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Sumário Aula 1: Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.) 13 1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2 O que é uma E.D.O.? . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Classificação das Equações Diferenciais . . . . . . . 15 1.4 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Definições e terminologia . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.6 Equações Diferenciais Ordinárias e o Teorema Fun- damental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.7 Exemplo de um estudo qualitativo de uma E.D.O. . . 25 1.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 30 1.9 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 30 Aula 2: Teorema de Existência e Unicidade 31 2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Problema de valor inicial ou problema de Cauchy . . 32 2.3 Teorema de existência e unicidade . . . . . . . . . . 34 2.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 42 2.5 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 42 Aula 3: Equações de primeira ordem: Equações separáveis e Equações exatas 43 3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2 Equações separáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3 Equações exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4 Obtendo solução de uma equação de primeira ordem não exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 61 3.6 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 61 Aula 4: Equações de primeira ordem: Equações lineares Equações homogêneas, Equações de Bernoulli, Riccati e Clairaut 63 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.2 Equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.3 Equações Homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.4 Equação de Bernoulli, Equação de Riccati e Equação de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 77 4.6 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 78 Aula 5: Modelos matemáticos de E.D.O. de primeira ordem 79 5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.2 Dinâmica populacional . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.3 Datação da idade de um fóssil . . . . . . . . . . . . 82 5.4 Esfriamento e aquecimento de um corpo . . . . . . . 84 5.5 Circuitos elétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.6 Diluição de soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.7 Trajetórias ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 92 5.9 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 92 Aula 6: E.D.O. lineares de ordem superior 93 6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.2 Equações diferenciais ordinárias lineares de ordem superior - Fundamentos teóricos. . . . . . . . . . . . 94 6.2.1 Dependência e independência linear de funções 95 6.2.2 Soluções de equações diferencias ordinárias lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.3 Redução de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 109 6.5 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 109 Aula 7: E.D.O. lineares com coeficientes constantes 111 7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7.2 Resolvendo equações lineares homogêneas com coe- ficientes constantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7.2.1 Equações de ordem superior . . . . . . . . . 117 7.3 Resolvendo uma E.D.O. linear não homogênea com coeficientes constantes. . . . . . . . . . . . . . . . . 119 7.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 127 7.5 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 128 Aula 8: Variação de parâmetros 129 8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 8.2 Resolvendo equações lineares não homogêneas. . . 130 8.2.1 Equações de ordem superior . . . . . . . . . 135 8.3 Modelagem matemática em E.D.O. lineares de or- dem superior com coeficientes constantes . . . . . . 138 8.3.1 O oscilador harmônico . . . . . . . . . . . . 138 8.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 148 8.5 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 149 Aula 9: E.D.O. lineares com coeficientes variáveis: Equação de Cauchy-Euler 151 9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 9.2 Equação de Cauchy-Euler . . . . . . . . . . . . . . 152 9.2.1 Equação de Cauchy-Euler de segunda ordem 152 9.2.2 Equação de Cauchy-Euler de ordem superior 157 9.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 159 9.4 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 160 Aula 10: Equações diferenciais lineares com coeficientes variáveis: Soluções por séries de potências 161 10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 10.2 Séries de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 10.3 Soluções em série em torno de um ponto ordinário . 166 10.4 Soluções em série em torno de pontos singulares- Método de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 10.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 181 10.6 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 182 Aula 11: A Transformada de Laplace: Fundamentos teóricos 183 11.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 184 11.2 A transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . 184 11.3 A transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . 191 11.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 196 11.5 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 196 Aula 12: Equações diferenciais e a Transformada de Laplace 197 12.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 12.2 A transformada de uma derivada . . . . . . . . . . . 198 12.3 Resolvendo equações diferenciais utilizando a trans- formada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 12.4 O teorema da convolução e a transformada de funções periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 12.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 206 12.6 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 206 Aula 13: Sistema de E.D.O. lineares de primeira ordem 209 13.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 13.2 Sistema de equações lineares de primeira ordem: Fun- damentos teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 13.3 Sistemas de equações lineares de primeira ordem homogêneo com coeficientes constantes. . . . . . . 216 13.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 228 13.5 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 228 Aula 14: Resolução de sistema de E.D.O. lineares de primeira ordem não homogêneo 229 14.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 14.2 Resolvendo um sistema de equações lineares de primeira ordem não homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . 230 14.2.1 Variação de parâmetros . . . . . . . . . . . . 230 14.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 237 14.4 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 237 Aula 15: Aplicações 239 15.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 15.2 Problemas envolvendo sistemas de equações lineares 240 15.2.1 Molas acopladas . . . . . . . . . . . . . . . 240 15.2.2 Sistemas elétricos: Malhas paralelas . . . . . 242 15.3 Problemas envolvendo sistemas de equações não li- neares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 15.3.1 Movimentos de corpos celestes . . . . . . . 243 15.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 246 15.5 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 246 AULA 1Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.) META: Introduzir as definições preliminares referentes ao conteúdo Equações Diferenciais Ordinárias e dar motivações para o estudo dessas equações. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Reconhecer e classificar uma Equação Diferencial Ordinária; Compreender a importância prática de tais equações; Identificar uma solução de uma Equação Diferencial Ordinária; Entender o que é um estudo qualitativo de uma Equação Diferen- cial Ordinária. PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de derivada e integrais de funções de valores reais com domínio em R, da disciplina Cálculo I. Derivação im- plícita. Conhecimentos básicos sobre vetores e de gráficos de funções de uma variável. Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.) 1.1 Introdução Caro aluno, seja bem-vindo a nossa primeira aula de Equações Diferenciais Ordinárias! Espero que juntos aprendamos um pouco sobre o universo dessas tão importantes equações. Na aula de hoje conheceremos o que é uma Equação Diferencial Ordinária (abre- viaremos esse nome por E.D.O. de agora por diante), como estão divididas tais equações, algumas motivações práticas para seu es- tudo, o que é uma solução de uma E.D.O. e, por fim, conheceremos um pouco sobre a teoria qualitativa para E.D.O., atingindo assim o objetivo final para essa aula.A história das Equações Diferenciais é tão antiga quanto a do cálculo diferencial, a qual data do século XVII. Desde o momento que os inven- tores do cálculo, Newton e Leibniz, tiveram o entendimento necessário sobre a derivada de uma função, esta começou a aparecer em equações e logo descobriu-se que as soluções para tais equações não eram tão simples assim. Algumas dessas soluções podiam ser obtidas por meio da antiderivada, mas a maioria das equações não podiam ser resolvidas por esse processo. 