Lista06_GAAL

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
MA71B – Geometria Analítica e Álgebra Linear
Profa Ana Cristina Munaretto
Sexta Lista de Exercícios – Transformações Lineares
1. Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Justifique sua resposta.
a) f : R2 → R2 tal que f(x,y) = (x+ y, x− y)
b) f : R2 → R tal que f(x,y) = xy
c) f : M2 → R tal que f
([
a11 a12
a21 a22
])
= det
[
a11 a12
a21 a22
]
d) f : P2 → P3 tal que f(ax2 + bx+ c) = ax3 + bx2 + cx
e) f : R→ R tal que f(x) = |x|
2. Seja T : R2 → R2 uma transformação linear para a qual sabemos que T(1, 1) = (2,−3) e T(0, 1) = (1, 2).
a) Determine T(3,−2) b) Determine T(a,b)
3. Seja T : V→W uma transformação linear. Prove que
a) N(T) é um subespaço vetorial de V b) Im(T) é subespaço vetorial de W
4. Seja T : R3 → R3 uma transformação linear dada por T(x,y, z) = (z, x− y,−z).
a) Encontre uma base para o núcleo de T
b) Encontre uma base para a imagem de T
c) Descreva geometricamente o núcleo e a imagem de T
5. Seja T : R3 → R2 a transformação linear tal que
T(e1) = (1, 2), T(e2) = (0, 1) e T(e3) = (−1, 3)
sendo {e1, e2, e3} a base canônica de R3.
(a) Determine o N(T) e uma de suas bases. T é injetora?
(b) Determine a Im(T) e uma de suas bases. T é sobrejetora?
6. Seja T : Rn → R5 uma transformação linear.
a) Se T é sobrejetiva e dim(N(T)) = 2, qual o valor de n?
b) Se T é sobrejetiva e injetiva, qual o valor de n?
7. Para cada transformação linear abaixo, encontre a Matriz da Transformação Linear (em relação as bases canônicas):
a) T : R2 → R tal que T(x,y) = x+ y
b) T : R2 → R3 tal que T(x,y) = (y, x, x+ y)
8. Para cada transformações linear abaixo, verifique se T é invertível e calcule a inversa, T−1, se ela existe.
a) T : R3 → R3 definida por T(x,y, z) = (x+ 2y+ z,y+ 2z, z)
b) T : R3 → R3 definida por T(a,b, c) = (a,−2a+ b,−2a− 4b+ c)
c) T : R3 → R3 definida por T(a,b, c) = (a+ b+ c,a+ 2b,a+ 2c)
9. Considere o operador linear T : R3 → R3 definido por
T(x,y, z) = (x+ 2y+ 2z, x+ 2y− z,−x+ y+ 4z).
(a) Determinar o vetor u ∈ R3 tal que T(u) = (−1, 8,−11).
(b) Determinar o vetor v ∈ R3 tal que T(v) = v.
10. Sabendo que T : R2 → R3 é uma transformação linear e que
T(1,−1) = (3, 2,−2) e T(−1, 2) = (1,−1, 3),
determine T(x,y).
11. Determinar a transformação linear T : P2 → P2 tal que T(1) = x, T(x) = 1 − x2 e T(x2) = x+ 2x2.
12. Seja a transformação linear T : R2 → R3 tal que
T(−2, 3) = (−1, 0, 1) e T(1,−2) = (0,−1, 0).
(a) Determine T(x,y).
(b) Determnine N(T) e Im(T).
(c) T é injetora? T é sobrejetora?
13. Sabendo que a matriz de uma transformação linear T : R2 → R3 nas bases A = {(−1, 1), (1, 0)} do R2 e B =
{(1, 1,−1), (2, 1, 0), (3, 0, 1)} do R3 é
[T ]AB =

3 1
2 5
1 −1
 ,
encontre a expressão de T(x,y) e a matriz [T ].
14. Seja T : R3 → R2 tal que
[T ]B1B2 =
[
1 0 −1
−1 1 1
]
,
sendo B1 = {(0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1)} e B2 = {(−1, 0), (0,−1)} bases do R3 e do R2 respectivamente.
(a) Encontre a expressão de T(x,y, z).
(b) Determine Im(T) e uma base para esse subespaço do R2.
(c) Determine N(T) e uma base para esse subespaço do R3.
(d) T é injetora? T é sobrejetora? Justifique.
15. Considere o operador linear
T : R2 → R2
(x,y) 7→ (x+ 2y, x− y)
e as bases A = {(−1, 1), (1, 0)}, B = {(2,−1), (−1, 1)} e C canônica. Determine [T ]A, [T ]B e [T ]C.
2
16. Seja T : R3 → R2, com T(x,y, z) = (2x− y+ z, 3x+ y− 2z). Considere as bases
A = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} e B = {(2, 1), (5, 3)},
do R3 e do R2, respectivamente.
(a) Determine [T ]AB .
(b) Se v = (3,−4, 2) (coordenadas em relação a base canônica do R3), calcule [T(v)]B2 utilizando a matriz encontrada.
17. Considere S e T operadores lineares do R3 definidos por S(x,y, z) = (x, 2y, x − y) e T(x,y, z) = (x − z,y, z).
Determine:
(a) [S ◦ T ] (b) [T ◦ S]
Notes
01. a) Sim b)Não c)Não d)Sim e)Não
02. a) T(3,−2) = T(3(1, 1) − 5(0, 1)) = (1,−19) b) T(a,b) = (a+ b,−5a+ 2b)
04. a) {1, 1, 0} b) {(0, 1, 0), (1, 0,−1)}
c) O núcleo de T é uma reta que passa pela origem e tem vetor diretor (1, 1, 0) e a imagem de T é o plano que passa pela
origem que tem vetores diretores (0, 1, 0) e (1, 0,−1).
05. a) N(T) = {(z,−5z, z)|z ∈ R} b) Im(T) = R2.
06. a) 7 b) 5
07. a)
[
1 1
]
b)

0 1
1 0
1 1

0 8.
a) T−1(x,y, z) = (x− 2y+ 3z,y− 2z, z)
b) T−1(a,b, c) = (a, 2a+ b, 10a+ 4b+ c)
c) Não é invertível
09.
(a) u = (1, 2,−3) (b) v = (2z,−z, z) com z ∈ R.
010. T(x,y) = (7x+ 4y, 3x+ y,−x+ y)
011. T(a+ bx+ cx2) = b+ (a+ c)x+ (−b+ 2c)x2.
012.
(a) T(x,y) = (2x+ y, 3x+ 2y,−2x− y).
(b) N(T) = {(0, 0)} e Im(T) = {(x,y,−x)|x,y ∈ R}.
(c) T é injetora, mas não é sobrejetora.
0 13.
(a) T(x,y) = (8x+ 18y, 6x+ 11y,−2x− 4y)
(b)

8 18
6 11
−2 −4

3
0 14.
(a) T(x,y, z) = (−2y+ z,−x+ y)
(b) Im(T) = R2
(c) N(T) = {(x, x, 2x)|x ∈ R}
(d) T é sobrejetora. T não é injetora.
0 15.
[T ]A =
[
−2 1
−1 2
]
[T ]B =
[
3 −1
6 −3
]
[T ]C =
[
1 2
1 −1
]
0 16.
(a) [T ]AB =
[
−4 5 13
2 −2 −5
]
(b) [T(v)]B =
[
31
−10
]
0 17.
(a) [S ◦ T ] =

1 0 −1
0 2 0
1 −1 −1
 (b) [T ◦ S] =

0 1 0
0 2 0
1 −1 0

4