Integral/Volume

Confira o enunciado porque parece contraditório, diz que (x) é positivo e ao mesmo tempo que está no intervalo - h/2<x <h/2. Se é positivo, deveria estar em 0<x <h/2.

A data 1975, também é absurda, Kepler não viveu no século XX. Morreu em 1630, portanto século XVII. Isto não importa para a solução do problema, mas indica que o resto do enunciado também possa conter outros erros.

Ainda assim tentarei ajudar: Em geral, quando se calcula volume com função de uma variável, o processo é sempre o mesmo, multiplica-se a área de um circulo pela altura (FUNÇÃO DADA), e calcula-se a INTEGRAL deste produto.

1- Se a rotação é ao redor de (x), a área será Pi*f(x)^2. E a altura seria x=a, onde (a) é uma constante.

2- Se a rotação é ao redor de (y), então a área do circulo é Pi*a^2. E a altura seria f(x).

Neste caso, tanto para a opção 1, como a 2, tua f(x) é (r – cx²)

Para encontrar o volume do barril , devemos calcular a integral da equação da parábola e para isso realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & y=rc{{x}^{2}} \\ & V=\pi \int_{-h/2}^{h/2}{r-c{{x}^{2}}} \\ & V=\pi \left[ rx-c\frac{{{x}^{3}}}{3} \right]_{-h/2}^{h/2} \\ & V=\pi \left[ \frac{rh}{2}-c\frac{{{h}^{3}}}{24} \right]2 \\ & V=\pi rh-c\frac{{{h}^{3}}}{12} \\ \end{align}\ \)

Portanto, o volume do barril será de \(\begin{align} & V=\pi rh-c\frac{{{h}^{3}}}{12} \\ \end{align}\ \)