Apostila Geomatica I - UFES

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPI´RITO
SANTO
CENTRO DE CIEˆNCIAS AGRA´RIAS E ENGENHERIAS
Geoma´tica I: notas de aula
Autor:
Prof. Alexandre Caˆndido XAVIER1
November 13, 2017
1https://sites.google.com/site/alexandrecandidoxavierufes/home
ii
DEDICO AOS MEUS PAIS, JOA˜O E BENEDITA.
Prefa´cio
Este livro (inacabado) trata da apresentac¸a˜o de elementos ba´sicos de alguns to´picos da disciplina
Geoma´tica, sendo estes: introduc¸a˜o de geode´sia; Sistemas Globais de Navegac¸a˜o por Sate´lite
(GNSS, “Global Navigation Satellite System”); planimetria e altimetria. Este texto vem sendo uti-
lizado na graduac¸a˜o, disciplina Geoma´tica I (ENG05644), que ministro semestralmente na Uni-
versidade Federal do Espı´rito Santo (UFES), campus de Alegre, para os cursos de Agronomia,
Engenharia Florestal e Geologia. Para estes cursos, o conteu´do referente a outros to´picos da a´rea
Geoma´tica, como o sensoriamento remoto, os sistemas de informac¸a˜o geogra´ficas e o geoproces-
samento, sa˜o apresentados em uma outra disciplina, denominada Geoma´tica II, e na˜o e´ tratada
neste texto.
Embora exista uma imensa quantidade de livros que abordam os temas objetos desta obra, eu
justifico a existeˆncia deste material como de consulta, tanto para o professor como para o aluno,
durante as aulas teo´ricas e pra´ticas. O texto conta sempre com uma breve explicac¸a˜o teo´rica dos
temas, tendo ainda cerca de 50 exemplos resolvidos, 67 exercı´cios propostos, em que va´rios deles,
sa˜o apresentados os resultados. Ha´ ainda sugesto˜es de aulas pra´ticas, a serem realizadas em
computador (e.g. uso de planilha eletroˆnica) e em campo (e.g. nivelamento).
Buscou-se sempre apresentar sugesto˜es de leituras para estudos mais aprofundados. Isto se
faz necessa´rio, uma vez que o aprofundamento de determinados to´picos, fogem ao objetivo deste
texto, que e´ apenas introduto´rio a` disciplina Geoma´tica.
Como meu resumo acadeˆmico: sou Engenheiro Agrı´cola, formado para Universidade Federal
da Paraı´ba, hoje Universidade Federal de Campina Grande. Meu mestrado e´ em Sensoriamento
Remoto pelo Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, enquanto o doutorado e´ em Agronomia,
na Universidade de Sa˜o Paulo-ESALQ. Desde 2004 sou professor da disciplina Geoma´tica I na
UFES, trabalhando em pesquisa na a´rea Engenharia Agrı´cola. Logo, observem, que na˜o sou um
especialista na a´rea, de tal forma que erros existira˜o nesta obra. Desta forma, desde ja´, agrade-
ceria que, em se encontrando inconsisteˆncias, erros etc, estes me fossem comunicados (e-mail:
alexandre.xavier@ufes.br). Farei a correc¸a˜o o mais brevemente possı´vel.
Em relac¸a˜o a divisa˜o do conteu´do deste texto, adotei aquela que coincide com ao que ministro
na disciplina Geoma´tica I da UFES. Esta disciplina tem um total de 80 horas semestrais, sendo 60
horas e 20 horas de aulas, respectivamente, teo´ricas e pra´ticas. Segue uma apresentac¸a˜o dos
conteu´dos abordados em cada capı´tulo:
• Capı´tulo 1: Matema´tica fundamental - conceitos ba´sicos de matema´tica que, ao longo do
texto, se fara˜o necessa´rios, como aˆngulos, trigonometria, ca´lculo a´reas elementares, etc. De-
pendendo do nı´vel dos estudantes, este capı´tulo podera´ ser ou na˜o abordado em sala de
aula;
• Capı´tulo 2: Unidades me´tricas, escala e determinac¸a˜o de a´reas - trata de medidas de com-
primento e de a´rea utilizadas em levantamento topogra´ficos. Tambe´m sa˜o definidas as es-
calas gra´fica e nume´rica. Finalizo este capı´tulo apresentando alguns me´todos para se deter-
minar a´reas;
• Capı´tulo 3: Introduc¸a˜o a geode´sia e cartografia - sa˜o apresentadas noc¸o˜es de geode´sia,
como a forma da terra, o sistema geode´sico brasileiro, datum horizontal e vertical, projec¸o˜es
cartogra´ficas e o sistema de coordenadas UTM;
• Capı´tulo 4: GNSS - sa˜o apresentado os GNSSs e seu princı´pio de funcionamento, enfati-
zando seus segmentos, o de controle, o espacial e dos usua´rios. Descreve-se va´rios sistemas
de posicionamento por sate´lite existentes, como o GPS e o Galileu. Os erros e os tipos de
te´cnicas de levantamento GNSS, tambe´m sa˜o abordados;
• Capı´tulo 5: Georreferenciamento de imo´veis rurais - aborda o Georreferenciamento de
Imo´veis Rurais, de acordo com INCRA (2010), mostrando o seu objetivo, as preciso˜es re-
queridas e os tipos dos ve´rtices que sa˜o levantados;
Prof. Alexandre Caˆndido Xavier - Universidade Federal do Espı´rito Santo iii
iv
• Capı´tulo 6: Medidas de distaˆncia - A partir deste capı´tulo, tem inicio com maior eˆnfase,
ao que era, nos anos anteriores, a disciplina topografia. Quais sa˜o os meios para se medir
distaˆncias em campo, em especial, as distaˆncias horizontais? Este e´ o objetivo deste capı´tulo,
onde sera˜o apresentados o uso de trenas, dos teodolitos e das estac¸o˜es totais para esta final-
idade;
• Capı´tulo 7: Aˆngulos - Neste capı´tulo, sera˜o definidos os aˆngulos horizontais e verticais,
e seus me´todos de medic¸a˜o e determinac¸a˜o. Tambe´m sera˜o tratados os aˆngulos de alin-
hamentos em relac¸a˜o ao norte, isto e´. os azimutes e rumos. Conceito e exemplos pra´ticos
sobre a declinac¸a˜o magne´tica tambe´m e´ tema deste capı´tulo;
• Capı´tulo 8: Poligonal - trata propriamente do levantamento planime´trico (em termos sim-
ples, determinac¸a˜o das coordenadas x e y no plano topogra´fico), por meio de poligonais.
Atrave´s de exemplos, sera˜o abordados os erros que devem ser avaliados nas poligonais
ditas fechadas. Na avaliac¸a˜o dos erros e a suas compensac¸o˜es e´ considerada a NBR13133
(1996);
• Capı´tulo 9: Altimetria - e´ apresentada a altimetria. Sera˜o descritos diferentes me´todos para
determinar as altitudes, as cotas e as diferenc¸as de nı´vel de pontos. Aqui, estaremos dando
atenc¸a˜o a`s coordenadas (y).
Como escrito na primeira linha deste prefa´cio, este texto e´ inacabado (existe obra dida´tico que
encerra todo um assunto?), pois alguns to´pico que trato na disciplina Geoma´tica I ainda na˜o foram
concluı´dos, podendo-se citar, por exemplo, as curvas de nı´vel, a planialtimetria e determinac¸a˜o
de volume. Uma vez finalizados estes pontos, poderei considerar que, todos os to´picos, que
atualmente sa˜o abordados nesta disciplina, estara˜o inclusos neste texto.
Este livro esta´ sendo escrito em LATEX2, distribuı´do por MiKTeX3, com o auxı´lio do editor
Texmaker4. Para a gerac¸a˜o do estilo bibliogra´fico alfabe´tico e´ empregado o pacote abntex2cite5. As
figuras foram geradas com o auxı´lio dos pacotes TikZ (TANTAU, 2013) e PSTricks6. Destaco ainda
o pacote Cartopy (Met Office, 2010 - 2015), utilizado para gerar mapas de diferentes tipos projec¸o˜es
cartogra´ficas (ver Secc¸a˜o 3.5, pa´gina 42). Teria tambe´m muita mais dificuldade de produzir este
material se na˜o contasse com o Python7 e o Matlab8, linguagens em que foram escritos va´rios
scripts para, por exemplo, a gerac¸a˜o e a soluc¸a˜o dos problemas e exercı´cios propostos.
Gostaria de encerrar agradecendo aos meus professores que me ensinaram a estudar. A` UFES,
por me propiciar a paz para o desenvolvimento de minhas atividades de ensino e pesquisa. E, a`
minha esposa Juliana e filhos, Beatriz e Thiago, por todos os momentos de alegria.
