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Capítulo 4 (Exercícios) 1. Avaliar (n), (n) e (n) para os seguintes valores de n: a) 10 b) 35 c) 20 d) 512 e) 10000 f) 1234. Lembremos as definições: (n): Número de divisores positivos de n. (n): Soma dos divisores positivos de n. (n): Número de elementos menores e relativamente primos com n. Sabemos que: (p) = p p 1 e que, se mdc(m, n) = 1, então (m n) = (m) (n). Dessa forma, temos: a) Os divisores positivos de 10 são os elementos do conjunto D10 = {1, 2, 5, 10}. Os números menores do que 10 relativamente primos com este são os elementos de N, com N = {1, 3, 7, 9}. Então: (10) = n(D10) = 4. ∑ (n) = n(N) = 4. Vejamos que 10 = 2 1 5 1 , e mdc(2, 5) = 1. Então, (10) = (2 1 5 1 ) = (2 1 ) (5 1 ) = (2 1 2 0 ) (5 1 5 0 ) = 4. Os outros itens são análogos. Lembrando que, se N = ... , o número de divisores positivos é (1 + 1) (1 + 2) ... (1 + k). 2. Para quais valores de m, (m) é ímpar? Seja m = ... . Então (m) = ( ) ( ) ... ( ) = ( ) ... ( ) = ... ( ) ... ( ). Mas m = ... . Então, (m) = m ( ) ... ( ). Vejamos que, com exceção de m = 2, (m) é par se m é par. Se m é ímpar, então qualquer pi (da decomposição de m em fatores primos) deve ser ímpar. Neste caso, = = (pi 1) é par, uma vez que pi 1 é par. Ou seja, (m) é ímpar apenas para m = 1 e m = 2. 3. Para quais valores de m, (m) divide m? 4. Mostrar que se m e n são inteiros positivos tais que m | n, então (m) | (n). Sejam m = ... e n = ... . Se m | n, é claro que i i, para todo i. Dessa forma, todos os fatores primos ’s de m d v dem a , ou seja, todos os fatores ( )’s de (m) estarão, também, em (n). Dessa forma, (n) = n ∏( ) e m | n, então m ∏( ) = (m) | (n). ∎ 5. Refazer a demonstração do Teorema 4.3 para m = 5 e n = 9. Primeiramente, lembremos: Teorema 4.3: A função de Euler é multiplicativa, isto é, (m n) = (m) (n), para mdc(m, n) = 1. Inicialmente, notemos que (5) = 4 e (9) = 6. Queremos mostrar que (45) = 24. Ora, mas (45) é o número de inteiros positivos que são relativamente primos com 45. Sendo que 45 = 3 2 5, temos que 45 não será relativamente primo com nenhum múltiplo de 3 e com nenhum múltiplo de 5. Dessa forma, sendo N o conjunto em questão, temos: N = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 22, 23, 26, 28, 29, 31, 32, 34, 37, 38, 41, 43, 44}. Assim, (45) = |N| = 24, como queríamos provar. ∎ 6. Mostrar que (m) é par se m > 2. Demonstração feita no exercício 2. 8. Mostrar que se f é multiplicativa, então f(1) = 1. Se f é multiplicativa, então f é não nula. Em vista de que mdc(1, 1) = 1, temos que f(1 1) = f(1) ⇒ [f(1)]2 = f(1), o que implica em f(1) = 0 ou f(1) = 1. Se f(1) = 0, então, como mdc(1, n) = 1, f(n) = f(n 1) = f(n) f(1) = 0. Absurdo, pois f é multiplicativa. Dessa forma, f(1) = 1. ∎ 10. Mostrar que um inteiro p é um primo se, e somente se, (p) = p + 1. (⇒) Se p é primo, então os únicos divisores positivos de p são p e 1. Dessa forma, (p) = p + 1. (⇐) Suponhamos que p seja composto. Isto é, além de 1 e p, p possui outros divisores. Seja S a soma destes divisores. Com efeito, (p) = 1 + p + S. Porém, por hipótese, temos