4 prova de cálculo III 2015 II

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UFPB - CCEN - Departamento de Matemática
4a Prova de Cálculo Diferencial e Integral III- 15/06/16
Prof. Lizandro Sanchez Challapa
Nome : Matricula :
Questão 1. (2 pontos) Determine o intervalo de convergência das séries de potências
a)
∞∑
n=0
xn
n!
b)
∞∑
n=0
xn−1
(−3)n .
Questão 2. (3 pontos) Mostre que, para −1 < x < 1, tem-se:
a)
+∞∑
n=0
(−1)nx3n = 1
1 + x3
. b)
+∞∑
n=0
−1
n+ 1
xn+1 = ln(1− x).
Questão 3. (2 pontos)
a) Encontre a expansão de Taylor da função f(x) = sen(x) em torno do ponto a = pi
3
.
b) Encontre a série de Maclaurin da função f(x) = a0 + a1x+ 3a3x
3
.
Questão 4. (3 pontos) Encontre a solução geral de cada equação diferencial
ordinária (EDO) dada a seguir:
a) y′ + 3xy − x = 0 b) y′ = y2cos(x).