Julho de 2017 ALEXANDRE CAˆNDIDO XAVIER
Alegre, Espı´rito Santo
2〈https://www.latex-project.org/〉
3〈https://miktex.org/〉
4〈http://www.xm1math.net/texmaker/〉
5〈http://mirrors.ibiblio.org/CTAN/macros/latex/contrib/abntex2/doc/abntex2cite-alf.pdf〉
6〈http://tug.org/PSTricks/main.cgi/〉
7〈https://www.python.org/〉
8〈http://www.mathworks.com/〉
I´ndice
1 Matema´tica fundamental 1
1.1 Noc¸o˜es ba´sicas de trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Aˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Aˆngulo em grau, grado e radiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2.1 Grau sistema sexagesimale decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Func¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3.1 Lei dos cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Coordenada retangular e polar no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Coordenada retangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Coordenada polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Coordenada polar para retangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4 Coordenada retangular para polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 A´reas de figuras elementares no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Unidades me´tricas, escala e determinac¸a˜o de a´reas 21
2.1 Unidades de comprimento e a´rea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.0.1 Escala nume´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Determinac¸a˜o de a´reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.1 Decomposic¸a˜o de figuras elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2 A´rea ao longo de um transecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.3 Ca´lculo de a´rea por Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Introduc¸a˜o a geode´sia e cartografia 33
3.1 Geo´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Elipso´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Coordenada geode´sica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Coordenada geode´sica cartesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.1 Coordenada astronoˆmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4.2 Sistema de geode´sico brasileiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5 Projec¸a˜o cartogra´fica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5.1 Projec¸a˜o coˆnica de Albers (igual a´rea) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5.2 Projec¸a˜o sinusoidal (igual a´rea) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.5.3 Projec¸a˜o coˆnica de Lambert (conforme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.5.4 Projec¸a˜o Azimutal (equidistante) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5.5 Projec¸a˜o Universal Transversa de Mercador (UTM) . . . . . . . . . . . . . . 47
4 GNSS 53
4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Posicionamento por sate´lite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3 Segmentos GNSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4 Exemplos de GNSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5 Observa´veis e fontes de erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.5.1 Pseudodistaˆncia por co´digo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5.2 Pseudodistaˆncia por fase da onda portadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5.3 Erros nas observac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5.3.1 Erro devido ao sate´lite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.5.3.2 Erro devido a` propagac¸a˜o do sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.6 Tipos de posicionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.6.1 Terminologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
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4.6.2 Posicionamento por ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.6.3 Posicionamento diferencial (DGNSS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.6.4 Posicionamento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.6.4.1 Posicionamento relativo esta´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5 Georreferenciamento de imo´veis rurais 73
5.1 Objetivo e prazos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2 Profissional habilitado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3 Tipos de ve´rtices e sua identificac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6 Medidas de distaˆncia 79
6.1 Tipos de distaˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2 Influeˆncia da curvatura da terra nas medidas de distaˆncia horizontal . . . . . . . . 80
6.3 Medic¸a˜o com trena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.3.1 Erros instrumentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.3.2 Erros naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.3.3 Procedimento em campo para medidas a` trena . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.4 Medic¸a˜o taqueome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.5 Medidor eletroˆnico de distaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.5.1 Radiac¸a˜o eletromagne´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.5.2 Princı´pio de funcionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.5.3 Fontes de erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7 Aˆngulos 97
7.1 Medidores de aˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.2 Aˆngulo horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.2.1 Alinhamento de vante e re´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.2.2 Medic¸a˜o do aˆngulo horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.2.3 Aˆngulos horizontais a` direita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.2.4 Aˆngulos de deflexa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.2.5 Meridiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.2.6 Azimute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2.7 Rumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.2.8 Conversa˜o de azimutes em rumos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.2.9 Erro angular de fechamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.2.10 Ca´lculo do azimute a partir dos aˆngulos internos a` direita . . . . . . . . . . 107
7.2.11 Ca´lculo do azimute a partir da deflexa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2.12 Ca´lculo do azimute a partir das coordenadas retangulares . . . . . . . . . . 110
7.2.13 Medidas de azimute em campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.2.14 Declinac¸a˜o magne´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.3 Aˆngulo vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.3.1 Medic¸a˜o do aˆngulo vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8 Poligonal 123
8.1 Poligonal fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.2 Poligonal aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.3 Ca´lculo de uma poligonal fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.3.1 Exemplo de ca´lculo de poligonal fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.3.2 Ca´lculo da poligonal quandopontos na˜o podem ser ocupados . . . . . . . . 134
8.4 Ca´lculo de uma poligonal aberta e apoiada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9 Altimetria 141
9.1 Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.2 Erro de esfericidade e refrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.3 Declividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.4 Nivelamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.4.1 Nivelamento barome´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.4.2 Nivelamento trigonome´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.4.3 Nivelamento taqueome´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.4.4 Nivelamento GNSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.4.5 Nivelamento geome´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
9.4.5.1 Nivelamento geome´trico simples (NGS) . . . . . . . . . . . . . . . 154
9.4.5.2 Nivelamento geome´trico composto (NGC) . . . . . . . . . . . . . . 157
9.5 Toleraˆncia para o nivelamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
9.6 Perfil topogra´fico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.7 Greide ou rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
9.8 Ca´lculo de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
I´ndice remissivo 175
1
Matema´tica fundamental
Na maioria dos problemas que sera˜o vistos ao longo dos pro´ximos capı´tulos havera´ a necessidade
de aplicac¸a˜o de ca´lculos simples. Por exemplo, em levantamentos topogra´ficos convencionais sa˜o
medidos em campo, entre os pontos de interesse, aˆngulos e distaˆncias, que posteriormente sera˜o
utilizadas para ca´lculo das suas coordenadas (x, y), tendo como base um plano topogra´fico local.
Para estes ca´lculos sa˜o empregadas func¸o˜es trigonome´tricas e conhecimentos ba´sicos de geome-
tria analı´tica. Neste capı´tulo sera´ realizada uma breve revisa˜o de trigonometria e de geometria
analı´tica.
Suma´rio
1.1 Noc¸o˜es ba´sicas de trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Aˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Aˆngulo em grau, grado e radiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Func¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Coordenada retangular e polar no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Coordenada retangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Coordenada polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Coordenada polar para retangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4 Coordenada retangular para polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 A´reas de figuras elementares no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1 Noc¸o˜es ba´sicas de trigonometria
Trigonometria e´ a a´rea da matema´tica que estuda relac¸o˜es entre lados e aˆngulos de um triaˆngulo.
Neste estudo utiliza-se aˆngulos, em diferentes unidades, e func¸o˜es trigonome´tricas, sendo que ao
longo desta sec¸a˜o estes pontos sera˜o relembrados.
1.1.1 Aˆngulos
θ
s
r
Duas semirretas, quando na˜o coincidentes e com ponto de origem em
comum, ponto este dito ve´rtice, tem um plano que as conteˆm e demarcam
duas regio˜es deste plano1. A noc¸a˜o de aˆngulo e´ estabelecida pela medida
da abertura entre estas semirretas, neste caso, dois aˆngulos. Do mesmo
modo, dois segmentos de reta, na˜o sobrepostos, com origem comum, de-
finem dois aˆngulos, se estendermos em duas semirretas a partir da origem
dos segmentos. Seja a Figura ao lado representando: dois segmentos; o aˆngulo θ; um arco de
comprimento “s” que esta´ a uma distaˆncia “r” do ve´rtice. Matematicamente θ e´:
1Os equipamentos topogra´ficos medem os aˆngulos no plano horizontal e vertical. Maiores detalhes no Capı´tulo 7,
pa´gina 97.
CAPI´TULO 1. MATEMA´TICA FUNDAMENTAL 1.1. NOC¸O˜ES BA´SICAS DE TRIGONOMETRIA
θ = k
s
r
, (1.1)
sendo k uma constante, que vai depender da unidade angular que se esta´ trabalhando: radiano,
grau ou grado, conforme sera´ visto adiante. A constante k faz com que a medida do aˆngulo seja
independentemente do comprimento do arco s ou da posic¸a˜o r em que o arco esteja iniciando.
1.1.2 Aˆngulo em grau, grado e radiano
Vimos que aˆngulo e uma medida da abertura entre dois segmentos de reta com origem comum ou
de duas semirretas tambe´m com origem comum. Nota-se que deve-se definir qual e´ o segmento
ou semi-reta que tera´ o inı´cio da contagem da medida e qual o sentido a ser percorrido, se hora´rio
ou anti-hora´rio. As unidades angulares sera˜o apresentadas sobre um cı´rculo, tendo como inı´cio a
contagem o segmento que coincide com o eixo-x e o sentido sendo anti-hora´rio. Esta contagem e´ a
mesma que e´ utilizada para ca´lculos das func¸o˜es trigonome´tricas. Na Figura 1.1 sa˜o apresentados
alguns aˆngulos, nas unidades de grau, radiano e grado.
Figura 1.1
Aˆngulo de
grau, radiano e
grado sobre o
cı´rculo.
x
y
0◦
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
0◦
pi
4
pi
23pi
4
pi
5pi
4 3pi
2
7pi
4
0 360◦ 2pi rad 400g
50g
100g
150g
200g
250g
300g
350g
0g
Grau
A unidade de grau e´ aquela onde um cı´rculo e´ dividido em 360 partes iguais e cada parte corre-
sponde a um grau, sendo utilizado como sı´mbolo para o grau, “◦”, devendo o mesmo ser aplicado
apo´s o nu´mero. Sobre o cı´rculo no eixo-x positivo o aˆngulo e´ 0◦ ou 360◦, aumentando no sentido
anti-hora´rio ate´ que sobre o eixo-y positivo o aˆngulo e´ de 90◦, e assim sucessivamente.
x
y
−56◦
304◦
Podem-se considerar aˆngulos negativos. O significado e´ simples,
por exemplo, o aˆngulo −56◦ corresponde ao aˆngulo 304◦ (Figura ao
lado), no entanto na˜o se escreve −56◦ = 304◦. Ou seja, −56◦ e 304◦
esta˜o na mesma posic¸a˜o sobre o cı´rculo, e se forem aplicadas func¸o˜es
trigonome´tricas a estes valores, os resultados sera˜o os mesmo. De
forma similar, pode-se ter valores angulares superiores a 360◦. Por
exemplo 380◦, significa que ja´ foi dada uma volta completa no cı´rculo,
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CAPI´TULO 1. MATEMA´TICA FUNDAMENTAL 1.1. NOC¸O˜ES BA´SICAS DE TRIGONOMETRIA
mais 20◦, dessa forma 380◦ corresponde a 20◦ graus e aqui tambe´m
na˜o se escreve 380◦ = 20◦.
1.1.2.1 Grau sistema sexagesimal e decimal
116◦33′54′′
63◦26′5,8′′
180◦0′0′′
Os aˆngulos em graus podem estar nas formas sexagesimal ou deci-
mal. A forma sexagesimal e´ aquela em que o aˆngulo e´ apresentado
em: i) graus, sem sua frac¸a˜o; ii) subdivisa˜o do graus, minutos (′); iii)
e subdivisa˜o dos minutos, segundos (′′). Podem-se citar as seguintes
relac¸o˜es entre graus, minutos e segundos: 1◦ = 60′; 1′ = 60′′; e logo,
1◦ = 3600′′. Na notac¸a˜o sexagesimal, os minutos variam de 0′ a 60′,
e os segundos de 0′′ a 60′′ . A u´nica parte que admite decimal e´ a dos
segundos.
Os aˆngulos em graus decimal sa˜o apresentados em graus com
sua decimal, se for o caso. A conversa˜o de aˆngulos em graus sexa-
gesimais para decimais e´ simples, basta somar ao valor dos graus, aos minutos e aos segundos
transformados em graus, como apresentado no 1.1.
Exemplo 1.1
Converta o aˆngulo sexagesimal 116◦33’54,18′′ para grau decimal.
Soluc¸a˜o
Sabendo-se que 1◦ = 60′ e 1◦ = 3600′′, temos:
116◦33′54,18′′ = 116◦ +
(
33′
60′
)◦
+
(
54,18′′
3600′′
)◦
= 116,5650511◦.
Por outrolado, para converter um aˆngulo na forma grau decimal para sexagesimal observa-
mos, primeiramente, que a parte inteira corresponde aos graus. Em seguida multiplica-se por 60 a
parte decimal do aˆngulo e a nova parte inteira do resultado sera˜o os minutos. Agora, multiplica-se
por 60 a u´ltima parte decimal encontrada para obter os segundos, inclusive com a parte decimal,
se for o caso. Um exemplo desta conversa˜o e´ apresentada no Exemplo 1.2. A transformac¸a˜o de
aˆngulos decimais para sexagesimais e vice-versa e´ realizada automaticamente, pela maioria das
calculadoras cientı´ficas, por meio da tecla ◦ ′ ′′ , e o auxı´lio da tecla shift .
Exemplo 1.2
Transforme o aˆngulo decimal do 1.1 para o sistema sexagesimal.
Soluc¸a˜o
O aˆngulo e´ 116,5650511◦, logo 116◦. A decimal 0,5650511◦ em minutos:
minutos = 0,5650511 · 60′
= 33,903
= 33′.
Agora decimal dos minutos, 0,903′, em graus:
segundos = 0,903 · 60′′
= 54,18′′.
Desta forma, temos o aˆngulo na forma sexagesimal, 116◦33′54,18′′.
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CAPI´TULO 1. MATEMA´TICA FUNDAMENTAL 1.1. NOC¸O˜ES BA´SICAS DE TRIGONOMETRIA
Radianos
r
r
1 rad
s = r
Os aˆngulos em radianos sa˜o abreviados por “rad”, sendo que 1 rad
corresponde ao aˆngulo que subentende o comprimento do arco, s,
de comprimento igual ao raio, r, como mostrado na Figura ao lado.
Uma volta total em um circunfereˆncia corresponde a 2pi rad. O
valor de pi e´ definido como a raza˜o entre o perı´metro de uma cir-
cunfereˆncia e o seu diaˆmetro, sendo ≈ 3,1415927. Para os nos-
sos ca´lculos, deve-se utilizar o valor de pi dado pela calculadora ou
planilha eletroˆnica. A unidade angular de radianos e´ a utilizada para
ca´lculos de func¸o˜es trigonome´tricas na maior parte dos programas
e linguagens computacionais, como por exemplo a planilha Excel2,
planilha do Google3, C++4, Java5, Python6, Matlab7 etc.