1.2 O que é uma E.D.O.? Bem resumidamente, uma Equação Diferencial é uma equação que envolve derivadas. Melhor dizendo Definição 1.1. Chamamos por Equação Diferencial (E.D.) uma equação que contém derivadas de uma ou mais variáveis depen- dentes em relação a uma ou mais variáveis independentes. Exemplo 1.1. 1. dx dt + 3x = senx; (x é a variável dependente pois x é vista como função de t e t a variável independente) 2. 3 dy dt + x dx dt = y + x 3. x dx dt + dx ds = 5 Definição 1.2. Chamamos por Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.) uma equação que contém derivadas de uma ou mais variáveis de- pendentes em relação a apenas uma variável independente. 14 Equações Diferenciais Ordinárias AULA 1 Nos exemplos acima, os de número 1 e 2 apenas são E.D.O's. O exemplo 3 é conhecido como Equação Diferencial Parcial (E.D.P.), pois possue derivadas em relação a mais de uma variável indepen- dente. O que é uma E.D.P.? Uma E.D.P. é uma equação que contém derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em relação a DUAS OU MAIS variáveis indepen- dentes. Elas possuem a mesma classificação das E.D.O.'s. Matematicamente falando podemos representar uma E.D.O em uma variável dependente na forma geral F (x, y, y′, y′′, ·, y(n)) = 0, onde F é uma função de valores reais de n + 2 variáveis, x é a variável independente, y é a variável dependente e y′, y′′, · · · , y(n) são as derivadas de y com respeito a x até ordem n. Em uma E.D.O. F (x, y, y′, y′′, · · · , y(n)) = 0, quando for possível expressar a derivada de ordem maior y(n) em função dos outros termos da equação, ou seja y(n) = f(x, y, y′, y′′, · · · , y(n−1)) dizemos que a E.D.O. está na sua forma normal. Observação 1.1. 1. Admitiremos que, pelo menos localmente, toda E.D.O. pode ser escrita na sua forma normal. (isso é possível devido ao Teorema da função implícita) 2. Poderemos usar também a notação dny dxn além de y(n) para representar a derivada de ordem n de y com respeito à x. 1.3 Classificação das Equações Diferenciais As Equações diferenciais se classificam quanto ao tipo, a ordem e a linearidade. Quanto ao tipo elas podem ser Equações Dife- renciais Ordinárias ou Equações Diferenciais Parcias. Estudaremos adiante a classificação com respeito as E.D.O.'s.15 Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.) Quanto à ordem A ordem de uma E.D.O. é dada pelo índice da maior derivada existente na equação. Por exemplo as equações 3xy′′′ + y′′ + 3x5y′ = 5, (y′)5 + y′′ = 0, y(5) + 5xy(7) + y′ = 2 são equações de ordem 3, 2 e 7, respectivamente. Quanto à linearidade Uma E.D.O. de ordem n, F (x, y, y′, ·, y(n)) = 0, é dita linear se ela puder ser escrita na forma an(x)y(n) + an−1(x)y(n−1) + ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = g(x). Exemplo 1.2. 1) x2y′′′ + y′ = 7 ( E.D.O. linear) 2) (sen x)y′′ + y(4) = lnx ( E.D.O. linear) 3) y y′′ + y(4) = lnx ( E.D.O. não linear por causa do termo y y′′) 4) y(5) + 3x2 y+ lny = 0 (E.D.O. não linaer devido ao termo ln y). 1.4 Motivação Por que estudar E.D.O.? As E.D.O.'s modelam problemas reais, tais como: • Crescimento populacional • Movimento de um pêndulo • Propagação de doenças • Lançamento e movimento de foguetes • Movimento de corpos celestes • Movimento de corpos em planos inclinados 16 Equações Diferenciais Ordinárias AULA 1• Corpos em movimento harmônico simples • Decaimento radioativo • Reações e misturas químicas • Circuitos elétricos • Corpos em queda A seguir vamos conhecer mais de perto como as E.D.O.'s aparecem em alguns desses problemas. A modelagem matemática é uma área do conhecimen to que busca trazer para a linguagem matemática problemas muitas vezes reais a fim de estudá- los. É o que acontece, por exemplo, no estudo dos movimentos dos cor- pos celestes e na datação da idade de um fóssil. Movimento de um corpo em um plano inclinado Considere um corpo de massa m movendo-se, sem atrito, num plano inclinado, como mostra a figura abaixo. Sabemos que a Figura 1.1: Corpo de massa m num plano inclinado. resultante das forças na direção y, dada por Fry = N − Py = N −P cos θ, é nula, uma vez que não há movimento na direção y. Contudo, a resultante das forças na direção x, dada por Frx = Px = P sen θ, não é nula. Pela segunda Lei de Newton, sabemos que a força resultante que age em um corpo de massa constante é igual ao produto de sua massa por sua aceleração, ou seja, Fr = ma. Dessa maneira, como a força resultante que age no corpo de massa m no plano inclinado acima é Frx + Fry = P sen θ + 0 = mg sen θ 17 Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.) temos que o movimento desse corpo é descrito pela equação P sen θ = max = mx′′, onde x representa a posição do corpo, ax representa a aceleração desse corpo na direção x, e (′) representa derivação com respeito ao tempo t. Assim, o movimento do corpo, sobre o plano inclinado, ao longo do tempo é dado pela solução da E.D.O. x′′ = gsen θ. Observação 1.2. 1- A aceleração de um corpo num instante de tempo t é conhecida como a taxa de variação da velocidade desse corpo ao longo do tempo, ou seja, a = dv dt e como a velocidade num instante de tempo t é a taxa de variação da posição desse corpo ao longo do tempo, temos que a = d2x dt2 , onde v e x representam, respectivamente, a velocidade e a posição do corpo. 2- No problema acima, se θ = 0, o corpo estará em repouso na horizontal (considerando a velocidade inicial nula). Se θ = 90o, o corpo estará em queda livre. Movimento de um pêndulo simples Considere o pêndulo abaixo Figura 1.2: Pêndulo simples. 18 Equações Diferenciais Ordinárias AULA 1 Consideremos s a medida do arco formado pelo pêndulo (deslo- camento do pêndulo) quando este forma com a linha vertical um ângulo θ, como mostra a figura acima. Sabemos que s = lθ, onde l é o comprimento do fio do pêndulo. Assim, como l é uma con- stante, a aceleração do pêndulo ao longo do tempo t é dada por a = d2s dt2 = l d2θ dt2 . A força resultante na direção y é nula, uma vez que a tração, T , no fio é igual a componente da força peso P na direção y. Contudo, a força resultante na direção x não é nula e é dada por −mg sen θ, (o sinal negativo é porque essa força resultante é uma força restauradora). Assim, da segunda Lei de Newton, obtemos que −mgsen θ = mld 2θ dt2 ou melhor d2θ dt2 = −g l sen θ. Portanto, para descrevermos o movimento desse pêndulo ao longo do tempo, basta-nos achar a solução dessa E.D.O.. Sistema massa-mola (Movimento Harmônico simples). O Movimento Har- mônico simples- M.H.S.- é um movimento oscilatório que se carac- teriza pela ação de forças restauradoras do tipo elásticas. Considere a figura abaixo onde descrevemos o movimento de um corpo de massa m preso a uma mola com constante de elasticidade k. Figura 1.3: Sistema massa-mola. 19 Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.) A mola, a princípio se encontra sem nenhum corpo preso a ela. Quando prendemos o corpo de massa m, a mola se distende s unidades de comprimento (Lei de Hooke) e o corpo fica parado, ou seja, o sistema massa-mola está na sua posição de equilíbrio. Nesse estado temos a igualdade entre a força peso e a força restau- radora da mola que, matematicamente, é descrita pela equação ks = mg. Se deslocarmos para baixo a massa m por uma quantidade x de sua posição de equilíbrio e soltarmos temos, pela segunda lei de Newton que Fr = ma, onde Fr é a força resultante agindo na massa m, a qual nesse caso será a soma das forças peso e restauradora da mola, ou seja, Fr = mg− k(s+ x). Dessa maneira a equação Fr = ma assume a forma mg − k(x+ s) = mx¨. Como g e s são constantes, obtemos uma equação diferencial or- dinária linear de segunda ordem dada por x¨ = − k m x, uma vez que ks = mg.Lei de Hooke (1635- 1703)A força restau- radora exercida pela mola é proporcional à distenção da mola. Esta força é oposta à direção do alongamento. O campo de aplicações para as E.D.O.'s é imenso, poderíamos ficar aqui listando inúmeros modelos matemáticos onde tais equações aparecem, mas optamos por falar mais deles adiante, quando tiver- mos exposto algumas técnicas de resolução de E.D.O.'s. 20 Equações Diferenciais Ordinárias AULA 1 1.5 Definições e terminologia Definição 1.3. Uma solução de uma E.D.O. de ordem n é uma função φ definida em um intervalo I ⊂ R a qual tem pelo menos n derivadas em I e que satisfaz a E.D.O. dada. Por exemplo, considere a E.D.O., F (x, y, y′, · · · , y(n)) = 0, uma solução dessa E.D.O. é uma função φ definida em um intervalo I ⊂ R que tem pelo menos n derivadas em I tal que F (x, φ(x), φ′(x), · · · , φ(n)(x)) = 0, para todo x ∈ I. Exemplo 1.3. A função y dada por y(x) = x4 16 , x ∈ R é solução da E.D.O. 4y′−x3 = 0 uma vez que é diferenciável em R e satisfaz a E.D.O. dada, vamos verificar? Derivando y com respeito a x, obtemos y′ = x3/4. Substituindo em 4y′ − x3 segue que 4y′ − x3 = 0. Mas será que essa é a única solução? Observe que toda expressão da forma y(x) = x4 16 + c, c ∈ R é uma solução para essa E.D.O.. Quando isso acontece dizemos que a E.D.O. possue uma família de soluções a um parâmetro, que nesse caso é c. Observação 1.3. O intervalo de definição de uma solução é algo que merece cuidado, pois em geral confunde-se domínio de uma função com intervalo de definição de uma solução. Por exemplo, a função y = 1 x é solução da E.D.O. xy′+y = 0 para x pertencente a qualquer intervalo dos números reais que não contém o zero, como por exemplo, (0,∞). Contudo, y = 1 x como função está definida em R∗. Observação 1.4. 