L8 - transf lineares e mudanca base

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
Departamento Acadêmico de Matemática - DAMAT
Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear (MA71B)
Profa. Dra. Nara Bobko
Lista de Exerćıcios 8
(Transformações Lineares e Matriz Mudança de Base)
1. Determine quais das seguintes funções são transformações lineares (Justifique sua resposta):
a) f : R2 → R2 tal que f(x, y) = (x+ y, x− y)
b) f : R2 → R tal que f(x, y) = xy
c) f : M2 → R tal que f
([
a11 a12
a21 a22
])
= det
[
a11 a12
a21 a22
]
d) f : P2 → P3 tal que f(ax2 + bx+ c) = ax3 + bx2 + cx
e) f : R→ R tal que f(x) = |x|
f) Fixada matriz Bn×n, f : Mn×n →Mn×n definida por T (A) = AB +BA.
2. Prove que as seguintes funções são transformações lineares:
a) (Multiplicação por matriz) Fixada matriz Am×n, T : Rn×1 → Rm×1 definida por T (X) = AX.
b) (Rotação) T : R2 → R2 dada por Tθ(x, y) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ).
c) (Derivação) T : Pn → Pn dada por T (p) = p′.
3. Sabendo que T : R2 → R3 é uma transformação linear e que T (1,−1) = (3, 2,−2) e T (−1, 2) =
(1,−1, 3), determine T (x, y).
4. Determine a transformação linear T : P2 → P2 tal que T (1) = x, T (x) = 1−x2 e T (x2) = x+2x2.
5. Sejam V e W espaços vetoriais e T : V→W uma transformação linear. Prove que
i) T (0V) = 0W
ii) T (−v) = −T (v) para todo v ∈ V
iii) T (α1v1 + . . .+ αnvn) = α1T (v1) + . . .+ αnT (vn) para todo αi ∈ R e vi ∈ V
6. Sejam T1 : V → W e T2 : V → W transformações lineares, e β1 e β2 escalares. Prove que
T : V→W, definida por T (v) = β1T1(v) + β2T2(v) também é transformação linear.
7. Sejam T : V → W e L : W → U transformações lineares. Mostre que L ◦ T : V → U dada por
(L ◦ T )(v) = L(T (v)) também é uma Transformação linear.
8. Seja T : V→W uma transformação linear. Prove que
a) N(T ) é um subespaço vetorial de V b) Im(T ) é subespaço vetorial de W
9. Considere o operador linear T : R3 → R3 definido por
T (x, y, z) = (x+ 2y + 2z, x+ 2y − z,−x+ y + 4z).
(a) Determinar o vetor u ∈ R3 tal que T (u) = (−1, 8,−11).
(b) Determinar o vetor v ∈ R3 tal que T (v) = v.
1
10. Seja a transformação linear T : R2 → R3 tal que
T (−2, 3) = (−1, 0, 1) e T (1,−2) = (0,−1, 0).
(a) Determine T (x, y).
(b) Determnine N(T ) e Im(T ).
(c) T é injetora? T é sobrejetora?
11. Dada a transformação linear T : P5 → P5 definida por T (p) = p′, encontre N(T ), Im(T ),
nulidade de T e posto de T .
12. Seja T : R3 → R3 uma transformação linear dada por T (x, y, z) = (z, x− y,−z).
a) Encontre uma base para o núcleo de T
b) Encontre uma base para a imagem de T
c) Descreva geometricamente o núcleo e a imagem de T
13. Seja T : R3 → R2 a transformação linear tal que T (e1) = (1, 2), T (e2) = (0, 1) e T (e3) = (−1, 3),
sendo {e1, e2, e3} a base canônica de R3.
(a) Determine o N(T ) e uma de suas bases. T é injetora?
(b) Determine a Im(T ) e uma de suas bases. T é sobrejetora?
14. Seja T : V→W uma transformação linear. Prove que
a) T é sobrejetora se, e somente se, dim(Im(T )) = dim(W)
b) T é injetora se, e somente se, dim(N(T )) = 0
15. Seja T : Rn → R5 uma transformação linear.
a) Se T é sobrejetiva e dim(N(T )) = 2, qual o valor de n?
b) Se T é sobrejetiva e injetiva, qual o valor de n?
16. Para cada transformação linear abaixo, encontre a Matriz da Transformação Linear (em relação
as bases canônicas):
a) T : R2 → R tal que T (x, y) = x+ y
b) T : R5 → R5 tal que T (V ) = projWV onde W =
(
1√
3
, 0, 1√
3
, 1√
3
, 0
)
c) T : R2 → R3 tal que T (x, y) = (y, x, x+ y)
17. Para cada transformações linear T abaixo, verifique se T é invert́ıvel e, se posśıvel, calcule a
inversa T−1.
a) T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) = (x+ 2y + z, y + 2z, z)
b) T : R3 → R3 definida por T (a, b, c) = (a,−2a+ b,−2a− 4b+ c)
c) T : R3 → R3 definida por T (a, b, c) = (a+ b+ c, a+ 2b, a+ 2c)
18. Encontre um operador linear T : R3 → R3 cujo núcleo é gerado por (−1, 2, 1) e (1,−1, 0).
19. Encontre uma transformação linear T : R3 → R4 cuja imagem é gerada por (1, 3,−1, 2) e
(2, 0, 1,−1).
2
20. Seja T : R3 → R2 tal que
[T ]B1B2 =
[
1 0 −1
−1 1 1
]
,
sendo B1 = {(0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1)} e B2 = {(−1, 0), (0,−1)} bases do R3 e do R2 respecti-
vamente.
(a) Encontre a expressão de T (x, y, z).
(b) Determine Im(T ) e uma base para esse subespaço do R2.
(c) Determine N(T ) e uma base para esse subespaço do R3.
(d) T é injetora? T é sobrejetora? Justifique.
21. Considere o operador linear
T : R2 → R2
(x, y) 7→ (x+ 2y, x− y)
e as bases A = {(−1, 1), (1, 0)}, B = {(2,−1), (−1, 1)} e C canônica. Determine [T ]AA, [T ]BB e
[T ]CC .
22. Seja T : R3 → R2, com T (x, y, z) = (2x− y + z, 3x+ y − 2z). Considere as bases
A = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} e B = {(2, 1), (5, 3)},
do R3 e do R2, respectivamente.
(a) Determine [T ]AB.
(b) Se v = (3,−4, 2) (coordenadas em relação a base canônica do R3), calcule [T (v)]B2 utilizando
a matriz encontrada.
23. Sejam B = {(1, 0), (0, 1)}, B1 = {(−1, 1), (1, 1)}, B2 = {(3, 1), (3,−1)} e B3 = {(2, 0), (0, 2)}
bases ordenadas do R2.
a) Ache as matrizes mudança de base:
i) [I]B1B ii) [I]
B
B1
iii) [I]BB2 iv) [I]
B
B3
b) Quais são as coordenadas do vetor v = (3,−2) em relação à base:
i) B ii) B1 iii) B2 iv) B3
c) As coordenadas de um vetor v em relação a base B1 são dadas por
[v]B1 =
[
4
0
]
.
Quais são as coordenadas de v em relação à base:
i) B ii) B2 iii) B3
24. Sejam B1, B2, B3 e B4 bases do R2, determine [I]B1B3 sabendo que
[I]B1B2 =
[
1 0
0 2
]
, [I]B4B3 =
[
−4 0
1 5
]
e [I]B2B4 =
[
−1 1
4 1
]
3
Respostas
1. a) Sim b)Não c)Não d)Sim e)Não f) Sim
3. T (x, y) = (7x+ 4y, 3x+ y,−x+ y)
4. T (a+ bx+ cx2) = b+ (a+ c)x+ (−b+ 2c)x2.
9.
(a) u = (1, 2,−3) (b) v = (2z,−z, z) com z ∈ R.
10.
(a) T (x, y) = (2x+ y, 3x+ 2y,−2x− y).
(b) N(T ) = {(0, 0)} e Im(T ) = {(x, y,−x)|x, y ∈ R}.
(c) T é injetora, mas não é sobrejetora.
11. N(T ) = span{1}, Im(T ) = span{1, t, t2, t3, t4}, nulidade 1 e posto 5.
12. a) {1, 1, 0} b) {(0, 1, 0), (1, 0,−1)}
c) O núcleo de T é uma reta que passa pela origem e tem vetor diretor (1, 1, 0) e a imagem de T é o
plano que passa pela origem que tem vetores diretores (0, 1, 0) e (1, 0,−1).
13. a) N(T ) = {(z,−5z, z)|z ∈ R} b) Im(T ) = R2.
15. a) 7 b) 5
16. a)
[
1 1
]
b)