Grados
O aˆngulo em grado tem como sı´mbolo “g”, e e´ colocado apo´s o valor da medida. Nesta unidade
o cı´rculo e´ dividido em 400 partes iguais e cada uma equivale a um grado, sendo aceito a decimal
de grado. E´ uma unidade utilizada por alguns paı´ses europeus, como por exemplo Portugal.
A conversa˜o entre unidades angulares e´ bastante simples. Por exemplo, se considerar apenas
meio cı´rculo, teˆm-se: pi rad = 180◦ = 200g.
Exemplo 1.3
Quanto vale 116◦33′54,18′′ em radiano e grado?
Soluc¸a˜o
Primeiramente, este aˆngulo deve ser transformado para grau decimal, o que foi realizado
no 1.1. Por meio da relac¸a˜o entre as unidades de graus e radianos, mostradas acima, tem-
se, para transforma´-lo em radianos (xrad):
xrad
116,5650511◦
=
pi
180◦
xrad =
116,5650511◦ · pi
180◦
xrad = 2,0344 rad.
Aplica-se agora a relac¸a˜o entre grau e grado para encontrar o valor angular em grado
(xgrado), como:
xgrado
116,5650511◦
=
200g
180◦
xgrado =
116,5650511◦ · 200g
180◦
xgrado = 129,5167
g.
2Ver 〈http://office.microsoft.com/pt-br/〉
3Ver 〈https://support.google.com/drive/bin/topic.py?hl=pt-BR&topic=30240〉
4Ver 〈http://www.open-std.org/〉
5Ver 〈http://www.java.com/pt BR/〉
6Ver 〈http://www.python.org/〉
7Ver 〈http://www.mathworks.com/〉
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CAPI´TULO 1. MATEMA´TICA FUNDAMENTAL 1.1. NOC¸O˜ES BA´SICAS DE TRIGONOMETRIA
Observac¸o˜es sobre aˆngulos: gonioˆmetros; calculadora e a constante k (Equac¸a˜o 1.1)
Os instrumentos que medem aˆngulos sa˜o chamados gonioˆmetros. Um transferidor e´ um
gonioˆmetro, assim como equipamentos topogra´ficos que os possuem, como o teodolito e a estac¸a˜o
total. E´ por meio destes equipamentos que sa˜o realizadas a medidas de aˆngulos entre pontos de
interesse. Geralmente, estes equipamentos apresentam os aˆngulos na unidade de graus e no sis-
tema sexagesimal. Para trabalhar com estes dados em planilhas eletroˆnicas, estes devem ser trans-
formados para grau decimal, e posteriormente para a unidade de radianos, pois e´ nesta unidade
que a maioria dos programas computacionais trabalham com as func¸o˜es trigonome´tricas.
Deve-se prestar atenc¸a˜o quanto ao uso de aˆngulos em calculadora cientı´fica. Geralmente
ela pode trabalhar nas treˆs unidades angulares apresentadas, bastando ajusta´-la para a unidade
que e´ requerida nos ca´lculos. A unidade de aˆngulo que a calculadora esta´ configurada pode ser
visualizada na tela da mesma, onde as letras: “D8”, “R” e “G”, identificam que a calculadora esta´
trabalhando, respectivamente, em grau, radiano e grado. Para modificar a unidade de grau da
calculadora, deve-se consultar manual e seguir procedimento indicado.
Encerrando este assunto, vamos observar mais uma vez a Equac¸a˜o 1.1. Agora podemos facil-
mente calcular o valor da constante k. Para a unidade de radianos temos para θ = 1 rad, o
comprimento do arco (s) e´ igual ao raio (r), desta forma k = 1 rad. Caso a unidade seja de graus,
sabe-se que para θ = 180◦, em um arco de raio r, teremos um comprimento de arco, s = pi · r,
desta forma, substituindo na Equac¸a˜o 1.1, temos k = 180
◦
pi . Utilizando o mesmo raciocı´nio acima
voceˆ pode encontrar o valor de k para aˆngulo na unidade grado.
1.1.3 Func¸o˜es trigonome´tricas
θ
cateto adjacente
ca
te
to
op
os
to
hip
ote
nus
a
Para definir as func¸o˜es trigonome´tricas de aˆngulos agu-
dos (θ < 90◦), sera˜o utilizadas razo˜es entre os lados de
um triaˆngulo retaˆngulo, conforme a Figura ao lado. Neste
triaˆngulo, o maior lado, oposto ao aˆngulo reto (90◦), e´ de-
nominado de hipotenusa; o cateto que contem o aˆngulo me-
dido e´ denominado de cateto adjacente; e o outro cateto
e´ o cateto oposto. As func¸o˜es trigonome´tricas sa˜o, o seno
( sen ), o cosseno (cos), a tangente (tan), a cotangente (cot),
a secante (sec) e a cossecante (csc), sendo apresentadas nas
Equac¸o˜es 1.2 a 1.7.
sen θ =
(
cateto oposto
hipotenusa
)
(1.2)
cos θ =
(
cateto adjacente
hipotenusa
)
(1.3)
tan θ =
(
cateto oposto
cateto adjacente
)
(1.4)
cot θ =
(
cateto adjacente
cateto oposto
)
(1.5)
sec θ =
(
hipotenusa
cateto adjacente
)
(1.6)
csc θ =
(
hipotenusa
cateto oposto
)
(1.7)
Uma vez conhecidos os lados de um triaˆngulo retaˆngulo, e´ possı´vel por meio das func¸o˜es
trigonome´tricas inversas encontrar um determinado aˆngulo desejado. Cita-se abaixo as func¸o˜es
8Abreviac¸a˜o de graus em ingleˆs, degree.
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CAPI´TULO 1. MATEMA´TICA FUNDAMENTAL 1.1. NOC¸O˜ES BA´SICAS DE TRIGONOMETRIA
inversas: arco seno ( arcsen ou sen−1); arco cosseno (arccos ou cos−1) e arco tangente (arctan ou
tan−1). Em calculadoras eletroˆnicas e planilhas, os valores das func¸o˜es inversas esta˜o restritas a`
diferentes domı´nios, para maiores detalhes ver Stewart (1999).
θ = arcsen
(
cateto oposto
hipotenusa
)
(1.8)
θ = arccos
(
cateto adjacente
hipotenusa
)
(1.9)
θ = arctan
(
cateto oposto
cateto adjacente
)
(1.10)
Exemplo 1.4
θ
6,4 m
α
5 m
Para o triaˆngulo retaˆngulo da Figura ao lado, determinar θ, α,
e o seno, o cosseno e a tangente destes aˆngulos?
Soluc¸a˜o
A hipotenusa vale 6,4 m. Para o aˆngulo θ, o lado de 5 m e´ o seu cateto oposto. Desta forma,
pode-se utilizar a func¸a˜o arco seno para determinar θ:
θ = arcsen
(
cateto oposto
hipotenusa
)
= arcsen
(
5
6,4
)
= 51,3752◦.
Para calcular α, sabe-se que a soma dos aˆngulos internos de um triaˆngulo e´ 180◦, logo
α = 180◦ − (51,3752◦ + 90◦) = 38,6248◦. As func¸o˜es trigonome´tricas para θ e α:
sen θ = 0,7813 cos θ = 0,6242 tan θ = 1,2515
senα = 0,6242 cosα = 0,7813 tanα = 0,7990
Exemplo 1.5
R
R
5 km
A linha do horizonte em A
H
O
2,26◦
θ
Com o objetivo de se estimar o raio da
terra(R), um topo´grafo subiu em uma mon-
tanha de 5 km de altura, tendo vista para
o oceano. Com o auxı´lio dos seus equipa-
mentos, mediu-se o aˆngulo formado entre a
linha horizontal que passa pelo equipamento
e a reta tangente a superfı´cie do oceano no
ponto H , obtendo 2,26◦. Por meio destas
informac¸o˜es, determinar o raio aproximado
da terra (R).
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CAPI´TULO 1. MATEMA´TICA FUNDAMENTAL 1.1. NOC¸O˜ES BA´SICAS DE TRIGONOMETRIA
Soluc¸a˜o
A visada AH e´ tangente a` terra em H . AH e´ perpendicular a` OH , logo em H , o aˆngulo
e´ reto (90◦) para o triaˆngulo AOH . O lado deste triaˆngulo oposto a H (R+5 km) e´ a
hipotenusa. Percebe-se tambe´m que, o aˆngulo entre a linha do horizonte que passa em A
e a linhaAO e´ de 90◦, enta˜o o aˆngulo θ e´ de 87,74◦ (90◦−2,26◦). Considerando sen θ temos:
sen θ =
R
R+ 5
R = (R+ 5) sen 87,74
R−R sen 87,74 = 5 · sen 87,74
R =
5 · sen 87,74
1− sen 87,74
R = 6423,1 km.
Para as definic¸o˜es das func¸o˜es trigonome´tricas em func¸a˜o apenas de um aˆngulo qualquer,
utiliza-se a figura de um cı´rculo unita´rio no plano cartesiano, ou seja, de raio 1 conforme Figura
1.2. Os valores de cos θ e sen θ correspondem a projec¸a˜o do raio com o aˆngulo θ nos eixos x e
y, respectivamente. Logo os seus valores variam entre −1 e 1, sendo que os seus sinais mudam
conforme o quadrante. Maiores detalhes podem ser encontrados em livros de ca´lculo.
x
y
−1 1
−1
1
θ
sen θ
cos θ
tan θ =
sen θ
cos θ
1◦ Quadrante
sen θ = +
cos θ = +
tan θ = +
2◦ Quadrante
sen θ = +
cos θ = −
tan θ = −
3◦ Quadrante
sen θ = −
cos θ = −
tan θ = +
4◦ Quadrante
sen θ = −
cos θ = +
tan θ = −
Figura 1.2
Cı´rculo unita´rio e os sinais por quadrante das func¸o˜es sen , cos e tan.
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CAPI´TULO 1. MATEMA´TICA FUNDAMENTAL 1.1. NOC¸O˜ES BA´SICAS DE TRIGONOMETRIA
Lei dos senos
a
b
cB̂
Ĉ Â
Agora, considere um triaˆngulo de lados a, b e c, com os aˆngulos opostos a
estes lados, respectivamente, Â, B̂ e Ĉ. A lei dos senos apresenta as relac¸o˜es
apresentadas na Equac¸a˜o 1.11. Um exemplo cla´ssico de aplicac¸a˜o da lei dos
senos aplicada a` topografia e´ apresentado no Exemplo 1.6.
a
sen Â
=
b
sen B̂
=
c
sen Ĉ
. (1.11)
Exemplo 1.6
Considere o esquema apresentado na Figura a seguir. Um levantamento topogra´fico foi
realizado do lado esquerdo do rio, e na˜o se tem acesso ao lado direito, onde encontra-se
o ponto P. Todavia deseja-se obter a distaˆncia AP. Para tanto, mediu-se: com uma trena,
a distaˆncia de A ao ponto B, resultando em 50 m; por meio de um teodolito estacionado
em A, visando-se sucessivamente P e B, o aˆngulo α = 37◦51′; e por fim, tambe´m com o
teodolito, agora estacionado em B, visando-se A e P, o aˆngulo β = 75◦47′. Por meio destas
medidas, calcule a distaˆncia AP.