1. Uma solução de uma E.D.O. identica- mente nula no seu intervalo de definição I é chamada solução trivial. 21 Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.) 2. Em geral, uma E.D.O. possue um número infinito de soluções. 3. Podemos ter soluções de uma E.D.O. que não veem de uma família de soluções dessa E.D.O.. Como por exemplo, a E.D.O. dy dx =y2− 4 possue a seguinte família de soluções y(x) = 2 (1 + ce4x) (1− ce4x) , c ∈ R, contudo y˜(x) = −2 é solução dessa E.D.O. e não provém dessa família, uma vez que não existe valor do parâmetro c tal que y(x) = y˜(x) = −2. 4. Quando uma solução de uma E.D.O. vem de uma família de soluções encontrada, a denominamos solução particular da E.D.O. dada. 5. (Solução implícita)- Nem sempre encontraremos a solução de uma E.D.O. em sua forma explícita, y = φ(x). As soluções de algumas E.D.O.'s, quando for possível achar- mos tais soluções, em geral serão dadas na forma G(x, y) = 0, a qual define implicitamente a solução. Por exemplo, G(t, E, c) = 0, onde G(t, E, c) = c − t + E − senE é uma família de soluções implícitas (a um parâmetro) da E.D.O. dE dt = 1 1− cosE . (para verificar derive implicitamente com respeito a t a expressão G(t, E) = 0) Um outro exemplo, considere G(x, y) = 0, onde G(x, y) = x2 +y2−4 e −2 < x < 2 é uma solução ímplicita da E.D.O. dy dx = −x y . 6. Dada uma E.D.O. dy dx = f(x, y), uma solução da forma φ(x) = c, c ∈ R é dita solução de equilíbrio da E.D.O. dada se f(x, φ) = 0. 22 Equações Diferenciais Ordinárias AULA 1 Por exemplo, φ(x) = 2 é solução de equilíbrio da E.D.O. dy dx = y2 − 4. Definição 1.4. O gráfico de uma solução φ de uma E.D.O. é chamado de curva integral. Uma vez que φ é diferenciável em seu intervalo de definição I, sua curva integral é contínua em I. Abaixo descrevemos algumas curvas integrais da família de soluções do Exemplo 1.3. Figura 1.4: Parte de algumas curvas integrais de y′ = x3/4. 1.6 Equações Diferenciais Ordinárias e o Teo- rema Fundamental do Cálculo Teorema Fundamental do Cálculo- Parte I: Seja f : [a, b] → R uma função contínua. A função F : [a, b]→ R definida pela ex- pressão F (x) = ∫ x a f(x)dx (1.1) é derivável e F ′(x) = f(x) para todo x ∈ (a, b). Um problema básico do Cálculo Integral é a determinação do valor da integral definida ∫ γ α f(x)dx de uma função f : [α, γ]→ R. Quando f é contínua e não negativa podemos relacionar o conceito de integral definida com a idéia de área O Teorema Fundamental do Cálculo interliga os conceitos de in- tegral e derivada e nos mostra uma maneira de resolver algumas 23 Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.) Figura 1.5: R é a área abaixo do gráfico da função f . integrais definidas. Observe que a função F definida em (1.1) é uma solução da equação diferencial dy dx = f(x). (1.2) As soluções dessa E. D. O. são chamadas as primitivas de f . Nesse caso dizemos que a E.D.O. foi resolvida por quadratura, ou seja, foi possível achar uma primitiva para a função f . Toda a parte do Cálculo chamada de cálculo de primitivas nada mais é do que a determinação de soluções da equação diferencial (1.2) para diferentes funções f . Assim, o problema de resolvermos uma integral, ou seja, acharmos uma primitiva, é equivalente ao problema de resolvermos uma E.D.O.. Como sabemos do Cálculo, uma vez que nem toda função possui primitiva, nem toda E.D.O. possuirá solução dada explicitamente. O número de equações que podem ser resolvidas em termos de funções elementares (ou por quadratura) é muito pequeno, mesmo depois da introdução de funções representadas por integrais, como é o caso das funções elípticas. Segundo, Figueiredo (2007) essa 24 Equações Diferenciais Ordinárias AULA 1 constatação gerou a busca de novos métodos e surgiu assim o uso de séries de funções na resolução de uma E. D. O., o Teorema de Existência e Unicidade de soluções, a teoria qualitativa, a qual se preocupa em extrair o máximo de informações possíveis sobre a solução de uma E.D.O. sem conhecer explicitamente a solução da mesma e métodos numéricos. Na seção seguinte daremos um exemplo de um estudo qualitativo de uma E.D.O.. 1.7 Exemplo de um estudo qualitativo de uma E.D.O. O matemático Henri Poincaré foi uma das grandes mentes pensantes da matemática de sua época e porque não dizer da história dessa ciência até então. Suas pesquisas foram e são de grande importância em várias áreas da matemática, tais como: análise, álge- bra, geometria e teoria dos números. Ele foi o grande precursor da teoria qualitativa para E.D.O.'s não linear e suas idéias nessa área contribuíram para uma nova maneira de abordar muitos dos problemas em mecânica celeste. Consideremos uma E.D.O. de 1a ordem na sua forma normal dy dx = f(x, y) (1.3) Suponhamos que não seja possível encontrar a solução dessa E.D.O., por métodos analíticos. Quando nos deparamos com problemas as- sim e tentamos obter informações sobre as soluções diretamente da própria E.D.O. dada, estamos realizando um estudo qualitativo das equações do problema. Sabemos do cálculo que a derivada dy dx de uma função diferenciável y = y(x) nos dá a inclinação da reta tangente em um ponto (x, y) sobre o gráfico da tal função. Assim, tomemos um ponto (x0, y0) sobre a curva integral de uma solução de (1.3), o valor f(x0, y0) nos dá a inclinação da reta tangente à curva integral no ponto (x0, y0). Melhor dizendo f(x0, y0) nos dá a inclinação de um segmento de reta, denominado elemento linear, tangente à curva integral no ponto (x0, y0). Por exemplo, consideremos a equação dy dx = −y x , 25 Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.) onde f(x, y) = −y x . No ponto (4, 7), por exemplo, a inclinação do elemento linear é f(4, 7) = −7/4. A figura abaixo nos mostra a representação desse elemento linear na curva integral da solução. Figura 1.6: Elemento linear na curva integral. Definição 1.5. Considere a E.D.O.(1.3) e calcule todos os valores de f(x, y) sobre uma malha retangular de pontos (x, y) no plano xy. Para cada ponto (x0, y0) dessa malha, associe um vetor (ou um elemento linear) com inclinação f(x0, y0). A coleção de todos esses vetores será chamada de campo de direções de (1.3). É por esta razão que dada uma E.D.O. como (1.3) chamamos muitas vezes a função f(x, y) de campo associado a E.D.O. dada. No caso da E.D.O., dy dx = −y x , temos o seguinte campo de vetores Figura 1.7: Campo de vetores. Visualmente, o campo de direções de uma E.D.O. sugere a aparên- 26 Equações Diferenciais Ordinárias AULA 1 cia ou a forma de uma família de curvas integrais dessa E.D.O.. As- sim, podemos responder perguntas como, existe soluções periódi- cas ou existe soluções que crescem ou diminuem indefinidamente (soluções de escape) sem que conheçamos de fato a expressão da família de soluções. 1.8 Conclusão As Equações Diferenciais estão muito presentes no nosso dia a dia e, em particular, as Equações Diferenciais Ordinárias. Com o auxílio das leis da Fisíca descobriu-se uma infinidade de aplicações para essas equações. Infelizmente, nem toda E.D.O. possui uma solução dada explicitamente. Isso fez com que surgissem técnicas que nos dessem informações sobre as soluções sem que necessari- amente tivéssemos suas expressões algébricas, essas técnicas estão inseridas no que chamamos de Estudo Qualitativo das E.D.O.�s. O matemático Henri Poincaré foi o precursor desse estudo. 