06 - tunelamento

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Tunelamento 
Fernando G. Pilotto
UERGS
Barreiras de potencial
• Vamos ver o que acontece com um trenó que se 
movimenta no gelo, sem atrito, em direção a 
uma colina.
• O trenó tem energia cinética e energia potencial.
2
2
1 mvK = )(xUU =
• A energia total do trenó é:
• À medida que o trenó sobe a colina, a energia 
cinética se transforma em energia potencial.
• A altura que o trenó sobe depende da energia 
cinética inicial.
• Se Kini < Ub, o trenó volta pelo mesmo lado.
)(221 xUmvE +=
• A colina é um exemplo de barreira de potencial.
• Uma barreira de potencial é uma região onde a 
energia potencial tem um máximo.
• Na física clássica, a barreira só pode ser 
atravessada se Kini > Umax.
• Na física quântica, a barreira pode ser 
atravessada mesmo que Kini < Umax, esse é o 
efeito túnel.
O efeito túnel
• Vamos considerar uma energia potencial 
“esquemática”:
• Essa energia potencial é a mais simples 
possível para se estudar o efeito túnel.





>
<<
<
=
Lx
LxU
x
xU
,0
0,
0,0
)( 0
• Como a energia potencial não depende do 
tempo, a função de onda é:
• e a equação de Schrödinger é:
h/)(),( iEtextx −=Ψ ψ
[ ] 0)()()(
2 2
22
=−+ xxUEx
dx
d
m
ψψh





>
<<
<
=
Lx
LxU
x
xU
,0
0,
0,0
)( 0
• No intervalo x < 0, temos o problema de 
partícula livre, pois U(x) = 0
ikxikx BeAex −+=)(ψ
0)()(
2 2
22
=+ xEx
dx
d
m
ψψh
h
mEk 2=
• No intervalo 0 < x < L, temos U(x) = U0 > E
• A solução é:
qxqx DeCex −+=)(ψ
[ ] 0)()(
2 02
22
=−+ xUEx
dx
d
m
ψψh
h
)(2 0 EUmq −=
[ ] 0)()(
2 02
22
=−− xEUx
dx
d
m
ψψh
• No intervalo x > L, temos novamente o problema 
de partícula livre, pois U(x) = 0
ikxikx GeFex −+=)(ψ
0)()(
2 2
22
=+ xEx
dx
d
m
ψψh
h
mEk 2=
• As funções de onda que encontramos são:
• A partícula vem da esquerda ( ) e colide com 
a barreira; uma parte é transmitida ( ) e outra 
parte é refletida ( ).
ikxikx GeFex −+=)(ψ
qxqx DeCex −+=)(ψ
ikxikx BeAex −+=)(ψ
ikxAe
ikxBe−
ikxFe
• Portanto, temos:
ikxFex =)(ψ
qxqx DeCex −+=)(ψ
ikxikx BeAex −+=)(ψ
• Teorema do Cálculo:
– Para a derivada de uma função existir, é necessário 
que a função seja contínua.
• Condições de continuidade:
– A solução de uma equação diferencial de primeira 
ordem deve ser contínua (para a 1ª derivada existir).
– A solução de uma equação diferencial de segunda 
ordem e também a sua derivada devem ser 
contínuas (para a 1ª e a 2ª derivada existirem).
• Condições de continuidade da função
• Condições de continuidade da derivada
ikLqLqL FeDeCe =+ −
DCBA +=+
qDqCikBikA −=−
ikLqLqL ikFeqDeqCe =− −
Transmissão 
• O coeficiente de transmissão é definido como:
• A quantidade de elétrons que passam pela 
barreira está relacionada à função de onda 
nessa região:
incidentes elétrons
barreira pela passam que elétrons
=T
ikxFex =)(ψ *** )()( FFeFFexx ikxikx == −ψψ
• A quantidade de elétrons que incidem na 
barreira está relacionada à função de onda 
correspondente:
• O coeficiente de transmissão é então:
ikxAex =)(ψ *** )()( AAeAAexx ikxikx == −ψψ
*
*
AA
FFT =
• A partir das equações de continuidade para a 
função de onda, pode-se mostrar que:
• Se x > 2, podemos aproximar: 
1
2
0
2
0 )(sinh)(41
−