50 m
rio
α
A
β
B
Pγ
Soluc¸a˜o
A lei dos senos pode ser utilizada para determinar a distaˆncia do ponto inacessı´vel
P. Como dois aˆngulos do triaˆngulo foram medidos, pode-se calcular o outro, ao qual
denominaremos de γ, sendo:
γ = 180− (α+ β)
= 180− (37◦51′ + 75◦47′)
= 66◦22′
Uma vez que conhecemos o lado AB=50 m, o seu aˆngulo oposto, γ = 66◦22’, e o aˆngulo
α = 75◦47’, oposto ao lado que queremos determinar, AP, pode-se aplicar a lei dos senos,
como segue abaixo:
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CAPI´TULO 1. MATEMA´TICA FUNDAMENTAL 1.1. NOC¸O˜ES BA´SICAS DE TRIGONOMETRIA
AB
sen γ
=
AP
senβ
50 m
sen 66◦22′
=
AP
sen 75◦47′
AP =
50 m · sen 75◦47′
sen 66◦22′
AP = 52,906 m.
1.1.3.1 Lei dos cossenos
A outra lei trigonome´trica que vamos apresentar e´ a dos cossenos. Ela relaciona os lados do
triaˆngulo com um aˆngulo interno interno segundo as Equac¸o˜es 1.12-1.14. Pode-se utilizar estas
Equac¸o˜es para marcac¸a˜o de aˆngulos em campo, como sera´ apresentado no Exemplo 1.7.
a2 = b2 + c2 − 2bc cos  cos  =
(
a2 − (b2 + c2)
−2bc
)
(1.12)
b2 = a2 + c2 − 2ac cos B̂ cos B̂ =
(
b2 − (a2 + c2)
−2ac
)
(1.13)
c2 = a2 + b2 − 2ab cos Ĉ cos Ĉ =
(
c2 − (a2 + b2)
−2ab
)
(1.14)
Exemplo 1.7
Considerando que os comprimentos dos lados de um triaˆngulo sa˜o: a = 32 m, b = 28 m e
c = 23 m. Determine os aˆngulos internos.
Soluc¸a˜o
A partir da lei dos cossenos, temos para Â:
cos  =
(
a2 − (b2 + c2)
−2bc
)
 = arccos
(
a2 − (b2 + c2)
−2bc
)
= arccos
(
322 − (282 + 232)
−2 · 28 · 23
)
= 77,0336◦
Para B̂ :
cos B̂ =
(
b2 − (a2 + c2)
−2ac
)
B̂ = arccos
(
b2 − (a2 + c2)
−2ac
)
= arccos
(
282 − (322 + 232)
−2 · 32 · 23
)
= 58,5054◦
Uma vez que conhecemos dois aˆngulos internos do triaˆngulo, enta˜o
Ĉ = 180− (Â+ B̂) = 44,4610◦.
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CAPI´TULO 1. MATEMA´TICA FUNDAMENTAL 1.2. COORDENADA RETANGULAR E POLAR NO PLANO
1.2 Coordenada retangular e polar no plano
Para a apresentac¸a˜o gra´fica de dados bidimensionais, e´ utilizado o plano cartesiano, formado por
dois eixos ortogonais entre si, denominados de eixo-x e eixo-y. A posic¸a˜o de pontos neste sistema
dar-se-a´ por meio de coordenadas retangulares ou polares.
1.2.1 Coordenada retangular
A coordenada retangular de um ponto e´ dada por sua posic¸a˜o horizontal e vertical, coordenada
x e coordenada y, respectivamente. Exemplo do plano cartesiano e pontos com suas respectivas
coordenadas retangulares sa˜o apresentados na Figura 1.3. Estas coordenadas podem estar em
qualquer unidade de comprimento, sendo que em geoma´tica a mais comum e´ a de metro (m).
Logicamente, caso a unidade fosse de metro, esta figura estaria reduzida a determinada escala
(ver Secc¸a˜o 2.2, pa´gina 22).
Figura 1.3
Posic¸a˜o de alguns pontos e suas coordenada re-
tangulares.
x
y
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
E(0,0)
A(4,5; 2,1)
B(−1; 3,7)
C(−4,9;−3,2)
D(4,9;−1,3)
Distaˆncia Euclidiana
Caso as coordenadas retangulares de dois pontos quaisquer sejam conhecidas, por exemplo, os
pontos 1(x1, y1) e 2(x2, y2) da Figura ao lado, pode-se calcular a distaˆncia da linha reta entre eles
(d12), denominada de distaˆncia Euclidiana. Pelo teorema de Pita´goras, d12:
(x2,y2)
(x1,y1)
∆x = x2 − x1
∆y = y2 − y1d12
x
y
d212 = ∆x
2 + ∆y2
d12 =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
(1.15)
Prof. Alexandre Caˆndido Xavier - Universidade Federal do Espı´rito Santo 10
CAPI´TULO 1. MATEMA´TICA FUNDAMENTAL 1.2. COORDENADA RETANGULAR E POLAR NO PLANO
Exemplo 1.8
Qual a distaˆncia entre os pontos A e C apresentados na Figura 1.3? Considere que a
unidade e´ o metro.
Soluc¸a˜o
As coordenadas de A e C sa˜o (4,5 m; 2,1 m) e (−4,9 m; −3,2 m), respectivamente. Apli-
cando a Equac¸a˜o 1.15:
d =
√
(xA − xC)2 + (yA − yC)2
=
√
(4,5−−4,9)2 + (2,1−−3,2)2
=
√
(4,5 + 4,9)
2
+ (2,1 + 3,2)
2
= 10,791 m.
1.2.2 Coordenada polar
x
y
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
A(25,017◦; 4,97)
rA
= 4
,97
θA = 25,017
◦
C(213,147◦; 5,85)
rC
=
5,8
5
θ = 213,147◦
Figura 1.4
Coordenadas polares para os pontos A e C da Figura 1.3.
A coordenada polar de um
ponto e´ dada pelo seu raio
(r), distaˆncia entre a origem do
sistema cartesiano ao ponto, e
seu aˆngulo (θ), medido a par-
tir do eixo-x positivo, sentido
anti-hora´rio, ate´ raio. Exem-
plo de coordenadas polares para
os pontos A e C vistos na
Figura 1.3 podem ser observa-
dos na Figura 1.4. Aprenderemos
posteriormente que em levanta-
mentos topogra´ficos trabalhamos
com um tipo de coordenada po-
lar, em que o aˆngulo e´ denomi-
nado de Azimute, e o raio o com-primento do alinhamento. Pore´m
o aˆngulo de Azimute e´ medido
a partir do eixo-y positivo, e o
sentido de contagem angular e´ o
hora´rio. Mais detalhes sera˜o vis-
tos posteriormente, no Capı´tulo
7.
Prof. Alexandre Caˆndido Xavier - Universidade Federal do Espı´rito Santo 11
CAPI´TULO 1. MATEMA´TICA FUNDAMENTAL 1.2. COORDENADA RETANGULAR E POLAR NO PLANO
1.2.3 Coordenada polar para retangular
P(xP,yP)
θP
rP cateto oposto ao θ
cateto adjacente ao θ xP
yP
x
y
Figura 1.5
Esquema gra´fico para conversa˜o entre coordenada polar
e retangular.
A transformac¸a˜o de coordenada
polar para retangular pode ser de-
duzida a partir da Figura 1.5. Con-
sidere um ponto P, de coordenada
polar (θP, rP). Queremos obter
sua coordenada retangular (xP, yP).
Pode-se verificar que o cateto oposto
e o cateto adjacente ao aˆngulo θP cor-
respondem, respectivamente, a` coor-
denada yP e xP. Sera˜o aplicadas as
func¸o˜es seno e cossenos ao aˆngulo
θ, que tem como hipotenusa rP, o
que resultara´ na obtenc¸a˜o da coor-
denada retangular, como apresen-
tado nas Equac¸o˜es 1.16 e 1.17. Estas
equac¸o˜es sa˜o aplicadas para pontos localizados em quaisquer quadrante.
cos θP =
xP
rP
xP = rP cos θP
(1.16)
sen θP =
yP
rP
yP = rP sen θP
(1.17)
Exemplo 1.9
Considere a coordenada polar do ponto C da Figura 1.4. Qual a sua coordenada retangu-
lar? A unidade de comprimento e´ seja de metro.
Soluc¸a˜o
A coordenada polar de C e´ (213,147◦,5,85). Enta˜o:
xC = rC cos θC = 5,85 cos 213,147
◦ = −4,9 m.
yC = rC sen θC = 5,85 sen 213,147
◦ = −3,2 m.
Como era esperado, a coordenada retangular de C e´ a mesma apresentada na Figura 1.3.
1.2.4 Coordenada retangular para polar
Agora sera´ apresentada a transformac¸a˜o de coordenada retangular para polar. Para tanto uti-
lizaremos mais uma vez o esquema da Figura 1.5. So´ que desta vez, a coordenada retangular de
P, (xP, yP), e´ que e´ conhecida. Uma vez que se teˆm os dois catetos do triaˆngulo retaˆngulo, o raio de
P, rP, e´ obtido por meio da Teorema de Pita´goras (Equac¸a˜o 1.18). Ja´ o aˆngulo θP, para este quad-
rante, pode ser obtido por meio da func¸a˜o arco tangente, como apresentada na Equac¸a˜o 1.19. A
Equac¸a˜o 1.18 e´ valida para pontos em qualquer quadrante. Ja´ a Equac¸a˜o 1.19, para ca´lculo de θp,
e´ valida apenas para o primeiro quadrante, sendo que para os demais, pode-se obteˆ-lo facilmente,
como sera´ apresentado no Exemplo 1.2.4.
Prof. Alexandre Caˆndido Xavier - Universidade Federal do Espı´rito Santo 12
CAPI´TULO 1. MATEMA´TICA FUNDAMENTAL 1.3. A´REAS DE FIGURAS ELEMENTARES NO PLANO
rP =
√
x2P + y
2
P (1.18)
Se xP na˜o for nulo:
tan θP =
yP
xP
θP = arctan
(
yP
xP
) (1.19)
Exemplo 1.10
Considere a coordenada retangular do ponto D da Figura 1.3. Qual a sua coordenada
polar? Considere que a unidade seja de metro.
Soluc¸a˜o
x
y
D(4,9;−1,3)
α
θD
rD
A coordenada retangular de D e´
(4,9 m;−1,3 m). Ela e´ novamente mostrada
na Figura ao lado. Observe que a projec¸a˜o
da coordenada e o raio de D, rD, resultam em
um triaˆngulo retaˆngulo, em que, 4,9 m e´ o
cateto adjacente a α, e 1,3 m e´ o cateto oposto,
podendo-se calcular α:
tanα =
yD
xD
α = arctan
(
yD
xD
)
= arctan
(
1,3
4,9
)
= 14,8586◦.
Agora pode-se calcular θD, pois, θD = 360◦ − α = 345,1414◦. Para se calcular rD, temos:
rD =
√
x2D + y
2
D =
√
4,92 + 1,32 = 5,07 m.
Desta forma, a coordenada polar de D e´ (345,1414◦; 5,07 m).
1.3 A´reas de figuras elementares no plano
A´rea de um retaˆngulo
Sejam os lados de um retaˆngulo, a e b. A sua a´rea (A) e´ calculada pelo produto dos seus lados:
A = ab. (1.20)
Exemplo 1.11
Qual a a´rea de um sala retangular, onde os lados medem 5,3 m e 7,9 m.
