Apresentação (TCC) AMANDA

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A CONJECTURA DE POINCARÉ: Noção intuitiva e enigma sobre o formato do universo
Amanda Soares Bento
Orientador: Professor Me. Rafael Braz de Macêdo
CEDRO-CE
2016
ESTRUTURA DO TRABALHO
INTRODUÇÃO
Capítulo 1 – Aspectos históricos da topologia à conjectura de Poincaré
Capítulo 2 – Elementos fundamentais da conjectura de Poincaré
Capítulo 3 – O desfecho da conjectura de Poincaré
CONSIDERAÇÕES FINAIS
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
OBJETIVO DO TRABALHO
Apresentar os conceitos norteadores da topologia;
Mostrar a trajetória histórica desde a formulação da conjectura até a sua demonstração;
Divulgar a conjectura para a comunidade acadêmica de matemática do campus;
Incentivar pesquisas na área da topologia;
CAPÍTULO 1- ASPECTOS HISTÓRICOS DA TOPOLOGIA À CONJECTURA DE POINCARÉ
Faz-se uma contextualização histórica acerca do surgimento da topologia que remonta a época de Euclides;
Na busca de relacionar cada matemático à sua contribuição são evidenciados os precursores da topologia algébrica;
Vemos que a Topologia surgiu a partir dos estudos de Euler; 
Foi proposto a Euler a solução do seguinte problema: 
É possível realizar um percurso passando uma única vez em cada uma das sete pontes de Konigsberg?
Em um contexto recente apresenta-se a história de Henri Poincaré e como surgiram as primeiras ideias para formulação da conjectura.
Em 1985 Poincaré começou a escrever seis ensaios sobre Analysis Situs; 
No final do quinto complément Poincaré realizou questionamentos que viria a ser tornar a famosa Conjectura.
Corpos com o mesmo Grupo Fundamental Trivial são topologicamente equivalentes à esfera?
CAPÍTULO 2- ELEMENTOS FUNDAMENTAIS DA CONJECTURA DE POINCARÉ
Apresenta-se as noções principais da topologia que norteiam a conjectura e a sua demonstração;
Destaca-se a importância das variedades, suas classificações, o contraexemplo encontrado para a esfera homológica de Poincaré e o conceito de Grupo Fundamental;
Apresenta-se as variedades simplesmente conexas, entendendo-se a relação destas com a possível forma do universo.
CAPÍTULO 3- O DESFECHO DA CONJECTURA DE POINCARÉ 
Expõe-se os principais personagens que contribuíram para desvendar o enigma;
Apresenta-se a conjectura em dimensões superiores a três e a conjectura da geometrização de Thruston;
Por fim, são descritas as estratégias utilizadas por Grigori Perelman para solucionar a conjectura em dimensão três. 
DEFINIÇÃO DOS CONCEITOS
Variedades
Definição: Uma variedade é um espaço que pode ser descrito por meio de coordenadas. O número de coordenadas necessárias são denominadas de dimensão.
Dimensões: Uma curva tem dimensão 1;
 Uma superfície tem dimensão 2. 
POR QUE VARIEDADES SÃO IMPORTANTES?
Classificação de Variedades
Um problema inerente à topologia: Seria possível listar todas as variedades de qualquer dimensão d?
Em uma dimensão a única variedade aberta é a reta e a única variedade fechada é o círculo; 
Variedades homeomorfas e não homeomorfas
Variedades homeomorfas: Duas variedades são chamadas de homeomorfas quando seus pontos são continuamente correspondentes um a um.
 
Exemplo 1:
variedades homeomorfas
Exemplo 2: 
Homeomorfismo entre a caneca e o toro
Exemplo 3:
Variedades não homeomorfas
 
