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teoria dos números Plínio soluções cap.4

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Capítulo 4 (Exercícios) 
 
1. Avaliar (n), (n) e (n) para os seguintes valores de n: a) 10 b) 35 c) 20 d) 512 e) 10000 f) 1234. 
Lembremos as definições: 
(n): Número de divisores positivos de n. 
(n): Soma dos divisores positivos de n. 
(n): Número de elementos menores e relativamente primos com n. 
 Sabemos que: (p) = p  p
  1 e que, se mdc(m, n) = 1, então (m  n) = (m)  (n). 
 
Dessa forma, temos: 
a) Os divisores positivos de 10 são os elementos do conjunto D10 = {1, 2, 5, 10}. 
Os números menores do que 10 relativamente primos com este são os elementos de N, com N = {1, 3, 7, 9}. 
Então: 
 (10) = n(D10) = 4. 
  ∑ 
 
 
 (n) = n(N) = 4. 
 Vejamos que 10 = 2
1
  5
1
, e mdc(2, 5) = 1. Então, 
 (10) = (2
1
  5
1
) = (2
1
)  (5
1
) = (2
1
  2
0
)  (5
1
  5
0
) = 4. 
 
 Os outros itens são análogos. 
 Lembrando que, se N = 
  
  ...  
 
 , o número de divisores positivos é (1 + 1)  (1 + 2)  ...  (1 + k). 
 
2. Para quais valores de m, (m) é ímpar? 
Seja m = 
  
  ...  
 
 . 
Então (m) = ( 
 )  ( 
 )  ...  ( 
 
 ) = ( 
  
  )  ...  ( 
 
  
 
  ) = 
  ...  
 
  (  
 
 
)  ...  (  
 
 
). 
Mas m = 
  
  ...  
 
 . Então, (m) = m  (  
 
 
)  ...  (  
 
 
). 
Vejamos que, com exceção de m = 2, (m) é par se m é par. 
Se m é ímpar, então qualquer pi (da decomposição de m em fatores primos) deve ser ímpar. 
Neste caso,  
 
 
 = 
  
 
 = (pi  1)  
 
 
 é par, uma vez que pi  1 é par. 
Ou seja, (m) é ímpar apenas para m = 1 e m = 2. 
 
3. Para quais valores de m, (m) divide m? 
 
4. Mostrar que se m e n são inteiros positivos tais que m | n, então (m) | (n). 
Sejam m = 
 
  
 
  ...  
 
 e n = 
 
  
 
  ...  
 
 . Se m | n, é claro que i  i, para todo i. 
Dessa forma, todos os fatores primos 
 
 ’s de m d v dem a , ou seja, todos os fatores (  
 
 
)’s de (m) estarão, também, 
em (n). Dessa forma, (n) = n  ∏(  
 
 
) e m | n, então m  ∏(  
 
 
) = (m) | (n). 
∎ 
 
5. Refazer a demonstração do Teorema 4.3 para m = 5 e n = 9. 
Primeiramente, lembremos: 
Teorema 4.3: A função  de Euler é multiplicativa, isto é, (m  n) = (m)  (n), para mdc(m, n) = 1. 
 
Inicialmente, notemos que (5) = 4 e (9) = 6. 
Queremos mostrar que (45) = 24. 
Ora, mas (45) é o número de inteiros positivos que são relativamente primos com 45. 
Sendo que 45 = 3
2
  5, temos que 45 não será relativamente primo com nenhum múltiplo de 3 e com nenhum múltiplo de 5. 
Dessa forma, sendo N o conjunto em questão, temos: 
N = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 22, 23, 26, 28, 29, 31, 32, 34, 37, 38, 41, 43, 44}. 
Assim, (45) = |N| = 24, como queríamos provar. 
∎ 
 
 
6. Mostrar que (m) é par se m > 2. 
Demonstração feita no exercício 2. 
 
8. Mostrar que se f é multiplicativa, então f(1) = 1. 
Se f é multiplicativa, então f é não nula. Em vista de que mdc(1, 1) = 1, temos que f(1  1) = f(1) ⇒ [f(1)]2 = f(1), o que implica 
em f(1) = 0 ou f(1) = 1. 
Se f(1) = 0, então, como mdc(1, n) = 1, f(n) = f(n  1) = f(n)  f(1) = 0. Absurdo, pois f é multiplicativa. 
Dessa forma, f(1) = 1. 
∎ 
 