Prof. Alexandre Caˆndido Xavier - Universidade Federal do Espı´rito Santo 13
CAPI´TULO 1. MATEMA´TICA FUNDAMENTAL 1.3. A´REAS DE FIGURAS ELEMENTARES NO PLANO
Soluc¸a˜o
A = ab = 5,3 · 7.9 = 41,87 m2.
A´rea de triaˆngulo
h
a
b
c
αA a´rea de um triaˆngulo pode ser calculada de diversas formas,
dependendo dos dados disponı´veis, se os comprimentos dos lados
e/ou aˆngulos internos. Considere o triaˆngulo da Figura ao lado. Caso
sejam conhecidas(os):
• a sua altura (h) e a base (nesta Figura o lado b), a a´rea sera´:
A =
bh
2
. (1.21)
Exemplo 1.12
Qual a a´rea de triaˆngulo onde a base mede 15,9 m e a altura 9 m.
Soluc¸a˜o
A =
bh
2
=
15,9 · 9
2
5,3 · 7.9 = 71,55 m2.
• dois lados, a e b, e o aˆngulo formado entre eles, α, a a´rea sera´:
A =
1
2
ab senα; (1.22)
Exemplo 1.13
Qual a a´rea de triaˆngulo em que dois lados medem 3,1 m e 6,8 m, e o aˆngulo entre eles e´
de 34◦.
Soluc¸a˜o
A =
1
2
ab senα =
1
2
3,1 · 6,8 sen 34◦ = 5,89 m2.
• os comprimentos dos treˆs lados do triaˆngulo, a, b, e c, usa-se a fo´rmula de Heron, tambe´m
conhecida como a fo´rmula do semiperı´metro, em que a a´rea e´:
A =
√
p (p− a) (p− b) (p− c), (1.23)
em que p e´ semiperı´metro:
p =
a+ b+ c
2
. (1.24)
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CAPI´TULO 1. MATEMA´TICA FUNDAMENTAL 1.3. A´REAS DE FIGURAS ELEMENTARES NO PLANO
Exemplo 1.14
Qual a a´rea de um triaˆngulo de lados medem 10,3 m, 5,4 m e 6,0 m.
Soluc¸a˜o
O semiperı´metro:
p =
a+ b+ c
2
=
10,3 + 5,4 + 6,0
2
= 10,85 m.
A a´rea sera´:
A =
√
p (p− a) (p− b) (p− c) =
√
10,85 (10,85− 10,3) (10,85− 5,4) (10,85− 6) = 12,56 m2.
A´rea de trape´zio
b1
b2
h
A a´rea de um trape´zio e´ calculada pela soma da bases, b1 e b2,
multiplicada pela altura9 (h) dividida por dois, isto e´:
A =
1
2
(b1 + b2)h. (1.25)
Exemplo 1.15
Uma prac¸a pu´blica tem a forma de um trape´zio, sendo medidos os lados paralelos de 50,7
m e 80,4 m e a distaˆncia entre eles de 12 m, calcular a´ a´rea da prac¸a.
Soluc¸a˜o
A =
1
2
(b1 + b2)h =
1
2
(50,7 + 80,4)12 = 786,6 m2.
A´rea de um cı´rculo
Para uma cı´rculo, pode ser conhecido o seu raio R ou o seu diaˆmetro, D (2R). Se o R e´ conhecido,
a sua a´rea e´:
A = piR2. (1.26)
Caso seja conhecido o diaˆmetro (D):
A =
pi
4
D2. (1.27)
Exemplo 1.16
Uma caixa de a´gua tem diaˆmetro de 1,2 m. Qual a a´rea de superfı´cie que ela ocupa.
Soluc¸a˜o
Conhecendo-se o diaˆmetro temos:
A =
pi
4
D2 =
pi
4
1,22 = 1,13 m2.
9Chamam-se de bases de um trape´zio os seus lados paralelos e, sua altura, a distaˆncia que separa estes dois lados.
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CAPI´TULO 1. MATEMA´TICA FUNDAMENTAL 1.3. A´REAS DE FIGURAS ELEMENTARES NO PLANO
A´rea de um setor de cı´rculo
α
R
Seja α, em graus, o aˆngulo da a´rea do setor de cı´rculo a ser
calculado. Temos, quando se conhece o raio (R):
A =
( α
360◦
)
piR2. (1.28)
Caso o diaˆmetro (D) seja conhecido:
A =
( α
360◦
) pi
4
D2. (1.29)
Exemplo 1.17
Calcule a a´rea de um setor de 5◦ de uma circunfereˆncia de R igual a 3 m.
Soluc¸a˜o
A =
( α
360◦
)
piR2 =
(
5◦
360◦
)
pi32 = 0,393 m2.
Sugesta˜o de aula pra´tica
Uso de planilha eletroˆnica para soluc¸a˜o de problemas em matema´tica.
Objetivo: apresentar o uso de planilhas eletroˆnicas para a resoluc¸a˜o de problemas em
topografia. E´ sugerida a utilizac¸a˜o da planilha de ca´lculo Calc, presente no pacote libreoffice,
que e´ diponı´vel gratuitamente. Para obteˆ-lo e encontrar maiores informac¸o˜es, consultar a
pa´gina: 〈https://www.libreoffice.org〉.
Sera˜o apresentados os operadores e algumas func¸o˜es matema´ticas, onde, uma vez sabendo
utiliza´-las, e´ possı´vel resolver grande parte dos problemas de topografia.
Como roteiro:
• apresentac¸a˜o dos operadores matema´ticos: soma (+), subtrac¸a˜o (−), multiplicac¸a˜o
(∗), divisa˜o (\) e poteˆncia (∧);
• apresentac¸a˜odas func¸o˜es da tabela abaixo. Em que θ e´ o aˆngulo na unidade de
radianos (rad), e arg e´(sa˜o) o(s) argumento(s) a ser(em) utilizado(s).
Func¸o˜es a serem apresentadas.
sen =sen(θ[rad]) cos =cos(θ[rad]) tan =tan(θ[rad])
arcsen =asen(arg) arccos =acos(arg) arctan =atan(arg)
soma =soma(arg) me´dia =me´dia(arg) desvio padra˜o =DESVPAD(arg)
Como exemplo de aplicac¸o˜es, resolver os problemas dos exercı´cios 1.3, 1.6 e 1.7 na planilha
Calc.
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CAPI´TULO 1. MATEMA´TICA FUNDAMENTAL 1.3. A´REAS DE FIGURAS ELEMENTARES NO PLANO
Exercı´cios
x(m)
y(m)
α
β
R
1.1. Com o triaˆngulo da Figura ao lado, de coordenada R(12,3 m,
6,1 m), calcular os aˆngulos α, β, e o seno, cosseno e tangente destes
aˆngulos.
Resp.: α = 26,3784◦; β = 63,6216◦; senα = 0,4443;
cosα = 0,89588; tanα = 0,49593; senβ = 0,89588; cosβ = 0,4443;
tanβ = 2,0163.
1.2. Converter 0,0006◦ para segundos.
Resp.: 2,16′′.
1.3. Expressar 2,32 rad e 1,25 rad em graus decimais.
Resp.: 132,926◦; 71,619◦.
1.4. Converter 10◦15′39′′ para graus decimais.
Resp.: 10,26083333.
1.5. Converter 11◦50′3′′ para radianos.
Resp.: 0,207 rad.
1.6. Um triaˆngulo tem lados a = 7,5 m, b = 8,9 m e c = 10,2 m. Calcule: i) a a´rea (m2 e ha); ii) os
aˆngulos internos.
Resp.: 32,437 m2; 0,003243 ha; aˆ = 45,614◦; bˆ = 57,999◦; cˆ = 76,387◦.
1.7. Utilizando calculadora, calcule o seno, cosseno e tangente de 22,3◦, 42,6◦, 51,3◦ 89,1◦ e 76,5◦.
Resp.: Tabela 1.1.
Tabela 1.1 Aˆngulo(◦) seno cosseno tan
22,3 0,37946 0,92521 0,41013
42,6 0,67688 0,73610 0,91955
51,3 0,78043 0,62524 1,24820
89,1 0,99988 0,01571 63,65674
76,5 0,97237 0,23345 4,16530
51◦
C
88◦
A
B
159,49
m
1.8. Um topo´grafo necessita determinar a distaˆncia entre A e
B, mostrados na Figura ao lado. Infelizmente, seu equipa-
mento de medic¸a˜o eletroˆnica de distaˆncia na˜o esta´ funcio-
nando. Devido a isto: em A, o topo´grafo mediu o aˆngulo de
88◦; determinou a distaˆncia AC = 159,49 m; e em C mediu
de 51◦. Calcule o comprimento AB.
Resp.: AB = 188,927 m.
1.9. Dadas as coordenadas retangulares dos pontos: A(5, −19), B(−23, −10), C(−29, 4), D(13, 11).
Calcular as respectivas coordenadas polares.
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CAPI´TULO 1. MATEMA´TICA FUNDAMENTAL 1.3. A´REAS DE FIGURAS ELEMENTARES NO PLANO
Tabela 1.2 Ponto Coord. Polar
A (284,7436◦, 19,6468)
B (203,4986◦, 25,0798)
C (172,1467◦, 29,2745)
D (40,23636◦, 17,0293)
Resp.: Tabela 1.2.
1.10. Dadas as coordenadas polares dos pontos: A(72,9 m, 314◦27′); B(58,1 m, 260◦22′); C(100,9
m, 118◦41′); D(29,3 m, 25◦28′), calcular as respectivas coordenadas retangulares.
Resp.: Tabela 1.3.
Tabela 1.3 Ponto x(m) y (m)
A 51,05089 −52,0405
B −9,72259 −57,2807
C −48,4288 88,51814
D 26,45308 12,59859
R
R
3,0 km
A linha do horizonte em A
H
O
1◦46′
θ
1.11. Com o objetivo de se estimar o raio da terra (R),
um topo´grafo subiu em uma montanha de 3,0 km de
altura, tendo vista para o oceano. Com o auxı´lio dos
seus equipamentos, mediu-se o aˆngulo formado en-
tre a linha horizontal que passa pelo equipamento e a
reta tangente a superfı´cie do oceano no ponto H , ob-
tendo 1◦46′. Determinar o raio da terra aproximado,
por meio destas medidas.
Resp.: 6.308,3 km.
30 m
32◦
1,80 m
h
1.12. Com o objetivo de determinar a altura da a´rvore da
Figura ao lado, o engenheiro mediu, com o auxı´lio de um
clinoˆmetro (equipamento que mede aˆngulo vertical), o aˆngulo
vertical entre a sua posic¸a˜o e o topo da a´rvore. Com
uma trena, tambe´m mediu a distaˆncia horizontal a` a´rvore.
Sabendo que o engenheiro mede 1,80 m, qual e´ a altura da
a´rvore?
Resp.: 20,546 m.
Prof. Alexandre Caˆndido Xavier - Universidade Federal do Espı´rito Santo 18
CAPI´TULO 1. MATEMA´TICA FUNDAMENTAL 1.3. A´REAS DE FIGURAS ELEMENTARES NO PLANO
21 H
10
90◦
1.13. Determinar a alturaH do levantamento realizado conforme Figura ao lado,
sendo as medidas de distaˆncia em metros.
Resp.: Altura = 18,466 m.
16◦12′
36◦
Igreja
30,75 m
1.14. Deseja-se medir a altura da torre da
igreja ao lado. A distaˆncia horizontal foi me-
dida a partir do pre´dio, como mostrado, e
dois aˆngulos verticais foram determinados, em
relac¸a˜o a base e ao topo da igreja. Qual a altura
da igreja?