27 Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.) RESUMO � Na aula de hoje vimos o que são Equacões Diferenciais Or- dinárias, como se classificam e como estão relacionadas com outras ciências. Vimos também o que é uma solução de uma E.D.O., que as soluções de uma E.D.O. podem ser dadas de maneira explícita (quando conhecemos sua expressão algébrica) ou de maneira im- plícita. Vimos o que são soluções de equilíbrio, solução particular e curva integral. Aprendemos que uma E.D.O., em geral, não possui apenas uma solução e como o conceito de soluçãode uma E.D.O. está ligado ao cálculo de primitivas de uma função, termo que vem lá do Cálculo Integral. Vimos que para se resolver o problema de não se poder obter uma solução explícita para toda E.D.O. pode- se usar as ferramentas da teoria qualitativa, onde é possível obter informações sobre a solução de uma E.D.O. sem que conheçamos sua expressão algébrica. PRÓXIMA AULA � Em nossa próxima aula veremos o que é um problema de valor inicial ou problema de Cauchy e quais as condições para que uma E.D.O. tenha solução única passando por um ponto. ATIVIDADES � Atividade. 1.1. Classifique as equações diferencias abaixo quanto ao tipo, ordem e linearidade. 28 Equações Diferenciais Ordinárias AULA 1 a)3x2y(4) + (y′)6 = 1. b)3x dy dx + dz dx = x5. c)(lnx) d3x dt3 + 5 dx dt − x = 0. d) (1− x)y′′ − 4xy′ + 5y = cosx. e)x d3y dx3 − 2 ( dy dx )4 + y = 0. f) yy′ + 2y = 1 + x2. g) x2dy + (y − xy − xex)dx = 0. h) dx dt + 3x dy ds + 1 = 90. Atividade. 1.2. Verifique que a função g(x) = c1 cos(4x) + c2sen (4x), c1, c2 ∈ R é uma família de soluções da E.D.O. y′′ + 16y = 0. Atividade. 1.3. Verifique que uma família a um parâmetro de soluções para y = xy′ + (y′)2 é y = cx+ c2. Determine um valor de k para que y = kx2 seja uma solução par- ticular para a equação diferencial. Atividade. 1.4. Encontre uma solução de equilíbrio para as E.D.O.'s (encontre essa solução sem resolver a E.D.O.) a) y′ = 8xy b) dx dt = (1− t2)(1− x2) Atividade. 1.5. Mostre que y1 = 2x+2 e y2 = −x2/2 são ambas soluções de y = xy′ + (y′)2/2. 29 Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.) As funções, c1y1 e c2y2 onde c1, c2 ∈ R são também soluções? Desenhe as curvas integrais. Atividade. 1.6. Em certas circunstâncias, um corpo B de massa m em queda encontra resistência do ar proporcional à sua veloci- dade v. Use a segunda lei de Newton para encontrar a equação diferencial para a velocidade v do corpo em qualquer instante. Lembre-se de que a aceleração é a = dv/dt. Suponha neste caso que a direção positiva é para baixo. Depois classifique a equação encontrada. LEITURA COMPLEMENTAR � FIGUEIREDO, Djairo Guedes, Equações Diferenciais Aplicadas. Coleção matemática universitária. IMPA, 2007. SOTOMAYOR, Jorge, Lições de equações diferenciais ordinárias. IMPA. ZILL, Dennis G., Equações Diferenciais com aplicações em mode- lagem. Thomson, 2003. 1.9 Referências Bibliográficas FIGUEIREDO, Djairo Guedes, Equações Diferenciais Aplicadas. Coleção matemática universitária. IMPA, 2007. ZILL, Dennis G., Equações Diferenciais com aplicações em mode- lagem. Thomson, 2003. 30 AULA 2Teorema de Existência e Unicidade META: Enunciar o Teorema de Existência e Unicidade para E.D.O.. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Reconhecer um problema de valor inicial. Identificar quando um problema de valor inicial tem solução única ou não. PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com domínio em R e diferenciação de funções de valores reais com domínio em R2. Além de algum conhecimento sobre curvas em R2. Teorema de Existência e Unicidade 2.1 Introdução Caros alunos a nossa segunda aula tem como tema "O Teorema de Existência e Unicidade" para E.D.O.'s. Este teorema não nos diz como é a expressão da solução de uma E.D.O., mas nos ajuda muito no sentido que ele nos assegura, sob certas condições, que existe soluções da E.D.O. estudada passando por um determinado ponto. 2.2 Problema de valor inicial ou problema de Cauchy Sabemos que o movimento dos corpos celestes são modelados por E.D.O.. Quando procuramos um ponto no espaço para colo- car em órbita um satélite, por exemplo, resolve-se um determinado P.V.I.. E nesse problema é relevante buscar um ponto no es- paço no qual a solução do problema que passe por ele não escape ao infinito, caso contrário o satélite será mandado para o es- paço sideral!!! Quando procuramos resolver uma E.D.O., por exemplo do tipo, dny dxn = f(x, y, y′, · · · , y(n)) que satisfaça as condições y(x0) = y0, y′(x0) = y1, · · · , y(n−1) = yn−1, onde x0, y0, y1, · · · , yn−1 são constantes, estamos resolvendo um Problema de Valor Inicial (P.V.I.) ou um problema de Cauchy. As condições y(x0) = y0, y′(x0) = y1, · · · , y(n−1) = yn−1 são chamadas de condições iniciais do problema. Em particular quando n = 1, obtemos o seguinte P.V.I. dy dx = f(x, y), y(x0) = y0. Exemplo 2.1. Encontre a solução do P.V.I. dy dx = −y x , y(1) = 3. Ou seja, nesse exemplo queremos encontrar a solução da E.D.O. acima que satisfaça a condição y(1) = 3, ou melhor, queremos 32 Equações Diferenciais Ordinárias AULA 2 encontrar a solução da E.D.O. tal que que o ponto (1, 3) seja ponto do gráfico dessa solução. Uma família de soluções para a E.D.O. dada é y(x) = c x . (Vere- mos como calcular tal família na aula seguinte). Nossa pergunta é: será que dentre essa família de soluções existe uma solução tal que y(1) = 3? Observe que y(1) = c 1 e para que y(1) = 3 temos que ter c = 3. Logo, a solução particular y(x) = 3 x satisfaz o P.V.I.dado. Mas será que essa é a única solução que satisfaz esse P.V.I.ou tem outras? E se mudarmos a condição inicial, por exemplo, o P.V.I. dy dx = −y x , y(0) = 0 tem solução? e se tiver é única? O Teorema que veremos na próxima seção nos ajudará a responder a todas essas perguntas. Exemplo 2.2. Considere a E.D.O. dy dx = 3y2/3. A família de funções φc : R→ R dada por φc(x) = (x− c)3, x ≥ c0, x ≤ c , onde c ∈ R é uma família de soluções para essa E.D.O.. Comprove essa afirmação! (para isso basta verificar que φc(x) para x ≥ c satisfaz a E.D.O. e depois fazer o mesmo para φc(x) para x ≤ c uma vez que essa função é diferenciável em R.) Na Figura 2.1, descrevemos algumas curvas integrais dos membros dessa família de soluções. Observe que várias soluções satisfazem ao P.V.I. dy dx = 3y2/3, y(0) = 0. Você pode me dizer quais? Existe outra solução que satisfaça a esse P.V.I.e não se encontra na família de soluções dada? 33 Teorema de Existência e Unicidade Figura 2.1: Curva integral das soluções. Existe solução que satisfaz ao P.V.I. dy dx = 3y2/3, y(1) = 1? Será que esta solução é única? As respostas às perguntas feitas acima são, na ordem, as seguintes: todas as soluções da família dada para valores da constante c maiores do que ou iguais a zero. Sim existe, a solução identica- mente nula (solução trivial). Sim existe, basta escolher a solução particular quando c = 0 na família de soluções dada acima. Assim, a solução será dada por φ0(x) = x3, se x ≥ 0 e φ0(x) = 0 se x ≤ 0. E sobre a última pergunta, deixemo-a "suspensa"e voltemos para ela na próxima seção. 2.3 Teorema de existência e unicidade Voltando a questão de se colocar satélites em órbita, o teorema de existência e unicidade nos garante que escolhido um ponto no es- paço, não haverá duas ór- bitas passando por aquele ponto. Isso, por exemplo, pode evitar possíveis col- isões entre satélites! O teorema abaixo, devido à Picard, nos dá condições suficientes para garantir a existência e unicidade do P.V.I. dy dx = f(x, y), y(x0) = y0. (2.4) Teorema 2.1. Seja R uma região retangular no plano xy, definida por a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, que contém o ponto (x0, y0) em seu in- terior. Se f(x, y) e ∂f ∂y (x, y) são contínuas em R, então existe um intervalo I centrado em x0 e uma única função y = y(x) definida em I que satisfaz o P.V.I.(2.4). 34 Equações Diferenciais Ordinárias AULA 2 Exemplo 2.3. Tomemos o P.V.I.doexemplo anterior dy dx = 3y2/3, y(0) = 0. Já sabemos que esse P.V.I.não tem solução única. Queremos saber agora para quais pontos do plano xy o P.V.I.correspondente tem solução única. Para isso aplicaremos o teorema acima. Para esse P.V.I.temos f(x, y) = 3y2/3, então ∂f ∂y (x, y) = 2y−1/3. Para sabermos a região R do plano xy onde podemos encontrar solução única, basta analisarmos, segundo o teorema acima, em quais pontos do plano xy as funções f e ∂f ∂y são contínuas. Observe que para todos os pontos (x, y) no plano xy tais que y 6= 0 as funções f e ∂f ∂y são contínuas. Portanto podemos tomar várias regióes R, desde que essas regiões não contenham a reta y = 0. Abaixo damos exemplos de algumas possíveis regiões R onde o teorema acima é válido. Figura 2.2: Regiões de existência e unicidade de soluções da E.D.O. acima. Portanto respondendo a última pergunta da seção anterior, o P.V.I. dy dx = 3y2/3, y(1) = 1 35 Teorema de Existência e Unicidade tem solução e esta é única segundo o Teorema de existência e unicidade 2.1. Observe ainda nesse exemplo que o ponto (0, 0) está exatamente na reta y = 0, local onde o Teorema de existência e unicidade 2.1 não tem suas hipóteses satisfeitas. Quando acontece fatos assim, o P.V.I.em questão pode ter solução única ou não, no nosso caso o P.V.I. dy dx = 3y2/3, y(0) = 0 não tem solução única. Observação 2.1. 