Algo curioso sobre variedades é que vive-se dentro de uma;
Um dos maiores desafios da ciência é entender o tipo de variedade que forma o universo, se é uma variedade aberta ou fechada;
Questiona-se que se o universo possui muita massa, ele é uma variedade fechada, caso contrário, é uma variedade aberta. 
VARIEDADES COM BORDO/ABERTA E SEM BORDO/FECHADA
Variedade com Bordo: É aquela em que pode-se traçar um caminho infinito. 
VARIEDADE SEM BORDO
O bordo de uma variedade bidimensional é na verdade unidimensional;
HÁ DUAS SEQUÊNCIAS FUNDAMENTAIS DE SUPERFÍCEIS FECHADAS
VARIEDADES ORIENTÁVEIS
REALIZANDO A SOMA CONEXA, TEMOS:
VARIEDADES NÃO-ORIENTÁVEIS 
VARIEDADE SIMPLESMENTE CONEXA
Uma variedade é simplesmente conexa se todo laço nela contido pode se colapsar em um único ponto, caso contrário, ela é dita não simplesmente conexa;
Na cosmologia há um questionamento se o universo é uma variedade simplesmente conexa ou não simplesmente conexa;
Esse túnel também permitiria viagens no tempo e no espaço contínuo, nesse sentido, seria possível voltar no tempo.
OS NÚMEROS DE BETTI
No Toro tem-se os números de Betti da forma: (1, 2, 1) 
GRUPO FUNDAMENTAL
As fitas elásticas em torno de corpos como uma bola de futebol, Bagels e Pretzels, são classificadas como grupo fundamental. Vai-se mostrar como essas fitas são capazes de representar um grupo.
Exemplo: 
Considere o par (7, -2), significa que a fita amarela foi torcida sete vezes em torno do bagel. Como o número 7 é positivo, esse movimento ocorreu da direita para a esquerda. Já o número -2, significa que a fita verde passou duas vezes através do buraco e de baixo para cima.
Fita Amarela
+ (Direita para esquerda em torno do objeto)
- (Esquerda para direita em torno do objeto)
Fita Verde
+ (De cima para baixo através do buraco)
- (De baixo para cima através do buraco)
COMO VERIFICAR SE O TORO DISPÕE DE UM GRUPO FUNDAMENTAL
1) Fechamento;
2) Associatividade;
3) Elemento neutro ou elemento identidade;
4) Elemento Inverso.
QUAL O GRUPO FUNDAMENTAL DE UMA ESFERA?
A fita que encolhe-se até se tornar um ponto representa o Elemento Neutro. Denomina-se de Grupo Fundamental Trivial. 
O QUE DIZ A CONJECTURA?
Conjectura de Poincaré: Toda variedade fechada Simplesmente Conexa de dimensão 3 é equivalente (homeomorfa) à esfera tridimensional.
A CONJECTURA DE POINCARÉ EM DIMENSÕES SUPERIORES
Conjectura: Para qualquer dimensão d > 2 toda variedade fechada que apresenta o tipo de homotopia da esfera é homeomorfa à esfera 
A demonstração da conjectura de Poincaré para a dimensão cinco e superiores foi realizada na praia de Copacabana por Steven Smale. 
Smale realizou uma investigação em variedades usando o teorema do h-Cobordismo.
Outro ilustre matemático chamado John Stallings encontrou um método completamente distinto do modelo de Smale para demonstrar a conjectura em dimensões iguais a sete e superiores;
O Japonês Chistopher Zeeman estendeu o teorema de Stallings para a quinta e sexta dimensão; 
 
Michael Freedman demonstrou a conjectura em dimensão quatro e recebeu a medalha Fields em 1986.
Conjectura da geometrização de Thurston: As peças capazes de formar todas as variedades tridimensionais podem assumir apenas oito formas geométricas distintas.
NOÇÕES GERAIS DA DEMONSTRAÇÃO DA CONJECTURA DE POINCARÉ
Thurston investigou se com apenas oito formas geométricas distintas era possível extrair todas as variedades primas, cujas combinações são equivalentes a todas as variedades de dimensão 3; 
A prova da teoria da Geometrização implica na demonstração da Conjectura de Poincaré e contribuiu para classificar todas as variedades tridimensionais. 
No início da década de 80, Hamilton propôs: “É possível deformar uma variedade tridimensional com uma métrica qualquer, aumentando a curvatura onde ela é pequena e diminuindo onde ela é grande. Essa deformação converge a variedade para uma geometria uniforme ”.
O FLUXO DE RICCI
A equação do fluxo de Ricci é usada para escrever a métrica de uma variedade e realizar a sua deformação.
 