Resp.: Altura = 31,275 m.
h
300 200 x
28◦ 45◦
1.15. Com a finalidade de determinar a altura de um morro,
foram medidas a distaˆncia horizontal entre a base do morro
ao primeiro ponto (200 m), onde nesta primeira posic¸a˜o
determinou-se o aˆngulo vertical em relac¸a˜o topo do morro,
conforme esquema ao lado. A partir deste ponto a` outro,
distante 300 m (percorrendo a mesma direc¸a˜o), mediu-se
novamente o aˆngulo vertical em relac¸a˜o ao topo do morro.
Com estas medidas medidas calcular x e h.
.
Resp.: x = 140,628 m e h = 340,628 m.
1.16. Calcule a a´rea de um triaˆngulo retaˆngulo de base 20,0 m e altura de 14,2 m.
Resp.: 142 m2.
x
=
?
y =?
367,94
m
33◦48′
59◦51′
1.17. Dado o triaˆngulo da Figura ao lado, calcule qual o com-
primento dos lados x e y.
Resp.: x = 571,93 m; y = 660,069 m.
Prof. Alexandre Caˆndido Xavier - Universidade Federal do Espı´rito Santo 19
CAPI´TULO 1. MATEMA´TICA FUNDAMENTAL 1.3. A´REAS DE FIGURAS ELEMENTARES NO PLANO
x
y
B(40 m; 70 m)
A(20 m; 30 m)
C
60◦37′
44◦18′
1.18. Dado o triaˆngulo ao lado, contendo: as coor-
denadas dos ve´rticesA(20 m; 30 m) eB(40 m; 70 m).
Calcular os comprimentos dos ladosAB eAC e a sua
a´rea.
Resp.: AB = 44,721 m; AC = 49,594 m.
x
y
3
2
1
4
α
β
γ
1.19. Calcular a a´rea do polı´gono formado pelos ve´rtices 1,
2, 3 e 4, sabendo-se que: α = 77◦40′; β = 23◦10′; γ = 39◦5′;
1(60,0 m; 45,0 m); 3(10,0 m; 11,0 m); DH12 = 44 m.
Resp.: a´rea = 1553,941 m2.
x
y
69,43 m
B
A
C
80◦52′
44◦51′
1.20. Do triaˆngulo ao lado, contendo a distaˆncia do
alinhamento CB = 69,43 m, Calcular os compri-
mentos dos lados AB e AC e a sua a´rea.
Resp.: AB = 57,095 m; AC = 49,594 m; a´rea =
1397,850 m2.
1.21. Dado um triaˆngulo retaˆngulo de catetos a = 3,6 m e b = 4,7 m. Encontrar a hipotenusa.
Calcule os aˆngulos internos.
Resp.: Hipotenusa = 5,920 m; aˆ = 37,450◦; bˆ = 52,549◦; cˆ = 90◦.
Prof. Alexandre Caˆndido Xavier - Universidade Federal do Espı´rito Santo 20
2
Unidades me´tricas, escala e determinac¸a˜o de
a´reas
Este capı´tulo tem como objetivo central a determinac¸a˜o de a´reas. Comec¸aremos com a
apresentac¸a˜o das unidades de comprimento e de a´rea mais utilizadas em geoma´tica. Como geral-
mente os desenhos topogra´ficos esta˜o reduzidos a` determinada escala, ela sera´ definida e aplicada
em problemas de determinac¸a˜o de distaˆncia e a´rea. Por fim, alguns me´todos de ca´lculo de a´rea
sera˜o apresentados.
Suma´rio
2.1 Unidades de comprimento e a´rea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Determinac¸a˜o de a´reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.1 Decomposic¸a˜o de figuras elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2 A´rea ao longo de um transecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.3 Ca´lculo de a´rea por Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1 Unidades de comprimento e a´rea
O Sistema Internacional de Unidades (SI) tem como unidade de comprimento o metro (m).
Ele e´ definido como o comprimento do caminho viajado pela luz durante o intervalo de
1/299.792.458 segundo. Seguem alguns exemplos de subdiviso˜es do metro:
• o milı´metro (mm, 1 mm = 10−3 m = 0,001 m);
• o centı´metro (cm, 1 cm = 10−2 m = 0,01 m) e;
• o decı´metro (dm, 1 dm = 10−1 m =0,1 m).
Como mu´ltiplo de metro pode-se citar o quiloˆmetro (km, 1 km = 1.000 m), geralmente utilizado
em medidas sobre mapas ou cartas de pequenas escala.
A unidade de a´rea empregada e´ o m2. Para medidas de superfı´cie terrestre tambe´m podem-
se empregar outras unidades, como o “are” (1 are = 100 m2) e seus mu´ltiplos, sendo que o mais
utilizado e´ o hectare (“ha”), em que 1 ha = 10.000 m2.
Unidades de a´rea mais antigas ainda hoje sa˜o utilizadas, como o alqueire (“alq”). Um
alqueiro pode apresentar diferentes valores de a´rea, de acordo com a localidade. Por exemplo,
um alqueiro geome´trico, tambe´m conhecido por mineiro, mede 48.400 m2, enquanto o paulista
mede 24.200 m2. Na apresentac¸a˜o de grandes extenso˜es de a´rea, como as presentes em mapas ou
cartas topogra´ficas, utiliza-se a unidade de km2. Outras unidades de comprimento e a´rea podem
ser encontradas em Comastri e Junior (2004).
CAPI´TULO 2. UNIDADES ME´TRICAS, ESCALA E DETERMINAC¸A˜O DE A´REAS 2.2. ESCALA
Exemplo 2.1
Converta 1 km2 para: m2, ha, alqueire geome´trico e paulista?
Soluc¸a˜o
Para m2: como 1 km = 1000 m, enta˜o, elevando ao quadrado ambos os lados, (1 km)2 =
(1000 m)2, vai resultar em 1 km2 = 106 m2 = 1.000.000 m2;
Para ha: sabe-se agora que a a´rea e´ de 106 m2, como 1 ha = 10.000 m2, enta˜o a a´rea em ha
(xha):
xha
106 m2
=
1 ha
10.000 m2
xha =
1 ha · 106 m2
10.000 m2
xha = 100 ha;
Para alqueire geome´trico: como 1 alqueire = 48.400 m2, enta˜o a a´rea em alqueire
geome´trico (xalqGeo):
xalqGeo
106 m2
=
1 ha
48.400 m2
xalqGeo =
1 alqueiro · 106 m2
48.400 m2
xalqGeo = 20,6612 alqueiro geome´trico;
Para alqueire paulista: como 1 alqueire = 24.200 m2, enta˜o a a´rea em alqueire paulista
(xalqPau):
xalqPau
106 m2
=
1 ha
24.200 m2
xalqPau =
1 alqueiro · 106 m2
24.200 m2
xalqPau = 41,3223 alqueiro paulista.
2.2 Escala
2.2.0.1 Escala nume´rica
Quando se realiza levantamento na superfı´cie terrestre, obteˆm-se as coordenadas dos pontos de-
seja´veis, e posteriormente sa˜o apresentados em papel ou na tela do computador. Logicamente
que as medidas de distaˆncia e a´reas da superfı´cie terrestre sa˜o, em geral, demasiadamente ex-
tensas para caberem, nas mesmas proporc¸o˜es, em papel ou tela de computador. Para ajustar ao
papel/tela, e´ realizada uma reduc¸a˜o das dimenso˜es a uma escala apropriada, de acordo com o
tamanho do papel/tela. E o que vem a ser uma escala? A escala (E) e´ a relac¸a˜o entre a distaˆncia
de um objeto apresentado no papel/tela (l) e a sua verdadeira distaˆncia na natureza (L), isto e´:
E =
l
L
(2.1)
Para o uso desta Equac¸a˜o, as unidades de l e L devem ser as mesmas. Observe que para
levantamentos sobre a superfı´cie terrestre L � l. Desta forma, a E resulta em um nu´mero muito
Prof. Alexandre Caˆndido Xavier - Universidade Federal do Espı´rito Santo 22
CAPI´TULO 2. UNIDADES ME´TRICAS, ESCALA E DETERMINAC¸A˜O DE A´REAS 2.2. ESCALA
pequeno, o que demandaria o uso de va´rias casas decimais para representa´-la, dificultando a sua
interpretac¸a˜o. Para apresentar a E de uma forma mais intuitiva, usa-se a forma:
E =
1
M
, (2.2)
em que M e´ denominado o mo´dulo da escala, sendo M = L/l. A E na forma da Equac¸a˜o 2.2
tem uma interpretac¸a˜o bastante simples. Por exemplo, se na forma de decimal E = 0,00028571,
na forma da Equac¸a˜o 2.2 seria E = 1/3500. Obviamente E = 0,00028571 = 1/3500, mas na
segunda forma, ja´ conclui-se de imediato que, por exemplo, 1 m de um comprimento no papel,
corresponderia ao comprimento de 3500 m em campo. Ou, de outra forma, 1 cm de comprimento
no papel, corresponde a 35 m em campo1. A escala nume´rica pode estar na forma de frac¸a˜o (p.
ex., E = 1/3500); proporc¸a˜o (p. ex., E = 1 : 3500); ou equac¸a˜o (p. ex., 1 cm = 35 m).
Exemplo 2.2
A distaˆncia entre dois postes em uma rua equivale a 33,4 m. Quando representados em
papel, estes postes estavam distantes 3 cm entre si. Qual a escala do desenho?
Soluc¸a˜o
Utilizando a Equac¸a˜o 2.2, e sabendo que l = 3 cm = 0,03 m, e L igual a 33,4 m, o mo´dulo da
escala sera´:
M =
L
l
=
33,4
0,03
= 1113
O resultado exato deM e´ 1.113,3333333 . . ., todavia, na apresentac¸a˜o daE, utiliza-se, geral-
mente, apenas o nu´mero inteiro. Desta forma, E = 1/1.113.
Exemplo 2.3
Em uma planta topogra´fica mediu-se um talha˜o na forma de um retaˆngulo, obtendo-se
como comprimentos dos lados os valores de 2,3 cm e de 0,9 cm. Sabendo-se que a escala
do desenho era de 1 : 6000, calcule a a´rea do talha˜o em m2?
Soluc¸a˜o
Este problema sera´ resolvido de duas formas. A primeira e´ calculando os comprimentos
dos lados em metros e depois calculando a a´rea. Da escala temos, 1 m = 6000 m, que e´
o mesmo que 1 cm = 60 m. Utilizando esta u´ltima relac¸a˜o, aplica-se uma regra de treˆs,
obtendo-se para os lados de 2,3 cm e de 0,9 cm, respectivamente, os comprimentos dos
lados de 138 m e 54 m. Desta forma, a a´rea seria de 7.452 m2 (138 m× 54 m).
Uma outra maneira de calcular a a´rea do talha˜o e´, calcula´-la em cm2 e, posteriormente,
converteˆ-la para m2. Assim, a a´rea no papel e´ de 2,07 cm2 (2,3 cm × 0,9 cm). A escala,
como ja´ foi dito, e´ utilizada para medidas de comprimento. Todavia, elevando ambos
os lados da escala ao quadrados, teremos uma relac¸a˜o entre a´rea de desenho e a´rea na
natureza. Para a nossa escala (1 cm = 60 m), elevando ambos os lados ao quadrado tem-se:
1Como 1 m = 100 cm, enta˜o de acordo com a escala 100 cm = 3500 m, dividindo-se ambas as partes por 100, temos
1 cm = 35 m.
