Cálculo de Volumes por Rotação

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SEÇÃO 6.2 ÁREAS ENTRE AS CURVAS  1
1-5 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região 
delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. 
Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.
 1. = = =, , ;y 0x 4y 2 x 3 em torno do eixo x
 2. =+ = =, , ;y 0x 0x y 1 em torno do eixo x
 3. = = = =, , , ;x 2x 0y 4y x 2 em torno do eixo y
 4. = =+ , ;y 3 x 2y x 2 1 em torno do eixo x
 5. = = ==, , , ;x 1x 0y 0y 2x x 2 em torno do eixo y
6-13 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região 
delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x.
 6. = = = =, , , x 2x 0y 0y x 2 1
 7. = ===, , , x 3x 1y 0y 1 x
 8. = = = =, , , x 1x 0y 0y e x
 9. = = = =, , , x 1x 0y 0y 1 1
 10. = = = =, , , x 1x 1y 1y sec x
 11. = = = pi=, , , x 4x 0y sen xy cos x
 12. = + = = =, , , x 0x 3y 0y x 2
 13. = ===, , , y 0x 6x 1y x
14-25 Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da 
região indicada em torno da reta dada.
C(0, 2)
0
x = 4y
3
y =
x
y
B(8, 2)
3
A(8, 0)
2 1
 14. 1 em torno de OA 15. 1em torno de OC
 16. 1 em torno de AB 17. 1 em torno de BC
 18. 2 em torno de OA 19. 2 em torno de OC
 20. 2 em torno de BC 21. 2 em torno de AB
 22. 3 em torno de OA 23. 3 em torno de OC
 24. 3 em torno de BC 25. 3 em torno de AB
26-30 Escreva, mas não calcule, uma integral para o volume do 
sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas 
em torno da reta especificada.
 26. = = =y ln x, y 1, x 1; em torno do eixo x
 27. == =, , ;x 5y 0y 1 em torno do eixo y
 28. = =, ;y x 4 2 1x y 1 em torno de y = 7
 29. pi== = =, , , ;x 2x 0y 0y cos x em torno de y = 1
 30. pi= = == , , , ;x 2x 0y 0y cos x em torno de y = −1
31-32 Use um gráfico para encontrar os valores aproximados das 
coordenadas x dos pontos de intersecção das curvas indicadas. Em 
seguida, encontre (aproximadamente) o volume do sólido obtido 
pela rotação em torno do eixo x da região delimitada por essas 
curvas.
 31. = =, y 1y x 2
 32. = =, y 3x x 3y x 4
33-34 Esboce e encontre o volume do sólido obtido pela rotação da 
região sob o gráfico de f em torno do eixo x.
 33. f x
3 se 0 x 1
1 se 1 x 4
3 se 4 x 5
=
≤
≤ ≤
≤
 34. f x
1
2 se 0 x 1
x 2 2x 2 se 1 x 2
≤
≤ ≤=
35-40 Cada integral representa o volume de um sólido. Descreva o 
sólido.
 35. 
4
0
tg2 x dxpi
pi
 36. 
2
1
 y 6 dypi
 37. 
1
0
y y 2 dypi 38. 
4
0
 16 x 2 4 dxpi
 39. 
1
0
5 2x 2 2 5 2x 2 dxpi
 40. 
2
4
2 sen x 2 2 cos x 2 dxpi + +pi
pi
 41. A base de S é a região triangular com vértices (0, 0), (2, 0) e 
(0, 1). As seções transversais perpendiculares ao eixo x são 
semicírculos. Encontre o volume de S.
 42. Resolva o Exemplo 9 se os planos se intersectarem em um 
ângulo de 45°.
6.2 VOLUMES Revisão técnica: Eduardo Garibaldi – IMECC – Unicamp
 É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador.
2  SEÇÃO 6.2 ÁREAS ENTRE AS CURVAS
 1. 64p
x
 2. pi3
 3. 8p
 4. 323 pi
 5. 56 pi
x
 6. 4615 pi 7. 
2
3 pi
 8. pi2 e
2 − 1 9. p ln 2
 10. 2pi (tg 1 − 1) 11. pi2
 12. 3p 13. 55p
 14. 323 pi 15. 
256
3 pi
 16. 1283 pi 17. 
64
3 pi
 18. 12815 pi 19. 
512
21 pi
 20. 11215 pi 21. 
832
21 pi
 22. 645 pi 23. 
128
7 pi
 24. 165 pi 25. 
320
7 pi
 26. V = pi e1 1
2 − (ln x )2 dx
 27. V = pi 20 24 − y
4 − 2y2 dy
 28. V = pi 63 x
4 − 16x 3 + 83x 2 − 144x + 36 dx
 29. V = pi pi/ 20 2 cos x − cos
2 x dx
 30. V = pi pi/ 20 2 cos x + cos
2 x dx
 31. 5,80 32. 6,74
 33. 21p 34. 127 pi60
 35. Sólido obtido pela rotação da região sob a curva y = tg x, de 
x = 0 a x = pi4 , em torno do eixo x.
 36. Sólido obtido pela rotação da região delimitada pela curva 
x = y3 e pelas retas y = 1, y = 2 e x = 0 em torno do eixo y.
 37. Sólido obtido pela rotação da região entre as curvas x = y e 
x = y em torno do eixo y.
 38. Sólido obtido pela rotação da região delimitada pela curva 
y = (x − 2)2 e pela reta y = 4 em torno do eixo x.
 39. Sólido obtido pela rotação da região entre as curvas 
y = 5 − 2x2 e y = 5 − 2x em torno do eixo x. 
Ou: Sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas 
curvas y = 2x e y = 2x2 em torno da reta y = 5.
 40. Sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas 
y = 2 + cos x e y = 2 + sen x e pela reta x = pi2 em torno do 
eixo x.
 41. pi12
 42. 1283
6.2 RESPOSTAS Revisão técnica: Eduardo Garibaldi – IMECC – Unicamp
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