MTM112 54 prova3 01 2010

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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Cieˆncias Exatas e Biolo´gicas
Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o a A´lgebra Linear
2o Semestre de 2009 – 3a Avaliac¸a˜o
08/12/2009 – 13h30 - 15h10
Nome: No
Observac¸o˜es: Leia atentamente cada questa˜o. Resolva-as de forma clara e organizada. RESPOSTAS
SEM JUSTIFICATIVAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS. Boa avaliac¸a˜o e sucesso na carreira es-
colhida.
ATENC¸A˜O: escolha cinco (05) das seis questo˜es abaixo.
Questa˜o 1: Determine uma transformac¸a˜o linear T : R2 → R2 tal que 1 e -1 sa˜o autovalores de T ,
sendo os respectivos autovetores da forma (2x, 3x) e (−3y, 2y).
Questa˜o 2: As matrizes abaixo sa˜o diagonaliza´veis?
A =

2 0 0 0
1 2 0 0
0 0 1 0
0 0 1 1
 e B =
 0 4 04 0 0
0 0 0

Questa˜o 3: Sejam P2 o espac¸o vetorial dos polinoˆmios de grau menor ou igual a 2 e D : P2 → P2 o operador
derivada, isto e´ D(p(x)) = p′(x). Escreva a matriz de D em relac¸a˜o a base α = {1, x, x2}. D possui algum
autovetor?
Questa˜o 4: Resolva o sistema de equac¸o˜es diferenciais abaixo x
′(t) = −x+ 3y
y′(t) = 2x+ 4y
Tendo a soluc¸a˜o geral em ma˜os, encontre a soluc¸a˜o particular tal que x(0) = 0 e y(0) = 4.
Questa˜o 5: Seja T a transformac¸a˜o linear definida por (x, y, z) 7→ (3x, 3y, x+y−2z2 ). Encontre a expressa˜o
da matriz de T em relac¸a˜o a` base canoˆnica de R4. Existe uma base B na qual a matriz T e´ diagonal? Caso
afirmativo exiba esta base e a matriz de T nessa base.
Questa˜o 6: Dada T (x, y, z) = (x+ y, ax+ y, 3z), resolva os itens abaixo;
(a) Para que valores de a o operador T na˜o e´ diagonaliza´vel?
(b) Para os valores de a em que T e´ diagonaliza´vel, exiba os autovetores de T em func¸a˜o de a. Qual seria a
expressa˜o da matriz de T nessa base?