2 mca.
3) Uma estação de bombeamento eleva 144 m3/h de água para um reservatório de acumulação através de uma tubulação de Ferro Fundido (C = 130) com 2000 m de comprimento e 200 mm de diâmetro. Determine a perda de carga total (Contínua + localizada). Utilize ambos os métodos de determinação da perda de carga localizada.
4) Determinar a vazão que circula do reservatório A para o reservatório B.
Dados: 
D = 100 mm; L = 1000 m; Tubulação de PVC (C = 150).
5) A água flui do reservatório A para o ponto B, onde se encontra em funcionamento um aspersor com 1,5 kgf/cm2 de pressão e vazão de 1500 L/h. Tendo uma tubulação de PVC (b = 0,000135) com diâmetro de 25 mm e comprimento de 50 m, determine qual deve ser a altura do reservatório para abastecer o aspersor.
6) Determinar a perda de carga numa tubulação de 150 mm de diâmetro e 30 metros de comprimento na qual escoa glicerina com uma velocidade media igual a 4,0 m/s. A glicerina esta a uma temperatura de 25oC e com o qual a massa especifica é igual a 1258 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 9,6x10-1 Pa.s Determine (a) Perda de carga da tubulação.7) Dois reservatórios são conectados por 100 m de tubulação retilínea com diâmetro de 50 mm e rugosidade relativa igual a 0,002. Ambos reservatórios estão abertos á atmosfera. 
Determine a perda de carga na tubulação para uma vazão de 15 m3/h. 
A massa especifica do fluido é igual a 780 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 1,7x10-3 Pa.s.
Se o escoamento for laminar utilizar f = 64/Re; se for turbulento utilizar f = 0,0268
8) Determinar a diferença de pressão (em kPa) ao longo de uma tubulação de aço de 150mm de diâmetro e comprimento igual a 10 m e rugosidade relativa igual a 0,002 no qual escoa água a 20oC com uma vazão de 0,1 m3/s. Qual será a perda de carga na tubulação em metros de coluna de água. 
Obs. considere para água a 200 ºC a densidade igual a 0,999 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 kg/m.s.
A variação de pressão a tubulação é dada pela Eq. de energia.
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