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CAPI´TULO 2. UNIDADES ME´TRICAS, ESCALA E DETERMINAC¸A˜O DE A´REAS 2.2. ESCALA
(1 cm)2 = (60 m)2
1 cm2 = 3600 m2.
Logo, a a´rea do talha˜o sera´ 2,07× 3600 = 7.452 m2.
Escala gra´fica
Uma outra forma de representac¸a˜o da escala e´ a gra´fica, que tem como vantagem, que, mesmo
se o mapa/carta for reduzida ou ampliada, a escala gra´fica se mostrara´ apropriada para ana´lises,
uma vez que ela e´ reduzida ou ampliada na mesma proporc¸a˜o. Dois exemplos de escalas gra´ficas
sa˜o apresentados na Figura 2.1.
0 m 20 m10 m 30 m 40 m
E = 1 : 500
E =
1
80.000
4000 m0 m
0 2 4 6 8 10 m
Figura 2.1
Exemplos de escalas gra´ficas.
Para desenhar uma escala gra´fica aplicam-se as seguinte etapas:
a) a escala gra´fica a ser desenhada e´ colocada na parte inferior ou inferior e a direita do
mapa/carta;
b) quanto ao tamanho, na˜o deve ser muito pequeno, impossibilitando uma leitura adequada,
nem muito grande, ocupando um espac¸o desproporcional ao desenho a ser apresentado;
c) definido o tamanho e posic¸a˜o, faz-se a sua subdivisa˜o; pintando intercaladamente as subdi-
viso˜es;
d) conhecendo a escala nume´rica, coloca-se sobre as subdiviso˜es suas distaˆncia em relac¸a˜o ao
ponto inicial da escala;
No Exemplo 2.4 e´ apresentado passo a passo a construc¸a˜o de uma escala gra´fica.
Prof. Alexandre Caˆndido Xavier - Universidade Federal do Espı´rito Santo 24
CAPI´TULO 2. UNIDADES ME´TRICAS, ESCALA E DETERMINAC¸A˜O DE A´REAS 2.3. DETERMINAC¸A˜O DE A´REAS
Exemplo 2.4
Um levantamento de uma propriedade sera´ apresentado em papel A4, onde foi estabele-
cida a E = 1 : 1500, desenhe uma escala gra´fica com 6 cm de comprimento.
Soluc¸a˜o
6 cm
2 cm 2 cm 2 cm
0 m 60 m30 m 90 m
E =
1
1.500
1) Com o auxı´lio de uma re´gua, trace
uma linha com 6 cm de comprimento
na posic¸a˜o desejada;
2) Subdivida a escala em distaˆncias
iguais, neste caso, a cada 2 cm;
2) Por u´ltimo, altere as cores entre
preto e branco; e sabendo-se que a
escala e´ de E = 1 : 1500, temos
2 cm = 30 m. Enta˜o no inı´cio do de-
senho da escala (0 cm) coloca-se a
legenda
0 m, e, nas posic¸o˜es 2 cm, 4 cm e
6 cm, colocam-se as legendas 30 m,
60 m e 90 m, respectivamente.
2.3 Determinac¸a˜o de a´reas
Normalmente,em problemas topogra´ficos, ha´ a necessidade de se calcular a´reas. As a´reas podem
ser: i) da superfı´cie projetada do plano topogra´fico ou cartogra´fico (plano horizontal), quando se
deseja, por exemplo, conhecer a a´rea que se pode cultivar, ou em caso de construc¸o˜es, as a´reas
disponı´veis para locac¸a˜o de obras de engenharia; ou ii) no plano vertical, quando se deseja realizar
ca´lculos de volumes de corte e de aterro. O ca´lculo de a´reas de figuras elementares foi apresentado
na secc¸a˜o 1.3 (pa´gina 13). Neste capı´tulo veremos algumas metodologias para medic¸a˜o de a´reas
em topografia.
2.3.1 Decomposic¸a˜o de figuras elementares
Uma maneira grosseira de realizar medidas de uma a´rea (A), seja diretamente em uma planta
topogra´fica ou mesmo em levantamento de campo, e´ na decomposic¸a˜o de sua a´rea em figuras
geome´tricas simples, como triaˆngulos, trape´zios e retaˆngulos (ver secc¸a˜o 1.3). Na Figura 2.2 e´
apresentada um limite de uma propriedade onde se pretende medir a a´rea. Ela e´ delimitada a sua
esquerda por um rio e a sua direita pela poligonalABCDEFG. Decidiu-se enta˜o por decompoˆ-la
nas figuras geome´tricas: de treˆs triaˆngulos (BCF , CDF e DEF ); e treˆs trape´zios (GFJK, HIJK
e ABIH). Observe que as a´reas dos trape´zios sa˜o apenas aproximac¸o˜es ao limite do rio, pois
assume-se que ele se aproxima a seguimentos retos. Se o rio fosse mais sinuoso, poderia utilizar
mais retaˆngulos e trape´zios para melhorar o ajuste.
Em campo, as medidas de comprimento dos lados das figuras geome´tricas podem ser real-
izadas utilizando-se, por exemplo, uma trena ou uma estac¸a˜o total. Se a a´rea estivesse represen-
tada em papel, bastaria medir os lados dos segmentos que formam as figuras geome´tricas com
uma re´gua e aplicar a estes valores a escala. Se o levantamento ja´ se encontra na forma digital,
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CAPI´TULO 2. UNIDADES ME´TRICAS, ESCALA E DETERMINAC¸A˜O DE A´REAS 2.3. DETERMINAC¸A˜O DE A´REAS
Figura 2.2
Decomposic¸a˜o de uma
a´rea em figuras ele-
mentares.
A B C
D
EFG
H I
JK
44,0 m28,6 m
38,5 m
15,4 m
17,6 m 66,0 m
34
,8
m
83,
8 m
46,7 m
79
,3
m
1
6
,7
m
2
7
,5
m
2
2
,1
m
em ambiente de SIG2 ou de CAD3, as distaˆncias sa˜o obtidas de maneira automa´tica. Uma vez
conhecida as distaˆncias entre os alinhamentos das figuras geome´tricas propostas, calcula-se de
cada uma, e posteriormente, sa˜o somadas, obtendo-se a a´rea total.
2.3.2 A´rea ao longo de um transecto
Quando a superfı´cie a ser determinada apresenta-se com uma forma estreita, pode-se estabelecer
um alinhamento na direc¸a˜o do maior comprimento com o auxı´lio de um teodolito ou estac¸a˜o
total, e a partir deste alinhamento, a espac¸amentos constantes ou na˜o, lanc¸ar perpendiculares ate´
os pontos limitantes. A definic¸a˜o se o espac¸amento sera´ constante ou na˜o dependera´ do limite da
divisa ser ou na˜o uniforme.
Um exemplo de um transecto em que o espac¸amento pode ser constante e´ apresentado na
Figura 2.3, onde se tem o alinhamento principal dado por AB, e as medidas dos comprimentos
das perpendiculares, espac¸ada, neste caso, de 20 m em 20 m. Desta forma, havera´ como resul-
tado, que cada par de perpendiculares, quando ligadas, formara˜o as bases (b) de um trape´zio
e o espac¸amento entre as perpendiculares, a sua altura (h). Se somarmos as a´reas de todos os
trape´zios, teremos a da a´rea total. Nota-se que o ajuste ao limite original na˜o e´ perfeito, todavia,
como a a´rea e´ aproximadamente uniforme e que, havera˜o trape´zios que ira˜o subestimar a´rea e
outros que ira˜o superestima´-la, ha´ uma tendeˆncia de que o valor calculado se aproximar do valor
real. A a´rea podera´ ser calculada como:
A =
(b0 + b1)h
2
+
(b1 + b2)h
2
+ . . .+
(bn−1 + bn)h
2
A = h
(
b0
2
+ b1 + b2 + . . .+
bn
2
)
.
(2.3)
2Abreviac¸a˜o de Sistema de Informac¸a˜o Geogra´fica, que diz respeito a utilizac¸a˜o de computador e programas para
soluc¸a˜o de problemas espaciais.
3CAD e´ a abreviac¸a˜o de “Computer-aided design”, desenho acompanhado por computador, que sa˜o programas de
computador para desenvolvimento de desenhos te´cnicos.
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CAPI´TULO 2. UNIDADES ME´TRICAS, ESCALA E DETERMINAC¸A˜O DE A´REAS 2.3. DETERMINAC¸A˜O DE A´REAS
20 m
25,8 m
40 m
27,4 m
60 m
26,1 m
80 m
25,6 m
100 m
12,5 m
0 m
0 m
A B
h
Limite da a´rea
Aproximac¸a˜o ao limite da a´rea
Perpendiculares ao alinhamento AB
Figura 2.3
Exemplo de um transecto uniforme e a aproximac¸a˜o a figuras de trape´zios.
Exemplo 2.5
Calcular a a´rea do transecto mostrada na Figura 2.3.
Soluc¸a˜o
Considerando a Equac¸a˜o 2.3, com as perpendiculares sendo as bases e h = 20 m, temos:
A = 20
(
0
2
+ 25,8 + 27,4 + 26,1 + 25,6 +
12,5
2
)
.
= 2.223 m2.
Considera-se agora a parte limitante do transecto na˜o uniforme, conforme Figura 2.4. Para
calcular a a´rea com espac¸amento constante e obter uma boa estimativa da a´rea, o espac¸amento
entre as perpendiculares teriam que ser menor. Todavia, tal procedimento aumentaria demasi-
adamente o trabalho em campo. Ao inve´s disto, podemos considerar perpendiculares lanc¸adas
de acordo com a mudanc¸a de direc¸a˜o do limite. Esta mudanc¸a de estrate´gia vai fazer com que o
espac¸amento entre as perpendiculares sejam varia´veis, mas vai adaptar melhor ao limite. Com os
espac¸amentos distintos, aplica-se a Equac¸a˜o 2.4, considerando as alturas distintas dos trape´zios.
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CAPI´TULO 2. UNIDADES ME´TRICAS, ESCALA E DETERMINAC¸A˜O DE A´REAS 2.3. DETERMINAC¸A˜O DE A´REAS
15,8 m
12,2 m
30,1 m
49,4 m
65,0 m
14,9 m
85,4 m
59,1 m
114,1 m
21,5 m14,7 m
0 m
A B
Limite da a´rea
Aproximac¸a˜o ao limite da a´rea
Perpendiculares ao alinhamento AB
Figura 2.4
Exemplo de um transecto na˜o uniforme e a aproximac¸a˜o a`s figuras de trape´zios.
A =
(b0 + b1)h1
2
+
(b1 + b2)h2
2
+ . . .+
(bn−1 + bn)hn
2
A =
1
2
((b0 + b1)h1 + (b1 + b2)h2 + . . .+ (bn−1 + bn)hn) .
(2.4)
Exemplo 2.6
Calcular a a´rea do transecto mostrada na Figura 2.4.
Soluc¸a˜o
Considerando a Equac¸a˜o 2.4, para perpendiculares que na˜o tem espac¸amento constante e
utilizando os dados da Figura 2.4, temos:
A =
1
2
((14,7 + 12,2)(15,8− 0) + (12,2 + 49,4)(30,1− 15,8) + (49,4 + 14,9)(65,0− 30,1)+
(14,9 + 59,1)(85,4− 65) + (59,1 + 21,5)(114,1− 85,4))
A = 3.686,4 m2.
