MTM112 73 Prova2 01 2013

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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Cieˆncias Exatas e Biolo´gicas - Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear - MTM112-73
1o. Semestre de 2013 – Segunda Avaliac¸a˜o
Leia atentamente cada questa˜o. Resolva-as de forma clara e organizada. RESPOSTAS SEM JUSTI-
FICATIVAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS. Boa avaliac¸a˜o e sucesso na carreira escolhida.
Questa˜o 1:(15 pts cada item) Resolva os itens abaixo:
a) Encontre uma transformac¸a˜o linear T : R3 → R2 tal que T (1, 2, 0) = (1, 2), T (0, 2, 1) = (2, 1) e T (0, 1, 0) = (0, 1).
Exiba uma base para ker(T ). Qual e´ a dimensa˜o da imagem de T?
b) Dados os vetores de R4 u1 = (1,−1, 0, 0), u2 = (0, 2,−2, 0) e u3 = (−3, 0, 3, 0) verifique se os vetores u =
(3, 1,−4, 0) e v = (1, 2, 3, 4) pertencem a` W = [u1, u2, u3].
Questa˜o 2:(30 pts) Considere a matriz
A =
 2 1 01 2 0
0 0 3
 .
e a transformac¸a˜o linear de TA : R3 → R3 induzida por A, cuja expressa˜o e´ TA(X) = A ·X, sendo X = [x y z]t.
Considere tambe´m a transformac¸a˜o linear I(X) = I3 ·X, induzida pela matriz identidade I3. Encontre os valores de
λ ∈ R tais que a transformac¸a˜o linear Tλ definida por Tλ(X) = TA(X)− λI(X) seja tal que dim(ker(Tλ))> 0. Para
cada valor λ encontrado, exiba uma base para ker(Tλ).
Questa˜o 3: (15 pts cada item) Resolva os itens abaixo:
a) O conjunto S formado pelas matrizes sime´tricas1 2× 2 e´ um subespac¸o vetorial de M2×2(R)?
b) Os vetores (1, 2,−1, 0), (0,−1, 2, 1), (1, 0, 0, 0) e (1, 1, 1, 1) sa˜o linearmente independentes?
Questa˜o 4:(30 pts) Um exemplo interessante do uso transformac¸o˜es lineares e´ o acontece quando trabalhamos com
o CPF (Cadastro de Pessoas F´ısicas). O nu´mero de inscric¸a˜o do CPF e´ constitu´ıdo de nove d´ıgitos agrupados de
treˆs em treˆs, mais dois d´ıgitos verificadores, por exemplo: 140.402.809−XY. Os d´ıgitos verificadores X e Y teˆm por
finalidade comprovar a validade do nu´mero do CPF informado. Tais d´ıgitos sa˜o obtidos por uso de transformac¸o˜es
lineares conforme descrito a seguir
• O Ca´lculo do primeiro d´ıgito verificador.
Consideramos a transformac¸a˜o linear f : R9 → R cuja expressa˜o e´
f(x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9) = 10x1 + 9x2 + 8x3 + 7x4 + 6x5 + 5x6 + 4x7 + 3x8 + 2x9
construindo um vetor u = (y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8, y9) ∈ R9 cujas coordenadas sa˜o constitu´ıdas dos d´ıgitos
do CPF na ordem em que eles aparecem e, apo´s o ca´lculo de f(u) tomamos o resto da divisa˜o inteira de f(u)
pelo nu´mero 11. Se o resto for 0 ou 1 o primeiro d´ıgito verificador sera´ 0. Caso contra´rio (resto entre 2 e 10) o
primeiro d´ıgito verificador sera´ 11-resto.
• O Ca´lculo do segundo d´ıgito verificador.
Consideramos a transformac¸a˜o linear f : R10 → R cuja expressa˜o e´
f(x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10) = 11x1 + 10x2 + 9x3 + 8x4 + 7x5 + 6x6 + 5x7 + 4x8 + 3x9 + 2x10
construindo um vetor v = (y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8, y9, y10) ∈ R10 cujas coordenadas sa˜o constitu´ıdas dos
d´ıgitos do CPF, mais o primeiro d´ıgito verificador na ordem em que eles aparecem e, apo´s o ca´lculo de f(v)
tomamos o resto da divisa˜o inteira de f(v) pelo nu´mero 11. Se o resto for 0 ou 1 o segundo d´ıgito verificador
sera´ 0. Caso contra´rio (resto entre 2 e 10) o segundo d´ıgito verificador sera´ 11-resto.
Encontre os d´ıgitos verificadores do CPF.
140.402.809−XY.
1A e´ dita sime´trica se At = A.