1- O Teorema de Picard, Teorema 2.1, (ou teo- rema de existência e unicidade) nos garante apenas que a solução existe e é única, não nos mostra como encontrá-la. 2- Existe um famoso teorema, devido à Peano, chamado Teorema de existência, no qual somente a continuidade de f(x, y) é exigida. Esse teorema nos garante apenas a existência da solução e não a unicidade dela. 3- Se as hipóteses do teorema de Picard não forem satisfeitas, pode- mos ter ou não existência e unicidade da solução. 4- Se estamos tratando com E.D.O.'s lineares, em particular de primeira ordem a1(x)y′ + a0(x)y = g(x)⇔ y′ = −a0(x) a1(x) y + g(x) a1(x) = f(x, y) as condições do teorema de Picard são satisfeitas quando a1(x), a0(x) e g(x) são contínuas num intervalo I tal que a1(x) 6= 0. Em geral para E.D.O.'s lineares de ordem n an(x)y(n) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = g(x) as condições do teorema de Picard são satisfeitas quando an(x), · · · , a0(x) e g(x) são contínuas em I e an(x) 6= 0 para todo x ∈ I. 36 Equações Diferenciais Ordinárias AULA 2 Exercício Resolvido 2.1. Encontre uma solução para o P.V.I. y′ = |y − 1|, y(0) = 1. Na procura de soluções para um P.V.I., procuramos primeiramente uma solução dentre as mais fáceis e imediatas soluções possíveis para uma E.D.O.: soluções de equilíbrio e solução trivial. Não é difícil ver que a solução trivial (identicamente nula) não satisfaz a E.D.O. dada, logo não pode ser solução do P.V.I.. Além do mais a solução trivial não satisfaz a condição inicial dada. Nesse caso, procuremos uma solução de equilíbrio para o problema. Observe que a solução y = 1 é solução de equilíbrio da E.D.O. dada e satisfaz o P.V.I.. De fato, note que y = 1 anula o campo f(x, y) = |y− 1| associado ao P.V.I.. Nos perguntemos agora se essa solução é única? Será que o teorema de Picard pode nos responder? A função f(x, y) = |y − 1| é tal que f(x, y) = y − 1, se y ≥ 1−(y − 1), se y < 1 Assim, ∂f ∂y (x, y) = 1, se y ≥ 1−1, se y < 1 . Portanto, uma vez que ∂f∂y não é contínua em (0, 1), este ponto não pertence a região R das hipóteses do teorema de Picard. Dessa maneira possa ser que o P.V.I.dado tenha ou não solução única, o teorema de Picard não pode nos ajudar nessa decisão. Tentaremos mostrar de outra forma que o P.V.I.dado tem solução única. Resolvendo a E.D.O. dada y′ = |y− 1| pelo método das variáveis separáveis, o qual aprenderemos na aula seguinte, temos a seguinte 37 Teorema de Existência e Unicidade solução y(x) = cex + 1, se y > 1−cex + 1, se y < 1 , onde c é uma constante positiva. Abaixo descrevemos todas as possíveis curvas integrais da E.D.O. dada. Observando que es- Figura 2.3: Curva integral das soluções. sas curvas integrais são todas as curvas integrais possíveis para a E.D.O. dada e pela continuidade das soluções de uma E.D.O. conclui-se que a solução de equilíbrio y = 1 é a única solução do P.V.I.dado. 2.4 Conclusão Da aula de hoje concluímos que dado um problema de valor ini- cial pode ocorrer que várias soluções satisfaçam esse problema, con- tudo existe um teorema, denominado por Teorema de Picard, que nos ajuda a decidir se alguns P.V.I.'s tem solução única. Satisfeitas as condições desse teorema, ele nos garante que um dado P.V.I.tem solução, mas não nos diz quem é a solução. Dessa maneira, pode 38 Equações Diferenciais Ordinárias AULA 2 ser que, a primeira vista, esse teorema pareça inútil, mas não o é. Uma vez que tenhamos a certeza que tal solução existe em uma dada região, podemos gastar esforços com técnicas computacionais, se os métodos analíticos não resolverem, para procurar tal solução pois ela existe. 39 Teorema de Existência e Unicidade RESUMO � Um Problema de Valor Inicial nada mais é do que uma E.D.O. sujeita a uma determinada condição. A saber, o problema dny dxn = f(x, y, y′, · · · , y(n)), y(x0) = y0, · · · , y(n−1)(x0) = yn−1 é dito problema de valor inicial (P.V.I.) ou problema de Cauchy. As condições y(x0) = y0, · · · , y(n−1)(x0) = yn−1 são ditas condições inicias do problema. Vimos que os P.V.I.'s tem sua aplicação prática. O Teorema de Picard, ou Teorema de existência e uni- cidade, nos ajuda a decidir sobre questões como existência e unici- dade de soluções satisfazendo determinados P.V.I.'s. Este teorema nos diz que Teorema 2.2. Seja R uma região retangular no plano xy, definida por a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, que contém o ponto (x0, y0) em seu in- terior. Se f(x, y) e ∂f ∂y (x, y) são contínuas em R, então existe um intervalo I centrado em x0 e uma única função y = y(x) definida em I que satisfaz o P.V.I. dy dx = f(x, y), y(x0) = y0. PRÓXIMA AULA � Em nossa próxima aula começaremos a aprender algumas técnicas para a resoluções de E.D.O.'s. Começaremos com as E.D.O.'s de primeira ordem. ATIVIDADES � 40 Equações Diferenciais Ordinárias AULA 2 Atividade. 2.1. Dado o P.V.I. y′ = 1 + y2, y(0) = 0. a) Verifique que y = tan(x + c) é uma família de soluções a um parâmetro para a E.D.O. y′ = 1 + y2. b)O P.V.I.acima tem solução única? Justifique sua resposta. c) Estabeleça o maior intervalo de definição para a solução da letra anterior. Atividade. 2.2. Considere o P.V.I. dy dx = xy1/2, y(2) = 1. a)Esse P.V.I.tem solução única? b) Verifique que as funções y(x) = x 4 16 ,−∞ < x <∞ e y˜(x) = 0, se x < 0x4/16, se x ≥ 0 são soluções do P.V.I.acima. Isso quer dizer que o P.V.I.não tem solução única? Por que isso não contradiz o Teorema de Picard? Atividade. 2.3. Encontre a(s) região(ões) do plano xy onde o P.V.I. y′′sec(x) + xy′ + 1 x2 − 1y = 1, y(x0) = y0 tem solução única. Explique sua resposta LEITURA COMPLEMENTAR � 41 Teorema de Existência e Unicidade FIGUEIREDO, Djairo Guedes, Equações Diferenciais Aplicadas. Coleção matemática universitária. IMPA, 2007. SOTOMAYOR, Jorge, Lições de equações diferenciais ordinárias. IMPA. ZILL, Dennis G., Equações Diferenciais com aplicações em mode- lagem. Thomson, 2003. 2.5 Referências Bibliográficas SOTOMAYOR, Jorge, Lições de equações diferenciais ordinárias. IMPA. ZILL, Dennis G., Equações Diferenciais com aplicações em mode- lagem. Thomson, 2003. 42 AULA 3Equações de primeira ordem: Equações separáveis e Equações exatasMETA: Descrever dois métodos de resolução de E.D.O.'s de primeira or- dem: o método das variáveis separáveis e o método para equações exatas. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Identificar equações separáveis e equações exatas. Resolver E.D.O.'s de primeira ordem que sejam equações sepa- ráveis e equações exatas. PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com domínio em R, diferenciais e diferenciação de funções de valores reais com domínio em R2. Além dos conheimentos das aulas 1 e 2. Equações de primeira ordem: Equações separáveis e Equações exatas 3.1 Introdução Caros alunos agora sim estamos prontos para aprendermos alguns métodos de resolução de E.D.O.'s. Nessa terceira aula vamos con- hecer dois métodos de resolução de E.D.O.'s. Começaremos com E.D.O.'s de primeira ordem, onde gastaremos mais duas aulas para expormos todo o conteúdo planejado e em seguida partiremos para E.D.O.'s lineares de ordem superior. 3.2 Equações separáveis Definição 3.1. Uma equação diferenciável de 1a ordem da forma dy dx = g(x)h(y) é dita separável ou de variáveis separáveis. Exemplo 3.1. 1) dy dx = y 2x e3x+4y; (separável). Observe que podemos separar as variáveis x e y. 2) x2dy + (y − 1)dx = 0⇔ dydx = − (y−1)x2 ; (separável) 3) dy dx = y+ sinx (não separável). Observe que não podemos sepa- rar as variáveis x e y. Considere uma E.D.O. de primeira ordem separável dy dx = g(x)h(y) (3.5) onde h e g são funções contínuas. Observe que a E.D.O. (3.5) pode ser escrita na forma p(y) dy dx = g(x), 44 Equações Diferenciais Ordinárias AULA 3 onde p(y) = 1h(y) ou ainda melhor na forma d dx F (y(x)) = g(x), (3.6) onde y = y(x) é solução da E.D.O. (3.5) e F (y) = ∫ p(y)dy. De fato, note que d dx F (y(x)) = g(x)⇔ F ′(y)dy dx = g(x), assim F ′(y) = p(y)⇒ F (y) = ∫ p(y)dy. Dessa maneira integrando (3.6) com respeito a x, obtemos F (y(x)) = G(x) + c, (3.7) onde G(x) = ∫ g(x)dx e c é uma constante de integração. Resol- vendo esta equação para y = y(x) acharemos y(x) = F−1(G(x) + c), a qual é a solução procurada. Observação 3.1. A função inversa de F sempre existirá nesse caso. De fato, uma vez que F ′ = p e p 6= 0 segue que F é monótoma e, assim F possui função inversa. Observação 3.2. Considere o P.V.I. dy dx = g(x)h(y), y(x0) = y0. Sabemos da discussão acima que F (y(x)) = G(x)+c é uma família de soluções para a E.D.O. dada. Observe que no caso do P.V.I. dado, a constante de integração c é exatamente igual a F (y(x0))− G(x0). Assim, a expressão (3.7) pode ser escrita na forma F (y(x))− F (y(x0)) = G(x)−G(x0) 45 Equações de primeira ordem: Equações separáveis e Equações exatas ou equivalentemente∫ y y0 1 h(y) dy = ∫ x x0 g(x)dx. (3.8) Portanto, dado o P.V.I. dy dx = g(x)h(y), y(x0) = y0 a solução é obtida quando separamos as variáveis e calculamos as integrais definidas ∫ y y0 1 h(y) dy = ∫ x x0 g(x)dx. Exemplo 3.2. Encontre a solução geral da equação dy dt = t2 y2 . Esta equação pode ser escrita na forma y2 dydt = t 2 ⇔ ddt ( y3 3 ) = t2, onde y = y(t) (y é vista como função de t uma vez que é supostamente solução da E.D.O. dada). Assim, integrando com respeito à t, obtemos∫ d dt ( y3 3 ) dt = ∫ t2dt⇔ y(t) = (t3 + c)1/3. Exemplo 3.3. No Exemplo 2.1, afirmamos que a família de soluções da E.D.O. dy/dx = −y/x, ou melhor, xdy+ydx = 0 é y(x) = c/x. Agora vamos resolvê-la e comprovar tal afirmação? Resolva a E.D.O. de primeira ordem xdy+ ydx = 0. Observe que xdy + ydx = 0⇔ 1 y dy = −1 x dx. Assim integrando ambos os lados da equação acima, obtemos ln|y| = −ln|x|+ c1 = ln|x|−1 + c1. 