que (p) = p + 1, ou seja, p + 1 = p + 1 + S, o que implica em S = 0. Mas S é a soma dos divisores positivos de p, ou seja, S > 0, o que gera um absurdo. Logo, p é primo. ∎ 11. Mostramos que as funções (n) e (n) são multiplicativas. Mostrar que nenhuma delas é completa- mente multiplicativa. Notemos que (n) é o número de divisores positivos de n. Tomemos, como exemplo, n = 4 e m = 2. É claro que mdc(m, n) 1. Temos, porém, que (2) = 2, (4) = 3 e (8) = 4. Com isso, notamos que (8) (2) (4), ou seja, que (2 4) (2) (4), fazendo com que (n) não seja completamente multiplicativa. O mesmo exemplo é válido para a função . Como (n) é a soma dos divisores positivos de n, temos que: (2) = 3, (4) = 7 e (8) = 15. Teremos, então, que (8) (2) (4), isto é, (2 4) (2) (4), o que mostra que esta também não é completamente multiplicativa. 12. Mostrar que para um inteiro fixo r, a função h(n) = nr é completamente multiplicativa. Notemos que, para os inteiros m e n, temos que h(n) h(m) = n r m r = (n m) r = h(m n). h é, portanto, completamente mul- tiplicativa. ∎ 13. Mostrar que as funções F(n) = f(n) g(n) e G(n) = f(n)/g(n) são multiplicativas sendo f(n) e g(n) multi- plicativas com g(n) 0. Sejam m e n inteiros. Teremos que: F(m n) = f(m n) g(m n) = [f(n) f(m)] [g(n) g(m)] = [f(m) g(m)] [f(n) g(n)] = F(m) F(n). Logo, F é multiplicativa. G(m n) = f(m n)/g(m n) = f(m) f(n) / g(m) g(n) = [f(m)/g(m)] [f(n)/g(n)] = G(m) G(n). Logo, G é multiplicativa. ∎ 14. Mostrar, através de um exemplo, que a função F(n) = ∑ nem sempre é completamente mul- tiplicativa caso f(d) seja. É claro que f(d) = d é multiplicativa. Tomando F(n) = ∑ dd , teremos que F(n) = (n). Porém, já foi mostrado no exercício 11 que a função (n) não é completamente multiplicativa, o que completa nosso exemplo. 15. Mostrar que para qualquer inteiro positivo n > 1 existem infinitos inteiros m tais que (m) = n. Tomemos, como base, o fato de que os primos são infinitos. Sendo p primo, tomemos m = p n 1. Da existência de infinitos primos, temos a existência de f tos m’s dessa forma. Sabemos, porém, que (m) = (p n 1) = (n 1) + 1 = n. Dessa forma, existem infinitos valores de m para os quais (m) = n. ∎ 16. Encontrar o menor inteiro positivo m para o qual (m) = 6. Tomemos m = p, com p primo. Caso seja possível encontrar m dessa forma, garantimos que m m1 = p q , com p e q primos. A fim de encontrarmos o menor valor de m, essa suposição é plausível. Então, (m) = (p) = = = p + p 1 + ... + p + 1. Afim de que (m) = 6, deveremos ter p + p 1 + ... + p + 1 = 6, isto é, p + p 1 + ... + p = 5, ou seja, p (p 1 + ... + 1) = 5. Para tanto, deveremos ter p = 5 e p 1 + ... + p + 1 = 1, ou seja, = 1. Temos, portanto, que m = p = 5. A verificação podia, porém, ter sido feita por testes. Temos: (1) = 1, (2) = 3, (3) = 4, (4) = 7 e (5) = 6. 17. Encontrar o menor inteiro positivo m para o qual (m) = 6. Analogamente ao exercício anterior, podemos supor m = p, com p primo. Dessa forma, (m) = p p 1. A fim de que (m) = 6, deveremos ter p p 1 = p 1 (p 1) = 6. Para tanto, teremos:
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