MTM112 77 Prova3 01 2013

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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Cieˆncias Exatas e Biolo´gicas - Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear - MTM112-77
1o. Semestre de 2013 – 3a Avaliac¸a˜o
Observac¸o˜es: Leia atentamente cada questa˜o. Resolva-as de forma clara e organizada. RESPOSTAS
SEM JUSTIFICATIVAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS. Boa avaliac¸a˜o e sucesso na carreira
escolhida.
Questa˜o 1: Determine uma transformac¸a˜o linear T : R2 → R2 tal que 6 e -1 sejam autovalores de T e os
respectivos autovetores sejam da forma (3x, 4x) e (4x, 3x).
Questa˜o 2: Os operadores lineares abaixo sa˜o diagonaliza´veis? Por queˆ?
a) T (x, y, z) = (3x−√7z, 3y,−√7x+ 5z)
b) A(x, y, z, w) = (3x+ y, 3y + z, 2z + w, 2w) Questa˜o 3: Seja T : R4 → R4 o operador linear tal que
T (1, 1, 1, 1) = (4, 4, 4, 4),
T (1, 1, 1, 0) = (4, 4, 2, 2),
T (1, 1, 0, 0) = (4, 4, 0, 0),
T (1, 0, 0, 0) = (2, 2, 0, 0).
Existiria uma base de R4 em que a matriz de T e´ diagonal? Caso afirmativo, qual e´ a expressa˜o de T nessa
base?
Questa˜o 4: Seja T : R3 → R3 o operador linear tal que a matriz de T na base canoˆnica de R3 seja 1 0 01 −1 0
1 1 1

Encontre uma base β = {v1, v2, v3} de R3 tal que a matriz de T na base β seja 1 0 0−1 −1 0
2 1 1
 .