1/3 0 1/3 1/3 0
0 0 0 0 0
1/3 0 1/3 1/3 0
1/3 0 1/3 1/3 0
0 0 0 0 0
 c)
0 11 0
1 1

17.
a) T−1(x, y, z) = (x− 2y + 3z, y − 2z, z)
b) T−1(a, b, c) = (a, 2a+ b, 10a+ 4b+ c)
c) Não é invert́ıvel
20.
(a) T (x, y, z) = (−2y + z,−x+ y)
(b) Im(T ) = R2
(c) N(T ) = {(x, x, 2x)|x ∈ R}
(d) T é sobrejetora. T não é injetora.
21.
[T ]A =
[
−2 1
−1 2
]
[T ]B =
[
3 −1
6 −3
]
[T ]C =
[
1 2
1 −1
]
22.
(a) [T ]AB =
[
−4 5 13
2 −2 −5
]
(b) [T (v)]B =
[
31
−10
]
23a. i.
[
−1 1
1 1
]
, ii.
[
−1
2
1
2
1
2
1
2
]
, iii.
[
1
6
1
2
1
6
−1
2
]
, iv.
[
1
2
0
0 1
2
]
.
23b. i.
[
3
−2
]
, ii.
[
−5
2
1
2
]
, iii.
[
−1
2
3
2
]
, iv.
[
3
2
−1
]
.
23c. i.
[
−4
4
]
, ii.
[
4
3
−8
3
]
, iii.
[
−2
2
]
.
24. [I]B1B3 = [I]
B4
B3
. [I]B2B4 . [I]
B1
B2
=
[
4 −8
19 12
]
4