46 Equações Diferenciais Ordinárias AULA 3 Aplicando em ambos os lados da equação a função inversa do loga- ritmo neperiano (a função exponencial), obtemos |y| = eln|x|−1+c1 = eln|x|−1 · ec1 = c2 |x|−1, onde c2 = ec1 . De onde concluímos que y(x) = ±c2x−1, ou y(x) = c x−1. Exercício Resolvido 3.1. Encontre a solução do P.V.I. dy dx = −x y , y( √ 20) = 4. A E.D.O. dada pode ser escrita na forma y dy dx = −x⇔ d dx ( y2 2 ) = −x. Integrando com respeito à x, obtemos x2 + y2 = c2. Note que a família de soluções da E.D.O. dy dx = −xy é dada implicitamente pela equação x2 + y2 = c2, ou seja, a equação G(x, y, c) = 0, onde G(x, y, c) = x2 + y2 − c2. Bom, voltemos ao P.V.I. dy dx = −x y , y( √ 20) = 4. Já sabemos a expressão ímplicita da família de soluções da E.D.O., agora só precisamos achar uma solução dessa família que satisfaça a condição inicial dada. Desde que a solução da E.D.O. tenha que satisfazer y( √ 20) = 4, segue ( √ 20)2 + (4)2 = c2 e, daí c = ±6. Portanto, a solução do P.V.I.é dada implicitamente por x2 + y2 = 36, ou explicitamente, por y(x) = √ 36− x2. Observe que se a condição inicial do P.V.I. fosse y( √ 20) = −4, a solução explícita seria y(x) = −√36− x2. Observação 3.3. Você já deve ter notado que quando separamos as variáveis para resolvermos a E.D.O., nos deparamos com a situ- ação 1 h(y)dy = g(x)dx. Suponha que y = y0 seja um zero da 47 Equações de primeira ordem: Equações separáveis e Equações exatas função h(y), ou seja h(y0) = 0. Observe que nesse caso a função y(x) = y0 é solução da E.D.O. separável dydx = g(x)h(y) (solução de equilíbrio), contudo ela pode não aparecer na família de soluções obtida pelo método, uma vez que a função 1 h(y) não está definida em y = y0. É o que acontece no exercício seguinte. Exercício Resolvido 3.2. Resolva o P.V.I. dy dx = y2 − 1, y(0) = 0. Da expressão (3.8) o P.V.I.dado é equivalente a∫ y 0 dy y2 − 1 = ∫ x 0 dx, onde estamos considerando y 6= ±1. Para resolvermos a integral da esquerda recorreremos a técnica das frações parciais (para mais esclarecimentos sobre essa técnica veja Stewart (2006a)). Queremos que 1 y2−1 = A y−1 + B y+1 . Dessa maneira, obtemos 1 y2 − 1 = 1 2(y − 1) − 1 2(y + 1) . Assim,∫ 1 y2−1dy = ∫ [ 12(y−1) − 12(y+1) ]dy = 12 ln|y − 1| − 12 ln|y + 1|+ c1 = 12 ln ∣∣∣y−1y+1 ∣∣∣+ c1. Portanto,∫ y 0 1 y2 − 1 = ∫ x 0 dx⇔ 1 2 ln ∣∣∣∣y − 1y + 1 ∣∣∣∣− 12 ln1 = x− 0. Então, a solução procurada é dada implicitamente pela equação ln ∣∣∣y−1y+1 ∣∣∣ = 2x. 48 Equações Diferenciais Ordinárias AULA 3 Para acharmos a família de soluções da E.D.O. dy dx = y 2 − 1 é só resolvermos a integral indefinida ∫ dy y2−1 = ∫ dx. Assim, a família de soluções é dada, implicitamente, por y−1 y+1 = ce 2x que se reduz a (para obter essa expressão final basta somar e subtrair 1 no numerador) y(x) = 1 + c e2x 1− c e2x . Se ao invés da condição y(0) = 0 do P.V.I.dado, quiséssemos re- solver esta mesma E.D.O. sujeita à condição inicial y(0)=- 1, seria possível achar a solução dentre as soluções da família encontrada? A resposta é não, observe que não existe valor para a constante c nesse caso. Observe que a única solução que satisfaz esse P.V.I.é a solução de equilíbrio y = −1, a qual foi "perdida"pelo método. Para finalizarmos essa seção, deixamos como exercício para vocês aplicar esse método de resolução para resolver a E.D.O. 4y′ − x3 = 0 do exemplo 1.3 da aula 1. 3.3 Equações exatas Antes de falarmos de equações exatas é necessário que gastemos um tempo relembrando de alguns pontos do conteúdo da disciplina de Cálculo II. Em Cálculo II, foi visto que se z = f(x, y) é uma função com derivadas contínuas em uma região R do plano xy, então sua difer- encial total é dada por dz = ∂f ∂x dx+ ∂f ∂y dy. (3.9) 49 Equaçõesde primeira ordem: Equações separáveis e Equações exatas Em particular, se f(x, y) = c, c ∈ R, segue de (3.9) que 0 = ∂f ∂x dx+ ∂f ∂y dy. (3.10) Em outras palavras, dada uma família de curvas f(x, y) = c, pode- mos gerar uma equação diferencial de primeira ordem calculando o diferencial total dessa família. Para mais informações sobre esse assunto veja Stewart (2006b). Exemplo 3.4. Seja f(x, y) = c, onde f(x, y) = 4x + x3y2, então de (3.10) segue que (4 + 3x2y2)dx+ (2x3y)dy = 0 que é equivalente a dy dx = −4 + 3x 2y2 2x3y . Para o que vamos expor adiante é mais importante inverter o pro- blema, ou seja, dado dy dx = −4 + 3x 2y2 2x3y , temos equivalentemente que (4 + 3x2y2)dx+ (2x3y)dy = 0, onde, por (3.10), pode ser vista reescrita como d(4x+ x3y2) = 0. Assim, integrando essa última equação obtemos uma família de soluções para a E.D.O. dy dx = −4+3x 2y2 2x3y . Definição 3.2. (Diferencial Exata)- Uma expressão diferencial M(x, y)dx+N(x, y)dy 50 Equações Diferenciais Ordinárias AULA 3 é uma diferencial exata em uma região R do plano xy se ela cor- responde a diferencial total de alguma função f(x, y), ou seja, se M(x, y)dx+N(x, y)dy = dz, onde z = f(x, y). Definição 3.3. (Equação exata)- Uma equação M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 é dita exata se a expressão do lado esquerdo for uma diferencial exata. Exemplo 3.5. A equação (1 + cos(t+ x))dt+ cos(t+ x)dx = 0 é exata, pois (1 + cos(t+ x))dt+ cos(t+ x)dx = d(t+ sin(t+ x)). Observação 3.4. Sabendo que uma determinada equaçãoM(x, y)dx+ N(x, y)dy = 0 é equação exata, segue pela definição que existe uma função z = f(x, y) tal que M(x, y)dx+N(x, y)dy = dz. Portanto, M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0⇔ dz = 0. Logo, para acharmos a solução geral da equação exata dada basta- nos resolver a equação dz = 0, cuja solução f(x, y) = c, c ∈ R obtemos integrando ambos os lados da igualdade dz = 0 com re- speito a z, não esquecendo que z = f(x, y). Até agora vimos equações que são fáceis para deduzirmos sua difer- encial, mas se nos defrontarmos com equações mais complicadas pode ficar difícil decidir se a equação é exata ou não e obter sua diferencial, caso seja exata. Dessa maneira, gastaremos um tempo expondo um teste para identificar se a equação é exata ou não e uma vez exata como obter sua diferencial. 51 Equações de primeira ordem: Equações separáveis e Equações exatas Teste para identificar uma equação exata Teorema 3.1. Sejam M(x, y) e N(x, y) funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma região retangular R definida por α < x < β, γ < y < δ. Então, M(x, y)dx + N(x, y)dy é uma diferencial exata se, e somente se, ∂M ∂y = ∂N ∂x A demonstração desse teorema é muito útil no sentido que nos ensinará como calcular a diferencial, caso a equação seja exata. Dessa maneira, vamos a demonstração!! Demonstração: Provemos primeiro que seM(x, y)dx+N(x, y)dy é uma diferencial exata então vale a igualdade ∂M ∂y = ∂N ∂x . Como M(x, y)dx+N(x, y)dy é uma diferencial exata, temos pela definição, que existe uma função z = f(x, y) tal que M(x, y)dx+N(x, y)dy = dz = ∂f ∂x dx+ ∂f ∂y dy. Assim, M(x, y) = ∂f∂x e N(x, y) = ∂f ∂y . Logo, ∂ ∂y (M(x, y)) = ∂ ∂y ( ∂f ∂x ) = ∂ ∂x ( ∂f ∂y ) = ∂ ∂x (N(x, y)), pois as derivadas parciais de M e N são funções contínuas. Por- tanto, ∂M ∂y = ∂N ∂x . A recíproca é o que nos será muito útil nos cálculos mais adiante. Agora queremos mostrar que se ∂M ∂y = ∂N ∂x , então existe uma função z = f(x, y) tal que M(x, y) = ∂f∂x e N(x, y) = ∂f ∂y . A demostração será obter essa função f desde que a igualdade ∂M∂y = ∂N ∂x é válida. 