 
10. Mostrar que um inteiro p é um primo se, e somente se, (p) = p + 1. 
(⇒) 
Se p é primo, então os únicos divisores positivos de p são p e 1. Dessa forma, (p) = p + 1. 
(⇐) 
Suponhamos que p seja composto. Isto é, além de 1 e p, p possui outros divisores. Seja S a soma destes divisores. 
Com efeito, (p) = 1 + p + S. 
Porém, por hipótese, temos que (p) = p + 1, ou seja, p + 1 = p + 1 + S, o que implica em S = 0. 
Mas S é a soma dos divisores positivos de p, ou seja, S > 0, o que gera um absurdo. 
Logo, p é primo. 
∎ 
 
 
11. Mostramos que as funções (n) e (n) são multiplicativas. Mostrar que nenhuma delas é completa-
mente multiplicativa. 
Notemos que (n) é o número de divisores positivos de n. 
Tomemos, como exemplo, n = 4 e m = 2. É claro que mdc(m, n)  1. 
Temos, porém, que (2) = 2, (4) = 3 e (8) = 4. 
Com isso, notamos que (8)  (2)  (4), ou seja, que (2  4)  (2)  (4), fazendo com que (n) não seja completamente 
multiplicativa. 
O mesmo exemplo é válido para a função . 
Como (n) é a soma dos divisores positivos de n, temos que: (2) = 3, (4) = 7 e (8) = 15. 
Teremos, então, que (8)  (2)  (4), isto é, (2  4)  (2)  (4), o que mostra que esta também não é completamente 
multiplicativa. 
 
 
 
12. Mostrar que para um inteiro fixo r, a função h(n) = nr é completamente multiplicativa. 
Notemos que, para os inteiros m e n, temos que h(n)  h(m) = n
r
  m
r
 = (n  m)
r
 = h(m  n). h é, portanto, completamente mul-
tiplicativa. 
∎ 
 
 
13. Mostrar que as funções F(n) = f(n)  g(n) e G(n) = f(n)/g(n) são multiplicativas sendo f(n) e g(n) multi-
plicativas com g(n)  0. 
Sejam m e n inteiros. Teremos que: 
F(m  n) = f(m  n)  g(m  n) = [f(n)  f(m)]  [g(n)  g(m)] = [f(m)  g(m)]  [f(n)  g(n)] = F(m)  F(n). 
Logo, F é multiplicativa. 
G(m  n) = f(m  n)/g(m  n) = f(m)  f(n) / g(m)  g(n) = [f(m)/g(m)]  [f(n)/g(n)] = G(m)  G(n). 
Logo, G é multiplicativa. 
∎ 
 
 
14. Mostrar, através de um exemplo, que a função F(n) = ∑ nem sempre é completamente mul-
tiplicativa caso f(d) seja. 
É claro que f(d) = d é multiplicativa. Tomando F(n) = ∑ dd , teremos que F(n) = (n). Porém, já foi mostrado no exercício 
11 que a função (n) não é completamente multiplicativa, o que completa nosso exemplo. 
 
15. Mostrar que para qualquer inteiro positivo n > 1 existem infinitos inteiros m tais que (m) = n. 
Tomemos, como base, o fato de que os primos são infinitos. 
Sendo p primo, tomemos m = p
n  1. Da existência de infinitos primos, temos a existência de f tos m’s dessa forma. 
Sabemos, porém, que (m) = (p
n  1) = (n  1) + 1 = n. 
Dessa forma, existem infinitos valores de m para os quais (m) = n. 
∎ 
 
 
16. Encontrar o menor inteiro positivo m para o qual (m) = 6. 
Tomemos m = p, com p primo. Caso seja possível encontrar m dessa forma, garantimos que m  m1 = p
  q , com p e q 
primos. A fim de encontrarmos o menor valor de m, essa suposição é plausível. 
Então, (m) = (p) = 
   
  
 = 
   

 
  
 = p + p
  1
 + ... + p + 1. 
Afim de que (m) = 6, deveremos ter p + p
  1 + ... + p + 1 = 6, isto é, p + p
  1
 + ... + p = 5, ou seja, p  (p
  1 + ... + 1) = 5. 
Para tanto, deveremos ter p = 5 e p
  1
 + ... + p + 1 = 1, ou seja,  = 1. Temos, portanto, que m = p
 = 5. 
 
A verificação podia, porém, ter sido feita por testes. 
Temos: (1) = 1, (2) = 3, (3) = 4, (4) = 7 e (5) = 6. 
 
17. Encontrar o menor inteiro positivo m para o qual (m) = 6. 
Analogamente ao exercício anterior, podemos supor m = p, com p primo. Dessa forma, (m) = p  p
  1. 
A fim de que (m) = 6, deveremos ter p  p
  1 = p
  1  (p  1) = 6. Para tanto, teremos:

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