Numérico PRec 2000

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C�al
ulo Num�eri
o
Prova REC { 09/02/2000 { www.ime.usp.br/~roma.
Obs: Se ne
essitar resolver sistemas lineares utilize o M�etodo de elimina�
~ao de Gauss (
om
toda pre
is~ao - trabalhe 
om fra�
~oes).
Quest~ao 1 (2.5 pontos):
A 
on
entra�
~ao de poluentes na regi~ao do plano f(x; y) : jxj < 3; jyj < 3g �e dada pela fun�
~ao:
f(x; y) = x
3
y
3
+ x
3
y
2
+ 5x
2
y + 4xy
2
+ 4y
3
:
Determine os pontos de 
oordenada y = 1 tal que (x; y) �e um ponto da 
urva de n��vel
f(x; y) = 3, atrav�es do M�etodo de Newton (fa�
a 3 itera�
~oes). Justi�que a es
olha de valores
ini
iais de maneira a garantir a 
onverge^n
ia.
Solu�
~ao:
Temos que determinar os pontos (x; 1) 2 (�3; 3)� (�3; 3) tal que f(x; 1) = 3. Logo,
f(x; 1) = 2x
3
+ 5x
2
+ 4x+ 4 = 3 =) 2x
3
+ 5x
2
+ 4x+ 1 = 0:
Seja g(x) = 2x
3
+ 5x
2
+ 4x + 1. Nosso problema se reduz a en
ontrar os pontos x 2 (�3; 3)
tal que g(x) = 0. Vamos estudar o 
omportamento da fun�
~ao g.
g(x) = 2x
3
+ 5x
2
+ 4x+ 1
=) g
0
(x) = 6x
2
+ 10x+ 4 = 6
��
x+
5
6
�
2
�
1
36
�
=) g
0
(x) = 0() x = �1 ou x =
2
3
(m�aximo e m��nimo lo
al respe
tivamente)
=) g
00
(x) = 12x+ 10
=) g
00
(x) = 0() x = �
5
6
(ponto de in
ex~ao)
MAP-2121. Prova REC { 09/02/2000
htt
p:/
/w
ww
.im
e.u
sp
.br
/~r
om
a
2
PSfrag repla
ements
�1 �
5
6
�
2
3
Figura 1: Gr�a�
o da fun�
~ao g
0
.
Avaliando nos pontos x = �1;�
2
3
e 0, temos a seguinte gr�a�
a para g.
PSfrag repla
ements
�1
�
5
6
�
2
3
�
1
2
Figura 2: Gr�a�
o da fun�
~ao g.
Utilizando o M�etodo de Newton, temos
x
n+1
= x
n
�
g(x
n
)
g
0
(x
n
)
= x
n
�
2x
3
n
+ 5x
2
n
+ 4x
n
+ 1
6x
2
n
+ 10x
n
+ 4
; n = 0; 1; 2; � � �
Sabemos que para que a seque^n
ia obtida apli
ando-se o M�etodo de Newton a g 
onverga
para a �uni
a raiz �x de g em I = [a; b℄ (sobre a hip�otese que g �e duas vezes 
ontinuamente
diferen
i�avel em I), deve-se 
umplir que
MAP-2121. Prova REC { 09/02/2000
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p:/
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e.u
sp
.br
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om
a
3
a) g(a):g(b) < 0.
b) g
0
(x) 6= 0; 8x 2 I.
) g
00
(x) n~ao tro
a de sinal em I.
Em nosso 
aso, �e obvio que g �e duas vezes 
ontinuamente diferen
i�avel em R.
Para 
al
ular a raiz �x = �1, temos um problema, pois para qualquer intervalo I = [a; b℄ que
ontenha somente dita raiz, temos que g(a):g(b) > 0. Mas, 
omo sabemos que �x = �1 �e uma
raiz dupla para g, podemos apli
ar o M�etodo de Newton para g
0
, para o qual es
olhemos
I = [�1:1;�0:9℄. Com estes dados, temos que
a) g
0
(�1:1):g
0
(�0:9) < 0.
b) g
00
(x) = 12x+ 10 6= 0; 8x 2 [�1:1;�0:9℄.
) g
000
(x) = 12 n~ao tro
a de sinal em [�1:1;�0:9℄.
Para a es
olha do valor ini
ial x
0
, observamos que �(�1:1) = �1:01875 2 I; 
om �(x) =
x�
g
0
(x)
g
00
(x)
. Logo, es
olhemos x
0
= �1:1. Montando uma tabela 
om as 3 primeiras itera�
~oes,
temos
n x
n
�(x
n
)
0 -1.10000 -1.01875
1 -1.01875 -1.00095
2 -1.00095 -1.00001
3 -1.00001 -1.00000
Para 
al
ular a raiz �x = �0:5 de g, 
onsideramos o intervalo I = [�0:6; 0℄. Nesse intervalo,
se 
umplem as 
ondi�
~oes que garanti a 
onverge^n
ia da seque^n
ia gerada ao apli
ar-se a
g o M�etodo de Newton. Para a es
olha do valor ini
ial x
0
, observamos que �(�0:6) =
�0:400000 2 I; 
om �(x) = x �
g(x)
g
0
(x)
. Logo, es
olhemos x
0
= �0:6. Montando uma tabela
om as 3 primeiras itera�
~oes, temos
n x
n
�(x
n
)
0 -0.600000 -0.400000
1 -0.400000 -0.475000
2 -0.475000 -0.497834
3 -0.497834 -0.499985
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p:/
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e.u
sp
.br
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om
a
4
Quest~ao 2 (2.5 pontos):
Seja q(x) o polino^mio de grau � 2 que interpola a fun�
~ao 
os(x) nos pontos ��; 0; �. De�-
nimos � =
R
�
��
(q(x)� 
os(x))
2
dx.
a) Determine p(x), polino^mio de grau � 2, tal que � =
R
�
��
(p(x)�
os(x))
2
dx seja m��nimo.
b)
�
E verdade que � < �? Justi�que.
Solu�
~ao:
a) Seja f(x) = 
os(x). Considerando os pontos ��; 0; �, 
onstru��mos a seguinte tabela:
i x
i
f
i
= f(x
i
)
0 �� �1
1 0 1
2 � �1
2
�
�2
�
�2
�
2
Seja q o polino^mio interpolador de f nos pontos ��; 0; �. Ent~ao,
q(x) = �1 +
2
�
(x+ �)�
2
�
2
(x + �)x
De�nimos
� =
Z
�
��
(q(x)� 
os(x))
2
dx:
Sabemos que f1; x; x
2
�
�
2
3
g �e uma base ortogonal de P
2
, o espa�
o dos polino^mios de
grau menor ou igual a 2, 
om respeito ao produto interno
hf; gi =
Z
�
��
f(x)g(x)dx:
Seja
p(x) = 
0
+ p
0
(x) + 
1
+ p
1
(x) + 
2
+ p
2
(x);
om
p
0
(x) = 1; p
1
(x) = x; p
2
(x) = x
2
�
�
2
3
:
Cal
ulando os 
oe�
ientes 
0
; 
1
; 
2
, pelo M�etodo dos M��nimo
 Quadrados, temos
0
�
hp
0
; p
0
i hp
0
; p
1
i hp
0
; p
2
i
hp
1
; p
0
i hp
1
; p
1
i hp
1
; p
2
i
hp
2
; p
0
i hp
2
; p
1
i hp
2
; p
2
i
1
A
0
�
0
1
2
1
A
=
0
�
hp
0
; fi
hp
1
; fi
hp
2
; fi
1
A
Ent~ao temos o sistema
MAP-2121. Prova REC { 09/02/2000
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p:/
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.im
e.u
sp
.br
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om
a
5
0
�
2� 0 0
0
2
3
�
3
0
0 0
8
45
�
5
1
A
0
�
0
1
2
1
A
=
0
�
0
0
�4�
1
A
uja solu�
~ao �e
0
= 0; 
1
= 0; 
2
= �
45
2�
4
e portanto, temos
p(x) = �
45
2�
4
(x
2
�
�
2
3
):
De�nimos
� =
Z
�
��
(p(x)� 
os(x))
2
dx:
b) De a), observamos que q 6= p. A�rmamos que � < �, pois o problema de aproxima�
~ao,
usando o M�etodo dos M��nimos Quadrados, tem solu�
~ao �uni
a.
-1.750
-1.150
-0.550
0.050
0.650
1.250
PSfrag repla
ements
f
p
q
�� �
�
2
0
�
2
�
Figura 3: Gr�a�
o das fun�
~ao f; p e q.
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e.u
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om
a
6
Quest~ao 3 (2.5 pontos):
A f�ormula de integra�
~ao num�eri
a
R
2
�2
f(x)dx = A
0
f(�1) + A
1
f(0) + A
2
f(1) �e exata para
todo polino^mio de grau menor ou igual a 2. Determine A
0
; A
1
e A
2
.
Solu�
~ao:
Seja P
2
o espa�
o dos polino^mios de grau menor ou igual a 2. Uma base de P
2
�e fp
0
; p
1
; p
2
g,
onde p
k
= x
k
; k = 0; 1; 2. Temos que determinar 
oe�
ientes A
0
; A
1
e A
2
tal que
Z
2
�2
f(x)dx = A
0
f(�1) + A
1
f(0) + A
2
f(1); 8f 2 P
2
: (1)
Em parti
ular, os elementos p
k
da base deven satisfazer (1), isto �e,
Z
2
�2
p
k
(x)dx = A
0
p
k
(�1) + A
1
p
k
(0) + A
2
p
k
(1); k = 0; 1; 2: (2)
De (2), temos
8
<
:
A
0
+ A
1
+ A
2
= 1;
�A
0
+ A
2
= 0;
A
0
+ A
2
=
16
3
:
Resolvendo o sistema anterior, temos que
A
0
=
8
3
; A
1
= �
4
3
; A
2
=
8
3
:
No 
aso geral,onsideremos f 2 P
2
, ent~ao
f(x) =
2
X
k=0
k
p
k
(x); 
k
2 R; k = 0; 1; 2:
Logo, temos
Z
2
�2
f(x)dx =
Z
2
�2
�
2
X
k=0
k
p
k
(x)
�
dx
=
2
X
k=0
k
Z
2
�2
p
k
(x)dx
= 
0
(A
0
+ A
1
+ A
2
) + 
1
(�A
0
+ A
2
) + 
2
(A
0
+ A
2
)
= A
0
(
0
� 
1
+ 
2
)
| {z }
f(�1)
+A
1
(
0
)
|{z}
f(0)
+A
2
(
0
+ 
1
+ 
2
)
| {z }
f(1)
= A
0
f(�1) + A
1
f(0) + A
2
f(1):
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om
a
7
Quest~ao 4 (2.5 pontos):
a) Dados x
0
< x
1
< � � � < x
n
; (n > 1), uma fun�
~ao f de�nida nestes pontos e os
polino^mios p
0
e p
1
(ambos de grau menor ou igual a n�1) que interpolam f nos pontos
fx
0
; x
1
; � � � ; x
n�1
g e fx
1
; x
2
; � � � ; x
n
g respe
tivamente, veri�que que o polino^mio
p(x) =
(x
n
� x)p
0
(x) + (x� x
0
)p
1
(x)
x
n
� x
0
i) tem grau menor ou igual a n.
ii) �e tal que p(x
i
) = f(x
1
); i = 0; 1; � � � ; n).
b) Dado que f(�1) = 2; f(0) = 0; f(1) = 1; f(3) = �1 e que p
1
(x) =
�2x
2
+5x
3
�e o polino^mio
interpolador de f nos pontos f0; 1; 3g:
i) Determine pelo M�etodo de Newton (diferen�
as) o polino^mio de grau menor ou
igual a 2 que interpola f nos pontos f�1; 0; 1g.
ii) Use o��tem a) para determinar o polino^mio de grau menor ou igual a 3 que interpola
f em f�1; 0; 1; 3g.
Solu�
~ao:
a) i) Temos que
p(x) =
x
n
� x
x
n
� x
0
p
0
(x) +
x� x
0
x
n
� x
0
p
1
(x)
= a(x)p
0
(x) + b(x)p
1
(x);
om
a(x) =
x
n
� x
x
n
� x
0
; b(x) =
x� x
0
x
n
� x
0
:
Observamos que a e b s~ao polino^mios de grau 1, e sabemos que p
0
e p
1
s~ao po-
lino^mios de grau n� 1. Logo, a:p
0
e b:p
1
s~ao polino^mios de grau n, e portanto, p
�e um polino^mio de grau n.
ii) Para x = x
0
, temos
p(x
0
) =
x
n
� x
0
x
n
� x
0
p
0
(x
0
) +
x
0
� x
0
x
n
� x
0
p
1
(x
0
) = p
0
(x
0
) = f(x
0
);
pois p
0
interpola f em x
i
; i = 0; � � � ; n� 1.
Para x = x
i
; i = 1; � � � ; n� 1, temos
p(x
i
) =
x
n
� x
i
x
n
� x
0
p
0
(x
i
) +
x
i
� x
0
x
n
� x
0
p
1
(x
i
) =
�
x
n
� x
i
x
n
� x
0
+
x
i
� x
0
x
n
� x
0
�
f(x
i
) = f(x
i
);
MAP-2121. Prova REC { 09/02/2000
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p:/
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.br
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om
a
8
pois p
0
e p
1
interpolam f em x
i
; i = 1; � � � ; n� 1.
Para x = x
n
, temos
p(x
n
) =
x
n
� x
n
x
n
� x
0
p
0
(x
n
) +
x
n
� x
0
x
n
� x
0
p
1
(x
n
) = p
1
(x
n
) = f(x
n
);
pois p
1
interpola f em x
i
; i = 1; � � � ; n.
b) i) Vamos a
har p
0
, polino^mio interpolador de f nos pontos f�1; 0; 1g, na forma de
Newton. Fazemos primeiro a tabela de diferen�
as divididas.
i x
i
f
i
0 �1 2
1 0 1
2 1 0
�2
1
3
2
om o qual, temos que
p
0
(x) = 2� 2(x + 1) +
3
2
(x + 1)x =
3x
2
� x
2
:
ii) Vamos a a
har p, o polino^mio interpolador de f , nos pontos f�1; 0; 1; 3g. Do ��tem
a), temos que
p(x) =
(3� x)p
0
(x) + (x + 1)p
1
(x)
3� (�1)
=
�13x
3
+ 36x
2
+ x
24
:
outros materiais? www.ime.usp.br/~roma
Frequentemente, existem v�arias formas de se resolver um mesmo exer
��
io. As sugest~oes apresentadas
aqui foram elaboradas por Olga Harumi Saito e Nelson Leonardo Vidaurre Navarrete, alunos de p�os-
gradua�
~ao ins
ritos no PAE, IME-USP, objetivando a 
lareza da exposi�
~ao. Este gabarito pode ser obtido
gratuitamente via Internet seguindo os links apropriados a partir de www.ime.usp.br/~roma. Junho/2000.