52 Equações Diferenciais Ordinárias AULA 3 Observe que M(x, y) = ∂f∂x , para alguma função f(x, y) se, e so- mente se, f(x, y) = ∫ M(x, y)dx+ h(y), (3.11) onde h(y) é uma função qualquer de y. Derivando parcialmente com respeito à y ambos os lados da equação (3.11) obtemos ∂f ∂y = ∫ ∂M(x, y) ∂y dx+ h′(y). Portanto, ∂f/∂y será igual a N(x, y) se, e somente se, N(x, y) = ∫ ∂M(x, y) ∂y dx+ h′(y) ou equivalentemente, h′(y) = N(x, y)− ∫ ∂M(x, y) ∂y dx. (3.12) Observe que h′(y) é uma função apenas de y, enquanto o lado di- reito da equação (3.12) é uma função das variáveis x e y. Portanto a igualdade (3.12) só faz sentido se o lado direito for uma função apenas de y, e este é o caso se, e somente se, ∂ ∂x [ N(x, y)− ∫ ∂M(x, y) ∂y dx ] = ∂N ∂x − ∂M ∂y = 0. Portanto, se ∂M ∂y 6= ∂N∂x não existe função f(x, y) tal que ∂f∂x = M e ∂f ∂y = N . Por outro lado, se ∂M ∂y = ∂N ∂x então nós podemos obter h(y) = ∫ [ N(x, y)− ∫ ∂M(x, y) ∂y dx ] dy . Consequentemente, ∂f ∂x = M e ∂f ∂y = N onde f(x, y) = ∫ M(x, y)dx+ ∫ [ N(x, y)− ∫ ∂M(x, y) ∂y dx ] dy. (3.13) 53 Equações de primeira ordem: Equações separáveis e Equações exatas Exemplo 3.6. Encontre a solução geral da E.D.O. 3t2y2 dy dt + 2ty3 = 0. Observe que a E.D.O. acima pode ser escrita na forma 2ty3 dt+ 3t2y2 dy = 0. Note que, pelo Teorema 3.1, essa equação é uma equação exata pois ∂ ∂y (2ty3) = ∂ ∂x (3t2y2). Logo, temos que existe uma função f(t, y) tal que ∂f∂t = 2ty 3 e ∂f ∂y = 3t 2y2. Pela demonstração desse teorema sabemos que essa função é dada pela equação em (3.13). Dessa maneira, obtemos f(t, y) = ∫ 2ty3dt+ ∫ [ 3t2y2 − ∫ 6ty2dt ] dy = t2y3 + 0. Portanto, 2ty3 dt+ 3t2y2 dy = d(t2y3). Consequentemente, a E.D.O. 2ty3 dt+ 3t2y2 dy = 0 é equivalente a d(t2y3) = 0 cuja solução é t2y3 = c, c ∈ R. Obtemos a expressão da função f(t, y) pela equação (3.13), no entanto aconselhamos que para resolver as equações exatas vocês apliquem o procedimento para se chegar até esta equação, feito na demonstração do teorema, a fim de evitarmos a memorização de fórmulas. Ou seja, dado a E.D.O. M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, começe fazendo M(x, y) = ∂f∂x e siga o procedimento da de- monstração. 54 Equações Diferenciais Ordinárias AULA 3 3.4 Obtendo solução de uma equação de primeira ordem não exata Suponha agora que uma determinada equação diferencial ordinária M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (3.14) não seja exata. Será que existe uma maneira de torná-la exata? Ou melhor, nós podemos encontrar uma função µ(x, y) tal que a equação diferencial µ(x, y)M(x, y)dx+ µ(x, y)N(x, y)dy = 0 (3.15) seja equivalente a anterior e seja uma equação exata? (Duas equações diferenciais são equivalentes quando soluções de uma são soluções da outra e vice-versa). A resposta é sim. Vamos ver como podemos fazer isso? Sabemos da discussão anterior que a condição para que (3.15) seja exata é ∂ ∂y (µ(x, y)M(x, y)) = ∂ ∂x (µ(x, y)N(x, y)) ou equivalentemente M ∂µ ∂y + µ ∂M ∂y = N ∂µ ∂x + µ ∂N ∂x . (3.16) (Por simplicidade omitimos a dependência das funções com res- peito à x, y). Portanto a equação (3.15) é exata se, e somente se, µ(x, y) satisfaz a equação (3.16). Dessa maneira para achar- mos a função µ(x, y) procurada, temos que resolver a E.D.P. (3.16). Como não sabemos resolver E.D.P. ainda, trabalharemos com algu- mas hipóteses sobre a função µ a fim de simplificarmos a condição (3.16). 55 Equações de primeira ordem: Equações separáveis e Equações exatas 1) Considere µ uma função apenas de x. Nesse caso (3.16) se reduz a dµ dx = ∂M ∂y − ∂N∂x N µ. (3.17) Mas, como o lado direito da expressão (3.17) depende das variáveis x e y e o lado esquerdo é função apenas da variável x, esta expressão só terá sentido se ∂M ∂y − ∂N∂x N = G(x).Neste caso, teremos µ(x) = e ∫ G(x) dx. (3.18) Para achar a expressão de µ dada acima, basta separar as variáveis em (3.17) e integrar. 2) Considere µ uma função apenas da variável y. Neste caso�o raciocínio é o mesmo que no caso anterior e dessa maneira obtemos µ(y) = e ∫ H(y)dy, onde H(y) = ∂N ∂x − ∂M ∂y M . Observação 3.5. 1) O fator µ(x, y) encontrado nos casos 1) e 2) acima é chamado fator integrante para a equação (3.14). A razão para essa nomenclatura deve-se ao fato que uma vez achado a função µ que torna (3.14) exata, podemos facilmente integrar a equação e resolver a E.D.O.. 2)Nem sempre as equações (3.14) e (3.15) serão equivalentes. Para que isso ocorra é necessário que µ(x, y) 6= 0 para todo (x, y) no domínio da função. 3) A expressão ∂M ∂y − ∂N∂x N 56 Equações Diferenciais Ordinárias AULA 3 é quase sempre uma função que depende de x e y. Apenas para pouquíssimas funções M(x, y) e N(x, y) a expressão acima depen- derá apenas da variável x. Uma situação semelhante ocorre quando µ depende apenas da variável y. É por essa razão que muitas equações diferenciais não podem ser resolvidas. Exemplo 3.7. Encontre a solução geral da E.D.O. ( y2 2 + 2yex)dx+ (y + ex)dy = 0. Essa equação não é exata pois ∂M ∂y = y + 2e x 6= ∂N∂x = ex. No entanto, 1 N ( ∂M ∂y − ∂N ∂x ) = y + ex y + ex = 1. Portanto, esta equação tem µ(x) = e ∫ dx = ex como fator de inte- gração. Isto significa que a equação ( y2 2 + 2yex)dx+ (y + ex)dy = 0 é equivalente a ex( y2 2 + 2yex)dx+ ex(y + ex)dy = 0 (3.19) e esta última é uma equação exata. Logo, existe uma função z = f(x, y) tal que (3.19) se reduz a dz = 0 e assim a solução de (3.19) é f(x, y) = c, c ∈ R. Calculando a função z = f(x, y) obtemos f(x, y) = y 2 2 e x + ye2x. E resolvendo a expressão f(x, y) = c para y obtemos as soluções explícitas y(x) = −ex ± [e2x + 2ce−x]1/2. 57 Equações de primeira ordem: Equações separáveis e Equações exatas Novamente gostaríamos de enfatizar que nessa questão usamos a fórmula dada em (3.18) para obtermos o fator integrante µ(x), no entanto vocês não precisam decorar fórmulas e nem queremos incentivar tal ato. Para não decorar fórmulas basta que: 1) Dada a E.D.O. (3.14) verifique se a mesma é exata. Caso não seja multiplique-a por µ(x, y). 2)Resolva a equação (3.16) fazendo as hipóteses que µ depende apenas de x (caso 1 apresentado acima) ou que µ depende apenas de y (caso 2 apresentado acima). 3.5 Conclusão Da aula de hoje concluímos que é possível com um pouco de paciência e cuidado resolvermos algumas equações diferenci- ais ordinárias de primeira ordem, a saber, aquelas chamadas por equações separáveis e equações exatas. 58 Equações Diferenciais Ordinárias AULA 3RESUMO � Na aula de hoje aprendemos a identificar algumas equações difer- encias de primeira ordem, a saber, equações separáveis e equações exatas. Vimos vários exemplos de equações separáveis e alguns cuidados que devemos ter na hora de resolvermos tais equações, pois, em alguns casos, o método aprendido não nos dá todas as equações da E.D.O. em questão. Vimos que algumas soluções são "perdidas"pelo método. Vimos também como testar se uma dada equação é exata e uma vez exata como obter a expressão da diferencial. Algumas equações que não são exatas podem ser "tornadas"exatas (na verdade podem ser equivalentes a equações exatas) pela multiplicação de um fa- tor de integração µ(x, y) e, dessa maneira, conseguimos facilmente resolvê-las. PRÓXIMA AULA � Em nossa próxima aula continuaremos com outros métodos de res- olução para E.D.O. de primeira ordem. Veremos como resolver equações lineares de primeira ordem, equações homogêneas e muito mais. ATIVIDADES � Atividade. 3.1. Resolva as E.D.O.'s abaixo a) y′ + xy = x 59 Equações de primeira ordem: Equações separáveis e Equações exatas b) (e2y − y cosxy)dx+ (2xey + 2y − x cosxy)dy = 0 c) dy/dt+ y √ tsen t = 0 d) y(x+ y + 1)dx+ (x+ 2y)dy = 0 Atividade. 3.2. Determine o comportamento, quando t → ∞, de todas as soluções da equação dy dt + ay = 0, a ∈ R. Atividade. 3.3. Considere o problema de valor inicial dy dt = √ y, y(3) = 0. a)Resolva o problema de valor inicial acima. b) Existe uma única solução para o problema de valor inicial acima? Justifique sua resposta. c)E o P.V.I. dy dt = √ y, y(−4) = 5 tem solução única? Justifique sua resposta. d) Determine os pontos (t0, y0) para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial dy dt = √ y, y(t0) = y0 tenha solução única. Atividade. 3.4. Determine uma função y = y(x) cujo gráfico passe pelo ponto (1, 1) e tal que a reta tangente no ponto genérico (x, y) tenha coeficiente angular x 2+2y y−2x . Atividade. 3.5. Encontre uma solução satisfazendo a equação diferencial e a condição inicial dada. 60 Equações Diferenciais Ordinárias AULA 3dy dx + 2y = f(x), y(0) = 0 onde f(x) = 1, se 0 ≤ x ≤ 3 0, se x > 3 Atividade. 3.6. a)Encontre o valor de k para que a EDO seja exata (y3 + kxy4 − 2x)dx+ (3xy2 + 20x2y3)dy = 0. b)Resolva a EDO dada verificando que a função indicada seja um fator de integração 6xydx+ (4y + 9x2)dy = 0, µ(x, y) = y2. LEITURA COMPLEMENTAR � FIGUEIREDO, Djairo Guedes, Equações Diferenciais Aplicadas. Coleção matemática universitária. IMPA, 2007. SOTOMAYOR, Jorge, Lições de equações diferenciais ordinárias. IMPA. ZILL, Dennis G., Equações Diferenciais com aplicações em mode- lagem. Thomson, 2003. 3.6 Referências Bibliográficas BRAUM, Martin, Differential Equations and their applications. Springer, 1992. 61 Equações de primeira ordem: Equações separáveis e Equações exatas ZILL, Dennis G., Equações Diferenciais com aplicações em mode- lagem. Thomson, 2003. STEWART, J., Cálculo, volume I. Editora Thomson, 2006a. STEWART, J., Cálculo, volume II. Editora Thomson, 2006b. 62 AULA 4Equações de primeira ordem: Equações lineares Equações homogêneas, Equações de Bernoulli, Riccati e Clairaut META: Descrever alguns métodos de resolução de Equações Diferenciais de primeira ordem. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Identificar E.D.O. lineares, homogêneas, de Bernoulli, de Ricatti e de Clairaut. Resolver EDO's de primeira ordem que sejam dos tipos acima des- critos. PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com domínio em R, diferenciais e diferenciação de funções de valores reais com domínio em R2. Além dos conhecimentos da aula ante- rior, aulas 1 e 2. Equações de primeira ordem: Equações lineares Equações homogêneas, Equações de Bernoulli, Riccati e Clairaut 4.1 Introdução Caros alunos nessa quarta aula continuaremos expondo alguns métodos de resolução para E.D.O. de primeira ordem. 4.2 Equações lineares Uma equação diferencial de primeira ordem da forma a1(x) dy dx + a0(x)y = g(x), (4.20) onde a1(x) 6= 0 para todo ponto do seu domínio é dita equação linear de primeira ordem. Quando g(x) ≡ 0 dizemos que a equação (4.20) é linear homogênea. Podemos escrever (4.20) da seguinte forma dy dx + P (x)y = f(x), (4.21) onde P (x) = a0(x)a1(x) , f(x) = g(x) a1(x) . Sejam P (x), f(x) funções contínuas. A seguir descrevemos um método de resolução para esse tipo de E.D.O.. Este método se baseará no que aprendemos na seção 3.4. Escrevamos a E.D.O. (4.21) da seguinte forma dy + (P (x)y − f(x))dx = 0. (4.22) Observe que (4.22) não é uma equação exata, pois ∂M ∂y = P (x) e ∂N ∂x = 0. No entanto, ((∂M/∂y)− (∂N/∂x))/N = P (x). Portanto, pelo que expomos na seção 3.4, segue que ofator integrante para a E.D.O. linear (4.22) é µ(x) = e ∫ P (x) dx e, consequentemente, ela será equivalente a E.D.O. exata e ∫ P (x)dxdy + e ∫ P (x)dx(P (x)y − f(x))dx = 0. 64 Equações Diferenciais Ordinárias AULA 4 Assim, resolvendo esta última E.D.O. chegamos a solução de (4.22) ou de (4.21). Não precisamos memorizar fórmulas para resolvermos a E.D.O. linear (4.22). Abaixo descrevemos passo a passo o método de res- olução para esta E.D.O.. Método de resolução 1)Coloque a E.D.O. linear no formato de (4.21). 2)Calcule o fator integrante µ(x), o qual é dado por µ(x) = e ∫ P (x)dx . 3)Multiplique (4.21) pela função µ(x). Assim obtemos e ∫ P (x)dx ( dy dx + P (x)y ) = e ∫ P (x)dxf(x) (4.23) ou equivalentemente e ∫ P (x)dxdy + e ∫ P (x)dx(P (x)y − f(x))dx = 0. Observe que no caso das E.D.O.'s lineares sempre existirá um fator integrante µ, veja Observação 7.1. 4)Considere a equação (4.23), onde µ(x) = e ∫ P (x)dx e ∫ P (x)dx ( dy dx + P (x)y ) = e ∫ P (x)dxf(x). Observe que essa equação é equivalente a d dx (ye ∫ P (x)dx) = e ∫ P (x)dxf(x). (4.24) 5)Integre ambos os lados da equação (4.24) com respeito à x. Inte- grando, obtemos ye ∫ P (x)dx = ∫ e ∫ P (x)dxf(x)dx+ c, c ∈ R. Assim, y(x) = e− ∫ P (x)dx [∫ e ∫ P (x)dxf(x)dx+ c ] . 65 Equações de primeira ordem: Equações lineares Equações homogêneas, Equações de Bernoulli, Riccati e Clairaut Observação 4.1. 1) Não é necessário colocarmos a constante de integração no cálculo da função µ(x) (uma vez µ(x) é a solução da equação separável dµ/dx = P (x)µ), quando encontramos a expressão de µ. O resultado não se altera se acrescentarmos tal constante à expressão de µ. 2)A equação (4.24) será exata mesmo quando f(x) ≡ 0, pois µ(x) não depende de f(x). Nesse caso, a solução será y(x) = ce− ∫ P (x)dx. Exemplo 4.1. Encontre uma solução para o P.V.I. 2y′ + y = 1 1 + x2 , y(2) = 3. Colocando a E.D.O. na forma (4.21), obtemos y′ + 1 2 y = 1 2(1 + x2) . (4.25) Assim, P (x) = 12 e o fator integrante é µ(x) = e ∫ 1/2 dx = ex/2. Multiplicando o fator integrante na equação (4.25), temos ex/2y′ + ex/2 2 y = ex/2 2(1 + x2) ⇔ d dx (ex/2y) = ex/2 2(1 + x2) . Logo, integrando ambos os lados da igualdade, temos∫ x 2 d ds (es/2y(s))ds = ∫ x 2 es/2 2(1 + s2) ds⇔ ex/2y(x)−3e = ∫ x 2 es/2 2(1 + s2) ds. Daí y(x) = e−x/2 ( 3e+ ∫ x 2 es/2 2(1 + s2) ds ) . 4.3 Equações Homogêneas Definição 4.1. Se uma função f satisfaz f(tx, ty) = tnf(x, y) 66 Equações Diferenciais Ordinárias AULA 4 para algum n ∈ R, então dizemos que f é uma função homogênea de grau n. Exemplo 4.2. 1) A função f(x, y) = x2+5xy−4y2 é uma função homogênea de grau 2, pois f(tx, ty) = (tx)2 + 5(tx)(ty)− 4(ty)2 = t2(x2 + 5xy − 4y2). 2) Provamos de forma análoga ao exemplo anterior que a função f(x, y) = (x2 + y2)1/3 é uma função homogênea de grau 2/3. 3) Pelo que expomos, não é difícil ver que a função f(x, y) = x+ y + lnx não é homogênea. Observação 4.2. Observe que se f(x, y) for uma função homogênea de grau n temos que f(x, y) = f(x·1, yx ·x) = xnf(1, yx) ou analoga- mente, f(x, y) = f(xy y, y) = y nf(xy , 1). Definição 4.2. Uma equação diferencial da forma M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 é chamada equação homogênea se ambas as funções M e N são funções homogêneas de mesmo grau. Método de resolução Uma equação diferencial homogênea M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 pode ser resolvida através de uma transformação algébrica, a saber, y = ux ou x = vy, a qual transformará a equação homogênea em 67 Equações de primeira ordem: Equações lineares Equações homogêneas, Equações de Bernoulli, Riccati e Clairaut uma equação separável. De fato, considere a equação diferencial homogênea de grau n M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0. (4.26) Seja y = ux, onde u = u(x), então dy = udx + xdu. Assim, substituindo essa expressão de dy em (4.26) e a transformação y = ux, obtemos M(x, ux)dx+N(x, ux)[udx+ xdu] = 0 xnM(1, u)dx+ xnN(1, u)[udx+ xdu] = 0 (xnM(1, u) + xnuN(1, u))dx+ xn+1N(1, u)du = 0 Dividindo essa última equação por xn, temos (M(1, u) + uN(1, u))dx+ xN(1, u)du = 0. De onde obtemos a E.D.O. separável dx x = −N(1, u)du M(1, u) + uN(1, u) . Não sei se você notou mas para chegarmos a essa expressão usamos fortemente a observação dada acima. Se considerarmos a outra transformação x = vy, analogamente ao caso anterior, chegaremos a uma E.D.O. separável. Exemplo 4.3. Resolva a E.D.O. (2 √ xy − y)dx− xdy = 0, x > 0, y > 0. É fácil ver que a E.D.O. dada é homogênea de grau 1. Considere a transformação y = ux. Substituindo na E.D.O. dada, obtemos (2 √ ux2 − ux)dx− x(udx+ xdu) = 0 (2 √ u− 2u)dx+ xdu = 0 68 Equações Diferenciais Ordinárias AULA 4 Portanto, obtemos a seguinte equação separável −dx x = du 2( √ u− u) . Para resolvermos essa equação separável, façamos a mudança de coordenadas t = u1/2, assim dt = 1 2u1/2 du. Logo, obtemos o seguinte resultado −ln|x| = 1 4 [ − 1 u1/2 + ln ∣∣∣∣∣ u1/21− u1/2 ∣∣∣∣∣ ] e voltando para as variáveis originais, obtemos que a solução da E.D.O. é dada implicitamente pela equação −ln|x| = 1 4 [ − 1 (y/x)1/2 + ln ∣∣∣∣∣ (y/x)1/21− (y/x)1/2 ∣∣∣∣∣ ] . Observação 4.3. 1)Aconselhamos o uso da transformação x = vy sempre que a função M(x, y), presente na E.D.O. dada, for mais simples. 2) Algumas vezes necessitaremos aplicar uma substituição de va- riáveis antes ou depois de aplicar a transformação y = ux ou x = vy a fim de simplificarmos as expressões no decorrer do cálculo. 3) Uma E.D.O. homogênea pode sempre ser expressa na forma alternativa dy dx = F (y x ) . De fato, considere a E.D.O. homogênea de grau n M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0. Assim, dy dx = −M(x, y) N(x, y) = −x nM(1, y/x) xnN(1, y/x) = −M(1, y/x) N(1, y/x) = F (y/x). 69 Equações de primeira ordem: Equações lineares Equações homogêneas, Equações de Bernoulli, Riccati e Clairaut Exemplo 4.4. Resolva o P.V.I. x dy dx = y + xey/x, y(1) = 1. Observe que podemos escrever a E.D.O. da seguinte maneira dy dx = y x + ey/x. Assim, fazendo y = ux, obtemos du dx x+ u = u+ eu. Separando as variáveis e integrando, temos −e−u = ln|x|+ c⇔ −e−y/x = ln|x|+ c. Como a condição inicial é y(1) = 1 temos −e−1 = ln1 + c ⇒ c = −1/e. Um outra redução às equações separáveis Uma E.D.O. da forma dy dx = f(x, y), onde as variáveis x, y aparecem na forma polinomial ax + by + c com a, b, c constantes pode sempre ser reduzida a uma equação separável por meio da substituição u = ax+ by + c, b 6= 0. Exemplo 4.5. Resolva y′ = (−2x+ y)2 − 7. Observe que essa E.D.O. está no formato dito acima. Logo, se fiz- ermos u = −2x+y, segue que du/dx = −2+dy/dx e, substituindo na E.D.O. original, obtemos du dx = u2 − 9, 70 Equações Diferenciais Ordinárias AULA 4 a qual é uma E.D.O. separável que é resolvida por frações par- cias (encorajamos o leitor a resolvê-la!). Resolvendo a E.D.O. e voltando para as variáveis originais, temos y(x) = (−2x+ 3)ce6x + (2x+ 3) 1− ce6x . 4.4 Equação de Bernoulli, Equação de Riccati e Equação de Clairaut A equação diferencial dy dx + P (x)y = f(x)yn, n ∈ R é chamada de equação de Bernoulli. A equação de Bernoulli para n = 0 ou n = 1 é uma equação linear e nós já sabemos como resolvê-la. Porém se n 6= 0 ou n 6= 1, fazemos a substituição u = y1−n para tornar a equação de Bernoulli uma equação linear e daí segue a resolução de uma equação linear. Exemplo 4.6. Resolva y′ + 3xy = xy3. Vê-se