−
+= qL
EUE
UT
2
sinh
xx ee
x
−
−
=
2
sinh
xe
x =
• Se a partícula for um elétron e se as energias 
forem expressas em elétron-volts e a largura da 
barreira em nanômetros, então:
L
EUm
qL
h
)(2 0 −
=
L
EU 9
34
0
1931
10
2/1063,6
)(106,11011,92
−
−
−−
⋅
×
−×⋅×⋅
=
pi
EUL −= 0117,5
Exemplo 
• Um elétron tem energia de 5,1 eV e incide numa 
barreira com altura de 6,8 eV e largura de 0,75 
nm. Calcule o coeficiente de transmissão.
• De cada 1.000.000 elétrons incidentes, somente 
136 passam pela barreira.
51,58,675,0117,5 =−⋅=qL
4
1
2
2
1036,1)5(sinh)1,58,6(1,54
8,61 −
−
×=





−⋅⋅
+=T
Exemplo 
• E se a partícula fosse um próton em vez de um 
elétron?
• O próton nunca vai passar pela barreira...
6,22320005 =⋅=qL
194
1
2
2
108,1)6,223(sinh)1,58,6(1,54
8,61 −
−
×=





−⋅⋅
+=T
eletronproton 2000 mm ⋅≈
Corrente de tunelamento
• O coeficiente de transmissão foi expresso como:
• Essa relação refere-se a probabilidades.
• Se o número de partículas que incidem na 
barreira for alto, podemos escrever uma relação 
análoga para os valores médios:
*
*
AA
FFT =
incidente
otransmitid
N
NT =
• A corrente de partículas incidentes é:
• A corrente de partículas transmitidas é chamada 
de corrente de tunelamento:
• Portanto:
t
NI incidenteincidente =
t
TN
t
NI incidenteotransmitidotunelament ==
incidenteotunelament ITI ⋅=
• Correntes de tunelamento são extremamente 
importantes em dispositivos eletrônicos como 
diodos e transistores
Microscópio de tunelamento
• Os detalhes que podem ser vistos num objeto 
com os melhores microscópios óticos são da 
ordem de 300 nm.
• O poder de resolução está associado ao 
comprimento de onda da luz (para a luz 
ultravioleta, λ = 300 nm).
• No microscópio de tunelamento, a imagem é 
formada por elétrons com comprimento de onda 
de aproximadamente 5 nm.
• Quando a agulha percorre a amostra, ela é 
deslocada numa distância do tamanho de um 
átomo.
• Isso é obtido através dos cristais de quartzo, um 
material piezoelétrico, ou seja, que encolhe um 
pouco quando é aplicada uma diferença de 
potencial sobre ele.
• O espaço entre a agulha e a amostra é uma 
barreira de potencial para os elétrons.
• Uma tensão de 10 mV é aplicada entre a agulha 
e a amostra, assim surge uma corrente de 
tunelamento.
• Essa tensão é constante, assim a corrente de 
tunelamento vai variar somente se a distância 
entre a agulha e a amostra também variar.
• Quando o microscópio varre a amostra, a 
corrente de tunelamento é mantida constante.
• Para que isso aconteça, a distância da agulha à 
superfície tem de ser mantida constante.
• Assim, enquanto a agulha se desloca, o 
microscópio registra a altura da agulha em 
relação a um nível de referência, e assim 
mapeia a superfície.
Tunelamento e o Prêmio Nobel de 
Física de 1973
Reona Esaki e Ivar Giaever: pelas descobertas 
experimentais acerca do tunelamento em 
semicondutores e supercondutores
Brian Josephson: pelas suas predições teóricas sobre 
propriedades de uma supercorrente através de uma barreira 
de tunelamento, principalmente em relação aos fenômenos 
conhecidos em geral como efeitos de Josephson
Tunelamento e o Prêmio Nobel de 
Física de 1986
Ernst Ruska: pelo trabalho fundamental em ótica 
eletrônica e pela construção do primeiro microscópio 
eletrônico
Gerd Binnig e Heinrich Rohrer: pela 
construção do microscópio eletrônico de 
varredura
Imagens de microscópio eletrônico
Usando um microscópio de tunelamento, 
pesquisadores da IBM conseguiram arranjar 
átomos de ferro (cones azuis) depositados 
sobre uma superfície de cobre (em vermelho), 
formando uma espécie de curral atômico
Em 1990, 35 átomos de xenônio foram 
arranjados sobre uma superfície de níquel 
para compor o logotipo da IBM. Com 
manipulação nessa escala, moléculas 
podem ser fabricadas, ou modificadas, 
átomo por átomo.
hemoglobina vírus 
insetos formiga
Exercícios
1. No slide 8, mostre que a solução propostaresolve a equação de Schrödinger.
2. Halliday, cap. 38: 66 – 69