É a métrica Riemanniana, 
é o tensor da curvatura de Ricci e 
é o tempo de deformação da variedade.
Essa fórmula é uma versão não linear da equação do calor; 
 
O uso do fluxo de Ricci apresentou certos problemas. Quanto maior a curvatura da variedade, mais ela diminui, tornando-se uma esfera e desaparecendo-se no ar.
onde é a constante cosmológica
Abaixo encontra-se
um exemplo em que é aplicado essa estratégia. 
Em dimensão dois, a deformação deve convergir para uma superfície com curvatura constante.
O PROBLEMA DAS SINGULARIDADES
As singularidades ocorrem quando a curvatura da variedade é negativa;
 
A solução estava em parar o fluxo de Ricci antes que a variedade saísse de vista;
Cortar as partes indesejáveis e colar remendos nas lesões;
Aplicava-se novamente o fluxo de Ricci e, caso o problema ainda persistisse, realizava-se novamente a cirurgia.
Singularidade do Gargalo
Para o desânimo de Hamilton, a singularidade do charuto não reagia à cirurgia e passou as duas últimas décadas do século XX tentando solucionar o problema.
GRIGORI PERELMAN DEMONSTRA A CONJECTURA DE POINCARÉ
Atualmente com 50 anos de idade Grigori Perelman, também conhecido como Grisha se tornou o matemático mais eminente do século XXI. 
 
OS PASSOS DA DEMONSTRAÇÃO
Hamilton tinha reduzido o número de singularidades possíveis. Algumas delas são as singularidades das esferas, os tubos e a do charuto;
Perelman ampliou o programa do Fluxo de Ricci desenvolvido por Hamilton, fazendo-o operar em todas as variedades possíveis;
Ele tinha que analisar a ação do Fluxo de Ricci em uma variedade Compacta Simplesmente Conexa até desenvolver singularidades;
As singularidades das esferas podem ser removidas com facilidade, já os tubos requeriam mais trabalho;
Esses tubos podem ser conexões entre duas variedades ou apêndices unidos a um lado da variedade e cortados na outra extremidade;
Durante o fluxo de Ricci é aguardado aparecer os primeiros sinais de um tubo. Extrai-se uma parte por meio de uma cirurgia profilática efetuada por cortes dos tubos próximos às extremidades e sela-se os orifícios com tampas. 
Após a remoção das esferas na variedade com aparência de tubo amputado e com aberturas restauradas pela selagem, aplica-se novamente o fluxo de Ricci.
Ao notar que os pedaços retirados da variedade original é uma das oito variedades primas e qualquer uma delas é homeomorfa à esfera, a conjectura de Poincaré está demonstrada.
O objeto de preocupação agora, era a singularidade do charuto, pois resistia à cirurgia;
Perelman utilizou uma técnica sofisticada de análise da variedade chamada de Reescalamento Parabólico, inclusive, já usada por Hamilton;
Perelman então percebeu a existência de uma parte inalterada e a denominou de Entropia;
Passou-se a verificar o Fluxo de Ricci ao contrário para estudar a deformação da variedade;
A singularidade do Charuto se enrolava tanto que chegava a colapsar;
Perelman também mostrou que não se pode realizar infinitas cirurgias em tempo finito. 
Atualmente, 3 das 44 medalhas Fields foram concedidas por trabalhos relacionados à Conjectura de Poincaré;
Em agosto de 2006 no CIM de Madrid foi anunciado o fim de um problema que perdurava cem anos e atribuído o prêmio da Medalha Fields a Grigori Perelman;
A importância do seu trabalho era o maior prêmio que poderia conceder à comunidade científica.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
	Esse trabalho evidenciou os principais aspectos da topologia que norteiam a conjectura de Poincaré. Apresentou-se as noções geométricas e exemplificações, evitando os cálculos com notações ímprobas, vistos em um nível de ensino mais avançado, para que o leitor consiga situar-se no objeto de estudo, sem recorrer a pormenores.
	Espera-se que esse trabalho contribua como aporte teórico para que os estudantes, ainda na graduação, possam apropriar-se prematuramente dos conceitos da Topologia Algébrica. Esse ramo da matemática dispõe de trabalhos magníficos que podem ser utilizados como materiais de apoio. Obviamente, o entendimento é bastante intricado, mas as ideias gerais podem ser entendidas de acordo com a escolha correta dos instrumentos de estudo.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] BARROS, Regina Lourenço de. Classificação das superfícies Compactas sem bordo. TCC (Graduação) - Curso de Licenciatura em Matemática, Universidade Federal de São Carlos, São Carlos, 2010.
[2] SZPIRO, George G. A conjectura de Poincaré: Cem anos para resolver um dos maiores problemas da matemática. 2. ed. Lisboa: Gradiva, 2012. 406 p.
[3] O’SHEA, Donal. A solução de Poincaré: Em busca da forma do universo. Rio de Janeiro: Afiliada, 2007. 348 p.
[4] VIANA, Marcelo. Conjectura de Poincaré: Geometria para entender o universo. Rio de Janeiro: Impa, 2012. 61 slides, color.
Obrigado a todos pela atenção!