2.3.3 Ca´lculo de a´rea por Gauss
Em levantamentos topogra´ficos, as coordenadas retangulares dos pontos limitantes, sa˜o determi-
nados por diversos me´todos. A obtenc¸a˜o das coordenadas retangulares e´ de suma importaˆncia,
uma vez, que a partir delas, pode-se plotar em papel, calcular distaˆncias entre pontos e a´reas de
poligonais.
A maneira mais utilizada para se calcular a a´rea, quando se conhecem as coordenadas re-
tangulares dos ve´rtices da poligonal, e´ pelo me´todo de Gauss, tambe´m conhecido como me´todo
das coordenadas. A seu ca´lculo e´ bastante facilitado com o uso de calculadoras ou programas
computacionais. O eixo-y das coordenadas topogra´ficas, coincide com a direc¸a˜o dita como Norte,
Prof. Alexandre Caˆndido Xavier - Universidade Federal do Espı´rito Santo 28
CAPI´TULO 2. UNIDADES ME´TRICAS, ESCALA E DETERMINAC¸A˜O DE A´REAS 2.3. DETERMINAC¸A˜O DE A´REAS
e o eixo-x com a direc¸a˜o Leste. As coordenadas retangulares podem tambe´m ser obtidas em pa-
pel, realizando medidas com re´gua na pro´pria planta, considerando a escala do desenho, por
exemplo, por digitalizac¸a˜o4.
Para demonstrar como o me´todo funciona, considere a Figura 2.5, onde pretende-se calcular
a a´rea limitada pelosve´rtices ABCD, onde suas coordenadas retangulares sa˜o conhecidas. Para
obter a a´rea total, soma-se as a´reas limitadas pelos pontos C’CDD’ e D’DAA’ e subtrai-se das
a´reasC’CBB’ eB’BAA’. Observe que todas estas a´reas formam figuras de trape´zios, desta forma,
a a´rea compreendida entre os ve´rtices ABCD e´ dada pela Equac¸a˜o 2.5.
Figura 2.5
Esquema para deduc¸a˜o do ca´lculo de a´rea por
Gauss.
x
y
A
B
C
D
yA
yB
yC
yD
xA
xB
xC
xD
A’
B’
C’
D’
A = C’CDD’ +D’DAA’− C’CBB’− B’BAA’
A =
1
2
(xC + xD)(yC − yD) +
1
2
(xD + xA)(yD − yA)−
1
2
(xC + xB)(yC − yB)−
1
2
(xB + xA)(yB − yA)
2A = (xC + xD)(yC − yD) + (xD + xA)(yD − yA)− (xC + xB)(yC − yB)− (xB + xA)(yB − yA)
2A = yA(xB − xD) + yB(xC − xA) + yC(xD − xB) + yD(xA − xC)
2A = yAxB + yBxC + yCxD + yDxA − xAyB − xByC − xCyD − xDyA
(2.5)
Considere agora um nu´mero qualquer de ve´rtices (n), convenientemente organizados, que
delimitam a a´rea. Poderemos, para fins de facilidade do ca´lculo, organizar os dados como mostra-
dos na Figura 2.6, com as coordenadas x acima das coordenadas y para cada ponto. As coorde-
nadas devem estar em sequeˆncia para formar um polı´gono, seguindo o sentido hora´rio ou anti-
hora´rio. Tambe´m na˜o se deve pular coordenada de quaisquer ve´rtices. A primeira coordenada
deve aparecer, mais uma vez, na u´ltima posic¸a˜o. Faz-se enta˜o o somato´rio do produto da di-
agonal subindo e a este resultado subtrai-se do somato´rio do produto da diagonal descendo (o
contra´rio tambe´m pode ser realizado). Considere o valor absoluto desta operac¸a˜o, ou seja, se o
resultado der negativo, considere-o positivo. E por fim, para obter a a´rea, divida este nu´mero por
dois. A unidade de a´rea dependera´ da unidade das coordenadas. Assim, se forem coordenadas
na unidade de metros, tem-se a´rea em m2, se for em quiloˆmetros, em km2. Na˜o confundir no
esquema da Figura 2.6 com uma divisa˜o e produto das coordenadas.
4Ato de transformar a informac¸a˜o do papel (analı´tica) para um formato em que o computador consiga trabalhar. Para
digitalizar os dados de plantas ou cartas, podem-se empregar os scanners e as mesas digitalizadora.
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CAPI´TULO 2. UNIDADES ME´TRICAS, ESCALA E DETERMINAC¸A˜O DE A´REAS 2.3. DETERMINAC¸A˜O DE A´REAS
Figura 2.6
Organizac¸a˜o dos dados para ca´lculo
da a´rea por Gauss.
+ + + + +
− − − − −
2 ·A = x1
y1
x2
y2
x3
y3
x4
y4
. . .
xn−1
yn−1
xn
yn
x1
y1
2 ·A = |(y1x2 + y2x3 + · · ·+ ynx1)− (x1y2 + x2y3 + · · ·xny1)|
A =
1
2
|(y1x2 + y2x3 + · · ·+ ynx1)− (x1y2 + x2y3 + · · ·xny1)|
Exemplo 2.7
x (m)
y (m)
A(26,2; 7,5)
B(9,8; 22,9)
C(24,5; 67,1)
D(58,9; 46,3)
E(40,7; 14,2)
A partir das coordenadas retangulares, em
metros, do levantamento da poligonal apre-
sentada ao lado, calcular a sua a´rea.
Soluc¸a˜o
Organizando os dados e realizando os ca´lculos conforme metodologia apresentada na
Figura 2.6, temos:
2 ·A = 26,2
7,5
9,8
22,9
24,5
67,1
58,9
46,3
40,7
14,2
26,2
7,5
+ + + + +
− − − − −
2 ·A = |(7,5 · 9,8 + 22,9 · 24,5 + · · ·+ 14,2 · 26,2)
−(26,2 · 22,9 + 9,8 · 67,1 + · · ·+ 40,7 · 7,5)|
A =
1
2
|6.843,2− 3.533,5|
A = 1.654,8 m2
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CAPI´TULO 2. UNIDADES ME´TRICAS, ESCALA E DETERMINAC¸A˜O DE A´REAS 2.3. DETERMINAC¸A˜O DE A´REAS
Sugesta˜o de aula pra´tica
Uso do AutoCad para desenho de planta topogra´fica.
Objetivo: utilizar a ferramenta AutoCada para fins de desenho de planta topogra´fica.
Sera˜o apresentadas algumas func¸o˜es ba´sicas, necessa´rias para o desenho da planta. Como
roteiro:
• apresentac¸a˜o geral do AutoCad: janelas de func¸o˜es; principais ı´cones de func¸o˜es; a´rea
de desenho; coordenadas retangulares; a a´rea de comando, etc;
• apresentac¸a˜o de func¸o˜es, como: zoom, line, pline, area, dimaligned e text;
• como alterar as propriedades dos objetos do desenho.
Como exemplo de aplicac¸a˜o: considere a poligonal do exercı´cio 2.4, fazer o desenho, cotar,
determinar a a´rea e o perı´metro.
aInformac¸o˜es do produto em: 〈www.autodesk.com〉
Exercı´cio
2.1. A distaˆncia entre duas paredes de um apartamento e´ de 12,32 m. No desenho da planta do
apartamento, estas duas paredes esta˜o separadas por 4,2 cm. Qual a escala da planta?
Resp.: E = 1 : 293.
2.2. Um galpa˜o, na forma de um trape´zio, tem dimenso˜es: bases de 30 cm e 25 cm e, altura de 27
cm. Sabendo que a escala e´ de 1 : 200, qual a a´rea do galpa˜o em m2?
Resp.: A´rea de 2.970 m2.
2.3. Calcular a a´rea total da poligonal ABCDEFGKH da Figura 2.2, pa´gina 26?
Resp.: A´rea de 6.026,0 m2.
2.4. Seguem as coordenadas em metros dos ve´rtices de uma a´rea levantada: 1(0, 19), 2(4, 29),
3(34, 44), 4(64, 29), 5(71, 11), 6(49, 2), 7(34, 10), 8(29, 11), 9(14, 0). Calcule a a´rea pela fo´rmula de
Gauss nas unidade de m2 e ha. Represente graficamente.
Resp.: a´rea = 1925 m2; a´rea = 0,1925 ha.
A
B
C
D
E
bC
bC
bC
bC
bC
bC x (m)
y (m)
0
10
−10
−20
10 20 30
2.5. Seguem as coordenadas em metros dos
ve´rtices de uma a´rea levantada: A(0, 0),
B(5, − 19), C(23, − 10), D(29, 4), E(13, 11),
com a representac¸a˜o gra´fica na Figura ao
lado.
a) Calcule a a´rea pela fo´rmula de Gauss
nas unidade de m2 e ha. Represente grafi-
camente.
b) Qual a distaˆncia entre os pontos B e
C?
c) Qual a distaˆncia entre os pontos C e
D?
Resp.: a) 518 m2 e 0,0518 ha; b) 20,125 m; c) 15,232 m.
Prof. Alexandre Caˆndido Xavier - Universidade Federal do Espı´rito Santo 31
CAPI´TULO 2. UNIDADES ME´TRICAS, ESCALA E DETERMINAC¸A˜O DE A´REAS 2.3. DETERMINAC¸A˜O DE A´REAS
2.6. Sendo as coordenadas de uma poligonal: a(0, 0), b(32, 34), c(23, 9), d(54, 35), e(19, − 27),
f(16, − 8). Estando elas em metros, pede-se:
a) Calcule a a´rea pela fo´rmula de gauss nas unidade de m2 e ha.
b) Represente graficamente.
c) Qual a distaˆncia entre os pontos a e b?
d) Qual a distaˆncia entre os pontos e e f?
Resp.: a) 1009 m2; 0,1009 ha; c) 46,690 m; d) 19,235 m.
180 m
34 m
200 m
36 m
220 m
40 m
240 m
30 m
260 m
32 m
280 m
20 m
A B
2.7. Na Figura ao lado, e´ apresentado
um transecto uniforme e os dados de
distaˆncia. Calcule a a´rea em alqueire
geome´trico.
Resp.: 0,06818 alqueire.
0
51
94
9
113
22
144
43
208
27
227
11
2.8. Na Figura ao lado, sa˜o apresenta-
dos os dados um levantamento de um
transecto na˜o uniforme, sendo as me-
didas na unidade de metros. Calcule a
a´rea em hectare.
Resp.: 0,6723 ha.
2.9. Desenhar uma escala gra´fica de 1 : 2000, com 10 cm de tamanho.
2.10. Desenhar uma escala gra´fica de 1 : 500, com 8 cm de tamanho.
Prof. Alexandre Caˆndido Xavier - Universidade Federal do Espı´rito Santo 32
3
Introduc¸a˜o a geode´sia e cartografia
Sera˜o abordados neste capı´tulo os conceitos ba´sicos da geode´sia como: forma e dimensa˜o da
terra; modelos matema´ticos que se aproximam da forma da terra (elipso´ide); o sistema de re-
fereˆncia geode´sico adotado pelo Brasil. Quanto a cartografia, sera´ definida o que e´ uma projec¸a˜o
cartogra´fica mostrando alguns exemplos, como o sistema projec¸a˜o e coordenadas UTM, que e´
uma das projec¸o˜es mais utilizada no Brasil.
Suma´rio
3.1 Geo´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Elipso´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Coordenada geode´sica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Coordenada geode´sica cartesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.1 Coordenada astronoˆmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .